khai thác biểu diễn bội trong dạy học chủ đề hàm số ở trường trung học phổ thông

Trong dạy học toán, biểu diễn bội được sử dụng để mô tả các khái niệm, các mối quan hệ toán học, các tính chất toán học góp phần hình thành mối liên hệ giữa hình học - đại số, trong đó c

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

MÃ THỊ HIỀM

KHAI THÁC BIỂU DIỄN BỘI TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ HÀM SỐ

Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÁI NGUYÊN, 2014

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

MÃ THỊ HIỀM

KHAI THÁC BIỂU DIỄN BỘI TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ HÀM SỐ

Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Lí luận và PPDH bộ môn Toán

Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Danh Nam

THÁI NGUYÊN, 2014

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả nghiên cứu là trung thực và chưa được công bố trong bất kì công trình nào khác

Thái nguyên, tháng 8 năm 2014

Xác nhận của GV hướng dẫn luận văn Tác giả luận văn

TS Nguyễn Danh Nam Mã Thị Hiềm

LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Danh Nam, người thầy

đã tận tình hướng dẫn em trong suốt quá trình làm luận văn

Em xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Khoa Toán, Phòng Đào tạo trường Đại học Sư Phạm - Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi cho

em trong suốt quá trình học tập và làm luận văn

Em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các GV tổ Toán, HS khối 10, 11 trường THPT Quảng Khê - Bắc Kạn đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình học tập

Dù đã rất cố gắng xong Luận văn cũng không tránh khỏi những khiếm khuyết, tác giả mong nhận được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các bạn

Thái nguyên, tháng 8 năm 2014

Tác giả luận văn

Mã Thị Hiềm

MỤC LỤC

Trang Trang phụ bìa

Lời cam đoan i

Lời cảm ơn ii

Mục lục iii

Danh mục các kí hiệu, chữ viết tắt iv

Danh mục các bảng v

Danh mục các hình vi

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Đối tượng, khách thể và phạm vi nghiên cứu 2

4 Giả thuyết khoa học 2

5 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

6 Phương pháp nghiên cứu 3

7 Đóng góp của luận văn 3

8 Cấu trúc luận văn 4

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1.1 Lý thuyết đa thông minh 5

1.1.1 Tổng quan về lý thuyết đa thông minh 6

1.1.2 Ứng dụng lý thuyết đa thông minh trong dạy học 13

1.2 Biểu diễn bội 17

1.2.1 Biểu diễn 17

1.2.2 Biểu diễn bội 19

1.3 Thực trạng của việc khai thác biểu diễn bội trong dạy học toán ở trường phổ thông 29

1.3.1 Điều tra, quan sát 29

1.3.2 Phỏng vấn 31

1.3.3 Phân tích kết quả 34

1.4 Ứng dụng công nghệ thông tin thiết kế biểu diễn bội trong dạy học toán 34

1.5 Kết luận chương 1 38

Chương 2 KHAI THÁC BIỂU DIỄN BỘI TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ HÀM SỐ Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 39

2.1 Tầm quan trọng của khái niệm hàm số ở trường phổ thông 39

2.1.1 Vai trò, vị trí của kiến thức hàm số trong chương trình môn Toán ở trường phổ thông 39

2.1.2 Chủ đề hàm số ở trường THPT 40

2.1.3 Một số lưu ý khi dạy học chủ đề hàm số 48

2.2 Nguyên tắc biểu diễn bội trong dạy học môn Toán 50

2.3 Khai thác biểu diễn bội trong dạy học môn Toán 54

2.3.1 Dạy học khái niệm hàm số 54

2.3.2 Dạy học khái niệm giới hạn của hàm số 61

2.3.3 Dạy học khái niệm đạo hàm của hàm số 73

2.3.4 Biểu diễn bội hỗ trợ quá trình giải quyết vấn đề 78

2.4 Kết luận chương 2 83

Chương 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 84

3.1 Mục đích thực nghiệm 84

3.2 Nội dung thực nghiệm 84

3.3 Tổ chức thực nghiệm sư phạm 85

3.3.1 Đối tượng thực nghiệm 85

3.3.2 Tiến trình thực nghiệm 85

3.4 Phân tích kết quả thực nghiệm 89

3.4.1 Phân tích về mặt định tính 89

3.4.2 Phân tích về mặt định lượng 90

3.5 Kết luận chương 3 94

KẾT LUẬN 95

TÀI LIỆU THAM KHẢO 97 PHỤ LỤC

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

Viết tắt Viết đầy đủ

DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU

Trang

Bảng 1.1: Các giai đoạn phát triển của biểu diễn 18

Bảng 1.2: Các dạng biểu diễn tính đơn điệu của hàm số 1 3 1 2 2 2 3 2 y x  x  x trên khoảng  1; 2 20

Bảng 1.3: Bảng phân bố khối lượng của 30 con thằn lằn 25

Bảng 1.4: Kiểm tra chất lượng đầu vào 29

Bảng 1.5: Bảng tỉ lệ phần trăm về năng lực biểu diễn bội của HS lớp TN 11A1 và lớp ĐC 11A4 30

Bảng 2.1: Các dạng biểu diễn của hàm số y 2x 51

Bảng 2.2: Bảng phân bố điểm bài kiểm tra số 1 của lớp 11A3 51

Bảng 2.3: Các dạng biểu diễn của tập số liệu trong bảng 2.2 52

Bảng 2.4: Các cách minh họa tính chất: “Hàm số y x3 là hàm số lẻ” 52 x Bảng 2.7: Các dạng biểu diễn của hàm số 3 2 2 y x 58

Bảng 2.8: Bảng giá trị các số hạng của dãy số u n 62

Bảng 2.9: Bảng giá trị các số hạng của dãy số v n 63

Bảng 2.10: Các dạng biểu diễn của giới hạn dãy số u n 2n 1 n   66

Bảng 2.11: Các cách mô tả giới hạn hàm số 1 1 ) (    x x x f 70

Bảng 2.12: Các cách biểu diễn đạo hàm của hàm số 2 ( ) f x x x tại x 0 1 76

Bảng 2.13 77

Bảng 3.1: Kết quả đầu ra của hai lớp TN 11A1 và ĐC 11A4 90

Bảng 3.2: Kết quả đầu ra của hai lớp TN 10A3 và ĐC 10A5 91

Bảng 3.3: Tỉ lệ phần trăm về điểm số của các bài kiểm tra 92

Bảng 3.4: Tỉ lệ phần trăm về năng lực biểu diễn bội của HS 92

Bảng 3.5: Tỉ lệ phần trăm về năng lực biểu diễn bội của HS lớp TN trước và sau TN 93

DANH MỤC CÁC HÌNH

Trang

Hình 1.1: Các chức năng cơ bản của hai bán cầu đại não 7

Hình 1.2: Parabol biểu diễn quỹ đạo rơi của nước từ các đài phun nước 21

Hình 1.3: Ý tưởng tính tổng dựa vào hình vẽ trực quan 23

Hình 1.4: Mô hình toán học động 24

Hình 1.5: Đồ thị hàm sốy 2 x 26

Hình 1.6: Giao diện các cửa sổ làm việc của phần mềm GeoGebra (1) 36

Hình 1.7: Giao diện các cửa sổ làm việc của phần mềm GeoGebra (2) 37

Hình 2.1: Ý nghĩa hình học của đạo hàm 50

Hình 2.2: Mô tả định lí dấu của tam thức bậc hai 53

Hình 2.3 55

Hình 2.4 56

Hình 2.5: Đồ thị hàm số f x( )  x 57

Hình 2.6: Xác định hàm số chứa dãy điểm cho trước 59

Hình 2.7 60

Hình 2.8: Hình ảnh dãy số có giới hạn là 0 62

Hình 2.8: Hình ảnh giới hạn dãy số v n 63

Hình 2.10: Hình ảnh giới hạn hàm số 68

Hình 2.11: Hình ảnh giới hạn dãy số ( 1)2 n n u n   72

Hình 2.12: Ý nghĩa hình học của đạo hàm của hàm số 74

Hình 2.13 79

Hình 2.14: Bài toán xây dựng cây cầu nối hai thành phố 82

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong chương trình môn Toán ở trường phổ thông khái niệm hàm số là một khái niệm quan trọng giữ vị trí trung tâm Theo Khin Chin “không có khái niệm nào có thể phản ánh được những hiện tượng của thực tế khách quan một cách trực tiếp và cụ thể như khái niệm tương quan hàm, không một khái niệm nào có thể bộc lộ được ở trong nó những nét biện chứng của tư duy toán học hiện đại như khái niệm tương quan hàm”

Với khái niệm hàm người ta nghiên cứu các sự vật hiện tượng trong trạng thái biến đổi sinh động của nó chứ không phải trong trạng thái tĩnh tại, trong sự phụ thuộc lẫn nhau chứ không phải tách rời nhau Trong quá trình vận dụng kiến thức hàm số giải bài tập HS có thể rèn luyện tư duy thuật giải, tư duy biện chứng Tuy nhiên, kiến thức về hàm số tương đối phức tạp và trừu tượng với HS, vì vậy trong quá trình dạy học về hàm số thì việc làm thế nào để HS hiểu được các khái niệm là việc làm cần thiết

Sử dụng các loại biểu diễn khác nhau như bảng biểu, đồ thị, kí hiệu, công thức, ngôn ngữ,… để làm rõ các mối quan hệ toán học và các tính chất toán học

sẽ giúp cho HS hiểu rõ bản chất của các mối quan hệ và các khái niệm toán học, đặc biệt là khái niệm hàm số Trong những năm qua các nhà nghiên cứu đã thừa nhận vai trò và tầm quan trọng của biểu diễn bội trong toán học (Kaput

1989, Brener, 1997 Prizo 1999) Dufour-Janvier, Berdnaz và Belanger (1987) cho rằng biểu diễn bội cần phải được sử dụng trong giảng dạy toán học vì nó mô tả rõ các thuộc tính của khái niệm và giúp HS giảm bớt khó khăn trong quá trình giải quyết vấn đề Do vậy, sử dụng các cách biểu diễn khác nhau cho cùng một khái niệm, biết “phiên dịch” và chuyển đổi linh hoạt giữa các dạng biểu diễn khác nhau sẽ giúp HS phát triển tối đa khả năng tiếp cận một khái niệm toán học

Với sự trợ giúp của máy tính điện tử, HS có thể tự đưa ra các phán đoán,

mô hình hoá các tình huống thực tiễn và tiếp cận với các bài toán có mức độ tổng quát hoá và trừu tượng hoá cao Biểu diễn bội chính là khái niệm đóng vai trò quan trọng trong các quá trình này Trong dạy học toán, biểu diễn bội được

sử dụng để mô tả các khái niệm, các mối quan hệ toán học, các tính chất toán học góp phần hình thành mối liên hệ giữa hình học - đại số, trong đó có việc hình thành khái niệm tương quan hàm Do đó, vận dụng biểu diễn bội trong dạy học khái niệm Hàm số và các khái niệm liên quan sẽ giúp HS rèn luyện các thao tác tư duy linh hoạt cũng như hiểu sâu hơn bản chất các khái niệm đó

Từ những lý do trên chúng tôi chọn nghiên cứu đề tài “Khai thác biểu

diễn bội trong dạy học chủ đề hàm số ở trường trung học phổ thông”

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của luận văn là khai thác một số ứng dụng của biểu diễn bội trong dạy học chủ đề Hàm số, góp phần nâng cao hiệu quả dạy học chủ

đề Hàm số ở trường THPT

3 Đối tượng, khách thể và phạm vi nghiên cứu

3.1 Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học chủ đề hàm số ở trường THPT 3.2 Đối tượng nghiên cứu: Khái niệm hàm số và các khái niệm liên quan đến

hàm số

3.3 Phạm vi nghiên cứu: Lớp 10, 11 ở trường THPT

4 Giả thuyết khoa học

Dựa trên các kết quả nghiên cứu về lý thuyết đa thông minh, mỗi học sinh thường tiếp cận một vấn đề theo các cách khác nhau và mỗi dạng biểu diễn

trong toán học thường có các ưu điểm riêng của nó Trên cơ sở đó, nếu khai thác một cách hợp lý biểu diễn bội trong dạy học chủ đề hàm số thì sẽ giúp hiểu

rõ bản chất của khái niệm hàm số và một số khái niệm liên quan đến hàm số, góp phần rèn luyện cho HS các thao tác tư duy linh hoạt trong giải quyết các vấn đề toán học

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

5.1 Nghiên cứu các lý luận về biểu diễn bội trong dạy học chủ đề hàm số ở trường THPT

5.2 Nghiên cứu các cách biểu diễn khái niệm hàm số và các khái niệm liên quan trong chương trình toán THPT bằng cách sử dụng các phần mềm toán học động

5.3 Thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng giả thuyết khoa học và đánh giá tính khả thi, hiệu quả của việc khai thác biểu diễn bội trong dạy học chủ đề hàm số

ở trường THPT

6 Phương pháp nghiên cứu

6.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu về các vấn

đề liên quan đến đề tài của luận văn

6.2 Phương pháp điều tra - quan sát: Quan sát, thăm dò thực trạng của việc

dạy học khái niệm hàm số ở trường THPT qua các hình thức: dạy thử nghiệm,

sử dụng phiếu điều tra, dự giờ

6.3 Phương pháp phỏng vấn: Phỏng vấn trực tiếp GV và HS

6.4 Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy thực nghiệm tại một số trường THPT

để xem xét tính khả thi và hiệu quả của nội dung nghiên cứu được đề xuất

7 Đóng góp của luận văn

7.1 Những đóng góp về mặt lý luận: Hệ thống lý thuyết về vai trò của biểu diễn

bội và một số định hướng khai thác biểu diễn bội trong dạy học môn toán ở trường trung học phổ thông

7.2 Những đóng góp về mặt thực tiễn:

- Nâng cao hiệu quả dạy học khái niệm hàm số ở trường THPT

- Kết quả của luận văn có thể được sử dụng làm tài liệu tham khảo cho GV Toán THPT khi vận dụng biểu diễn bội trong dạy học các khái niệm toán học

- Làm cơ sở để phát triển những nghiên cứu sâu, rộng hơn về những vấn

đề có liên quan trong luận văn

8 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận nội dung luận văn được trình bày trong 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Khai thác biểu diễn bội trong dạy học chủ đề hàm số ở

trường THPT

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Lý thuyết đa thông minh

Vào đầu thế kỉ XX, nhà tâm lý học Alfred Binet đã phát triển một phương pháp cho phép đo lường trí thông minh của các em học HS rồi xếp chúng thành 3 hạng: chậm hiểu, trung bình và sáng trí Ông cho rằng khả năng giải đáp các bài toán của các em HS chính là dấu hiệu cho biết về trí thông minh và khả năng đó sẽ gia tăng theo tuổi trưởng thành vì thế Binet đã làm ra một thứ thước đo trí thông minh [15]

Năm 1905, Alfred Binet và Théodore Simon đã phổ biến một thang đo trí thông minh cho các em tuổi từ 3-13 Các điểm số được tính trong thang điểm Binet và trong các bài trắc nghiệm tương tự đều dùng tới tuổi trí tuệ Một

em nhỏ có tuổi trí tuệ là 7 nếu em nhỏ đó có khả năng giải được các bài toán

mà phần lớn các em nhỏ 7 tuổi đều giải được mặc dù tuổi đời của em đó có thể

là 5 hoặc 9 [15]

Năm 1914, nhà tâm lý học người Đức Willam Stern cho biết rằng nhờ so sánh tuổi trí tuệ và tuổi thực người ta biết được sự phát triển của trẻ em Stern cho rằng dùng tuổi trí tuệ chia cho tuổi thực là cách để đo lường tốc độ học tập (để tránh số lẻ người ta nhân kết quả với 100) Ông gọi đó “chỉ số tuổi trí tuệ”

Năm 1916 nhà tâm lý học người Mĩ thuộc trường Đại học Stanford là ông Lewis Terman (1877-1956) đã sửa đổi các bài trắc nghiệm của Alfred Binet thành bài trắc nghiệm Stanford-Binet và đưa ra ý niệm về “chỉ số thông minh” IQ

Năm 1949 nhà tâm lý học David Wechsler cho phổ biến “thước đo thông minh Wechsler” dùng cho các thiếu niên từ 5 đến 15 tuổi, thước đo trí thông minh dành cho người trưởng thành (1955) dùng để trắc nghiệm mọi người từ 16 đến 64 tuổi, phần tiêu chuẩn đặc biệt dành cho người cao tuổi từ 60 đến 75 tuổi

Để xác định tuổi trí tuệ, các nhà giáo dục và tâm lý học đã dùng tới các bài trắc nghiệm để đo lường khả năng trí tuệ của các em HS Các câu hỏi được sắp xếp từ dễ đến khó và liên quan đến trí nhớ, cách lý luận, các định nghĩa, khả năng tính các con

số và khả năng nhớ lại các dữ kiện Theo cách tính theo IQ điểm trung bình là 100 theo các bậc, ví dụ từ 132 trở lên là cực kì thông minh, 121-131 là rất thông minh, 89-

110 là thông minh trung bình, 79-88 là kém thông minh, dưới 67 là đần độn

Tuy nhiên bản thân các bài trắc nghiệm đo trí thông minh khó đánh giá một cách công bằng các khả năng của mọi người Ví dụ: nếu các bài trắc nghiệm bằng tiếng Anh thì những người bản xứ sẽ thuận lợi hơn Một người đi du lịch nhiều sẽ

có điểm trắc nghiệm cao hơn những người khác trong lĩnh vực này

Các bài trắc nghiệm về trí thông minh chỉ giới hạn phạm vi đo lường và các khả năng lý luận toán học và ngôn ngữ mà hầu như bỏ quên những năng khiếu khác như sự khéo tay, năng khiếu thể thao, khả năng giao tiếp, âm nhạc, nghệ thuật… Mặt khác trắc nghiệm IQ đã không xét tới tài năng và khuynh hướng thường không được xếp hạng như tài thuyết phục, tài thương lượng

Năm 1988, GS.Howard Gardner và cộng sự đã đặt ra lý thuyết về “đa thông minh”, ban đầu trí thông minh được chia ra 7 loại Và gần đây ông đã thêm vào loại thông minh thứ tám và đặt ra giả thuyết về sự tồn tại của loại thông minh thứ 9 Theo đó một em HS bình thường đều thông minh ở một mức

độ nào đó tại một hay nhiều miền sau: lý luận toán học, ngôn ngữ, âm nhạc, không gian, vận động thân thể, giao tiếp xã hội, nội tâm và thiên nhiên [9]

1.1.1 Tổng quan về lý thuyết đa thông minh

1.1.1.1 Cơ sở của lý thuyết đa thông minh

1, Mỗi trí thông minh đều sẽ tổn thương và biến mất khi có các tác động xâm phạm và gây hại đến những vùng đặc trưng riêng biệt của nó trong bộ não người

Lý thuyết đa trí thông minh tiên đoán rằng trong thực tế trí thông minh

có thể bị cô lập khi bộ não bị tổn thương Gardner đã đưa ra ý kiến là: Nhằm mục đích được công nhận và có thể tồn tại, bất kì một lý thuyết nào về trí thông minh đều phải dựa trên cơ sở sinh học, nghĩa là được bắt nguồn từ cấu trúc vật chất của não bộ Với vai trò là một nhà tâm lý học thần kinh ở Ban quản lý cựu

chiến binh Boston, Gardner đã làm việc với những bệnh nhân bị tổn thương não, một phần nào đó trong 8 loại trí thông minh của họ bị ảnh hưởng, ví dụ như: một người có thương tích ở thuỳ trước trán trong bán cầu não trái thì không thể nói và viết bình thường nhưng vẫn có thể hát, vẽ và nhảy múa một cách bình thường không một chút khó khăn nào Trong trường hợp này thì trí thông minh về ngôn ngữ của anh ta đã bị suy giảm, hư hại một phần Mặt khác, những người bị thương ở thuỳ thái dương bên phải có thể khó khăn khi thực hiện những công việc mang tính chất âm nhạc, nhưng anh ta có thể nói, đọc, viết một cách dễ dàng Những bệnh nhân bị thương ở thuỳ chẩm của bán cầu não bên phải có thể bị suy giảm đáng kể những khả năng nhận biết gương mặt, khả năng quan sát hoặc nhận biết những chi tiết trực quan [9]

Lý thuyết về trí thông minh còn đang tranh luận xem tồn tại hay không 8 hệ thống của não bộ hoạt động một cách độc lập, trí thông minh ngôn ngữ được xem như một chức năng chính của bán cầu não trái ở đa số mọi người, trong khi trí thông minh về âm nhạc, không gian và các năng lực tương tác có xu hướng tập trung tại bán cầu não phải nhiều hơn, trí thông minh về vận động thân thể gồm có

vỏ não vận động, những hành thần kinh cơ sở và bộ phận trước não Thuỳ trước trán là đặc biệt quan trọng đối với trí thông minh của con người

Bán cầu não trái Bán cầu não phải

(Tư duy lý tính) (Tư duy cảm tính)

Lôgíc, quá trình Biểu tượng, hình ảnh

Các con số, chuỗi, tính toán Nhịp điệu, âm nhạc

Ngôn ngữ, từ , lập luận Mô hình, sự tưởng tượng

Hình 1.1: Các chức năng cơ bản của hai bán cầu đại não

Bán cầu não

Trái Phải

Bộ não là một tổ hợp phức tạp lạ thường nên không thể phân chia ra một cách rõ ràng thành 8 khu vực có ranh giới như bản đồ Tuy nhiên lý thuyết đa trí thông minh đã tổng hợp những kết quả đã được khám phá trong hơn 20 năm qua trong lĩnh vực tâm lý học thần kinh theo một cách riêng đáng chú ý

2, Có cách tư duy của các nhà bác học, những người phi thường và các

cá nhân có năng lực hiếm có

Thứ hai trong số tám cơ sở có sức thuyết phục đó là khám phá ra các cá nhân, những người có những khả năng được biểu lộ ở mức độ cao Trong trường hợp là những người phi thường chúng ta bắt gặp những cá nhân sớm phát triển tột bậc ở một khả năng nào đó, còn trong trường hợp là những nhà bác học (hoặc những cá nhân đặc biệt, bao gồm cả những đứa trẻ mắc chứng tự kỉ) chúng ta thường thấy tồn tại duy nhất một khả năng đặc biệt của con người Lối tư duy của người dân cho phép chúng ta quan sát sự thông minh của con người trong mối quan

hệ - sự cách ly Trong phạm vi những người phi thường hoặc những nhà bác học ta

có thể liên kết các nhân tố nguồn gốc với các vùng cụ thể của hệ thần kinh [9]

3, Có thể nhận ra cốt lõi của quá trình hoạt động hoặc tổng thể quá trình hoạt động

Gardner cho rằng giống như mỗi chương trình máy tính cần đến một loạt các thao tác có trình tự nhất định (Ví dụ: DOS), mỗi loại trí thông minh cũng có một tập hợp các hoạt động cốt lõi hợp với bản chất của nó Ví dụ: trong trí thông minh về âm nhạc các biểu hiện bao gồm sự nhạy cảm với chất lượng âm thanh hoặc khả năng phân biệt giữa các loại tiết tấu khác nhau Hoặc trong trí thông minh về vận động thân thể bao gồm khả năng bắt chước sự vận động thân thể của người khác… Gardner nghiên cứu và cho rằng các hoạt động cốt lõi có thể được nhận dạng một cách rõ ràng như mô phỏng trên máy tính [9]

4, Mỗi trí thông minh đều có một lịch sử phát triển của riêng nó

Trí thông minh thường có một lịch sử phát triển đồng nhất với nó và nó không phát triển trong sự cách ly và nó trở nên cần thiết cho các chức năng đặc biệt hoặc các tình huống mà ở đó trí thông minh chiếm giữ vị trí trung tâm

Hơn nữa, nó chứng tỏ có thể nhận ra các mức độ thành thạo khác nhau trong sự phát triển của một loại trí thông minh, từ những lĩnh vực mà người chưa có kinh nghiệm đều có thể vượt qua được đến những mức độ cao nhất, điều mà chỉ thấy được ở những cá nhân tài năng hoặc những người được đào tạo đặc biệt

Sẽ tốt hơn nếu phân biệt rõ ràng các giai đoạn then chốt của lịch sử phát triển

Sự liên kết lịch sử phát triển của trí thông minh và sự phân tích tính nhạy cảm

để điều chỉnh và sự rèn luyện có ý nghĩa quan trọng nhất trong việc giáo dục ra những con người tài năng [9]

5, Mỗi loại trí thông minh đều có những nền tảng giá trị văn hoá riêng của nó

Gardner kết luận rằng mỗi loại trong số tám năng lực tư duy đều có nguồn gốc sâu xa trong sự phát triển của loài người, thậm chí sớm hơn, trong

sự tiến hoá của các loài khác

Ví dụ: Trí thông minh về không gian có thể được nghiên cứu thông qua các bức hoạ về hang động của Lascaux Trí thông minh về âm nhạc có thể tìm

ra nguồn gốc thông qua các dụng cụ âm nhạc nhờ khảo cổ Lý thuyết đa thông minh cũng có bối cảnh lịch sử của nó Chắc chắn trong thời gian tới các loại trí thông minh sẽ trở nên quan trọng hơn bây giờ

Ví dụ: Trí thông minh về tự nhiên và vận động thân thể đã giữ một vị trí quan trọng trong thời kì nguyên thuỷ, khi mà phần lớn người dân sống ở nơi thôn dã

và sống chủ yếu bằng săn bắn và hái lượm Hoặc sẽ có nhiều và nhiều người hơn nữa nhận được các thông tin mà họ cần từ phim ảnh, tivi, DVD và từ trực tuyến, khi

đó vai trò của trí thông minh về không gian sẽ ngày càng tăng Hoặc hiện tại chúng

ta đang rất cần sự phát triển của các cá nhân, những người có năng lực, kinh nghiệm

về thiên nhiên để bảo vệ môi trường sinh thái đang bị đe doạ [9]

6, Được kiểm chứng bởi các cuộc thử nghiệm về tâm lý

Gardner đề xuất rằng bằng cách quan sát tỉ mỉ các cuộc nghiên cứu về tâm lý chúng ta có thể chứng minh được rằng các loại trí thông minh hoạt động một cách độc lập

Ví dụ: trong các cuộc nghiên cứu về sự thành thạo một kĩ năng cụ thể nào đó, chẳng hạn kĩ năng đọc, và thực hiện “phiên dịch” kĩ năng đó sang một lĩnh vực khác, chẳng hạn toán học chúng ta thấy được sự thiếu khả năng trong việc phiên dịch từ các kĩ năng về ngôn ngữ sang lĩnh vực lôgic toán học hoặc trong các cuộc nghiên cứu về nhận thức như trí nhớ, năng lực nhận thứ hay sự ghi nhớ chúng ta thấy rằng các cá nhân sở hữu các kĩ năng có tính chọn lọc Ví

dụ như ở một số cá nhân có sự nhận thức rất tốt về âm thanh có giai điệu, nhưng lại không có khả năng đó đối với các âm thanh bằng lời nói, hoặc có những cá nhân có trí nhớ rất tốt đối với ngôn ngữ nhưng lại không nhớ được các hình ảnh [9]

Mỗi loại năng khiếu riêng biệt đó là các loại trí thông minh cụ thể, theo đó mỗi người có thể có kĩ năng ở các mức độ khác nhau trong tám loại trí thông minh

7, Được kiểm chứng bởi các kết quả điều tra của khoa đo nghiệm thần kinh

Tiêu chuẩn để đánh giá khả năng của con người được trình bày trong các bài kiểm tra mà phần lớn các lý thuyết về trí thông minh sử dụng Mặc dù Gardner không tán thành việc tiêu chuẩn hoá các bài kiểm tra và sự thật là có rất nhiều người ủng hộ việc thay thế các bài kiểm tra chính thức, ông đề xuất rằng chúng ta có thể căn cứ vào tiêu chuẩn các bài kiểm tra đó hỗ trợ cho lý thuyết đa thông minh

Ví dụ: Theo “mức độ trí thông minh cho trẻ em” của Wechsler bao gồm các bài kiểm tra chính thức trong đó cần có trí thông minh về ngôn ngữ (thông tin, từ vựng), thông minh về lôgic toán học (số học), thông minh về không gian (bố cục của một bức tranh), và thông minh về vận động thân thể (Đại hội theo chủ đề) [9]

8, Mỗi trí thông minh có khả năng được biểu tượng hoá

Theo Gardner, một bằng chứng tốt nhất của hoạt động trí tuệ đó là khả năng sử dụng kí hiệu Gardner cho rằng khả năng biểu đạt bằng biểu tượng là yếu tố quan trọng nhất của con người, phân biệt hoàn toàn với các loài khác Ông lưu ý rằng mỗi loại trong tám loại trí thông minh trong lý thuyết của ông đều có tiêu chuẩn về khả năng diễn đạt bằng biểu tượng Sự thật là mỗi loại trí

thông minh đều có hệ thống kí hiệu riêng Ví dụ trong trí thông minh về ngôn ngữ đó là một số cách nói và viết bằng nhiều ngôn ngữ chẳng hạn tiếng Anh, tiếng Pháp, tiếng Tây Ban Nha… Hoặc như đối với trí thông minh về không gian thì đó là các ngôn ngữ đồ hoạ được sử dụng bởi các kĩ sư, các nhà thiết kế, giống như một phần chữ tượng hình trong tiếng Trung [9]

