ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN VÒNG HUYỆN

Vẽ đường tròn tâm O đường kính AH.. Đường tròn này cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự ở D và E.. a Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật và 3 điểm D, O, E thẳng hàng.. Chứng minh M, N lầ

UBND HUYỆN HÒA BÌNH

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

(Đề gồm 01 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN

NĂM HỌC 2013 -2014 MÔN : TOÁN

LỚP : 9 Thời gian : 150 phút

(Không kể thời gian giao đề)

ĐỀ Câu 1: (5 điểm)

Chứng minh: 42n - 32n - 7 24 (n  1)

Câu 2: ( 5 điểm )

a) Giải phương trình: 2x 2 2 2  x 3  2x 13 8 2  x 3  7

b) Giải hệ phương trình:

















x z

zx

z y

yz

y x

xy

8 7

6 5

4 3

Câu 3: ( 5 điểm )

a) Chứng minh rằng:

2013

2014 + 2014

2013 > 2013 + 2014

b) Cho x + y = 2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x2 + y2

Câu 4: ( 5 điểm )

Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH Vẽ đường tròn tâm O đường kính

AH Đường tròn này cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự ở D và E

a) Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật và 3 điểm D, O, E thẳng hàng b) Các tiếp tuyến của đường tròn tâm O kẻ từ D và E cắt cạnh BC tương ứng tại

M và N Chứng minh M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn HB, HC

c) Cho AB = 6 cm; AC = 8 cm Tính diện tích tứ giác MDEN

-Hết -UBND HUYỆN HÒA BÌNH

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN

NĂM HỌC 2013 -2014

(Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)

MÔN : TOÁN LỚP : 9 Thời gian : 150 phút

HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu 1: ( 5 điểm)

Ta có: 42n - 32n -7=16n - 9n -7 (0.5đ)

Chứng minh 16n - 9n -7 3

Vì 16 1(mod 3) 16n 1(mod 3)

9 0(mod 3) 9n 0(mod 3)

7 1(mod 3)  (0.25đ)

Nên 16n 9n 7 1 0 1 0(mod 3)

Chứng minh 16n - 9n -7 8

Vì 16 0(mod8) 16n 0(mod 8)

9 1(mod8) 9n 1(mod8)

7  1(mod8) (0.25đ)

Nên 16n 9n 7 0 1 1 0(mod8)

Do đó : 16n - 9n -7 24 (0.25đ)

Vậy: 42n - 32n -7 24 (n 1) (0.5đ)

Câu 2: ( 5 điểm)

a) (2 điểm) Điều kiện: 3

2

2x 2 2 2 x 3 2x13 8 2 x 3 7

2x 3 2 2x 3 1 2x 3 2.4 2x 3 16 7

( 2x 3 1) ( 2x 3 4) 7

2x 3 1 2x 3 4 7

       (0.25đ)

2x 3 1 2x 3 4 7

2 2x 3 2

2

x

Vậy nghiệm của phương trình là x=2 (0.25đ)

b) (3 điểm)

+ Dễ thấy x = y = z = 0 là một nghiệm của hệ đã cho ( 0,5 đ)

+ Xét trường hợp x, y, z  0, hệ pt được viết như sau:



























8 1

1

6 1

1

4 1

1

x z

z y

y x

( I ) ( 0,75 đ) Cộng theo vế ba phương trình của hệ pt (I) ta được:

21 1 1x yz5924  1 1 1xyz 5948

Lấy (1) trừ theo vế lần lượt các pt của hệ (I ) ta được:

z =2348 ; x = 1948 ; y = 1748 ( 0,75 đ)

Vậy hệ pt có hai nghiệm ( 0;0;0) và ( )

23

48

; 17

48

; 19

48

( 0,25 đ)

Câu 3 ( 5 điểm )

a) (2 điểm)

Ta có 2013

2014 + 2014

2013 = 2014 1

2014



+ 2013 1

2013



( 0,5 đ)

= 2014 - 1

2014 + 2013 + 1

2013 ( 0,5 đ)

= 2013 + 2014 + ( 1

2013 - 1

2014 ) > 2013 + 2014

Vì ( 1

2013 - 1

2014 ) > 0 ( 0,5 đ)

Vậy 2013

2014 + 2014

2013 > 2013 + 2014 ( 0,5 đ)

D

H

N

C

E A

b) (3đ)

Do đó: A = x2+y2 = x2 + (2-x)2 = x2 + 4 - 4x + x2 (0.5đ)

=2x2 - 4x + 4 = 2 x2 2x1 1 

Câu 4: ( 5 điểm )

a) Tứ giác ADHE là hình chữ nhật vì có A = D = H = E = 900

(0,5đ)

Vì O là trung điểm AH nên O cũng là trung điểm DE hay D, O, E thẳng hàng (0,5đ)

b) Ta có MD = MH, OD = OH (0,25đ)

 OM là trung trực của DH (0,25đ)

 OM  DH  AD // OM (0,5đ)

AHB

 có OM là đường trung bình  M là trung điểm BH (0,5đ)

Chứng minh tương tự N là trung điểm HC (0,5đ)

Do SOMN = 1

 SMDEN = 1

2 SABC = 1

2 1

-Hết -Chú ý: Học sinh giải cách khác mà đúng thì cho điểm tối đa của ý đó