phương pháp điều kiện cần và đủ, áp dụng phương pháp lagrange để giải quyết một số dạng bài toán.

Lời nĩi đầu Ngồi những phương pháp giải thuần túy như: biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ, tính chất hàm số mũ; tính chất giá tị tuyệt đối; tam thức bậc hai…..đề tài này chúng tơi đề cập đ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

KHOA TOÁN LỚP SƯ PHẠM TOÁN K29

*Nhóm sinh viên thực hiện :

Hồ Ngọc Cảnh Nguyễn Thị Kiều Chi Phạm Thị Yến Chi Nguyễn Quốc Chính Nguyễn Văn Công Huỳnh Thị Mỹ Dung Trần Thị Dung

“Ứng dụng của phương pháp biến thiên hằng số & định lý lagrange & điều kiện cần và đủ trong giải phương trình”

Giáo viên hướng dẫn: Dương Thanh Vỹ

Quy Nhơn 27/

11/2009

Lời nĩi đầu

Ngồi những phương pháp giải thuần túy như: biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ, tính chất hàm số mũ; tính chất giá tị tuyệt đối; tam thức bậc hai… đề tài này chúng tơi đề cập đến phương pháp giải phương trình dựa vào sự tráo đổi vai trị của ẩn số và hăng số.Đồng thời kết hợp phương pháp điều kiện cần và đủ; áp dụng phương pháp lagrange để giải quyết một số dạng bài tốn

Đề tài bao gồm 3 chương:

Chương I: Phương pháp biến thiên hằng số

Chương II: Phương pháp điều kiện cần và đủ

Chương III: Sự kết hợp giữa phương pháp biến thiên hằng số với

dịnh lý lagrange ; điều kiện cần và đủ.

Trong đĩ chương I ,chương II chi làm cơ sở để phát triển lên phương pháp ở chương III Nhưng trọng tâm của để tài là chương I và chương II (tồn bộ chương I là ý tưởng của nhĩm)

Vì thời gian cĩ hạn nên chúng tơi khơng thể tránh được những thiếu sĩt,mong sự gĩp ý của bạn đọc.Xin chân thành cảm ơn

Nhĩm thực hiện

Chương I

 *Phương pháp biến thiên hằng số*Phương pháp biến thiên hằng số*Phương pháp biến thiên hằng số*

 Thực chất của phương pháp này là sự trao đổi vai trò giữa ẩn số và hằng số, ẩn số được xem là tham số và hằng số được xem là ẩn số trong phương trình mới.Cụ thể như sau :

Cho phương trình f(x)=0

Sau một số bước biến đổi sơ cấp, ta nhận thấy trong biểu thức f(x) nếu viết lại ở một dạng khác là g(t) thì ta có g(a)=0.Với a=const, nghĩa là từ phương trình g(t)=0 thay t=a thì được phương trình f(x)=0

* Nảy sinh ra ý tưởng là dùng a là ẩn số,x làm tham số trong phương

trình g(t)=0 Như vậy phương trình g(t)=0 luôn luôn có nghiệm t=a Và khi xét phương trình g(t)=0 không cần điều kiện của t Đây là điểm khác biệt củaphương pháp này với phương pháp đặt ẩn phụ

Với g(t)=0, từ phương trình f(x)=0 sau khi biến đổi, nhận xét phương trình này có nghiện t=a

Giải g(t)=0 ta được nghiệm t phụ thuộc vào x, thay t=a vào giải tìm x

* Chú ý: - Thông thường phương trình g(t)=0 giải tìm t đơn giản không

phức tạp như phương trình f(x)=0 ban đầu

- Phương pháp này giải được khi từ phương trình f(x)=0 sau vài bước biến

đổi ta nhận ra hằng số a

Cách ra đề:- Chọn hằng số làm ẩn cho phương trình mới.

