tìm kiếm giải pháp thực hiện việc rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua khai thác một bài toán trong dạy học giải bài tập

GIẢI PHÁP THỰC HIỆN VIỆC RÈN LUYỆN MỘT SỐ THAO TÁC TƯ DUY CHO HỌC SINH THPT THÔNG QUA KHAI THÁC MỘT BÀI TOÁN TRONG DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP .... Vì vậy vấn đề được đặt ra cho tác giả của luậ

LỜI CÁM ƠN

Trước tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Dũng, người đã tận tình, chu đáo, động viên và hướng dẫn em thực hiện luận văn

Em xin gửi lời cám ơn tới toàn thể các cán bộ phòng Sau Đại học, các thầy

cô khoa Toán trường Đại học Tây Bắc cùng tất cả các thầy cô tham gia giảng dạy đã giúp đỡ, trang bị cho em những kiến thức quan trọng, quý báu trong suốt quá trình học tập của mình và giúp đỡ em hoàn thành luận văn của mình

Em cũng xin cảm ơn các thầy cô giáo trong Ban giám hiệu, tổ Toán trường THPT Hà Trung – Thanh Hóa, đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho em trong quá trình tiến hành thực nghiệm sư phạm

Cuối cùng, em xin gửi lời cám ơn tới gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ trong suốt quá trình em học tập và thực hiện luận văn

Em xin chân thành cảm ơn!

Sơn La, ngày 18 tháng 9 năm 2014

Tác giả

Nguyễn Thành Long

QUY ƢỚC VỀ CÁC CHỮ VIẾT TẮT SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN

MỤC LỤC

CHƯƠNG I GIỚI THIỆU CHUNG VỀ ĐỀ TÀI 1

1.1 Vấn đề nghiên cứu 1

1.2 Nhu cầu cần nghiên cứu 3

1.3 Đề tài nghiên cứu 3

1.4 Mục đích, nhiệm vụ, đối tượng và phương pháp nghiên cứu 4

1.4.1 Mục đích nghiên cứu 4

1.4.2 Nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu 4

1.4.3 Đối tượng nghiên cứu 4

1.5 Giả thuyết khoa học, ý nghĩa của việc nghiên cứu 4

1.5.1 Giả thuyết khoa học 4

1.5.2 Ý nghĩa của việc nghiên cứu 5

1.6 Cấu trúc luận văn 5

CHƯƠNG II CỞ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 7

2.1 Nhu cầu và định hướng đổi mới phương pháp dạy học 7

2.2 Cơ sở lý luận của vấn đề nghiên cứu 8

2.2.1 Tư duy và một số thao tác tư duy phổ biến 8

2.2.2 Lý luận về dạy học giải bài tập toán 18

2.3 Cơ sở thực tiễn 23

2.3.1 Thực trạng về khả năng tư duy của học sinh THPT trong giải bài tập toán 23 2.3.2 Thực trạng về việc rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh THPT trong giải bài tập toán của giáo viên 23

2.4 Kết luận chương II 24

CHƯƠNG III GIẢI PHÁP THỰC HIỆN VIỆC RÈN LUYỆN MỘT SỐ THAO TÁC TƯ DUY CHO HỌC SINH THPT THÔNG QUA KHAI THÁC MỘT BÀI TOÁN TRONG DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP 25

3.1 Nhóm biện pháp thứ nhất: Rèn luyện một số thao tác tư duy cho học sinh thông qua việc đánh giá lời giải và khai thác giả thiết, kết luận của bài toán 25

3.1.1 Biện pháp thứ nhất: Đánh giá việc sử dụng giả thiết sau mỗi phép chứng minh 25 3.1.2 Biện pháp thứ hai: Giải bằng nhiều cách cho một bài toán 30 3.1.3 Biện pháp thứ ba: Khai thác bài toán theo hướng cố định giả thiết và thay đổi kết luận nhằm rèn luyện một số thao tác tư duy cho học sinh 37 3.1.4 Biện pháp thứ tư: Khai thác bài toán theo hướng cố định kết luận thay đổi giả thiết nhằm rèn luyện một số thao tác tư duy cho học sinh 47 3.1.5 Biện pháp thứ năm: Khai thác bài toán theo hướng thay đổi cả giả thiết và kết luận để đến một bài toán mới nhằm rèn luyện một số thao tác tư duy cho học sinh 56

3.2 Nhóm giải pháp thứ hai: Rèn luyện một số thao tác tư duy cho học sinh theo hướng kết hợp bài toán với một số bài toán có liên quan trước đó mà học sinh đã giải 64

3.2.1 Biện pháp thứ nhất: Xét xem bài toán vừa giải có là trường hợp riêng của một bài toán đã biết hay không? nhằm rèn luyện một số thao tác tư duy cho học sinh 64 3.2.2 Biện pháp thứ hai: Kết hợp bài toán vừa giải với một số bài toán có liên quan trước đó mà học sinh đã giải để khái quát hóa thành một bài toán tổng quát nhằm rèn luyện một số thao tác tư duy cho học sinh 75

3.3 Nhóm biện pháp thứ ba: Rèn luyện một số tác tư duy cho học sinh thông qua việc làm “dễ hóa” hoặc làm “khó hóa” bài toán cho phù hợp với trình độ của học sinh 93

3.3.1 Biện pháp thứ nhất: Thay đổi cách phát biểu bài toán hoặc đưa thêm các câu hỏi trung gian có tính vấn đáp gợi mở, để làm “dễ hóa” bài toán cho phù hợp với các đối tượng học sinh yếu kém ở vùng sâu, vùng xa nhằm rèn luyện một

số thao tác tư duy cho học sinh 93 3.1.2 Biện pháp thứ hai: Thay đổi cách phát biểu bài toán hoặc cắt bớt một số câu hỏi trung gian để làm “khó hóa” bài toán cho phù hợp với các đối tượng học sinh ở các lớp chuyên chọn nhằm rèn luyện một số thao tác tư duy cho học sinh 98

3.4 Kết luận chương III 102

CHƯƠNG IV THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 104

4.1 Mục đích thực nghiệm 104

4.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm 104

4.2.1 Nội dung thực nghiệm 104

4.2.2 Tổ chức thực nghiệm 108

4.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm 109

4.3.1 Đánh giá định tính 109

4.3.2 Đánh giá định lượng 110

4.4 Kết luận chương IV 112

KẾT LUẬN CỦA LUẬN VĂN 113

TÀI LIỆU CHÍNH DÙNG ĐỂ THAM KHẢO 114

CHƯƠNG I GIỚI THIỆU CHUNG VỀ ĐỀ TÀI 1.1 Vấn đề nghiên cứu

Trong thư gửi các bạn trẻ yêu Toán, ngày 10 tháng 10 năm 1967 Cố thủ tướng Phạm Văn Đồng đã viết: “ Trong các môn khoa học và kỹ thuật, Toán học giữ một vai trò nổi bật Nó các tác dụng lớn đối với nhiều ngành khoa học khác, đối với kỹ thuật, đối với sản xuất và chiến đấu Nó còn là môn thể thao của trí tuệ, giúp chúng ta nhiều trong việc phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp học tập, phương pháp giải quyết các vấn đề, giúp chúng ta rèn trí thông minh sáng tạo ” Hướng đổi mới trong việc dạy toán ở trường phổ thông là phải thay thế lối truyền thụ tri thức một chiều bởi dạy cho học sinh kiến tạo kiến thức, dạy cách suy nghĩ giải quyết vấn đề, phát triển tư duy Định hướng đó nhằm đáp ứng được yêu cầu ngày càng cao của xã hội Nhiệm vụ trọng tâm của ngành Giáo dục là phải đào tạo ra những con người năng động, sáng tạo, có khả năng giải quyết vấn đề

Điều này đã được Luật Giáo dục Việt Nam, năm 2005 quy định: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của người học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh”

Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh trong dạy học giải Toán có vai trò quan trọng trong việc phát triển khả năng tư duy của học sinh, để từ đó có khả năng thích ứng khi đứng trước một vấn đề cần giải quyết Học sinh cũng thấy được mỗi lời giải bài toán như là một quá trình suy luận, tư duy mà phương pháp giải không chỉ phụ thuộc vào đặc điểm của bài toán mà còn phụ thuộc tố chất tâm lý của bản thân người giải Mối liên hệ, dấu hiệu trong bài toán chỉ có thể được phát hiện thông qua quá trình phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, so sánh, Đồng thời, qua việc phát triển tư duy cho học sinh trong dạy học giải Toán làm cho học sinh biết được tính thực tiễn của Toán học: Xuất phát từ thực tiễn và quay về phục vụ thực tiễn Nguồn gốc sức mạnh của Toán học là ở tính chất trừu tượng cao độ của nó Nhờ

trừu tượng hoá mà Toán học đi sâu vào bản chất của nhiều sự vật, hiện tượng và có ứng dụng rộng rãi Nhờ có khái quát hoá, xét tương tự mà khả năng suy đoán và tưởng tượng của học sinh được phát triển, và có những suy đoán có thể rất táo bạo,

có căn cứ dựa trên những quy tắc, kinh nghiệm qua việc rèn luyện các thao tác tư duy Cũng qua thao tác khái quát hoá và trừ tượng hoá mà tư duy độc lập, tư duy sáng tạo, tư duy phê phán của học sinh cũng được hình thành và phát triển Bởi qua việc phát triển tư duy đó học sinh tự mình phát hiện vấn đề, tự mình xác định được phương hướng, tìm ra cách giải quyết và cũng tự mình kiểm tra, hoàn thiện kết quả đạt được của bản thân cũng như những ý nghĩ và tư tưởng của người khác Một mặt các em cũng phát hiện ra được những vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới

Ở trường phổ thông dạy Toán là dạy hoạt động toán học, trong đó hoạt động chủ yếu là hoạt động giải toán Bài tập toán mang nhiều chức năng: Chức năng giáo dục, chức năng giáo dưỡng, chức năng phát triển tư duy và chức năng kiểm tra đánh giá Dạy học giải bài tập toán được xem là một trong những tình huống điển hình trong dạy học môn Toán Bài tập toán ở trường phổ thông là hết sức phong phú, đa dạng

Có những bài toán có thuật giải, có bài toán chưa có thuật giải Đối với những bài toán chưa có thuật giải, giáo viên cần gợi ý và hướng dẫn học sinh như thế nào để

họ có thể tự mình tìm thấy lời giải của bài toán là một vấn đề hết sức quan trọng; để mỗi tiết dạy học giải bài tập không chỉ là tiết chữa bài tập Muốn làm được như

vậy, việc rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy đóng một vai trò quan trọng nếu không muốn nói là cơ bản trong dạy học giải bài tập toán

Trong nhà trường phổ thông, tri thức Toán học trang bị cho học sinh không chỉ đơn giản bao gồm các tri thức khoa học như khái niệm, định lí, qui tắc mà còn

cả tri thức phương pháp như kĩ năng, phương pháp giải toán Mà trong đó tri thức phương pháp là quan trọng nhất Dạy học giải bài tập toán có vai trò đặc biệt trong dạy học toán ở trường phổ thông Bài tập toán là phương tiện có hiệu quả không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, hình thành kỹ năng,

kỹ xảo và rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh Có nhiều cách thức, có nhiều

con đường để rèn luyện thao tác tư duy cho học sinh trong dạy học toán nói chung

và dạy học giải bài tập nói riêng Song, việc rèn luyện các thao tác tư duy của học sinh thông qua việc khai thác một bài toán chưa được quan tâm một cách đúng mức Giáo viên thường chỉ nghĩ đến việc chữa bài tập và cung cấp lời giải của bài

tập đó cho học sinh trong dạy học giải bài tập toán Vì vậy vấn đề được đặt ra cho

tác giả của luận văn là: Tìm kiếm giải pháp thực hiện việc rèn luyện các thao tác

tư duy cho học sinh thông qua khai thác một bài toán trong dạy học giải bài tập

1.2 Nhu cầu cần nghiên cứu

Chương trình Toán học ở trường trung học phổ thông có nhiều tiềm năng thuận lợi cho việc rèn luyện các thao tác tư duy Bài tập Toán có nhiều dạng thuộc

về nhiều chủ đề kiến thức khác nhau, khi giải đòi hỏi người học sinh phải biết định hướng, biết sử dụng một cách tổng hợp nhiều kiến thức có liên quan Song để làm

được việc đó học sinh phải thành thạo một số thao tác tư duy cơ bản Vì vậy việc rèn luyện cho học sinh các thao tác duy trong dạy học toán chung và dạy giải bài tập nói riêng là một nhu cầu thực tiễn Mặc dù đã có nhiều công trình nghiên cứu việc rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh, nhưng việc rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua khai thác một bài toán trong dạy học giải bài tập chưa được quan tâm một cách đúng mức vì nhiều lý do khác nhau Thông thường dạy học giải

bài tập sẽ kết thúc khi học sinh có được lời giải bài toán Giáo viên ít dành thời gian cho việc khai thác bài toán sau khi đã có một lời giải Vì vậy nghiên cứu việc khai thác một bài toán là vấn đề cần được tiếp tục nghiên cứu cả về phương diện lý luận

và triển khai trong thực tiễn dạy học

1.3 Đề tài nghiên cứu

Từ những lý do trên đây, tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu của luận văn

là: “Rèn luyện các thao tác tư duy thông qua khai thác một bài toán trong dạy

học giải bài tập toán ở trường trung học phổ thông”

1.4 Mục đích, nhiệm vụ, đối tượng và phương pháp nghiên cứu

1.4.1 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu một số vấn đề lý luận và thực tiễn về việc rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy thông qua khai thác một bài toán trong dạy học giải bài tập Toán

ở trường THPT, nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán

1.4.2 Nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lý luận về tư duy và các thao tác tư duy

- Nghiên cứu lý luận về dạy học giải bài tập toán

- Nghiên cứu thực trạng việc rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh trong trong dạy học giải bài tập toán nói chung và trong việc khai thác một bài toán nói riêng

- Đề xuất giải pháp thực hiện rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua việc khai thác một bài toán

- Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm tra, đánh giá tính khả thi và hiệu quả của giải pháp đã đề ra trong luận văn

1.4.3 Đối tượng nghiên cứu

Dạy học và giải bài tập môn Toán ở trường THPT

1.5 Giả thuyết khoa học, ý nghĩa của việc nghiên cứu

1.5.1 Giả thuyết khoa học

Nếu sự dụng các biện pháp được nêu trong luận văn một cách thường xuyên

và hợp lý trong việc dạy học toán nói chung và dạy học giải bài tập toán nói riêng, thì khả năng tư duy của học sinh sẽ được cải thiện và nâng cao

1.5.2 Ý nghĩa của việc nghiên cứu

- Góp phần nghiên cứu lý luận về việc rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh trong dạy học giải bài tập toán nói chung và trong khai thác một bài toán nói riêng

- Luận văn đã đề xuất được một giải pháp gồm ba nhóm biện pháp với chín biện pháp cụ thể nhằm thực hiện việc rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua việc khai thác một bài toán là một vấn đề đang còn ít được quan tâm trong dạy và học toán ở các trường phổ thông hiện nay Vì thế giải pháp được đề xuất có một ý nghĩa và giá trị thực tiễn nhất định

- Luận văn có thể được sử dụng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên dạy môn Toán ở trường THPT và sinh viên năm cuối ở các trường Đại học sư phạm

1.6 Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm 4 chương:

Chương I: Giới thiệu chung về đề tài

Nội dung chủ yếu của chương trình bày vấn đề nghiên cứu, mục đính nghiên cứu, nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu

Chương II: Cở sở lý luận và thực tiễn

Nội dung chủ yếu của chương trình bày những vấn đề về lý luận và thực tiễn liên quan đến việc rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua khai thác một bài toán

Chương III: Giải pháp thực hiện việc rèn luyện một số thao tác tư duy cho học sinh THPT thông qua khai thác một bài toán trong dạy học giải bài tập

Nội dung chủ yếu của chương: Đề xuất giải pháp có tính chất tổng thể nhằm thực hiện việc rèn luyện một số thao tác tư duy cho học sinh THPT thông qua khai thác một bài toán trong dạy học giải bài tập

Chương IV: Thực nghiệm sư phạm

Nội dung chủ yếu của chương trình bày mục đích nội dung và kết quả thực nghiệm sư phạm và những đánh giá về tính hiệu quả và khả thi của những biện pháp

đã nêu trong luận văn

CHƯƠNG II CỞ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 2.1 Nhu cầu và định hướng đổi mới phương pháp dạy học

Trong văn kiện của Đảng và Nhà nước đã từng đề cập tới vấn đề đổi mới PPDH: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập của học sinh ” (Luật Giáo dục 2005)

Trong công cuộc hội nhập và đổi mới điều đầu tiên đó là hội nhập về tri thức Trong công cuộc hội nhập về tri thức ấy, lĩnh vực phải hội nhập trước nhất và quyết liệt nhất chính là lĩnh vực Giáo dục

Trước những yêu cầu và nhu cầu của sự phát triển xã hội, kinh tế đòi hỏi phải nâng cao chất lượng giáo dục Nền giáo dục quốc dân phải tạo ra một thế hệ mới những công dân có năng lực lao động một cách tự chủ, tích cực và sáng tạo Điều này đặt ra những yêu cầu mới đối với hệ thống giáo dục, đòi hỏi có những thay đổi, điều chỉnh về nội dung dạy học, phương pháp dạy học và đương nhiên cả mục tiêu dạy học một cách phù hợp

Môn Toán có vai trò quan trọng trong việc thực hiện các mục tiêu giáo dục phổ thông Môn Toán góp phần hình thành và phát triển nhân cách Song song với việc tiếp thu tri thức và rèn luyện kĩ năng toán học, môn Toán còn góp phần phát triển các năng lực trí tuệ chung, rèn luyện một số đức tính và phẩm chất cần thiết cho người lao động như: tính chính xác, khoa học, kỷ luật, sáng tạo…Ngoài ra, môn Toán còn là công cụ giúp học sinh học tập các môn học khác trong nhà trường phổ thông, tạo cơ sở để học sinh học tiếp đại học, cao đẳng, trung cấp chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động

Mục tiêu dạy học không chỉ ở những kết quả cụ thể của quá trình học tập, ở những tri thức và kĩ năng bộ môn mà điều quan trọng hơn là ở bản thân việc học,

cách học, ở khả năng đảm nhiệm, tổ chức và thực hiện những quy trình học tập một cách có hiệu quả Như vậy, để học tập có hiệu quả thì hiểu lý thuyết thôi chưa đủ, người học cần vận dụng lý thuyết vào thực hành mà trước hết là vận dụng lý thuyết

vào giải toán Việc hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán không chỉ đơn thuần

là dạy giải một bài toán cụ thể mà quan trọng là thông qua bài toán đó GV dạy cho học sinh chiến lược để giải toán Qua quá trình hướng dẫn học sinh tìm lời giải

bài toán cụ thể, GV cần cài đặt sẵn những tri thức phương pháp giải toán trong đó Dần dần học sinh lĩnh hội và rèn luyện phương pháp tìm lời giải cho một lớp các bài toán Cao hơn nữa học sinh tự mình giải quyết được các bài toán mới lạ

Nhu cầu và định hướng đổi mới phương pháp dạy học đòi hỏi giáo viên cần phải tìm tòi và khai thác các khả năng rèn luyện thao tác tư duy cho học sinh trong dạy học bài tập toán nói chung và trong dạy học giải bài tập nói riêng

2.2 Cơ sở lý luận của vấn đề nghiên cứu

2.2.1 Tƣ duy và một số thao tác tƣ duy phổ biến

a Khái niệm về tƣ duy

Quá trình hoạt động nhận thức của con người là một trong những hoạt động trọng tâm cơ bản nhất của con người, do đó nó cũng tuân theo cấu trúc tổng quát của một hoạt động nói chung Quá trình nhận thức được phản ánh hiện thực khách quan bởi con người, là quá trình tạo thành tri thức trong bộ óc con người về hiện thực khách quan Nhờ có nhận thức, con người mới có ý thức về thế giới; ý thức về

cơ bản là kết quả của quá trình nhận thức thế giới Nhờ đó, con người có thái độ đối với thế giới xung quanh, đặt ra mục đích và dựa vào đó mà hành động Nhận thức không phải một hành động tức thời, giản đơn, máy móc và thụ động mà là một quá trình biện chứng, tích cực, sáng tạo Quá trình nhận thức được diễn ra theo con đường từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng, rồi từ tư duy trừu tượng đến thực tiễn Đó là quá trình nhận thức đi từ hiện tượng đến bản chất, từ bản chất kém sâu sắc đến bản chất sâu sắc hơn Vì vậy: “trong lí luận nhận thức, cũng như trong tất cả lĩnh vực khác của khoa học, cần suy luận một cách biện chứng, nghĩa là đừng

giả định rằng nhận thức của chúng ta là bất di bất dịch và có sẵn, mà phải phân tích xem sự hiểu biết nãy sinh ra từ sự không hiểu biết như thế nào, sự hiểu biết không đầy đủ, chính xác trở thành đầy đủ hơn và chính xác hơn như thế nào”

Theo 21, tr.4: “Tư duy, sản phẩm cao nhất của cái vật chất được tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quan trong các khái niệm, phán đoán, lí luận Tư duy xuất hiện trong quá trình hoạt động sản xuất

xã hội của con người và bảo đảm phản ánh thực tại một cách gián tiếp, phát hiện những mối liên hệ hợp quy luật của thực tại tư duy chỉ tồn tại trong mối liên hệ không thể tách rời khỏi hoạt động lao động và lời nói, là hoạt động chỉ tiêu biểu cho

xã hội loài người Cho nên tư duy của con người được thực hiện trong mối liên hệ chặt chẽ nhất với lời nói, và những kết quả của tư duy được ghi nhận trong ngôn ngữ Tiêu biểu cho tư duy là những quá trình như trừu tượng hoá, phân tích và tổng hợp, việc nêu lên những vấn đề nhất định và tìm cách giải quyết chúng, việc đề xuất những giả thiết, những ý niệm Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào

đó Khả năng phản ánh thực tại một cách khái quát của tư duy được biểu hiện ở khả năng của con người có thể xây dựng những khái niệm chung, gắn liền với sự trình bày những quy luật tương ứng Khả năng phản ánh thực tại một cách gián tiếp của tư duy được biểu hiện ở khả năng suy lý, kết luận lôgíc, chứng minh của con người Khả năng này hết sức mở rộng khả năng nhận thức Xuất phát từ chỗ phân tích những sự kiện có thể tri giác được một cách trực tiếp, cho phép nhận thức được những gì không thể tri giác được nhờ các giác quan Những khái niệm và những hệ thống khái niệm (những lí luận khoa học) ghi lại (khái quát hoá) kinh nghiệm của loài người và là điểm xuất phát để tiếp tục nhận thức thực tại Tư duy con người được nghiên cứu trong những lĩnh vực khoa học khác nhau và bằng những phương pháp khác nhau”

Từ những điều đó, ta thấy rằng nhận thức cảm tính có vai trò quan trọng trong đời sống tâm lí của con người, nó cung cấp vật liệu cho các hoạt động tâm lí cao hơn Tuy nhiên trong thực tế biến đổi thì cuộc sống xã hội luôn đặt ra những vấn đề cấp bách và biến đổi khôn lường Do đó con người không thể giải quyết được nhiều vấn đề phức tạp đặt ra trong Toán học Muốn giải quyết các vấn đề như

vậy con người cần phải có nhận thức cao hơn, đó là nhận thức lí tính mà ta còn gọi

Như vậy tư duy mang bản chất xã hội và có tính sáng tạo, kết quả của nó không phải bằng chân tay, bằng hình tượng mà bao giờ cũng là một ý nghĩ và được thể hiện qua ngôn ngữ Qua ngôn ngữ con người nhận thức những tình huống có vấn đề trong cuộc sống, trong xã hội và qua quá trình phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, khái quát hóa, tổng quát hoá để đi đến những khái niệm, định lí, phán đoán, để có được những sản phẩm của tư duy Từ đó ta thấy được rằng, tư duy lúc nào cũng gắn kết với ngôn ngữ và được thực hiện trong ngôn ngữ cho nên nếu tư duy không phát triển thì ngôn ngữ cũng không thể phát triển được Vì vậy nếu có tư duy tốt đúng đắn thì có thể có triển vọng để nắm vững ngôn ngữ tốt, trong sáng và rõ ràng qua đó phát triển được trí tuệ của học sinh Vì thế mà, khách thể trong quá trình tư duy được phản ánh dưới nhiều mức độ khác nhau, từ thuộc tính này đến thuộc tính khác, nó phụ thuộc vào chủ thể là con người Và tư duy là quá trình phát triển năng động và sáng tạo

Nhà tâm lí học CRUGLIĂC (xem 10, tr.65) nói rằng: “Nhờ tư duy mà có thể chuyển được những tri thức sơ đẳng đầu tiên sang những tri thức sâu sắc hơn, chuyển từ hiện tượng sang bản chất và từ bản chất bậc một sang bản chất bậc hai, Nguyên nhân là do tri thức về bản chất không nằm trên bề mặt của hiện tượng, chỉ trong quá trình phân loại mới có thể phát hiện và tìm ra được chúng Tư duy càng phát triển bao nhiêu càng có khả năng lĩnh hội tri thức một cách có kết quả và sâu sắc và càng có nhiều khả năng vận dụng những tri thức ấy trong hoạt động thực tế bấy nhiêu Tri thức và tư duy gắn bó với nhau như sản phẩm đi đôi với quá trình”

Qua đó ta thấy rằng, một tình huống khi gặp vấn đề nào đó, nó sẽ kích thích

tư duy con người tìm tòi cách giải quyết, thúc đẩy nhận thức để tiến lên thu thập các tri thức mới, từ đó làm cho tư duy ngày một phát triển cao độ trong mối liên quan biện chứng với nhau

