skkn sử dụng geometeris sketchpad trong dự đoán hướng giải bài toán quỹ tích lớp 9

Sử dụng Geometer's Sketchpad trong dự đoán hướng giải bài toán quỹ tích lớp 9 I Lý do chọn đề tài: - Luật giáo dục, điều 24.2 đã ghi "Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy được tí

Sử dụng Geometer's Sketchpad trong dự đoán

hướng giải bài toán quỹ tích lớp 9

I) Lý do chọn đề tài:

- Luật giáo dục, điều 24.2 đã ghi "Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy được tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh"1

- Xuất phát từ quan điểm nhận thức: “Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng và từ tư duy trừu tượng đến thực tiễn” Trong dạy học, phương tiện dạy học tạo ra khả năng tái hiện lại các sự vật hiện tượng một cách gián tiếp, bởi vì các hiện tượng sự vật đó không phải bao giờ cũng xảy ra một cách trực tiếp trong các giờ học Nó góp phần tạo nên trong ý thức của học sinh những hình ảnh trực quan cảm tính của sự vật hiện tượng, ở giai đoạn này hình ảnh trực quan bao giờ cũng là thành phần và tiền đề bắt buộc của tư duy ở giai đoạn kết thúc nghiên cứu sự vật hiện tượng cần phải cho học sinh thấy sự vận dụng trong thực tiễn của

nó Điều này khó đạt nếu thiếu phương tiện dạy học Phương tiện dạy học góp phần tạo cho học sinh động cơ học tập đúng đắn

- Để làm được điều đó thì việc sử dụng phương tiện dạy học là rất cần thiết, nhất là những vấn đề mà việc dùng kênh chữ, lời nói không diễn tả hết được Giải phóng giáo viên khỏi nhiều công việc có tính chất thuần tuý để có nhiều thời gian hơn trong công tác sáng tạo trong hoạt động với học sinh

- Với dạng toán quỹ tích là một trong những vấn đề khá khó đối với học sinh Vì vậy việc dạy cho học sinh giải bài toán quỹ tích là không dễ Học sinh lớp 9 thường có tâm trạng lo sợ, e ngại trước những bài toán về quỹ tích Lý do chính là học sinh chưa nắm bắt được môn toán mới về lý thuyết tập hợp áp dụng

các phần tử của tập hợp là những điểm hình học, thông thường quỹ tích của một

đối tượng gắn liền với sự thay đổi hoặc chuyển động của một đối tượng nào đó Nếu như đối với những bài toán hình học khác thì đề bài nêu ra đã cho biết phần kết luận rồi (Ví dụ bài toán chứng minh 3 điểm thẳng hàng….) thì chỉ cần tìm con đường đi đến đích là được, tuy rằng con đường đi đến cũng lắm chông gai Trái lại gặp một bài toán về quỹ tích, các học sinh như đi trong bóng tối, băn khoăn không biết quỹ tích phải tìm là hình gì, nên hướng lý luận về đường nào và

đi đến kết luận gì thì mới đúng Để đoán nhận được quỹ tích của một điểm nào

đó thường thì người học phải vẽ hình ở những vị trí riêng biệt khác nhau, rồi rút

ra tính chất chung từ các trường hợp riêng đó

- Có thể thấy được rằng quỹ tích là môn phần yêu cầu sự minh họa bằng trực quan rất cao, để cho học sinh thấy được điều mà học sinh cần tìm Ngày nay, với sự bùng nổ của công nghệ thông tin, những thiết bị dạy học có ứng dụng công nghệ thông tin vào trong giảng dạy toán ngày càng nhiều Đặc biệt là phần mềm dạy học toán Geometer's Sketchpad sẽ giúp người học khắc phục được những khó khăn trên Với Geometer's Sketchpad chỉ dựng hình một lần, sau đó thay đổi vị trí tuỳ ý, các vị trí này giúp học sinh đoán nhận quỹ tích một cách dễ dàng.Trong những trường hợp phức tạp hơn thì có thể tạo vết cho đối tượng và ta sẽ có dạng của quỹ tích khi đối tượng thay đổi Ngoài ra từ sự chuyển động của một đối tượng chúng ta có thể khám phá thêm quỹ tích của các đối tượng khác có liên quan hoặc mở rộng bài toán đang xét