- Lập phương trình nhận hằng số làm nghiệm (phương trình giải được

nghiệm theo x)

- Từ phương trình đã có đưa phương trình về phương trình theo ẩn x, đưa hằng số chọn làm nghiệm vào phương trình này, ta được một phương trình theo x

Mở rộng: Ta không dùng hằng số để làm ẩn trong phương trình mới mà

thay đổi hằng số theo x Lúc này độ phức tạp của bài toán mở rộng tùy ý bởi các hàm sơ cấp: hàm lũy thừa, hàm mũ, hàm logarit… vì ta cũng nhận ra được hàm ( )x là nghiệm của g(t)=0 như vai trò của a

* Ví dụ 1: [1] Giải phương trình sau:

Xét phương trình bậc hai: 2u2 (2log x5  x 1)u  x 1.log x 0 5  (2)

Từ (**) ta thấy (2) có nghiệm u=5x

Ta giải (2):   [ (2log x5  x 1)] 2 4.2 x 1.log x 5

Giải (3) và (4) kết hợp với điều kiện x>1 ta tìm được x.

Cách ra đề:

- Chọn u =5x làm nghiệm của phương trình (*)

- Xây dựng phương trình (*) thành phương trình bậc hai theo u với

- Từ (*) thay u=5x, biến đổi sơ cấp giữa các hàm theo biến x có trong phương trình ta được phương trình ban đầu (1)

- Tùy vào mức độ khó dễ của bài toán mà trong phương trình bậc hai theo u ta chọn các nghiệm u1, u2 là các hằng số ,hàm số theo x Sau khi giải ta được

x x

* Chú ý: Phương pháp này khác với phương pháp đặt ẩn phụ vì khi đặt ẩn

phụ ta phải tìm điều kiện của ẩn mới cho phương trình mới tồn tại Ở đây ta xét phương trình nhận hằng số (hàm số) làm nghiệm

* Ví dụ 2: [1] Giải phương trình sau: 42x 23x 1  2x 3   16 0 (1)

Giải:

Đặt t=2x >0

(1) trở thành t42t32.4t 4 2  (*) 0

Ta xét phương trình bậc hai có dạng u2 2t.u t 4 2t3  (2)0

Từ (*) ta suy ra phương trình (2) có nghiệm u=4

Giải (2):    ( t)2t4 2t3 t (t 1)2  2 0

Phương trình (2)có 2nghiệm:u t t(t 1) t    22t và u t t(t 1)   t2 Khi đó ta có:

2 2

 Nhận xét: - Với cách giải này thay vì giải phương trình bậc bốn ta đưa

về việc giải phương trình bậc hai đã biết trước một nghiệm Lúc ngày ta chọn nghiệm đã biết làm ẩn của phương trình mới Bài toán này giải quyết được vì phương trình bậc hai có là số chính phương

* Ví dụ 3: [2] Giải phương trình sau: x2 x 5 5  (1)

Giải:

Ta có (1)

2 2

Từ (*) ta suy ra phương trình (4) có nghiệm u=5

- Cách giải trên đây đã thay đổi vai trò giữa ẩn số và hằng số.Ẩn

x chuyển thành vai trò của tham số,còn hằng số 5 đươc xem là ẩn mới trong phương trình bậc 2 theo u,nhờ việc chuyển này mà thay vì ggiải phương trình bậc 4 theo x,ta chỉ cần giải phương trình bậc 2 theo u,phương trình này

ta lại biết được 1 nghiệm

- Phương trình bậc 2 theo u có  là một số chính phương nên việc tìmu dễ dàng hơn

 Tổng quát: Ta có thể nhận dạng phương trình f (x)2  f(x) a a  với điều kiện f(x) 0 và a=const tùy ý Khi đó ta có thể thay f(x) bởi các

hàm sơ cấp như hàm lũy thừa,hàm mũ,hàm logarit…,nhưng khi giải cần phảiđặt điều kiện.Chẳng hạn như :

Với f(x)=3x thì ta có phương trình 32x  3xa a

Với f(x)=log5x thì ta có phương trình log x25  log x a a5  

* Ví dụ 4: [3] Giải phương trình sau: (2x 1  1) x 1 2  x  2 0 (1)

Giải: Điều kiện : x 1

Ta có (1)  2x 1 x 1  x 1 2  x 2 0

 2 x 1 (2x   x  x 1)2 4 0  

 22 (2x x 1)2 2 x 1 0  x   (*)

Xét phương trình bậc hai dạng  u2  (2x  x 1)u 2 x 1 0  x   (2)