Tư duy là sản phẩm cao nhất của bộ não con người Do đó, tư duy thuộc nấc thang nhận thức cao nhất, đó là nhận thức lý tính Vì vậy tư duy có những đặc điểm mới về chất so với cảm giác và tri giác Có thể thấy sự khác biệt đó qua những đặc điểm cơ bản sau:

- Tư duy chỉ nảy sinh khi con người đứng trước những hoàn cảnh có vấn đề

- Tư duy có tính khái quát

- Tư duy có tính gián tiếp

- Tư duy của con người có quan hệ mật thiết với ngôn ngữ

b Một số thao tác tƣ duy phổ biến

Chúng ta biết rằng, hoạt động nhận thức hay hẹp hơn, hoạt động tư duy chỉ diễn ra trong tình huống có vấn đề, khái niệm mà ta thường dùng để chỉ các mâu thuẫn nảy sinh trong thực tiễn hay xét một cách nôm na, ta thường gọi là bài toán Bài toán bao gồm hai hệ thống thông tin, hai bộ phận về hình thức luôn mâu thuẫn

với nhau nhưng luôn có những liên hệ gắn bó với nhau Bộ phận thứ nhất là “điều kiện” bao gồm tất thảy những thông tin đã cho một cách tường minh hoặc tiềm ẩn

Tức là điều kiện có liên quan đến bài toán sẽ biểu hiện sau những biến đổi nhất

định Bộ phận thứ hai là “yêu cầu” gồm những thông tin mà bài toán đòi hỏi phải

tìm Quá trình giải bài toán là hoạt động trí óc gồm những thao tác đa dạng, phức tạp nhưng xét đến cùng luôn là sự phân tích, tổng hợp, so sánh, đối chiếu các điều kiện với các yêu cầu của bài toán; phân tích, lý giải các mối liên hệ đã có để giải quyết những mâu thuẫn giữa điều kiện và yêu cầu Quá trình phân tích, lý giải này

sẽ dẫn tư duy đến những mối liên hệ mới Cứ như thế mà dần dần làm sáng tỏ yêu cầu cần đạt của bài toán

Thông tin cần cho việc giải bài toán còn ở dạng tiềm ẩn, cho nên, việc lý giải thông qua các thao tác tư duy, mối liên hệ giữa tập hợp các điều kiện tường minh

hay tiềm ẩn với các yêu cầu của bài toán Việc khám phá dần dần các điều kiện tiềm

ẩn cũng chính là quá trình chứng minh, bổ sung hoàn chỉnh hoặc bác bỏ giả thuyết ban đầu, bởi vì nhờ các hoạt động đó mà tư duy có thể nhìn thấy rõ hơn mối liên hệ thực giữa điều kiện và yêu cầu Nó sẽ giúp ta thấy được con đường đi tới mục đích

mà yêu cầu đặt ra là đúng hướng Tiêu biểu cho tư duy là quá trình phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, việc nêu lên những vấn đề nhất định và tìm cách giải quyết chúng, việc đề xuất những giả thuyết, những ý niệm, kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó Khả năng phản ánh thực tại một cách gián tiếp của tư duy được biểu hiện ở khả năng suy lý, kết luận lôgic chứng minh của con người” Hoạt động tư duy của con người luôn hướng vào giải quyết một vấn đề, hoặc làm sáng tỏ điều nào đó mà họ có mong muốn cần hiểu biết Trong quá trình dạy học, việc rèn các hoạt động trí tuệ cho học sinh cần tập trung chú ý tới việc rèn luyện một số thao tác tư duy cơ bản Đó là những hoạt động trí tuệ thường gặp trong dạy học Toán ở nhà trường phổ thông

 Phân tích và tổng hợp

Theo tâm lí học các quá trình phân tích và tổng hợp là những thao tác tư duy

cơ bản, tất cả những cái tạo thành hoạt động trí tuệ đều là những dạng khác nhau

của các quá trình đó Vì vậy, để phát triển trí tuệ cho học sinh qua bộ môn Toán,

giáo viên cần phải coi trọng việc rèn luyện cho học sinh khả năng phân tích và tổng hợp

Theo Nguyễn Cảnh Toàn [14, tr.122]: Phân tích là chia một chỉnh thể ra thành nhiều bộ phận để đi sâu vào các chi tiết trong từng bộ phận Tổng hợp là nhìn

bao quát lên một chỉnh thể gồm nhiều bộ phận, tìm các mối liên hệ giữa các bộ phận của chỉnh thể và của chính chỉnh thể đó với môi trường xung quanh Theo ông, phân tích tạo điều kiện cho tổng hợp, tổng hợp lại chỉ ra phương hướng cho sự phân tích tiếp theo

Theo Hoàng Chúng [9, tr.15]: Trong mọi khâu của quá trình học tập Toán học của học sinh, năng lực phân tích, tổng hợp luôn là một yếu tố quan trọng giúp học sinh nắm vững kiến thức và vận dụng kiến thức một cách sáng tạo

Theo M N Sácđacốp [11] thì: Phân tích là một quá trình nhằm tách các bộ

phận của những sự vật hoặc hiện tượng của hiện thực với các dấu hiệu và thuộc tính của chúng, cũng như các mối liên hệ và quan hệ giữa chúng theo một hướng nhất định Theo ông, thì quá trình phân tích nhằm mục đích nghiên cứu chúng đầy đủ và sâu sắc hơn, và chính như vậy mới nhận thức được một cách trọn vẹn các sự vật và

hiện tượng Tổng hợp (cộng) là sự tổng hợp sơ đẳng, nhờ đó mà các bộ phận của

một toàn thể kết hợp với nhau làm thành một tổng số của các bộ phận đó Ông cho rằng; sự tổng hợp chân chính không phải là sự liên kết máy móc các bộ phận thành một chỉnh thể, không phải đơn thuần là sự tổng cộng các bộ phận của một toàn thể

Sự tổng hợp chân chính là một hoạt động tư duy xác định, đặc biệt đem lại kết quả mới về chất, cung cấp một sự hiểu biết mới nào đó về hiện thực

Như vậy, phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái ngược nhưng lại

là hai mặt của một quá trình thống nhất Chúng là hai hoạt động trí tụê cơ bản của quá trình tư duy Những hoạt động trí tuệ khác đều diễn ra trên nền tảng của phân tích và tổng hợp Có thể nói không một vấn đề tổng hợp (không tầm thường) nào lại chẳng cần dùng đến phân tích trong quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề

Phân tích và tổng hợp không bao giờ tồn tại tách rời nhau Chúng là hai mặt

đối lập của một quá trình thống nhất bởi vì trong phân tích đã có tổng hợp, phân tích cái toàn thể đồng thời là tổng hợp các phần của nó Vì phân tích cái toàn thể ra từng phần cũng chỉ nhằm mục đích làm bộc lộ ra mối liên hệ giữa các phần của cái toàn thể ấy Phân tích một cái toàn thể là con đường để nhận thức cái toàn thể sâu sắc hơn Sự thống nhất của quá trình phân tích - tổng hợp còn được thể hiện ở chỗ: Cái toàn thể ban đầu (tổng hợp 1) định hướng cho phân tích, chỉ ra cần phân tích mặt nào, khía cạnh nào, kết quả của phân tích là cái toàn thể ban đầu được nhận thức sâu

sắc hơn (tổng hợp 2) Như vậy, phân tích và tổng hợp theo con đường: tổng hợp 1 -

phân tích - tổng hợp 2 Các thao tác phân tích - tổng hợp có mặt trong mọi hành động trí tuệ của con người

Trong giải toán, học sinh thường phải thực hiện các thao tác phân tích, tổng

hợp xen kẽ với nhau Bằng gợi ý của G Pôlya viết trong tác phẩm “Giải bài toán

như thế nào” [19] đã đưa ra quy trình 4 bước để giải bài toán Trong mỗi bước tác

giả đã đưa ra các gợi ý, đó chính là các thao tác phân tích, tổng hợp liên tiếp, đan xen nhau để thực hiện được 4 bước của quá trình giải toán Có thể thấy trong giải toán, các thao tác phân tích và tổng hợp thường gắn bó khăng khít với nhau Trong phân tích có sự tổng hợp (Tổng hợp thành phần) và trong quá trình tổng hợp phải có

sự phân tích (Để đảm bảo tính lôgic và tính định hướng của quá trình tổng hợp) Một điều hiển nhiên là: Một bài tập mà học sinh cần phải giải (Bài tập này do giáo viên đặt ra, do chương trình học tập yêu cầu, do học sinh biết được trong quá trình

tự học vv ) chỉ có hữu hạn các phương pháp giải, các phương pháp giải ấy tất nhiên phải sử dụng các kiến thức đã có (kiến thức đã được học, kiến thức tự tích luỹ ) của học sinh vì thế bản chất của thao tác giải một bài tập toán của học sinh thường là:

Định hướng tìm tòi lời giải bài tập

Nội dung và hình

thức của bài toán

Vốn kiến thức Toán học, kĩ năng và kinh nghiệm giải Toán

Nhận thức đềPhân tích k chọn lựa hoặc bác bỏ Hướng k

Chọn lựa được hướng giải thích hợp

Tiến hành phân tích, tổng hợp để đưa ra lời

giải của bài tập

 Khái quát hoá và trừu tƣợng hoá

Khái quát hoá: Theo G Pôlia [18, tr.21]: “Khái quát hoá là chuyển từ việc

nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho đến việc nghiên cứu một tập hợp lớn hơn, bao gồm cả tập hợp ban đầu”

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim [12, tr.55]: “Khái quát hoá là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một

số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát”

Có thể nói trong cuộc sống và học tập, khắp nơi và mọi lúc đều cần đến thao tác tư duy khái quát Đúng như Đại văn hào Nga - Lep Tônxtôi đã nói: “Chỉ khi trí tuệ của con người tự khái quát hoặc đã kiểm tra sự khái quát thì con người mới có thể hiểu được nó” [7, tr.170] “Không có khái quát thì không có khoa học; không biết khái quát là không biết cách học Khả năng khái quát là khả năng học tập vô cùng quan trọng, khả năng khái quát Toán học là một khả năng đặc biệt”

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim trong Nghiên cứu giáo dục số 5/1982 thì những

dạng khái quát hoá thường gặp trong môn Toán được biểu diễn bằng sơ đồ sau:

(Trích dẫn từ [13, tr.6]) Với sự biểu diễn như trên, ta thấy rằng có 2 con đường khái quát: Con đường thứ nhất trên cơ sở so sánh những trường hợp riêng lẻ, con đường thứ 2 không dựa trên so sánh mà dựa trên sự phân tích chỉ một hiện tượng trong một loạt hiện tượng giống nhau Có thể nói rằng, khái quát hoá là một thông số quan trọng bậc nhất, một năng lực đặc thù của tư duy, là cơ sở duy nhất để phân biệt giữa tư duy lý luận và tư

Khái quát hoá

Khái quát hóa từ cái riêng

lẻ đến cái tổng quát

Khái quát hoá từ cái tổng quát đến cái tổng quát hơn

Khái quát hoá tới cái

tổng quát đã biết Khái quát hoá tới cái tổng quát chưa biết

duy kinh nghiệm, năng lực khái quát hoá ở mỗi con người luôn đóng vai trò quan trọng trong quá trình học tập, nghiên cứu; khi được phát triển đến mức độ cao chính năng lực này sẽ giúp mỗi con người tách được cái chung, cái bản chất, những mối liên hệ bên trong của tài liệu nghiên cứu, học tập bằng con đường phân tích chỉ một

sự kiện điển hình mà thôi Bằng con đường đó con người sẽ tiết kiệm thời gian sức lực của mình, biết cách khám phá các tri thức khoa học bằng những phương pháp tối ưu

Như vậy, khái quát hoá là thao tác tư duy nhằm phát hiện những quy luật phổ biến của một lớp các đối tượng hoặc hiện tượng từ một số các trường hợp riêng lẻ Với nghĩa đó, khái quát hoá thuộc về các phép suy luận có lý nên các kết luận được rút ra từ khái quát hoá thường mang tính chất giả thuyết, dự đoán Bởi nếu khẳng định chắc chắn thì đã là chứng minh rồi

Chúng ta thường khái quát hoá bằng cách chuyển từ chỗ chỉ xét một đối tượng sang việc xét toàn thể một lớp bao gồm cả đối tượng đó Tổng quát hoá một bài toán thông thường là sự mở rộng bài toán đó

Trừu tượng hoá: Theo Nguyễn Bá Kim [12]: “Trừu tượng hoá là sự nêu bật

và tách những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất”

Theo Hoàng Chúng [9]: Trừu tượng hoá và khái quát hoá liên hệ chặt chẽ với nhau Nhờ trừu tượng hoá ta có thể khái quát hoá rộng hơn và nhận thức sự vật sâu sắc hơn Và ngược lại khái quát hoá đến một mức nào đó giúp ta tách được những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất, tức là đã trừu tượng hoá

Trừu tượng hoá là một “hoạt động của tư duy”, hoạt động này của bộ não con

người có thể hướng tới bất kì vấn đề gì của khoa học nói chung và nói riêng là của Toán học

Không có khái quát hoá và trừu tượng hoá thì không thể có kiến thức và tri thức lí thuyết được Khi trừu tượng hoá, chúng ta tách ra cái chung trong các đối tượng nghiên cứu, chỉ khảo sát cái chung này, gạt qua một bên những cái riêng phân biệt đối tượng này với đối tượng khác, không chú ý tới những cái riêng này

 Đặc biệt hoá

Theo Pôlia G [18]: “Đặc biệt hoá là chuyển từ việc nghiên cứu từ một tập hợp đối tượng đã cho sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập hợp

So sánh: So sánh là xác định sự giống nhau và khác nhau giữa các sự vật và

hiện tượng Muốn so sánh hai sự vật (hiện tượng) ta phải phân tích các dấu hiệu, các thuộc tính của chúng, đối chiếu các dấu hiệu, các thuộc tính đó với nhau rồi tổng

hợp lại xem hai sự vật (hiện tượng) có cái gì giống và khác nhau

Tương tự: Tương tự là một kiểu giống nhau nào đó Có thể nói tương tự là

giống nhau nhưng ở mức độ xác định hơn, và mức độ đó được phản ánh bằng khái

niệm [10, tr.22]

Trong “lôgic học”, D Gorki [20] viết: “Tương tự là phép suy luận trong đó

từ chỗ hai đối tượng giống nhau ở một số dấu hiệu, ta rút ra kết luận rằng các đối tượng này giống nhau ở các dấu hiệu khác Nếu đối tượng A có dấu hiệu là a, b, c, d

và đối tượng B cũng có dấu hiệu a, b, c thì ta rút ra kết luận giả định rằng đối tượng

Đặc biệt hoá

Đặc biệt hoá từ cái tổng

quát đến cái riêng lẻ

Đặc biệt hoá từ cái riêng đến

cái riêng hơn

Đặc biệt hoá tới cái riêng lẻ đã biết Đặc biệt hoá tới cái riêng lẻ chưa biết

B cũng có tính chất d Ta có thể biểu diễn sơ đồ của phép suy luận tương tự như sau:

A có tính chất a, b, c, d

B có tính chất a, b,c

-

Kết luận B cũng có tính chất d” (Theo [20])

Chúng ta đã nghiên cứu đặc biệt hóa và thấy không có gì đáng để nghi ngờ

cả Nhưng khi bước vào nghiên cứu sự tương tự thì chúng ta có một cơ sở kém vững chắc hơn

Trong Toán học, người ta thường xét vấn đề tương tự trên các khía cạnh sau:

- Hai phép chứng minh là tương tự, nếu đường lối, phương pháp chứng minh

là giống nhau;

- Hai hình là tương tự, nếu chúng có nhiều tính chất giống nhau Nếu vai trò của chúng giống nhau trong hai vấn đề nào đó, hoặc nếu giữa các phần tử tương ứng của chúng có quan hệ giống nhau

Nói về vai trò của phép tương tự, nhà Sư phạm đồng thời là nhà Toán học nổi tiếng người Mỹ G Pôlya ([19, tr.148]) có nhận xét: “Trong Toán học sơ cấp

cũng như trong Toán học cao cấp, phép tương tự có lẽ có mặt trong mọi phát minh

Trong một số phát minh, phép tương tự đóng vai trò quan trọng hơn cả”; còn đối với nhà Thiên văn học tài ba Kepler (người Đức), người đã phát minh ra ba định luật nổi tiếng trong Thiên văn học thì: “Tôi vô cùng biết ơn các phép tương tự,

những người thầy đáng tin cậy nhất của tôi, các phép tương tự đã giúp tôi khám phá

ra các bí mật của tự nhiên, đã giúp tôi vượt qua mọi trở ngại”

2.2.2 Lý luận về dạy học giải bài tập toán

a Mục đích, vai trò, ý nghĩa của bài tập toán trong trường phổ thông

Pôlya [20, tr.82] cho rằng “ Trong toán học, nắm vững bộ môn toán quan trọng hơn rất nhiều so với một kiến thức thuần túy mà ta có thể bổ sung nhờ một cuốn sách tra cứu thích hợp Vì vậy cả trong trường trung học cũng như trong các

trường chuyên nghiệp, ta không chỉ truyền thụ cho học sinh những kiến thức nhất định, mà quan trọng hơn nhiều là phải dạy cho họ đến một mức độ nào đó nắm vững môn học Vậy thế nào là muốn nắm vững môn toán ? Đó là biết giải toán”

 Mục đích

Một trong những mục đích dạy toán ở trường phổ thông là:

Phát triển ở học sinh những năng lực và phẩm chất trí tuệ, giúp học sinh biến những trí thức khoa học của nhân loại được tiếp thu thành kiến thức của bản thân, thành công cụ thể để nhận thực và hành động đúng đắn trong các lĩnh vực hoạt động cũng như trong học tập hiện nay và sau này

Làm cho học sinh nắm được một cách chính xác, vững chắc và có hệ thống những kiến thức và kỹ năng toán học phổ thông cơ bản, hiện đại, phù hợp với thực tiễn và có năng lực vận dụng những tri thức đó vào những tình huống cụ thể, vào đời sống, vào lao động sản xuất, vào việc học tập các bộ môn khoa học khác

 Vai trò

Toán học có vai trò lớn trong đời sống, trong khoa học và công nghệ hiện đại, kiến thức toán học là công cụ để học sinh học tốt các môn học khác, giúp học sinh hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực Các-Mác ([9, tr.5]) nói: “Một khoa học chỉ thực sự phát triển nấu có thể sử dụng được phương pháp của toán học”

Môn toán có khả năng to lớn giúp hoc sinh phát triển các năng lực trí tuệ như: Phân tích, tổng hợp, so sánh, đặc biệt hóa, khái quát hóa, … Rèn luyện những phẩm chất, đức tính của người lao động mới như: tính cẩn thận, chính xác, tính kỷ luật, khoa học, sáng tạo…

 Ý nghĩa

Ở trường phổ thông giải bài tập toán là hình thức tốt nhất để củng cố, hệ thống hóa kiến thức và rèn luyện kỹ năng, là một hình thức vận dụng kiến thức đã học vào những vấn đề cụ thể, vào thực tế, vào những vấn đề mới, là hình thức tốt nhất để giáo viên kiểm tra về năng lực, về mức độ tiếp thu và khả năng vận dụng kiến thức đã học

Việc giải bài tập toán có tác dụng lớn trong việc gây hứng thú học tập cho học sinh nhằm phát triển trí tuệ và góp phần giáo dục, rèn luyện con người học sinh

về nhiều mặt

Việc giải một bài toán cụ thể không những nhằm một dụng ý đơn nhất nào

đó mà thường bao hàm ý nghĩa nhiều mặt như đã nêu ở trên

b Vị trí và chức năng của bài tập toán

 Vị trí

Theo [12, tr.201]: “Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học đối với học sinh có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học các bài tập toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng kỹ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn Hoạt động giải bài tập toán

là điều kiện để thực hiện tốt các nhiệm vụ dạy học toán ở trường phổ thông Vì vậy,

tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán học có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy toán”

 Chức năng của bài tập toán

Mỗi bài tập toán đặt ra ở một thời điểm nào đó của quá trình dạy học đều chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau

Các chức năng đó là:

- Chức năng dạy học

- Chức năng giáo dục

- Chức năng phát triển

- Chức năng kiểm tra

Các chức năng đều hướng tới việc thực hiện các mục đích dạy học:

- Chức năng dạy học: Bài tập toán nhằm hình thành củng cố cho học sinh những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học

- Chức năng giáo dục: bài tập toán nhằm hình thành cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, sáng tạo, có niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao động mới

- Chức năng phát triển: Bài tập toán nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ hình thành những phẩm chất của tư duy toán học

- Chức năng kiểm tra: Bài tập toán nhằm đánh giá mức độ kết quả dạy và học, đánh giá khả năng độc lập học toán, khả năng tiếp thu, vận dụng kiến thức và trình độ phát triển của học sinh

Hiệu quả của việc dạy toán ở trường phổ thông phần lớn phụ thuộc vào việc khai thác và thực hiện một cách đầy đủ chức năng có thể có của các tác giả viết sách giáo khoa đã có dụng ý đưa vào chương trình Người giáo viên phải có nhiệm vụ khám phá và thực hiện dụng ý của tác giả bằng năng lực sư phạm của mình

c Dạy học giải bài tập toán

Trong môn toán ở trường phổ thông có nhiều bài toán chưa có hoặc không có thuật giải và cũng không có một thuật giải tổng quát nào để giải tất cả các bài toán Chúng ta chỉ có thể thông qua việc dạy học giải một số bài toán cụ thể mà dần dần truyền thụ cho học sinh cách thức, kinh nghiệm trong việc suy nghĩ, tìm tòi lời giải

cho mỗi bài toán Dạy học giải bài tập toán không có nghĩa là giáo viên cung cấp cho học sinh lời giải của bài toán Biết lời giải của bài toán không quan trọng bằng làm thế nào để giải được bài toán Để làm tăng hứng thú học tập của học sinh, phát

triển tư duy, giáo viên phải hình thành cho học sinh một quy trình chung, phương pháp tìm lời giải cho một bài toán

Theo Pôlya [19], phương pháp tìm lời giải cho một bài toán thường được tiến hành theo bốn bước như sau:

Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

Để giải được một bài toán, trước hết phải hiểu bài toán đó và có hứng thú với việc giải bài toán đó Vì thế người giáo viên phải chú ý gợi động cơ, kích thích trí tò

mò, hứng thú cho học sinh và giúp các em tìm hiểu bài toán một cách tổng quát Tiếp theo phải phân tích bài toán đã cho:

- Đâu là ẩn, đâu là dữ kiện

- Vẽ hình, sử dụng các kí hiệu thích hợp (nếu cần)

- Phân biệt các thành phần khác nhau của điều kiện, có thể diễn đạt các điều kiện đó dưới dạng công thức toán học được không?

Bước 2: Xây dựng chương trình giải

“Phải phân tích bài toán đã cho thành nhiều bài toán đơn giản hơn Phải huy động những kiến thức đã học (định nghĩa, định lý, quy tắc,…) có liên quan đến những điều kiện, những quan hệ trong đề toán rồi lựa chọn trong số đó những kiến thức gần gũi hơn cả với dữ kiện bài toán rồi mò mẫm, dự đoán kết quả Xét vài khả năng có thể xảy ra, kể cả trường hợp đặc biệt Sau đó, xét một bài toán tương tự, hoặc khái quát hóa bài toán đã cho”.[1, tr.210]

Bước 3: Thực hiện chương trình giải

Bước 4: Kiểm tra, đánh giá, nghiên cứu lời giải và khai thác bài toán

- Kiểm tra lại kết quả, xem lại các lập luận trong quá trình giải

- Nhìn lại toàn bộ các bước giải, rút ra tri thức phương pháp để giải một loại bài toán nào đó

- Tìm thêm các cách giải khác (nếu có thể)

- Khai thác kết quả có thể có của bài toán Ta có thể xét đến một số hướng khai thác sau:

- Đề xuất bài toán tương tự, bài toán đặc biêt, hoặc khái quát hóa bài toán

Công việc kiểm tra lời giải của bài toán có ý nghĩa quan trọng Trong nhiều trường hợp, sự kết thúc của bài toán này lại mở đầu cho một bài toán khác Vì vậy: Cần phải luyện tập cho học sinh có một thói quen kiểm tra lại bài toán, xét xem có sai lầm hay thiếu xót gì không, nhất là những bài toán có đặt điều kiện hoặc bài toán đòi hỏi phải biện luận Việc kiểm tra lại lời giải yêu cầu học sinh thực hiện một cách thường xuyên

d Bồi dƣỡng năng lực giải toán cho học sinh

Bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh chính là rèn luyện cho họ khả năng tự mình tìm lời giải bài toán Điều này cũng phù hợp với xu hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay Một điểm đáng chú ý nữa là: Trong quá trình dạy học giải bài tập toán, cần khuyến khích học sinh tìm nhiều cách giải khác nhau cho

một bài toán, khai thác bài toán theo nhiều khía cạnh khác nhau Điều này rất bổ ích cho việc rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh

bị ảnh hưởng bởi cách dạy của giáo viên Giáo viên quen nhiều với việc thuyết trình quá nhiều, làm cho việc lĩnh hội tri thức của học sinh còn mang tính thụ động cao, dẫn tới các lớp thế hệ trẻ được đào tạo một cách thụ động, hạn chế khả năng phát triển tư duy sáng tạo, vận dụng lý thuyết vào thực tiễn cuộc sống của học sinh Mặt khác ở tuổi học sinh khả năng tư duy vẫn còn hạn chế, với học sinh việc tìm được một lời giải cho bài toán là đã kết thúc rồi, chứ không nghĩ tới giải bằng nhiều cách, xem bài toán đó có là trường hợp riêng hay đặc biệt của một bài toán nào không, hay tổng quát bài toán đó hay không Điều đó đã làm cho khả năng tư duy của học sinh phát triển chậm

2.3.2 Thực trạng về việc rèn luyện các thao tác tƣ duy cho học sinh THPT trong giải bài tập toán của giáo viên

Đối với giáo viên ở trường THPT việc rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh còn hạn chế, nguyên nhân chủ yếu là do quỹ thời gian đứng lớp còn ít, không

