Tìm số phức có môđun nhỏ nhất và thỏa mãn điều kiện cho trước Số phức là một nội dung mới trong các đề thi Đại học Cao đẳng gần đây.. Trong bài viết này, Mình xin giới thiệu một dạng bài
Trang 1Tìm số phức có môđun nhỏ nhất và thỏa mãn điều kiện cho trước
Số phức là một nội dung mới trong các đề thi Đại học Cao đẳng gần đây Đây
là một nội dung khá dễ chịu đối với thí sinh Câu hỏi về số phức trong đề thi thường rất cơ bản, thí sinh nắm vững khái niệm số phức, ý nghĩa hình học, các phép toán cộng trừ, nhân chia, khai căn số phức và dạng lượng giác của
số phức là có thể làm được bài Trong bài viết này, Mình xin giới thiệu một dạng bài tập liên quan đến số phức là biểu diễn hình học của số phức và tìm
số phức có môđun nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện cho trước
Trước hết xét một số ví dụ về biểu diễn hình học của số phức
Ví dụ 1
Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thỏa mãn
c)
Lời giải
Viết dưới dạng đại số
a)
Vậy tập hợp cần tìm là đường tròn tâm bán kính
b)
Vậy tập hợp cần tìm là hình tròn tâm bán kính , không kể những điểm thuộc đường tròn biên
c)
Vậy tập hợp cần tìm là tất cả những điểm nằm ngoài hình tròn tâm
bán kính
Trang 2Ví dụ 2 (Khối B-2010)
Trong mặt phẳng , tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa
mãn
Lời giải
Viết
Khi đó
Vậy tập hợp cần tìm là đường tròn tâm bán kính
Bây giờ ta xét thêm một số ví dụ kết hợp biểu diễn hình học và tìm số phức
có môđun nhỏ nhất
Ví dụ 3
Trong các số phức thỏa mãn , tìm số phức có môđun nhỏ nhất
Lời giải
Viết
Khi
đó
Suy ra tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn cho các số phức thỏa mãn là đường tròn có tâm bán kính
Do môđun của một số phức được biểu diễn bởi điểm là khoảng cách
từ đến gốc tọa độ nên sô phức có môđun nhỏ nhất thỏa
mãn là số phức được biểu diễn bởi và cách gốc khoảng ngắn nhất
Suy ra là giao điểm gần gốc nhất của với đường thẳng đi qua
Trang 3và
PTTS của
hoặc
Vậy số phức cần tìm là
Trang 4có môđun nhỏ nhất
Lời giải
Khi đó
Đến đây ta có thể giải theo hai cách:
Cách 1 (Đại số)
Ta có
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi
Cách 2 (Hình học)
Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức thỏa
Số phức có môđun nhỏ nhất thỏa mãn được biểu
diễn bởi điểm trên cách khoảng gần nhất Do đó là hình chiếu
Trang 5của trên
Gọi là đường thẳng qua và vuông góc với
VTPT của là
Do đó
Vậy
Nhận xét: Có thể nói đa số tập hợp số phức phải tìm được biểu diễn bởi
đường thẳng hoặc đường tròn Nếu được biểu diễn bởi đường thẳng thì ta nên giải theo phương pháp đại số cho ngắn gọn Trường hợp không phải đường thẳng thì dùng phương pháp hình học
Bài tập đề nghị
Bài 1 (Khối D-2009) Trong mặt phẳng tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho các số phức thỏa mãn
nhỏ nhất
Trang 6Bài 3 Trong mặt phẳng tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho các số phức thỏa mãn: