Hướng đổi mới phương pháp dạy học toán hiện nay là tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh nhằm hình thành cho học sinh tư duy tích cực, độc lập sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiện
Trang 1A- ĐẶT VẤN ĐỀ.
Hướng đổi mới phương pháp dạy học toán hiện nay là tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh nhằm hình thành cho học sinh tư duy tích cực, độc lập sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề trên cơ sở những kiến thức toán học được tích luỹ có tính hệ thống
Để đạt được điều đó thì việc gây hứng thú học tập cho học sinh cũng góp một phần quan trọng
Một hoàn cảnh và điều kiện có thể tạo hứng thú, kích thích quá trình học tập của các em là tìm nhiều lời giải cho một bài toán Điều đó không những giúp các em củng cố kiến thức liên quan mà nó kích thích sự hứng thú khi tìm tòi, sáng tạo lời giải Đó là cách rèn tư duy một cách hiệu quả
Trước những suy nghĩ đó tôi xin trình bày một vÝ dô nhằm tạo hứng thú học tập của học sinh thông qua tìm nhiều lời giải cho một bài toán quen thuộc
B- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.
Trong quá trình toán hình học lớp 8 có nội dung bài tập sau “ Cho hình vuông ABCD, K là trung điểm AB Điểm L nằm trên đường chéo AC sao cho
AL = 3 LC
Chứng minh : KLD vuông
Cách 1 :
Hướng dẫn : Ta thấy KLD = KLA + ALD, do đó cần xét cặp tam giác
bằng nhau có chứa góc KLA và góc ALD (hoặc một trong hai góc này) dẫn đến hai góc trên bằng 2 góc nhọn của mỗi tam giác vuông, từ đó suy ra điều phải chứng minh
1.1 Đặt độ dài cạnh hình vuông là a, độ dài đường chéo là d
B C
¤
O K
L
Trang 2Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo và E là trung điểm của AO Tam giác AOB có KE là đường trung bình => KE // BO => KE AO đồng thời
KE = 21 BO = 41 d
Xét EKL và OLD có :
KE = OL = 41 d
KEL = LOD = 900
EL = OD = 12 d
Vậy EKL = OLD (c.g.c)
=> KEL = LDO mà LDO + OLD = 900
=> KLE + OLD = 900 => KLD = 900 (đpcm)
1.2 B C
K Ooooooooo
A D
Gọi F là trung điểm của BO, EL là đường trung bình của tam giác OBC
=> FL // BC => DFL = DBC = 450 và FL = 12 BC = 21 a
Xét tam giác AKL và tam giác FLD có :
AK = FL = 12 a
KAL = LFD = 450
AL = FD = 43 d
Vậy AKL = FLD (c.g.c)
=> ALK = FDL
Chứng minh tương tự 1.1 có KLD = 900 (đpcm)
F
O
L
Trang 31.3 B M C
K
A D
Gọi M là trung điểm của BC
=> KM là đường trung bình của ABC
=> KM // AC và KM = 21 AC = 21 d (1)
ML là đường trung bình của BOC
=> ML // BO và ML = 21 BO = 41 d (2)
Từ (1) và (2) => KML = 900
Xét KML = DOL (c.g.c)
=> MKL = ODL mà MKL = KLO (so le trong)
=> KLO = ODL
Chứng minh tương tự 1.1 có KLD = 900 (đpcm)
1.4 B C
K N
A D
Gọi N là trung điểm của CD,
O
L
O L
Trang 4LN là đường trung bình của COD => LN // OD và LN = 21 OD = 41 d Nối KO, KO là đường trung bình của BAD => KO // AD => KO KO = 2
1
AD =
2
1
a
Xét KOL và DNL có :
KO = DN = 12 a, OL = NL = 41 d
KOL = DNL (tương ứng vuông góc, đều tù)
Vậy KOL = DNL (c.g.c)
=> KLO = DLN mà DLN = ODL (so le trong)
=> KLO = ODL
Chứng minh tương tự 1.1 có KLD = 900 (đpcm)
1.5.