1.1.1.2 Lý thuyết đa thông minh

Theo Gardner, có tám loại trí thông minh [9]:

1, Thông minh về ngôn ngữ: Bao gồm khả năng nói và viết, khả năng học

ngôn ngữ và sử dụng ngôn ngữ để đạt được mục tiêu Trí thông minh này bao gồm cả khả năng sử dụng ngôn ngữ hiệu quả để thể hiện bản thân bằng hùng biện hoặc qua thi ca; hoặc có thể dùng ngôn ngữ để nhớ thông tin Các nhà văn, nhà thơ, luật sư và diễn giả là những người mà theo Howard Gardner có trí thông minh ngôn ngữ tốt

2, Trí thông minh lôgic Toán học: Bao gồm khả năng phân tích các vấn

đề một cách lôgic, thực hiện các hoạt động liên quan đến Toán học tốt, xem xét các vấn đề rất khoa học Theo Howard Gardner thì những người có trí thông minh này có khả năng phát hiện, suy diễn các trình tự, lý do và tư duy logic tốt, cách tư duy theo dạng nguyên nhân - kết quả Trí thông minh này có mối liên quan chặt chẽ với những ý tưởng khoa học và Toán học, khả năng sáng tạo các giả thuyết, tìm ra các mô hình số học và quy tắc dựa trên các khái niệm, đồng thời ưa thích các quan điểm dựa trên lý trí trong cuộc sống nói chung

3, Trí thông minh về không gian: Liên quan đến suy nghĩ bằng hình ảnh,

hình tượng và khả năng cảm nhận, chuyển đổi và tái tạo lại những góc độ khác nhau của thế giới không gian trực quan Những người sở hữu loại trí thông minh

về không gian ở mức độ cao thường có độ nhạy cảm sắc bén với những chi tiết cụ thể trực quan và có thể hình dung được một cách sống động, vẽ ra hay phác hoạ những ý tưởng của họ dưới dạng hình ảnh, đồ hoạ, cũng như họ có khả năng tự định hướng bản thân trong không gian 3 chiều một cách dễ dàng

4, Trí thông minh về vận động thân thể: Khả năng sử dụng cơ thể hoặc

một phần cơ thể con người để giải quyết các vấn đề, bao gồm cả khả năng của trí não điều khiển các hoạt động đó Howard Gardner thấy rằng có sự liên hệ của hoạt động trí óc với hoạt động thể chất Các vận động viên thể thao Những người làm nghề thủ công, những thợ cơ khí, bác sĩ phẫu thuật là những người

sở hữu khả năng này của tư duy Những người thuộc loại tài năng này rất thành công trong nghề thêu may, nghề thợ mộc hay nghề tạo mẫu hoặc họ có thể ham thích và theo đuổi những hoạt động của cơ thể như đi bộ đường dài, khiêu vũ, chạy bộ, cắm trại, bơi lội hoặc đua thuyền Họ là những người thực hành, nhạy cảm, thường xuyên muốn vận động cơ thể của họ và có “phản ứng bản năng” với các tình huống, sự vật

5, Trí thông minh về âm nhạc: Bao gồm các kĩ năng biểu diễn, sáng tác

và cảm nhận âm nhạc Thông minh âm nhạc thúc đẩy khả năng nhận biết và sáng tác âm điệu, cao độ và nhịp điệu Theo Howard Gardner thông minh âm nhạc song song với thông minh về ngôn ngữ Ngoài ra trí thông minh về âm nhạc còn có trong tiềm thức của bất cứ cá nhân nào miễn là người đó có khả năng nghe tốt, có thể hát theo giai điệu, biết dành thời gian cho âm nhạc và nghe được nhiều tiết mục âm nhạc khác nhau với sự chính xác và sáng suốt của các giác quan

6, Thông minh về giao tiếp: Đây là năng lực hiểu và làm việc được với

những người khác Đặc biệt là điều này yêu cầu có khả năng cảm nhận và dễ chia sẻ với tâm trạng, tính cách, ý định và mong muốn của những người khác Một cá nhân có trí thông minh về giao tiếp có thể rất giàu lòng trắc ẩn và đầy tinh thần trách nhiệm đối với xã hội, hoặc là người có sức lôi cuốn mội người

và tập thể, họ còn có khả năng thấu hiểu những người khác và từ đó nhìn ra viễn cảnh của thế giới bên ngoài bằng chính cặp mắt của những người đó Trong thực tế họ rất tuyệt vời với vai trò của người môi giới, người hoà giải hoặc là thầy giáo, tư vấn tâm lý

7, Thông minh về nội tâm: Một người mạnh mẽ về loại trí tuệ này có thể

dễ dàng tiếp cận và nhìn rõ được cảm xúc của chính bản thân mình, phân biệt được giữa nhiều loại trạng thái tình cảm bên trong và sử dụng chính những hiểu biết về bản thân để làm phong phú thêm và vạch ra con đường cho cuộc đời mình Họ có thể là người rất hay tự xem xét nội tâm và ham thích được trầm tư suy nghĩ, được ở trong trạng thái tĩnh lặng hay trong các trạng thái tìm hiểu tinh thần một cách sâu sắc Mặt khác họ có thể là người có tính độc lập mạnh mẽ, tính thẳng thắn cao độ và cực kì tự giác, có kỉ luật Trong bất

cứ trường hợp nào họ thuộc dạng tự lập và thích làm việc một mình hơn là làm việc với người khác