Từ (*) ta thấy u=2 la nghiệm của (2)

6x

 Tổng quát: - Cách giải này không giải quyết cho lớp bài tập nào cụ thể,

mà trong quá trình biến đổi, ta khéo léo nhìn ra hằng số nào đó trong phươngtrình là nghiệm.Từ đó ta chuyển phương trình đã cho có bậc cao hơn hay phức tạp hơn về các dạng phương trình đơn giản quen thuộc đã biết cách giải, và điều quan trọng ở đây là ta đã biết trước một nghiệm của nó

- Vì không phải tất cả các phương trình sau khi chuyển về một phương trình mới là giải được nên phương pháp này còn hạn chế,chẳng hạn như: khi chuyển về ta được  không phải là một số chính phương,khi

đó gặp khó khăn và không thể giải được

 Mở rộng: Vấn đề đây ra ở đây là ta chọn hằng số dể làm ẩn nên nếu ta

thay các hằng số đó bằng hàm f(x) hoặc lầ một tham số thì giải như thế nào?

Để trả lời vấn đề này ta xét ví dụ sau:

* Giải phương trình x3x2  x (1 m)  3 (m2 2m)x m(x 2 x )4 (1)

Giải: (1)  mx4 x3(1 m)x 2 (1 m) x (1 m) 2   3 0

 (1 m) 3x(1 m) 2 x (1 m) mx2   4 x4  x4 x30  (1 m) 3x(1 m) 2(x4  x )(1 m) x2   4 x3 (*)0 Xét phương trình : u3 xu2 (x4 x )u x2  4  x3  (2)0

Từ (*) ta suy ra u 1 m  là nghiệm của phương trình (2)

  (1)

Giải: Điều kiện x ≠ 0

Giả sử x0 là nghiệm của phương trình (1) Khi đó

0 0

68 15 x

xx

0 0

2 17 17 2 x

xx





2 3

0 0

x

xx

4 0 2 0

17x

*Ví dụ 7: [4] Giải phương trình sau

log x log x 5log 8 25log 222  2  x  22 (1)

Giải: Điều kiện: 0 < x ≠ 1

Đặt = t Ta có

x x x

1log 2

t3log 8

tx

 là nghiệm của phương trình (1)

 Nhận xét:: Trong phương trình chứa tham số chúng ta thường giải

phương trình ứng với một giá trị nào đó của tham số Như vậy trong phương trình (3) tham số chính là số 5

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:

Giải các phương trình sau:

1) x3 137 187703

xx

  3) x (17 x) 17

2) x2 13 1684 2

  4) lg x lg x 2lg x 9lgx 9 04  3  2   

Chương II

 *Phương pháp điều kiện cần và đủ*

 Phương pháp này khá hiệu quả khi giải phương trình,giải quuyết được một lớp các bài toán

I Phương pháp chung :

*Khi đó ta thực hiện các bước sau :

Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa.

Bước 2: Tìm điều kiện cần cho hệ dựa trên đánh giá hoặc tính đối xứng

Phương pháp :Sử dụng tính duy nhất để tìm nghiệm của bài toán

Điều kiện cần: - Giả sử phương trình có nghiệm xo

- Tìm nghiệm yo phụ thuộc vào xo

- Vì phương trình có nghiệm duy nhất nên xo=yo

Từ đó suy ra nghiệm xo

- Thay xo vào phương trình ta tìm được m

Điều kiện đủ : - Thay m vào phương trình đã cho rồi giải phương trình

*Ví dụ 1 :[1] Tìm m để phương trình nghiệm duy nhất

Vậy m = 4 pt có nghiệm duy nhất là x = 1

Nhận xét : Bài này ta tìm nghiệm yo của pt thông qua việc thay đổi vai trò của x và 2-x

* Ví dụ 2:[2] Tìm a để phương trình sau có nghiệm duy nhất

Khi đó (– 1 –xo ) là nghiệm của (1)

Vì (1) có nghiệm duy nhất nên

Vậy a = 1 là điều kiện cần để pt có nghiệm duy nhất

Điều kiện đủ: Với a = 1 phương trình (1) có dạng

*Phương pháp biến thiên hằng số*Chú ý :

*Phương pháp biến thiên hằng số* Trong phần điều kiện cần ta có thể sử dụng a) BĐT Bunhiacopxki

log ( 4 x3 2   x 5) 1 Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:

 4 x  x 5 3 2   log3 2( 4 x  x 5) 1 

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:

4 x  x 5  1

x2



Vậy x 1

2

 là nghiệm duy nhất

* Bài toán trên còn có thể giải bằng phương pháp đồ thị

Viết lại (1) dưới dạng: 4 x  x 5 log  3 2a với a > 0 (2)

Phương trình (1) có nghiệm duy nhất phương trình (2) có nghiệm duy nhất.

