BÀI TẬP CHƯƠNG PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN GV: Lê Nguyễn Kim Hằng 1/ Tính các đạo hàm riêng của các hàm số sau a... Tại những điểm nào thì gradu vuông góc với trục Oz?. gradu triệt
Trang 1BÀI TẬP CHƯƠNG PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
GV: Lê Nguyễn Kim Hằng 1/ Tính các đạo hàm riêng của các hàm số sau
a z arcsin x
y
⎛ ⎞
⎝ ⎠
ln
c z arctg x y
⎛ + ⎞
−
d 2os
3
y
x
c t
t
= +
∫
2/ Tính các giới hạn sau
a
1
2
lim
1
x
y
x
→
→
−
b
2
3
lim 1
x
x
y
y x
→∞
→
⎛ + ⎞
⎝ ⎠
c
3
0 0
lim
x y
x y
→
d
3 lim
x y
→∞
→∝
+ +
3/ Chứng minh rằng hàm số
1
u
=
+ + thỏa phương trình
∂ +∂ +∂ =
∂ ∂ ∂ (phương trình Laplace)
4/ Cho
cos os cos sin sin
θ
=
⎧
⎪ =
⎨
⎪ =
⎩
Hãy tính định thức
r
r
r
5/ Tính vi phân toàn phần cấp 1 và cấp 2 của hàm số
a z = x y3 2+9y4− 5
b z=ln(x2+3y)
6/ Tính gần đúng các giá trị sau
a ln 0,99( 4+1,034− 1)
b 3,022+4,032
c ( )2,98
2,03
d sin 29 os620c 0
Trang 27/ Chứng minh rằng hàm số y 2 2
x
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟− −
⎝ ⎠ thỏa mãn phương trình
8/ Tính dz
dt biết z ln sin x
y
⎝ ⎠, trong đó
9/ Tính z, z
∂ ∂ biết
2ln
z=u v, trong đó 2 2, xy
u=x −y v=e
10/ Chứng minh rằng hàm số 2 2 2
u= x +y +z có d u2 ≥ với mọi x, y, z không 0 đồng thời bằng không
11/ Giả sử z là hàm theo biến x, y xác định bởi phương trình
x y+ y z+ z x= Tính z, z
∂ ∂ 12/ Tìm cực trị của các hàm số sau
a z xy 50 20 (x 0,y 0)
= + + > >
b z= x3+15xy+ y3
c z= x2+ y2−2lnx−18lny
z = x +xy −x y− y
e ( ) ( 2 2)
z= x +y e− +
f
4
13/ Tìm cực trị có điều kiện tương ứng sau
z = x + y với 1
2 3
+ =
b z = +x 2y với x2+ y2 = 5
c u x y z= + + với 1 1 1 1
x+ + = y z
d u= +x 2y+3z với điều kiện x2+ y2+z2 =14
14/ Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau
z = x + y −xy+ + trên miền D giới hạn bởi các đường thẳng x y
0, 0
x= y= và x+ = − y 3
b z= x2+2y2− trên hình tròn x x2+ y2 ≤ 1
Trang 3c z = x3+ y3−3xy trên miền D={ (x y, ) 0≤ ≤ − ≤ ≤x 2, 1 y 2}
d z = x2+ y2−12x+16y trên hình tròn x2+ y2 ≤ 25
15/ Tìm trên elip x2+9y2 = các điểm gần nhất và xa nhất đối với đường thẳng 9
4x+9y =16
16/ Tìm đạo hàm theo hướng ABJJJG của hàm 2 3
u= xy z tại điểm A(3,2,1) với
(5,4,2)
17/ Tìm đạo hàm của z=ln(x2+y2) tại điểm M(3,4) theo hướng gradient của hàm z tại điểm ấy
18/ Tìm độ lớn và hướng của gradu với u= x3+ y3+z3−3xyz tại điểm A(2,1,1) Tại
những điểm nào thì gradu vuông góc với trục Oz? gradu triệt tiêu?
19/ Tính các tích phân sau:
a ( 2 2)
1 y x 2
≤ ≤
≤ ≤
+
∫∫
b
c
D
x ydxdy
∫∫ với D là miền giới hạn bởi các đường x= y2, x= − 2 y2
d ln
D
∫∫ với D là miền giới hạn bởi các đường cong xy=1, y= x x, = 2
e 2 2
1
D
dxdy
x +y +
∫∫ với D là nửa hình tròn x2+y2 ≤ nằm phía trên trục hoành 1
f (3 )
D
x+y dxdy
3
20/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong x2−4x+ y2 = , 0
x + y − y=
21/ Tính diện tích phần mặt paraboloit y= −1 x2− và z2 x2+z2 = 1
22/ Tính thể tích phần khối cầu 2 2 2
8
x +y +z = bên trong mặt trụ 2 2
4
x +y =
3 0
y