Gọi E là trung điểm của BO, F là trung điểm của OD Ta có KE là đường
trung bình của ABO => KE // AO => KE BD và KE =
2
1
AO =
4
1 d
EL là đường trung bình của BOC
=> EL // BC => EL CD và EL = 21 BC = 12 a B C
FL là đường trung bình của COD
=> FL // CD => FL FL = 21 CD = 21 a K
Xét KEL = DFL có : A D
KE = DF = 41 d
KEL = DFL (tương ứng vuông góc, đều tù)
EL = FL =
2
1 a
Vậy KEL = DFL (c.g.c)
=> EKL = FDL mà EKL = KLA (so le trong)
F
O
Trang 5=> KLA = FDL
Chứng minh tương tự 1.1 có KLD = 900 (đpcm)
1.6.
Gọi M là trung điểm của CD, LM là đường trung bình của COD =>
LM // OD và LM = 21 OD = 41 d
Mặt khác KM đi qua O, KM = AD = a và KM // AD => LMK = ODA =
450
Xét KLM và DLC có : B C
KM = DC = a
KML = DCL = 450 K M
ML = CL = 14 d
VậyKML = DLC (c.g.c) A D
=> LKM = LDC
Gọi giao điểm của KM và LD là N
Ta thấy LDC + DNM = 900, lại có DNM = KNL (đối đỉnh)
=> LKM = KNL = 900
=> KLD = 900 (đ.p.c.m)
1.7.
Từ L kẻ LS AB (S AB) và LT AD (T AD) vì AC là phân giác góc BAD nên LS = LT, vì LC = 14 AC nên theo định lý Talét :
DT = 41 AD = 14 a
Và BS = 41 BA mà BK = 21 BA => KS = 41 AB = 14 a
Xét SKL và TDL có :
SL = TL (chứng minh trên)
LSK = LTD = 900
O L
N
Trang 6SK = TD = 41 a
Vậy SKL = TDL (c.g.c) B C
=> SLK = TLD S
Mà SLK + KLT = 900 K
=> KLT + TLD = 900
=> KLD = 900 (đ.p.c.m) A D
* Cách 2 :
H
ư ớng dẫn : Để chứng minh KL LD có thể chứng minh KL vuông góc với 1 đường thẳng nào đó, mà đường thẳng này song song với LD (hoặc chứng minh LD vuông góc với 1 đường thẳng song song với KL) Trong cách chứng minh này việc tạo ra đường thẳng trung gian thích hợp là điều quan trọng Theo hướng này, có các cách chứng minh sau :
2.1.
Gọi P là trung điểm của OD => LP là đường trung bình của OCD =>
LP // CD => LP // AK và LP = 21 CD B C
=> LP = AK = 12 a K
Do đó AKLP là hình bình hành A D
=> AP // KL (1)
Trong tam giác ALD có DO AL, LP // AK (c.m.t)
=> KP AD => P là trực tâm
=> AP LD (2)
Từ (1) và (2) => KL LD hay KLD = 900 (đ.p.c.m)
2.2.
Lấy E là trung điểm của OB, KE là đường trung bình của OB, KE là đường trung bình của ABO => KE // AO => KE // CL
Mặt khác KE = 12 AO => KE = 14 AC => KE = CL
O L
P
T L
O
Trang 7Do đó KECL là hình bình hành => EC // KL (1)
EL là đường trung bình của BOC => EL // BC => EL CD
Trong ECD có EL CD và CL ED B C
=> L là trực tâm => DL là đường cao
=> DL EC (2) K
Từ (1) và (2) => KL LD
Hay KLD = 900 (đ.p.c.m) A D
Cách 3 :
H
ư ớng dẫn : Dùng định lý Pytago đảo để chứng minh KLD vuông tại
L Muốn vậy phải so sánh được độ dài 3 cạnh của tam giác đó
Để tính độ dài 3 cạnh của tam giác KLD có thể áp dụng định lý Pytago vào các tam giác vuông có liên quan
3.1.
Qua L kẻ đường thẳng song song với AD cắt AT ở I và cắt CD ở J, ta có
LI AB và LJ CD Theo định lý Talét ta có ; B C
BI = 14 BA => IK = 14 BA = 4a I J
CJ =
4
1
CD => JD =
4
3
CD =
4
3a
K
LJ = 14 AD = 4a
IL =
4
3
BC =
4
3a
A D
Áp dụng định lý Pytago vào các tam giác :
KIL : KL2 = KI2 + IL2
=
8
5 16
10 16
9
16
2 2 2
a
LJD : LD2 = LJ2 + LD2
=
8
5 16
10 16
9
16
2 2 2
a
(Hoặc LJD = KIL (c.g.c)
O
E
L
O L
Trang 8=> LD = KL => LD2 = KL2).