Đường thẳng y log 3 2a cắt đồ thị hàm số y 4 x  x 5 tại đúng một điểm

Từ đó điều kiện là a=1

* Ví dụ 3: [2] Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất.

12



Suy ra (m2 4m x o) cũng là nghiệm của (1)

Vậy (1) có nghiệm duy nhất khi xo=m2 4m x o

 

 

9x832415x8

1x2

Tổng quát : Bài toán tổng quát cho lớp các bài toán gồm một và hai tham số

để phương trình có nghiệm duy nhất

*Phương pháp biến thiên hằng số*Tìm a,b,c để phương trình sau có nghiệm duy nhất.

nếunếunếu

Để phương trình có nghiệm duy nhất thì xo = a+b-xo x = o a b

2



 Thay vào (1) suy ra : c a b 

Điều kiện đủ : Giả sử c a b  , khi đó : (1)

 Nếu a = b thì (2)  (x a) 2  0 x a là nghiệm của phương trình

Vậy với c = 0,a = b thì phương trình có nghiệm duy nhất

Bài tập đề nghị :

* Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất :

a) mx(2 x) x 1  

b) x m 23m x m m   2 3m 2 c) x(4 x) m   x 2

d) x m 2  x 1 m 1   e) mx2 2(m 1)x 2 mx 2   

f) x 21 2m 1

g) 2mx(2 x) 3x 1 m

 Nhận xét chung: Đối với dạng này ta sử dụng điều kiện cần là tính duy

nhất nghiệm của phương trình,tìm được giá trị của tham số m.Và điều kiện

đủ khi thay m vào phương trình ta tìm được x Sau đó kết luận bài toán

 Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm

Điều kiện đủ : Với m = 3 thì (3) trở thành

x2 2x 1 x 1    x +1 = x +1 (x ≥ 0)

 0 = 0 luôn đúng

Vậy với m = 3 thì pt nghiệm đúng x ≥ 0

* Ví dụ 2: [3] Tìm a,b để pt sau nghiệm đúng x :

a x2 1 x2bx 1 0  (4)

Giải:

Điều kiện cần: Giả sử (4) có nghiệm x

x = 0 là nghiệm của (4) Khi đó

Vậy a = 1 và b = 0 phương trình nghiệm đúng x

 Nhận xét: Qua 2 ví dụ trên,với những bài toán tìm điều kiện của một hay

nhiều tham số sẽ thực hiện theo tuần tự:

- Chọn nghiệm xo thuộc (a,b) sao cho việc tính giá trị của tham số diễn ra một cách đơn giản (nếu 0 thuộc (a,b) thì nên chọn xo = 0 )

- Thay xo vào pt tìm giá trị của tham số thứ nhất

- Thay giá trị tham số thứ nhất vào pt tìm giá trị tham số tiếp theo

- Thay giá trị của các tham số vào pt rồi giải pt không có tham số tìm khoảng nghiệm của x rồi kết luận

* Ví dụ 3:[1] Tìm m để phương trình sau nghiệm đúng ∀x > 0 :

* Ví dụ 4: [3] Tìm m để phương trình sau nghiệm đúng với mọi x2

lg(x m) 2 2(x 4) (1)

Giải : Điều kiện x m 

Để phương trình (1) nghiệm đúng  x 2 ta phải có x 2

Biến đổi phương trình (1) về dạng : 2lg x m 2(x 4)

Đều kiện đủ:

Với m4 ta cĩ :  x 4 x 4     x+4 = x+4 luôn đúng x 2

Vậy với m4phương trình đã cho nghiệm đúng x 2

 Nhận xét : Bài tốn này cĩ thể phát biểu dưới dạng “Tìm m để phương

trình x m (x 4) tương đương với bất phương trình f(x) 0;(f(x) 0)  ,trong đĩ nghiệm của bất phương trình là x2

Bài 2: Cho phương trình : log (mx2 3 5mx2  6 x) log (3  2  x 1)

a)Giải phương trình với m=0

b)Tìm các giá trị của x nghiệm đúng phương trình trên với m 0 

Bài 3: Cho phương trình : 2loga 2 2 (4 7 2x) loga x 2 2 2 (4 3x)

Tìm các giá trị của x nghiệm đúng phương trình trên với a 0 



Tìm các giá trị của x nghiệm đúng phương trình trên với a 0 

Bài 5: Tìm m để phương trình sau cĩ nghiệm đúng ∀x > 0

 Dạng 3: Tìm m để phương trình f(x)=0 tương đương với một bất phương trình nào đó.

Phương pháp : Để giải đươc dạng này ta thực hiện hai bước sau :

Bước 1: Giải bất phương trình tìm khoảng nghiệm K của bất phương trình Bước 2: Bài toán đã cho được qui về “Tìm m để phương trình đã cho

Điều kiện cần : Giả sử (1) và (2) tương đương

Suy ra x = 1 là nghiệm của pt (1)

Điều kiện đủ : Với m = 1 khi đó (1) có dạng

Vậy m=1 thì (1) tương đương với (2)

 Nhận xét:

- Đối với bài toán tìm m để 2 phương trình f(x,m) =0; g(x)=0 tương đương thì ta giải theo trình tự sau

- Giải tìm tập nghiệm S2 của phương trình (2)

- Khi đó bài toán quy về tìm m dể phương trình f(x,m)=0 nhận S2 làm tập nghiệm

- Từ ví dụ 3 và 4 ta nhận thấy đối với phương trình chứa căn thức có tồn những phương trình mà tập nghiệm là một khoảng,do đó 1 phương trình chứa căn thức có thể tương đương với một bất phươngtrình, (hoặc có thể được phát biểu dưới dạng nghiệm đúng với mọi

x  D) Ta xét ví dụ sau :

Điều kiện đủ:

 Với mọi m = 1, phương trình có dạng:

x 1 2 x 2    x 1 2 x 2 =2    x 2 1    x 2 1 = 2 

mãn điều kiện bài toán

Vậy m = ±1 thi (1) và (2) tương đương

 Nhận xét:

Với những bài toán tìn điều kiện tham số m để phương trình có nghiệm ∀x ∈ D ta có thể viết thành bài toán khác.

-Tìm m để phương trình đã cho tương đương với bất phương trình nào đó, trong đó bất phương trình có nghiệm là ∀x ∈ D

* Xét ví dụ: [3] Tìm a,b để phương trình 2sinx 1 2sinx a b    có đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc [0,2)

Giải :

Đặt t = 2sinx , điều kiện t 2,

Khi đó phương trình (1) có dạng : t 1 t a b    (2)

Để (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc [0,2) khi và chỉ khi (2)

có nghiệm duy nhất thuộc [-2,2]

 Nhận xét : Bài toán đã cho được qui về dạng tổng quát ở ví dụ trên.

Trong bài toán này nếu ta dùng phương pháp đồ thị để giải thì chúng

ta phải chia khoảng ra để xét,hơi phức tạp.Đặc biệt nếu tham số là một biểu thức có bậc cao thì sẻ găp khó khăn trong việc vẽ đồ thị cuar hàm y = f(m) Mặc khác nếu ta dùng phương pháp đơn điệu của hàm số thì ta gặp khó khăn trong việc tính đạo hàm

Chính vì vậy,mà phương pháp điều kiện cần và đủ tỏ ra rất hiệu quả khigiải quyết được lớp bài toán này

Nhưng phương pháp này vẫn còn hạn chế khi ta đi tìm nghiệm duy nhất yo=f(xo,m).Và phương pháp này chỉ giải quyết được một lớp bài toán

Mở rộng : Nảy sinh ra bài toán “Tìm điều kiện của a,b,c để phương trình