Tài Liệu Về Cơ Sở Toán Học Của Mã Chống Nhiễu

Cơ sở toán học của mã chống nhiễuĐây là tài liệu được lưu giữ trong quá trình học tập của các bạn sinh viên các trường Đại Học,được biên soạn làm sẵn trên PowerPoint và Word rất thuận tiện cho việc trình chiếu khi thảo luận.Mong nó sẽ giúp ích cho các bạn đỡ tốn nhiều thời gian mắc công phải tìm kiếm tài liệu rồi mất nhiều thời gian biên soạn.Chúc các bạn thành công

Một số khái niệm cơ bản

• Nhóm G: Một tập G với một toán tử hai ngôi (*) đ ợc định nghĩa trên nó nếu thỏa mãn điều kiện sau:

• NÕu to¸n tö hai ng«i (*) tho¶

m·n ®iÒu kiÖn víi mäi a, b thuéc G: a*b = b*a

th× nhãm G cã tÝnh giao ho¸n

Phép cộng và phép nhân

modul:

1 phép cộng modul: cho một số nguyên d ơng bất kỳ m xác

định Xây dựng một tập số

nguyên G = {0,1 m-1 phép

cộng là phép cộng modul với biểu thức:



b a

G b

ví dụ: cho một số nguyên m xác

định xây dựng tập hợp các số

nguyên G = {0,1,2 m-1} cho

phép + là phép cộng thông th

ờng trên G định nghĩa toán tử

hai ngôi (+) nh sau:

với hai số nguyên i,j thuộc G ta có i

j = r, r là phần d của phép toán (i + J) /m với

2 Với phép (x) là phép nhân thông th ờng, ta xây dựng một phép nhân là phép nhân modul với biểu thức sau:





b a

G b

Ví dụ: cho p là số nguyên tố p

= 1, 3, 5, 7…, G là tập các số nguyên G = {1,2…p-1} với

phép nhân thông th ờng, ta

định nghĩa toán tử hai ngôi (.) trên G nh sau: i (.) j = r

víi r lµ sè d cña phÐp to¸n i(.)j/p víi r thuéc (0,p) phÐp nh©n

Tr êng F: F lµ tËp hîp c¸c phÇn

tö víi hai phÐp to¸n víi hai ng«i: phÐp céng (+) vµ phÐp

nh©n(.) gäi lµ mét tr êng nÕu

tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn:

• F lµ mét nhãm giao ho¸n víi

• PhÐp nh©n cã tÝnh ph©n phèi víi phÐp céng khi trong F cã 3

phÇn tö nh : a,b,c: a.(b+c) =

a.b+a.c

• Sè phÇn tö trong mét tr êng gäi

lµ bËc (order) cña tr êng

Mã tuyến tính:

• đ/n 1: Mã tuyến tính có độ

dài n là mã có các từ mã với các ký hiệu là các dạng tuyến tính

•đ/n 2: Mã hệ thống tuyến tính (n,k) là mã tuyến tính có chiều dài n, trong đó ta có thể tìm đ

ợc vị trí của k ký tự thông tin

trong từ mã

Ma trËn sinh

xÐt xm1,xm2…xmk lµ k bit th«ng tin

® îc m· ho¸ thµnh mét tõ m· Cm k bit th«ng tin ® îc ® avµo m· ho¸vµ

ký hiÖu lµ:

Xm = [xm1xm2…xmk]

®Çu ra cña bé m· ho¸ lµ:

Cm = [cm1cm2…cmn]

Qu¸ tr×nh m· ho¸ trong bé m· ho¸

khèi tuyÕn tÝnh ® îc thÓ hiÖn bëi n

k

n n

g g

g

g g

g

g

g

g G

2 1

2 22

21

1 12

11 2

1

k n

k n

k

p p

p

p p

p

p p

p

P I G

1

0 0 0

0

0 1 0

0

0 0 1

2 1

2 22

21

1 12

11

Từ ma trận G ta thấy Ik là ma trận

đơn vị k.k và P lầm trận k.(n-k)

Ma trận sinh hệ thống tạo ra mã

khối tuyến tính có k bit đầu tiên

là bit thông tin, n-k bit còn lại là

các bit kiểm tra

0 1 1 0 1 0 0

1 1 1 0 0 1 0

1 0 1 0 0 0 1

G

ví dụ: xét mã (7,4) có ma trận sinh:

] ,

[ 1 1 0 1 0 0 0

0 1 1 0 1 0 0

1 1 1 0 0 1 0

1 0 1 0 0 0 1

P I

xmi là các bit thông tin, cmi là các bit

kiểm tra và đ ợc xác định nh sau:

cm5 = xm1+xm2+xm3, cm6 = xm2+xm3+xm4

và

Cm7 = xm1+xm2+xm4

Ma trËn kiÓm tra: mçi ma trËn

sinh G lu«n tån t¹i ma trËn Hn-k,n

1 1 0

1

1 1

11 10

1 0

01 00

1

0 0 0

0

0 1 0

0

0 0 1

k n k k

k

k n

k n

T k n

p p

p

p p

p

p p

p P

I H

PT lµ ma trËn chuyÓn vÞ cña P vµ G.HT = 0

vÝ dô: xÐt m· (7,4) cã ma trËn

sinh:

] ,

[ 1 1 0 1 0 0 0

0 1 1 0 1 0 0

1 1 1 0 0 1 0

1 0 1 0 0 0 1

P I

0 1

0 1

1

0 1

0 1

1 1

0

0 0

1 0

1 1

Nh vËy H ® îc sö dông trong bé m·

Các bài toán tối u của mã tuyến tính nhị phân.

Bài toán 1: với k,d0 xác định, ta phải tìm đ ợc mã có độ dài là lớn nhất để giải đ ợc bài toán này ta có giới hạn

ví dụ: cho k = 4, d0 = 3 theo giới hạn Griesmer ta xác định n>=

3+2+1+1= 7 vậy mã phải có độ dài tối thiểu là n = 7 vậy ta có mã

(7,4,3)có 4 hàng, 7 cột và có khoảng cách tối thiểu là 3.

Bài toán 2: với n, k xác định cần phải tìm đ ợc mã có d0 là lớn

nhất, để giải quyết vấn đề này

ta sử dụng giới hạn Plotkin:

1 2

2

1 0



 n k k

d

đề này.

Vành đa thức và mã xyclic:

• Vành đa thức: xét tập các đa thức có bậc không lớn hơn n-1:

x f

Bậc của f(x) không lớn hơn n-1, f lấy giá trị trong tr ờng F nào đó

th ờng là trong tr ờng nhị phân GF(2) Tập đa thức th ờng đ ợc

xác định hai phép toán là cộng

đa thức và nhân đa thức

Phép cộng đa thức: xét hai biểu thức là:      

i i

n i

i

i x b x b x a

x a

phép cộng giữa hai đa thức:

i

i x c x

c

Trong đó ci = ai+bi phép toán giữa ai và bi là phép toán cộng modul cùng bậc  

5 4

2 5

3

1 1

1 1

1 ,

1 )

(

x x

x x

x x

b x

a

x x

x x

b x

x x

n

i i

i i

i

m

n m n

n n

m m

m m

g f c

g f g

f g

f g

f c

g f g

f g

f c

g f g

f c

g f c

x c

x c x

c x

c c

x g x f x

c

x f

x g

x g x

g g

x

g

x f

x f x

f f

x

f

.

.

.

.

;

,

.

.

.

.

.

,

.

0 2

2 1

1 0

0 2 1

1 2

0 2

0 1 1

0 1

0 0 0

3 3

2 2 1

0

2 2 1

0

2 2 1

modul 2

 

   x b x a

x

c

x x

x x

b x

x x

x

a

.)

(

1,

1)

1 4

2 3

3 2

4 1

5 0

5

0 4

1 3

2 2

3 1

4 0

4

0 3

1 2

2 1

3 0

3

0 2

1 1

2 0

2

0 1

1 0

1

0 0

0

1

0

.

.

.

1

.

.

0 1

1 1

1 1

1 1

1

.

.

1 1

1 1

1 1

1

.

0 1

1

.

1 1

1

x x

x

c

g f

g f

g f

g f

g f

g f

c

g f

g f

g f

g f

g f

c

g f

g f

g f

g f

c

g f

g f

g f

c

g f

g f

c

g f

1 1

0

1 0

, , ,

,

;

.

, ,

;

n

i

i i

n i

i n

i i

a a

a a

b x

a x

x a x x

b

a a

a a

x a x

x x

x

a x

d

a a

a a

d x

x a x

x

a x

d

n n

n

i i

1

0 1

•Vµnh ®a thøc: lµ tËp hîp c¸c ®a thøc víi phÐp to¸n hai ng«i (céng

®a thøc vµ nh©n ®a thøc)theo

modul xn+1 t¹o nªn vµnh ®a thøc Víi c¸c hÖ sè cña c¸c ®a thøc n»m trong GF(2) th× vµnh ®a thøc ® îc

ký hiÖu lµ:Z2[x]/xn+1

•Ideal vµnh ®a thøc: lµ tËp hîp c¸c

®a thøc a(x) lµ béi cña mét ®a

thøc g(x) tho¶ m·n: g   x X n  1 Víi g(x) lµ íc cña

Xn+1

•định lý: bất kỳ một đa thức

bất khả quy bậc m trên tr ờng

GF(2) đều là ớc số của Xn+1 với n

• Đa thức đối ngẫu: g*(x) là đối ngẫu của g(x) đ ợc xác định bởi:

g*(x) = xdeg g(x).g(x-1) với(g(x-1) là biểu thức nghịch đảo của g(x)

ví dụ:  

2 3

3

*

2 3

1 1

1 1

1

x

x x

x

x x

g

x x

x g

x g x

x g G

k .

.

1

vÝ dô: m· xyclic (7,4) cã ®a thóc sinh g(x)= 1+x2+x3 ma trËn sinh lµ:

1011000 1

6 5

3

5 4

2

4 3

3 2

x x

x

x x

x

x x

x

x x

G

Ma trận kiểm tra của mã

x

x

h H

r 1 *

*

*

h  n  1

h*(x) là đa thức đối ngẫu của h(x)

4

*

2 3

4

3 3

2 7

1

1

1 1

1

1

1

1 1

1

x x

x x

h

x x

x

x x

h

x x

x x

h

x x

x x

x

x x

00 1 0 1 1 1 1

6 4

3 2

5 3

2

4 2

x x

x x

x x

x x

x x

x H

Ta cã ma trËn H nh sau:

M· ho¸ m· hÖ thèng: c¸c b íc m· ho¸ m· xyclic (n,k) d¹ng hÖ thèng, cã thÓ dïng

®a thøc sinh hoÆc ®a thøc kiÓm tra Dïng ®a thøc sinh

B1: nh©n ®a thøc th«ng tin u(x) víi X k

n-B2: chia X n-k u(x) cho ®a thøc sinh g(x) nhËn ® îc phÇn d b(x).

B3: h×nh thµnh tõ m· b(x) + X n-k u(x).

Sö dông m¹ch chia víi thanh ghi dÞch n-k tÇng víi hµm håi tiÕp t ¬ng øng víi

®a thøc sinh.

Bit tin

g = 1 cã sù liªn kÕt, cã hai

chuyÓn m¹ch Vµ n-k bé ghi dÞch chøa c¸c hÖ sè xn-k.u(x)

Nguyên lý hoạt động:

Trạng thái ban đầu của các bộ

ghi dịch chứa toàn 0,

• k nhịp đầu của bộ mã hoá la k bit thông tin, k bit này đ ợc đ a

theo nhịp từng bit một vào

thanh ghi dịch

• n-k bit sau là bit kiểm tra

chuyển mạch chuyển vị trí và theo sau là n-k bit kiểm tra

ví dụ: Mã (7,4) với đa thức sinh

g(x) = 1+x+x 3 và đa thức thông tin u(x) = x +1, nhân x n-k u(x) =

x 4 +x 3 =0001100 g2=0 nên không có nối tiếp g2 Có sơ đồ sau

Bit tin

g1

0001100 1

.

2 3

4

2

3 4

3 4

x x

b x

u x

x

c

x x

g

x

x chia

x x

x x

x u x

k n k

n

Dïng ®a thøc kiÓm tra:

• T¹o ®a thøc kiÓm tra tõ ®a thøc sinh    g x

x x

h  n 1

• Nh©n u(x).xn-k=v(x)

• TÝnh c¸c bit kiÓm tra:

k n

j V

h

V k

j k

Dïng c¸c thanh ghi dÞch b»ng víi

sè bit tin C¸c kÕt nèi víi c¸c hÖ

sè cña h(x) khi h=0 th× kh«ng cã kÕt nèi

vÝ dô: m· (7,4) ®a thøc sinh g(x)

0

1 1

1

2 3

4 0

2 1

6 5

3

2

4 3

x x

x

h h

h h

h h

h

x x

x x

x

x x

h

k n

• ThuËt to¸n thiÕt lËp tõ m· hÖ

B íc 3: TÝnh c¸c hÖ sè f cña f(x)

For i= 1 to n-k do

i j n

k

j j

i k

B íc 4: thiÕt lËp tõ m· hÖ thèng:

c = (f0,f1,….fn-1)

f0,f1,f2 lµ c¸c bit kiÓm tra

f3…f6 lµ c¸c bit th«ng tin

i x f x

f

B íc 4: kh«ng söa ® îc sai v× sè lçi

v ît qu¸ kh¶ n¨ng söa sai cña bé

m·

Gi¶i m· cho m· khèi tuyÕn tÝnh.

•Sö dông phÐp gi¶i m· cøng cho

ta hiÖu qu¶ cao lµ sö dông ma

Trong đó S là vectơ n-k phần tử đợc gọi là syndrom của mẫu lỗi.

•Nếu S có các phần tử là 0 thì ứng với các ph ơng trình kiểm tra thoả mãn.

X©y dùng d·y tiªu chuÈn:xÐt m· khèi C(n,k)

• Gi¶ sö: Cm = (c1,c2…ck) lµ tõ m·

truyÒn ®i, vector nhËn ® îc bÊt kú

trong 2 n vector nhËn ® îc, chia 2 n

nhËn ® îc thµnh 2 k tËp con.

•C¸c x©y dùng b¶ng: 

K K

n K

n K

n

K

K K

c e

e e

c e

c e

e

c e

c e

c e

e

c c

c c

c

l l

l

2 2

2 2

2 2

2 2

3 2

2 2

2

2 3

2 1

0 1 1 1 0 1 0

1 1 0 1 0 0

1

H

•N-k =3 nªn cã 2 3 =8 tËp con nªn cã 8 vec tor lçi.

• gi¶ sö vecto truyÒn ®i lµ C =

1001011 nhËn ® îc lµ r = 1001111

tÝnh syndrom cña r:

S = r.H T = (1001111).H T = (011)

1 1

1

1 1

0

0 1

1

1 0

0

0 1

0

0 0

1

1001111

lµ C* =r+e

C*=1001111+

0000100

= 1001011

Giải mã với mã xyclic băng Syndrom cũng t ơng tự, khi biết đa thức sinh của mã xyclic.

•Tìm ma trận kiểm tra từ đa thức sinh.

•tính Syndrom S = r.H T

•tìm vec tor lỗi t ơng ứng syndrom.

•Tìm từ mã đúng C * = r + vecto lỗi.

1 1

0

1 1

1

0 1

1

1 0

1

0 1

0

0 0

1

1 1

1 0 1

0 0

0 1

1 1 0

1 0

0 0

1 1 1

0 1

1

1 1

1

2 3

4

*

2

4 3

x x

h

x x

x x

x

x x

h

    111

1 0

0

1 1

0

1 1

1

0 1

1

1 0

0

0 1

0

0 0

1

1001111

0000100 v©y

C*= 1001011+0000100

= 1001111 lµ m· sau khi gi¶i m·