đủ thời gian dạy hết bài trên lớp nên không còn thời gian đâu mà rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh, bên cạnh đó giáo viên chỉ quen với cách dạy thụ động, một chiều, quen dạy theo từng dạng bài một cách máy móc, rập khuôn, không có sự sáng tạo Giáo viên lấy mình là “trung tâm của quá trình dạy học” chứ không phải học sinh là “trung tâm của quá trình dạy học” nên đôi khi còn áp đặt, bảo thủ Bên

cạnh đó giáo viên cũng ít quan tâm tới việc “học cách dạy, dạy cách học” cho

chính bản thân mình và cho học sinh, không tiếp thu các phương pháp dạy học hiện đại, không tự mình nghiên cứu mỗi bài toán trước khi hướng dẫn cho học sinh, với giáo viên cũng như học sinh, giải một bài toán xong là kết thúc, sang bài khác, sang dạng khác, học một cách thụ động mà không biết rằng các bài toán đều có mối quan

hệ với nhau, có thể là tương tự, là đặc biệt hay tổng quát của nhau Với giáo viên chưa có sự khái quát hóa, trừu tượng hóa bài toán, hay khái quát hóa phương pháp giải của một lớp các bài toán Chính vì thế mà việc rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh trong dạy học giải bài tập của giáo viên còn hạn chế, dẫn tới việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh chưa được chú ý đúng mức

cho học sinh Vì vậy việc đưa ra giải pháp (có tính chất tổng thể) thực hiện việc

rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua khai thác một bài toán trong dạy học giải bài tập toán là việc làm cần thiết và là một nhu cầu thực tiễn

CHƯƠNG III GIẢI PHÁP THỰC HIỆN VIỆC RÈN LUYỆN MỘT SỐ THAO TÁC TƯ DUY CHO HỌC SINH THPT THÔNG QUA KHAI THÁC

MỘT BÀI TOÁN TRONG DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP

Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh trong dạy học toán nói chung và trong dạy học giải bài tập toán nói riêng là một nhu cầu thực tiễn Có nhiều cách thức, nhiều con đường để thực hiện công việc này Song, việc rèn luyện các thao tác

tư duy cho học sinh thông qua việc khai khác một bài toán theo các khía cạnh khác nhau chưa được quan tâm một cách đúng mức và chưa được ứng dụng trong dạy học môn toán ở các trường phổ thông hiện nay Nội dung chủ yếu của chương này

đó là: Đề suất một giải pháp (có tính chất tổng thể) gồm ba nhóm biện pháp với chín biện pháp cụ thể thực hiện việc rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh Giải

pháp này không bàn tới việc hướng dẫn học sinh tìm lời giải của một bài toán Giải pháp chỉ bắt đầu được thực hiện khi đã kết thúc một phép chứng minh nghĩa là khi

đã tìm thấy lời giải của bài toán Hơn nữa, trong khuôn khổ của một luận văn

không cho phép tác giả đề cập tới tất cả các nội dung trong chương trình môn toán ở trường phổ thông Vì vậy các ví dụ minh họa chỉ được lựa chọn trong khuôn khổ của môn toán ở THPT

3.1 Nhóm biện pháp thứ nhất: Rèn luyện một số thao tác tư duy cho học sinh thông qua việc đánh giá lời giải và khai thác giả thiết, kết luận của bài toán

3.1.1 Biện pháp thứ nhất: Đánh giá việc sử dụng giả thiết sau mỗi phép chứng

minh

(Phần này được viết dựa trên việc tham khảo [16])

a Nội dung phương pháp đánh giá việc sử dụng giả thiết sau một ph p chứng minh

Phương pháp này không bàn tới cách thức tổ chức và tiến hành hướng dẫn học sinh tìm lời giải một bài tập mà nó chỉ thực sự bắt đầu sau khi vừa kết thúc việc

giải một bài tập Trước hết cần lưu ý rằng mỗi giả thiết của một bài tập thuộc một trong ba dạng sau theo cách thức mà nó được sử dụng trong phép chứng minh:

 Dạng ẩn tàng, đó là dạng giả thiết không tham gia trực tiếp hay gián tiếp

trong quá trình chứng minh Nó được cho, thường để khẳng định sự tồn tại bài toán như thế trong thực tế đời sống hoặc trong toán học Đôi khi cũng để khẳng định khả năng tồn tại của các giả thiết khác Cũng vì thế mà trong nhiều trường hợp, trong phép chứng minh người ta không đề cập đến loại giả thiết này

 Dạng gián tiếp, đó là dạng giả thiết không tham gia trực tiếp vào quá trình

chứng minh Thông thường nó là giả thiết của một định lý đã được chứng minh trước đó, mà định lý đó được sử dụng (một cách trực tiếp hay gián tiếp) trong phép chứng minh ta vừa tiến hành

 Dạng trực tiếp, đó là dạng giả thiết tham gia trực tiếp vào các bước suy luận

trong quá trình chứng minh

Sau lời giải của một bài toán, đối với mỗi giả thiết tuỳ theo cách thức mà nó được sử dụng trong phép chứng minh, người thầy có thể nêu ra các câu hỏi để học sinh suy nghĩ, thảo luận và trả lời Sau đây là một vài dạng câu hỏi có thể dùng để hỏi sau mỗi phép chứng minh:

- Giả thiết x (nào đó) được sử dụng ở đâu (khi nào) trong phép chứng minh?

- Tại sao từ giả thiết x ta lại có p suy ra q? (Trong trường hợp giả thiết x có mặt trong tiền đề của phép suy luận pq)

- Bài toán còn đúng hay không khi thay giả thiết x bởi giả thiết x’

- Hãy cho một ví dụ để chỉ ra rằng bài toán không đúng nếu không có giả thiết

x (hoặc giả thiết x không được thoả mãn)

b Khả năng rèn luyện các thao tác tƣ duy cho học sinh thông qua đánh giá việc sử dụng giả thiết sau một ph p chứng minh

 Với dạng câu hỏi: “Giả thiết x được sử dụng ở đâu (khi nào) trong phép

chứng minh?”

- Để có thể trả lời học sinh cần phải xem đi xem lại nhiều lần phép chứng minh Điều này giúp người học khắc sâu nội dung và phương pháp chứng minh và

cả chiến lược giải các dạng toán tương tự

- Đặc biệt trong trường hợp giả thiết thuộc dạng gián tiếp, việc tìm ra giả thiết được sử dụng khi nào sẽ giúp học sinh (một cách tự nhiên) hệ thống hoá và xâu chuỗi một số bài tập đã được giải theo một chủ đề nào đó

Như vậy các thao tác tư duy phân tích, khái quát hóa học sinh được luyện tập

và rèn luyện

 Với dạng câu hỏi “Tại sao từ giả thiết x ta lại có p suy ra q?”

Trả lời được câu hỏi này học sinh sẽ nắm được bản chất của vấn đề, từ đó có thể áp dụng trong thực tiễn đời sống và trong Toán học Dạng câu hỏi này có thể tạo

ra môi trường để học sinh rèn luyện khả năng tư duy logic và tập dượt các thao tác

tư duy như: Phân tích, so sánh, đặc biệt hoá…

 Dạng câu hỏi “Bài toán còn đúng hay không khi thay giả thiết x bởi giả thiết x’?” tạo ra một môi trường để học sinh rèn luyện khả năng độc lập nghiên cứu phát triển hoặc mở rộng bài toán vừa chứng minh Đồng thời cũng là môi trường rất tốt để học sinh rèn luyện các thao tác tư duy như: Phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, trừu tượng hoá…

 Dạng câu hỏi: “Hãy cho một ví dụ để chỉ ra rằng định lý không đúng nếu không có giả thiết x (hoặc giả thiết x không được thoả mãn).” giúp học sinh xác định một cách chính xác “phạm vi” thoả mãn của bài toán

 Sử dụng các dạng câu hỏi nêu trên sẽ làm cho không khí học tập trong lớp sôi nổi hẳn lên góp phần gây hứng thú trong học tập cho học sinh; góp phần rèn luyện cho học sinh thói quen suy diễn hợp logic, đức tính cẩn thận và những phẩm chất trí tuệ như: tính linh hoạt, tính sáng tạo…

c Ví dụ minh họa

 Bài toán: Trong mặt phẳng tọa độ, cho parabol  P có phương trình

22

y x và điểm M 2;3 Tính khoảng cách từ M đến  P

 Câu hỏi của giáo viên nhằm hướng học sinh tới việc đánh giá việc sử dụng giả thiết sau một ph p chứng minh và các thao tác tư duy học sinh được tập luyện