KAD : KD2 = AK2 + AD2 =
4
5 4
2 2
a
a
Ta thấy : KL2 + LD2 = 2 2 2 2 2
4
5 8
10 8
5 8
5
KD a
a a
a
Theo định lý Pytago đảo thì KLD vuông tại L hay KLD = 900
(đ.p.c.m)
3.2.
Lấy A là trung điểm của AO, KQ là đường trung bình của ABO
=> KQ // BO => KQ AC và KQ = 12 BO = 41 BD = d4 =
4
2
a
Áp dụng định lý Pytago vào các tam giác vuông :
LOD : LD2 = LO2 + OD2 =
2 2
2
2 4
2
=
8
5 4
2 16
2a2 a2 a2
KQL : KL2 =
8
5a2 (KQL = LOD) A C
KAD : KD2 =
4
5a2 (như trong 3.1) K
=> LD2 + KL2 =
8
5a2
+ 8
5a2
= 4
5a2
= KD2 A D Vậy theo định lý Pytago đảo thì KLD vuông tại L hay KLD = 900
(đ.p.c.m)
* Cách 4 :
H
ư ớng dẫn :
Theo tính chất của tam giác cân ; trung tuyến ứng với cạnh đáy đồng thời
là đường cao, do đó cần tạo ra một tam giác cân mà một trong 2 đoạn KL hoặc
LD thuộc cạnh đáy, đoạn kia nằm trên trung tuyến xuất phát từ đỉnh của tam giác cân đó
Cụ thể chứng minh như sau :
4.1.
Kéo dài KL cắt tia BC ở M, KO là đường trung bình của ABC
O L
Q
Trang 9=> KO // BC => KO // BM và KO = 21 BC = 2a
Xét KOL và MCL có : B C M KLO = MLC (đối đỉnh)
OL = CL = d4 K
KLO = MLC (so le trong)
Vậy KOL = MCL (c.g.c) A D
=> KO = CM =
2
a
và KL = LM
Xét AKD = CMD có :
AK = CM = 21 a
KAD = MCD = 900
AD = CD = a
Vậy AKD = CMD (c.g.c)
=> KD = MD
=> DKM cân đỉnh đỉnh D mà KL = LM (chứng minh trên)
=> DL là trung tuyến thuộc cạnh đáy
=> DL là đường cao
=> DL KL hay KLD = 900 (đ.p.c.m)
4.2.
Trên tia đối của tia LD lấy điểm E sao cho EL = LD Tứ giác ECDO có các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành
=> OE = CD = a và OE // CD
KO là đường trung bình của ABD
=> KO = 12 AD = 21 a và KO // AD => KOE = 900
Xét KOE và KAD có :
KO = KA =
2
1
a
O L
E
B
Trang 10KOE = KAD = 900
OE = AD = a K
Vậy KOE = KAD (c.g.c)
=> KE = KD A D
=> KED cân đỉnh K mà L là trung điểm của ED
=> KL là trung tuyến thuộc cạnh đáy DE => KL là đường cao => KL
DE
=> KLD = 900 (đ.p.c.m)
C KẾT LUẬN:
Tóm lại tuỳ theo việc khai thác bài toán theo góc độ khác nhau, tuỳ thuộc vào trình độ kiến thức của từng khối lớp, từng học sinh mà chúng ta vận dụng hướng dẫn học sinh giải bài toán trên một cách phù hợp Vì vậy đòi hỏi người giáo viên một sự đầu tư lớn trong việc nghiên cứu kiến thức sgk, hệ thống bài tập phương pháp hướng dẫn học sinh tìm lời giải Từ đó giúp học sinh có năng lực độc lập sáng tạo, phát hiện và giải quyết vấn đề hiệu quả
- Chỉ qua một VD về bài toán trên đã có nhiều điều bổ ích cho việc hướng dẫn học sinh phương pháp giải bài tập khai thác nhiều kiến thức phát triển tư duy một cách hiệu quả
Nếu điều đó được áp dụng ở nhiều bài toán khác, thì tôi chắc chắn rằng hiệu quả giáo dục cao, giúp học sinh có kết quả tốt trong học tập và phát triển trí tuệ tạo ra được hứng thú trong học tập của học sinh
O L