Có thể nói Geometer's Sketchpad giúp giáo viên và học sinh trong việc dạy và học toán, đặc biệt là hình học động thu được kết quả cao

Xuất phát từ nhận thức đó tôi mạnh dạn trình bày một số suy nghĩ của bản thân làm thế nào để sử dụng Geometer's Sketchpad một cách có hiệu quả trong giờ dạy học toán quỹ tích Gây được hứng thú, trong việc học tập bộ môn, phát triển tư duy, sáng tạo, chủ động trong học tập của học sinh

II) Phạm vi đề tài:

Với chương trình toán phổ thông cấp 2, trong bài viết này quỹ tích chỉ

được xét đến hai loại hình đó là:

* Quỹ tích là một đường thẳng hoặc một đoạn thẳng

* Quỹ tích là một đường tròn hoặc cung tròn

Trên cơ sở dùng phần mềm toán học Geometer's Sketchpad để dự đoán quỹ tích và từ đó phân tích nhằm tìm cách giải cho bài toán đó, chứ không đi sâu vào thực hiện giải một bài toán mà chỉ định hướng trước con đường mà học sinh cần làm để đạt được kết quả cao Khắc phục sự mò mẫm trong giải các bài toán quỹ tích., tạo sự thuận lợi cho người học

III) Nội dung đề tài:

3.1 Khảo sát thực tế:

* ưu điểm:

Trường đóng trên địa bàn thị trấn nên phụ huynh rất quan tâm đến việc học tập của con em mình, học sinh có điều kiện để mua sắm các loại sách phục vụ cho việc học tập Là một trường trọng điểm chất lượng cao nên được sự quan tâm rất lớn của các cấp, các ngành và địa phương, sự chăm lo việc đổi mới phương pháp dạy học của Ban giám hiệu và năng lực vững vàng của đội ngũ sư phạm nhà trường đã được khẳng định trong nhiều năm qua, một trong những trường THCS sớm được trang bị các phương tiện dạy học hiện đại như: Máy chiếu Projector; máy Vi tính… Đây là những thiết bị cần có để soạn giảng giáo án điện tử và dạy quỹ tích bằng phần mềm Geometer's Sketchpad Mặt khác các em học sinh sớm

được tiếp cận với máy vi tính nên đó cũng là một điều kiện thuận lợi cho dạy học của nhà trường

* Nhược điểm: Tuy vậy để thực hiện đại trà còn gặp một số khó khăn như:

- Phòng học riêng biệt cho việc giảng dạy có lắp đặt cố định máy chiếu chưa

có, do đó khi bắt đầu một tiết dạy giáo viên phải đưa đến từng lớp nên rất cồng kềnh và tốn thời gian Học sinh bước đầu chưa quen với phương pháp dạy học có

sự hỗ trợ của phần mềm toán học Gemeter’s Sketchpad nên tiếp thu có phần bở ngỡ

Tâm lý lo sợ, e ngại của các em về toán quỹ tích phần nào cũng ảnh hưởng đến việc học tập

- Mặt khác, chúng ta có thể thấy rằng việc soạn giảng một tiết bằng Geometer's Sketchpad tốn khá nhiều công sức và đòi hỏi người giáo viên dạy Toán phải có kiến thức nhất định về Tin học, nhất là kỹ năng sử dụng phần mềm dạy học toán Geometer's Sketchpad

3.2 Tỷ lệ khảo sát năm học 2006 - 2007

Được sự giúp đỡ, chỉ đạo của Ban giám hiệu nhà trường, tôi đã tiến hành kiểm tra việc tiếp thu của học sinh sau khi học xong bài cung chứa góc của học sinh lớp 9 năm học 2006 - 2007 khi Geometer's Sketchpad chưa được đưa vào giảng dạy với bài toán sau:

"Cho đường tròn (O) đường kính AB Điểm C di động trên (O) Gọi M là giao

điểm ba đường phân giác trong của D ABC Điểm M di động trên đường nào"2 Kết quả thu được như sau:

Tổng

Trung

TB trở lên

36

2 5,5 8 22,2 12 33,3 10 27,8 4 11,2 22 61

Nhìn vào kết quả đó có thể thấy rằng chất lượng chưa được cao, các em giỏi khá chưa nhiều, vẫn còn số học sinh, yếu kém

IV Nội dung - Giải pháp:

Trước hết chúng ta cùng xét bài toán 1: "Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và M là một điểm thuộc nửa đường tròn đó Kẻ MH ⊥AB Trên tia OM

lấy điểm N sao cho ON = MH Tìm quỹ tích N khi M thay đổi trên nửa đường tròn"3

2 Chuyên đề bồi dưỡng hình học 9, NXB TP.HCM, 2005 Tr 59

3 Thực hành giải toán, NXB GD, Tr 327

Nếu để bài toán trên thì học sinh phải mò mẫm để tìm ra quỹ tích N khi M thay đổi trên nửa đường tròn (O) Khi sử dụng Geometer's Sketchpad thì học sinh

có thể thấy ngay quỹ tích N khi M thay đổi:

Theo yêu cầu của đề bài ta có hình vẽ sau:

N

O A

M

Với hình vẽ trên thì chưa biết được quỹ tích điểm N là gì Bây giờ ta thử cho điểm M chuyển động, khi đó N sẽ chạy trên đường nào? Trong khi cho M chuyển động giáo viên nên tạo vết cho điểm N để học sinh thấy được đường chuyển động của điểm N

Chúng ta quan sát các hình sau:

Khi M ≡ B thì N ≡ O:

A NO B

M

Cho M thay đổi trên nửa đường tròn (O):

N

O A

M

Tiếp tục cho M chuyển động:

N

A

M

Ta thấy rằng: Khi H ≡ O thì M ≡ N

Khi M ≡ A thì N ≡ O:

N

M

Bằng trực quan học sinh thấy được quỹ tích các điểm N khi M thay đổi trên nửa đường tròn tâm O Đó là một đường tròn đường kính chính là đoạn thẳng nối điểm O với điểm chính giữa cung tròn AB

Do vậy, học sinh cần chứng minh N nằm trên đường tròn đường kính chính là

đoạn thẳng nối điểm O với điểm chính giữa cung tròn AB

Nếu như học sinh chưa biết cách làm thì giáo viên có thể phân tích thêm: Yếu tố cố định: Nửa đường tròn đường kính AB; O

Yếu tố không đổi: ON = MH; 0

H=90 Yếu tố thay đổi: M; N; H Như vậy nếu gọi I là điểm chính giữa của AB thì I

cố định, do đó OI cố định Vì đã biết được quỹ tích N là đường tròn đường kính

OI nên học sinh cần phải chứng minh được ONI nhìn đoạn thẳng OI dưới một góc 900 Tức là chứng minh ONI = 900

N I

O A

M

Dễ dàng chứng minh được:

OB = OM; (cùng bằng bán kính đường tròn (O))

ON = MH (gt)

ION = OMH (so le trong, IO // MH) Vậy ∆ION= ∆OMH (c.g.c)

Bài toán 2: "Cho C là một điểm thay đổi trên nửa đường tròn cố định

đường kính AB Trên AC lấy điểm D sao cho AD = BC Tìm quỹ tích điểm D"4 Theo đề bài ta có hình vẽ sau:

D

B A

C

Khi cho C ≡ B thì D ≡ A

D

B A

C

Cho C thay đổi trên nửa đường tròn và tạo vết cho điểm D

D

B A

C

Học sinh sẽ thấy rằng D cũng chuyển động trên một cung tròn

Khi C đến tại vị trí điểm chính giữa của cung AB thì D ≡ C

D

B A

C

Tiếp tục cho C thay đổi đến vị trí của A:

A' º

D

B A

Nhìn vào sự chuyển động của điểm D học sinh có thể dự đoán được quỹ tích điểm D khi C thay đổi

Mặt khác nếu C dần đến A thì AC dần tới vị trí giới hạn là tiếp tuyến với nửa đường tròn đường kính AB và khi C dần đến A thì D có vị trí giới hạn là

điểm A' sao cho AA' ⊥AB tại A; AA' = AB

A'

D

B A

C

Vậy quỹ tích điểm D là nửa đường tròn đường kính AA' nằm trên cùng một nửa mặt phẳng với nửa đường tròn đường kính AB có bờ là đường thẳng AA'

Yếu tố cố định: nửa đường tròn đường kính AB

Yếu tố không đổi : AD = BC; 0

Yếu tố thay đổi: D; C

A'

D

B A

C

Đến đây có thể xây dựng phương án giải bài toán trên như sau: Trên cùng một nửa mặt phẳng với nửa đường tròn đường kính AB có bờ là đường thẳng AB, kẻ tia Ax ⊥AB Trên tia Ax lấy điểm A' sao cho AA' = AB Nối A'với D Dễ dàng chứng minh được:

AD = BC (gt) ; AA' = AB (cách dựng)

2

= sđAC) Vậy ∆ADA' = ∆BCA (c.g.c)

Bài toán 3: "Cho góc vuông xOy và điểm A cố định nằm trong góc đó

Điểm B chạy trên Ox, điểm C chạy trên Oy sao cho AB ⊥AC Tìm tập hợp hình

chiếu của A trên cạnh BC"5

Nhận xét: Đây là một bài toán tương đối khó đối với học sinh, song nếu dùng Geometer's Sketchpad để đoán chuyển động hình chiếu của điểm A trên cạnh BC

là tương đối dễ

Theo bài ra, ta có hình vẽ sau: (H là hình chiếu của điểm A trên BC)

x

y

H C

O

A

B

Sau đó cho điểm C chuyển động và tạo vết cho điểm H

x

y

H C

O

A

B

Khi B trùng với O thì hình chiếu của A trên BC là Q ( H ≡Q)

x

y C

O

A

B Q

x y

P

C O

A

B Q

Khi C ≡O thì hình chiếu của A trên BC là P

Ba điểm H, P, Q có khả năng thẳng hàng Dự đoán quỹ tích thuộc loại đường thẳng Đường thẳng này đi qua hai điểm cố định là P, Q (Hình chiếu của A trên

Ox và Oy)

Bài toán 4: "Cho đường tròn tâm O, trên đường tròn đó lấy hai điểm cố định B,

C và điểm A di động Tìm quỹ tích trực tâm H của ∆ABC khi A thay đổi trên

đường tròn"6

Nhận xét: Đây là bài toán tương đối khó đối với học sinh Khi giải bài toán này học sinh thường không biết bắt đầu từ đâu Bây giờ ta có thể sử dụng Geometer's Sketchpad để dự đoán quỹ tích điểm trực tâm H của ∆ABC

Quá trình cho học sinh quan sát chuyển động của điểm A trên đường tròn tâm O, thì thấy được chuyển động của điểm H là trực tâm của ∆ABC

H O

B

A

C

H O

B

A

C H

O

B

A

C

O

H

O

B

A

C

H O

B

A

C

Khi đó có thể dễ dàng phát hiện ra rằng khi A chuyển động trên đường tròn tâm O thì trực tâm H của ∆ABC cũng chuyển động trên một đường tròn Bây giờ là vấn đề phân tích để tìm cách chứng minh cho dự đoán trên (Đây là một dự

đoán chính xác)