Trong bài toán này giả thiết “parabol  P có phương trình y2x2” thuộc dạng ẩn tàng Giả thiết “điểm M 2;3 ” thuộc dạng trực tiếp Khi giải bài toán này thông thường HS áp dụng công thức khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng một cách máy móc mà quên mất giả thiết đây là parabol chứ không phải đường thẳng Vậy tính khoảng cách từ một điểm tới một đường cong như thế nào, có công thức cụ thể hay không? Trên thực tế giả thiết cho trước parabol có phương trình như thế này chỉ để viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M0 P

Để hiểu được bài toán này, trước hết GV phải hướng dẫn HS nắm được định nghĩa khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng (đó là độ dài đoạn vuông góc

kẻ từ điểm này tới đường thẳng kia) Nhưng với một parabol hay một đường cong

(C) bất kỳ thì theo định nghĩa khoảng cách từ một điểm M tới (C) là độ dài đoạn thẳng ngắn nhất nối điểm đó với một điểm N bất kỳ thuộc (C) Đoạn thẳng đó

chính là đoạn thẳng MM trong đó 0 M0 C sao cho MM vuông góc với tiếp 0

tuyến với (C) tại M Do đó để tính được khoảng cách từ điểm M tới parabol 0  P

ta cần tìm điểm M0 P sao cho tiếp tuyến với  P tại M vuông góc với 0 MM 0

Theo định nghĩa khoảng cách từ một đường thẳng  tới đường cong (C) là độ dài

đoạn thẳng ngắn nhất nối điểm M bất kỳ thuộc  với một điểm N bất kỳ thuộc

(C) Do đó để tính được khoảng cách từ  đến parabol  P ta cần tìm M0 P

sao cho tiếp tuyến tại M0 P song song với đường thẳng  khi đó khoảng cách giữa  và  P là khoảng cách từ M tới 0 

Các câu hỏi của GV đặt ra cho HS trong bài toán có thể là:

- Giả thiết “parabol  P có phương trình 2

2

y x ” được dùng làm gì?

Ta mong đợi HS trả lời: Giả thiết này dùng để viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc  P

- Giả thiết “điểm M 2;3 ” được dùng khi nào?

Ta mong đợi HS trả lời: Giả thiết này dùng tính khoảng cách từ điểm M tới tiếp tuyến của  P cũng chính là khoảng cách từ M tới  P

- Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng cho khoảng cách từ một điểm đến parabol có được không?

Ta mong đợi HS trả lời: Không có công thức tính khoảng cách từ một điểm

tới một parabol, để tính được khoảng cách từ điểm M tới parabol  P ta cần tìm

điểm M0 P sao cho tiếp tuyến với  P tại M vuông góc với 0 MM 0

Qua việc trả lời được ba câu hỏi và tìm ra hướng giải bài toán HS đã được rèn luyện thao tác phân tích và tổng hợp

- Nếu thay giả thiết parabol bằng đường tròn hoặc hypebol thì cách tính khoảng cách từ điểm M tới đường tròn hoặc hypebol có giống với cách tính khoảng cách từ điểm M tới parabol không? Từ đó tính khoảng cách từ một điểm tới một đường cong bất kì thì như thế nào

Ta mong đợi HS trả lời: Cách tính khoảng cách từ điểm M tới đường tròn hoặc hypebol giống với cách tính khoảng cách từ điểm M tới parabol Và tổng quát lên với một đường cong (C) bất kỳ cũng tính như vậy

Qua việc trả lời được ba câu hỏi và tìm ra hướng giải bài toán HS đã được rèn luyện thao tác phân tích, tổng hợp và khái quát hóa

- Nếu thay giả thiết điểm M bằng một đường thẳng  bất kỳ thì tính khoảng

cách như thế nào? Có giống khoảng cách từ M đến  P hay không?

Ta mong đợi HS trả lời: Cách tính khoảng cách đường thẳng  đến  P

cũng gần giống khoảng cách từ M tới  P Để tính được khoảng cách từ  đến parabol  P ta cần tìm M0 P sao cho tiếp tuyến tại M0 P song song với đường thẳng  khi đó khoảng cách giữa  và  P là khoảng cách từ M tới 0 

Qua việc trả lời được ba câu hỏi và tìm ra hướng giải bài toán HS đã được rèn luyện thao tác phân tích, tổng hợp, tương tự và trừu tượng hóa

3.1.2 Biện pháp thứ hai: Giải bằng nhiều cách cho một bài toán

a Nội dung của biện pháp

Đối với mỗi một bài toán sau khi đã hướng dẫn học sinh giải bài toán đó, giáo viên đưa ra những câu hỏi hướng học sinh tới việc tìm kiếm lời giải khác của bài toán đó nhằm phát triển tư duy sáng tạo Thông qua các câu hỏi giáo viên có thể cài đặt các tình huống có dụng ý sư phạm nhằm rèn luyện một số thao tác tư duy cho học sinh theo ý đồ mà giáo viên đã định sẵn

b Ví dụ minh họa

 Bài toán: Chứng minh hàm số   2 2

y f x  x   x x  x đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi x0

 Lời giải bài toán

GV hướng dẫn HS tìm ra lời giải: Để chứng minh giá trị nhỏ nhất của f x  bằng hai ta chỉ ra f x 2 khi x0

Nhận x t: Hai biểu thức trong căn là bình phương thiếu của tổng và hiệu nên luôn

lớn hơn 0 với mọi giá trị của x Mặt khác tổng  2   2 

2 2

Vì ymin và ymin2 cùng đạt giá trị nhỏ nhất

Khi đó hai vế đều dương, bình phương hai vế ta được

Suy ra y2   4 y 2 (vì y  0, x ) Vậy ymin   2 x 0

 Câu hỏi của giáo viên nhằm hướng học sinh tìm kiếm lời giải mới từ lời giải học sinh đã hiểu và từ giả thiết của bài toán Qua đó học sinh được rèn luyện các thao tác tư duy

GV đưa ra các nhận xét và câu hỏi để HS tìm kiếm lời giải mới:

- Cách 1: Nhận xét 1 Vì f x là tổng của hai căn dương và dựa vào giải  thiết tìm giá trị nhỏ nhất điều này gợi cho ta sử dụng BĐT nào để đánh giá đúng chiều?

Ta mong đợi HS trả lời: Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương 2

A B điều này gợi cho ta sử dụng BĐT nào để đánh giá đúng chiều?

Ta mong đợi HS trả lời: Áp dụng bất đẳng thức Mincopxki

Để sử dụng được cách 3 tương tự cách 2 ta phải chú ý điều gì? Ta mong đợi

HS trả lời: Để sử dụng cách 3 và cách 4 điều quan trọng biến đổi biếu thức trong

căn thành tổng hai bình phương và nhận xét được

Ta mong đợi HS trả lời: Sử dụng BĐT quen thuộc: Với a0 thì 1

2

a a

với mọi x) Dấu đẳng thức xảy ra khi x0 hoặc x1

Phối hợp với 2 kết quả trên ta suy ra: f x 2 và f x 2 khi x0

Qua việc trả lời được câu hỏi và tìm ra lời giải bài bằng cách “qui lạ về quen” toán HS đã được rèn luyện thao tác phân tích, tổng hợp

- Cách 5: Nhận xét 5 Nếu ta biến đổi: f x  f x1  f2 x mà ta chứng minh được f x1 0; f2 x 2 thì bằng phương pháp biến đổi tương đương ta chỉ

ra các bất đẳng thức đồng thời xảy ra

Ta mong đợi HS trả lời: Ta có:

Đồng thời các dấu đẳng thức trong 2 bất đẳng thức đó xảy ra khi x0

Qua việc trả lời được câu hỏi và tìm ra lời giải bài bằng cách chuyển từ bài toán chứng minh giá trị nhỏ nhất sang bài toán chứng minh BĐT HS đã được rèn luyện thao tác phân tích, tổng hợp

- Cách 6: Nhận xét Vẫn bằng cách chuyển đổi ngôn ngữ và so sánh với các

lời giải trên ta có thể sử dụng phương pháp hình học tọa độ không?

Ta mong đợi HS trả lời: Sử dụng phương pháp hình học bằng cách chuyển ngôn ngữ đại số sang ngôn ngữ hình học với y là độ dài đại số của hai đoạn thẳng

Trong mặt phẳng Oxy chọn các điểm 1 3 1 3  

Chuyển hoá nội dung bài toán ta phát

biểu như sau:

xảy ra khi và chỉ khi M O x 0

Vậy Min f x  A B’ 2OB2 khi

- Cách 7: Sử dụng phương pháp hình học bằng cách chuyển ngôn ngữ đại số

sang ngôn ngữ hình học với y là độ dài đại số của hai đoạn thẳng bằng cách nhìn lượng giác hay không?

Ta mong đợi HS trả lời:

Khi đó: f x MA MB  AB2, đẳng thức xảy ra khi M O