Vậy người giáo viên cần phải có sự gợi ý hợp lý để học sinh nhận ra được cách chứng minh trên; Nếu gọi giao điểm của AH kéo dài với đường tròn (O) là K; HK cắt BC tại I, thì khi A chạy trên đường tròn (O) thì K cũng chạy trên

đường tròn (O) Vậy giữa K và H có mối liên hệ gì không?Em có nhận xét gì về

độ dài hai đoạn thẳng IH và IK trên (lên màn hình)

I K

H

O

B

A

C

I K

B

A

C

2 1

K

H O

B

A

C

Trên cơ sở các hình vẽ học sinh chứng minh được B 2 = A 1 ( Góc có cạnh tương ứng vuông góc) B 1 = A 1 (góc nội tiếp cùng chắn cung KC) Để từ đó thấy

được B 2 = B 1

Từ đó học sinh có thể chứng minh dễ dàng HI = KI và thấy được H là điểm

đối xứng của điểm K qua trục BC Do đó khi K chạy trên đường tròn (O) thì H chạy trên đường tròn (O') là ảnh của đường tròn (O) qua phép đối xứng trục BC

Trên đây là một số bài toán quỹ tích cho dù nó không khó lắm đối với học sinh khá giỏi nhưng đối với đại đa số học sinh lớp 9 thì việc phát hiện, đoán nhận quỹ tích trong các bài trên cũng không phải là dễ Việc đoán nhận quỹ tích ban

đầu là tương đối khó, song với sự hỗ trợ Geometer's Sketchpad việc đoán nhận quỹ tích trở lên dễ dàng, khi đã thấy quỹ tích của các điểm cần tìm rồi ta chỉ việc

đi tìm cách chứng minh điều mà ta đã biết đó Từ đó có hướng để phân tích và xây dựng cách giải cho bài toán quỹ tích

Chúng ta thấy được rằng việc sử dụng các phần mềm dạy học Toán hiện nay, đặc biệt là Geometer's Sketchpad nó giúp ích rất nhiều cho giáo viên trong việc dạy và học môn hình học động, Quỹ tích chỉ là một phần trong các ích lợi

mà Geometer's Sketchpad mang lại Và cũng thấy được rằng sự trừu tượng của toán hình học động gây khó khăn cho học sinh, vậy để học sinh tiếp thu được tốt nhất thì chúng ta phải mô phỏng tính trừu tượng trên bằng những hình ảnh trực quan mà đa số học sinh dễ dàng nhận ra

V) Kết quả đạt được

Trong quá trình giảng dạy thực tế với việc áp dụng phần mềm toán học Geometer's Sketchpad vào trong các tiết dạy về toán quỹ tích của lớp 9 và việc

đọc sách báo tham khảo, tài liệu bồi dưỡng thường xuyên, tham gia các đợt tập huấn về ứng dụng Công nghệ thông tin và truyền thông vào dạy học môn Toán Bản thân tôi đã hiểu và áp dụng Geometer's Sketchpad vào dạy thu được kết quả cao hơn Nó ảnh hưởng không nhỏ đến kết quả học tập của học sinh

Giúp các em thấy được bản chất của vấn đề đang học, gây nên sự hứng thú tích cực học tập cho các em Làm cho học sinh chủ động hơn trong học tập và không ngừng tìm tòi thêm nhiều cách giải mới Khắc phục được tâm lý lo sợ khi gặp dạng toán về quỹ tích

Kết quả khảo sát thực tế tại lớp 9A trường THCS Nguyễn Hàm Ninh năm học 2007 - 2008 kết quả thu được như sau:

(Với một bài toán tìm quỹ tích đã kiểm tra năm học 2006 - 2007)

Tổng

Trung

45

Nhìn vào số liệu thống kê đó, cho dù kết quả chưa được cao lắm song bước đầu

đã có sự nâng cao về chất lượng rõ rệt so với việc dạy toán quỹ tích không có sự

hỗ trợ của Geometer's Sketchpad