8, Trí thông minh về tự nhiên: Giúp cho con người nhận thức, phân loại và

rút ra được những đặc điểm của môi trường Những người có trí thông minh về tự nhiên luôn hoà hợp với thiên nhiên và thích thú với sự nuôi trồng, khám phá thiên nhiên, tìm hiểu về các sinh vật Những người này thích cắm trại, làm vườn, leo núi, khám phá thế giới và không hứng thú với những đề tài không gần môi trường

1.1.2 Ứng dụng lý thuyết đa thông minh trong dạy học

Có hai con đường chính để dạy và học ứng dụng lý thuyết đa thông minh:

- Dạy và học để thông minh: GV chủ động cá nhân hoá việc học và đánh giá các mặt mạnh của người học

- Dạy và học thông qua các loại trí thông minh: Người học độc lập lựa chọn các hoạt động học tập phù hợp với mục tiêu chương trình dạy học

Dạy và học để thông minh

Con đường “xây dựng dựa trên các

- Hỗ trợ phát triển văn hoá

- Dạy và học dựa trên các mặt mạnh

Dạy và học thông qua các loại trí thông minh

Con đường “hiểu biết” Con đường “các vấn đề thực tế”

- Lựa chọn nhiều phương pháp giảng

dạy để nâng cao sự hiểu biết của HS

- Tạo ra nhiều hoạt động để đánh giá

sự hiểu biết của HS

- Sử dụng các vấn đề của thế giới hiện thực và vai trò của các chuyên gia

- Tạo ra những hoạt động thực tế đánh giá việc học tập của HS Các loại trí thông minh sẽ có ảnh hưởng đến các chiến lược dạy học, cần khai thác các chiến lược sao cho phù hợp với HS Dưới đây tôi xin đưa ra một vài

ý kiến để dạy học ứng dụng lý thuyết đa thông minh theo một số phương diện

Ngôn ngữ

- Giảng giải trong dùng từ và trong bài giảng

- Tạo ra nhiều tình huống để đọc, viết, nói nghe, thuyết phục, thông báo, tranh luận

- Thực hiện liên kết giữa các khái niệm

- Mô tả các bước trong một bài học

- Chia sẻ năng khiếu và sở thích với người học

Âm nhạc

- Sử dụng âm thanh, giọng nói, âm nhạc trong giảng dạy

- Tạo ra nhiều cơ hội để sáng tác và thưởng thức

âm nhạc và các giai điệu

- Liên hệ giữa âm nhạc và các lĩnh vực khác

- Chia sẻ năng khiếu và sở thích với người học (ví

dụ như hát, đàn …)

Không gian

- Tạo ra cho người học nhiều cơ hội để xem tranh ảnh, biểu đồ, video…

- Sử dụng bản đồ tư duy

- Sử dụng ngôn ngữ thuộc về thị giác ví dụ như:

“Tôi thấy những gì bạn muốn” hoặc “nó trông có

vẻ ổn với tôi”

- Chia sẻ năng khiếu và sở thích của bạn với người học (ví dụ như vẽ tranh, chụp ảnh…)

Giao tiếp xã hội

- Khuyến khích việc cộng tác làm việc theo nhóm

- Tạo cho người học cơ hội làm việc độc lập

- Phản ánh, kiểm tra và phát triển việc giảng dạy

- Thiết lập các kế hoạch thường xuyên, báo cáo tiến độ và thời gian

- Chia sẻ một vài suy nghĩ với người học

Vận động thân thể

- Tạo ra nhiều cơ hội để người học được di chuyển

- Mô tả các khái niệm bằng các động tác tay

Một trong những phương pháp dạy học ứng dụng lí thuyết đa thông minh

rõ rệt nhất là dạy học theo góc

Dạy học theo góc là một hình thức tổ chức hoạt động học tập theo đó người học thực hiện các nhiệm vụ khác nhau tại các vị trí cụ thể trong không gian lớp học Dạy học theo góc có những điểm tương đồng với dạy học theo nhóm, theo cặp và một số phương pháp, kĩ thuật, thủ thuật dạy học khác Ưu điểm của học theo góc trong dạy học nói chung và trong môn toán nói riêng là người dạy có thể giao nhiều nhiệm vụ với các mức

độ và năng lực khác nhau theo từng nội dung học tập, mỗi cá nhân tự hoàn thành nhiệm vụ với sự tương tác của người dạy và thành viên trong nhóm Mỗi góc phải chuẩn bị đầy đủ các phương tiện đáp ứng nội dung học tập

và nhiệm vụ các góc cùng hướng tới mục tiêu bài học Dạy học theo góc

có thể áp dụng ở hầu hết các dạng bài học và các bài tập tích hợp kiến thức nhiều môn học

Ví dụ 1.1 Dạy học bài “Giới hạn dãy số”

(Lớp 11- chương trình chuẩn)

Thực hiện ví dụ mở đầu hình thành khái niệm giới hạn

Góc 1: Lập bảng giá trị tương ứng của dãy số

f( )  1 với n > 0

Góc 4: Quan sát, tổng hợp kết quả của các góc, đưa ra nhận xét tổng thể Đối với ví dụ mở đầu này GV tổ chức dạy học theo góc để HS suy nghĩ, thảo luận thực hiện các nhiệm vụ khác nhau nhằm mục đích cuối cùng là hình thành một cách trực quan hình ảnh dãy số có giới hạn là 0 và bước đầu hình thành khái niệm giới hạn

1.2 Biểu diễn bội

1.2.1 Biểu diễn

Có nhiều định nghĩa khác nhau về biểu diễn trong giáo dục toán Hầu hết các nhà nghiên cứu giáo dục toán phân biệt giữa biểu diễn trong và biểu diễn ngoài Trong đó biểu diễn ngoài là những biểu hiện của các ý tưởng hoặc khái niệm như biểu đồ, bảng biểu, đồ thị, sơ đồ… và biểu diễn trong là mô hình nhận thức mà một người có được trong trí óc của họ

Tác giả Asli (1998, [10]) đã đề xuất vai trò của các biểu diễn toán trong dạy học như sau:

- Các biểu diễn là một phần không tách rời của toán học;

- Các biểu diễn là những cụ thể hoá khác nhau của một khái niệm nào đó;

- Các biểu diễn được sử dụng để giảm bớt độ khó của vấn đề;

- Các biểu diễn nhằm làm cho toán học hấp dẫn và thú vị hơn

Biểu diễn như là một công cụ của tư duy (Hahkioniemi, 2006, [12]) Chúng ta biểu diễn một vấn đề hoặc khái niệm toán và dùng biểu diễn đó

để tư duy Hơn nữa, biểu diễn còn được xem như một phương pháp ghi nhớ

và để thông tin Chẳng hạn ta dùng đồ thị để đưa đến khái niệm tiếp tuyến của đường cong tại một điểm như là giới hạn của các cát tuyến đi qua điểm

đó Đồ thị sẽ giúp ta đưa đến biểu thức lấy giới hạn và từ đó đưa ra định nghĩa khái niệm tiếp tuyến

Bruner (2007, [11]) chỉ ra rằng có thể chia biểu diễn thành ba phạm trù theo các giai đoạn phát triển của biểu diễn là Biểu diễn thực tế  Biểu diễn biểu tượng Biểu diễn kí hiệu Phân loại, mô tả của các biểu diễn được trình bày ở bảng sau, trong đó các biểu diễn được xếp từ dưới lên trên theo thứ tự từ

cụ thể đến trừu tượng hơn

Bảng 1.1: Các giai đoạn phát triển của biểu diễn

Biểu diễn kí hiệu Sử dụng số, chữ cái và các

kí hiệu toán Biểu biễn kí hiệu

Biểu diễn ngôn ngữ Sử dụng ngôn ngữ nói và

viết hằng ngày

Biểu diễn biểu tượng Biểu diễn minh hoạ,

trực quan

Sử dụng các minh hoạ trực quan như hình vẽ, sơ

đồ, đồ thị, bảng biểu trên mặt phẳng hai chiều hoặc giả lập 3 chiều trên máy tính

Biểu diễn thực thao tác được

Thực hiện các thao tác lên các mô hình ba chiều thực hoặc mô hình cho phép thao tác

Biểu diễn thực tế

Biểu diễn thực Dựa trên các trạng thái

thực của đối tượng

Để HS có thể nhận thức được một khái niệm, cần kết hợp những biểu diễn khác nhau nhằm thể hiện được các khía cạnh của khái niệm đó Chúng tôi quan tâm nhiều đến biểu diễn trực quan và biểu diễn trực quan động thể hiện trên máy tính nhờ các phần mềm toán học động

* Biểu diễn trực quan:

Theo Arcavi (2003, [13]), trực quan hoá là khả năng, quá trình và sản phẩm của sự sáng tạo, giải thích, sử dụng và phản ánh dựa trên các hình vẽ, hình ảnh, sơ đồ trong đầu chúng ta, trên giấy hay trên các công cụ khoa học công nghệ với mục đích mô tả và giao tiếp thông tin, tư duy và phát triển các ý

tưởng chưa biết trước đó để đi đến việc hiểu Vai trò của biểu diễn trực quan được nhấn mạnh với các ví dụ về thống kê, số học, hình học, đại số và giải tích

* Biểu diễn trực quan động:

Finzer & Jackiw (1998, [14]) trong nghiên cứu của mình đã đề cập đến thao tác động trên các phần mềm hình học động và vai trò của nó trong hỗ trợ

HS học toán Phần mềm hình học động có thể hỗ trợ hiệu quả cho việc học toán thông qua thực nghiệm bằng các thao tác động, trong đó người học khám phá, thực nghiệm và hình thành các kiến thức toán học thông qua các tương tác

1.2.2 Biểu diễn bội

1.2.2.1 Vai trò của biểu diễn bội

Biểu diễn bội là những biểu hiện bên ngoài của các ý tưởng và khái

niệm toán học nhằm cung cấp cùng một thông tin ở những dạng khác nhau Việc sử dụng biểu diễn bội có hoặc không có CNTT là một trong những chủ

đề chính của giáo dục toán trong những năm gần đây Trong dạy học toán biểu diễn bội được sử dụng để mô tả các khái niệm, các mối quan hệ toán học, giúp HS hình thành mối quan hệ giữa hình học và đại số, đồng thời rèn luyện tư duy linh hoạt cho HS

* Mô tả các khái niệm và các mối quan hệ toán học:

Các nghiên cứu thực nghiệm đều khẳng định rằng quá trình thông hiểu các khái niệm và quan hệ toán học phụ thuộc vào khả năng biểu diễn các khái niệm và quan hệ đó dưới nhiều dạng khác nhau như đồ thị, phương trình, bảng, biểu đồ, kí hiệu, ngôn ngữ viết, ngôn ngữ nói… (Sfard, 1992; Yerushalmy, 1997; Goldin, 1998; Reading, 1999) Piez và Voxman (1997) cho rằng HS sẽ hiểu sâu hơn các khái niệm toán học nếu các em được tiếp cận thông qua các phương pháp đại số, phương pháp giải tích hay sử dụng đồ thị minh hoạ Vì thế các dạng biểu diễn khác nhau sẽ giúp HS hiểu rõ được bản chất vấn đề, đồng thời rèn luyện cho các

em cách nhìn linh hoạt trong các tình huống và phát hiện ra các mối quan hệ được trình bày theo các quan điểm khác nhau (NCTM, 1989)

Ví dụ 1.3 Hãy biểu diễn tính đơn điệu của hàm 1 3 1 2

y x  x  x trên

khoảng 1; 2 dưới nhiều dạng khác nhau và nêu mối quan hệ giữa chúng Kết

quả dưới đây cho thấy các dạng biểu diễn khác nhau của tính đơn điệu của hàm

Thông qua hoạt động này, GV rèn luyện cho HS các thao tác phiên dịch

và chuyển đổi giữa các dạng biểu diễn khác nhau của tính chất đơn điệu của hàm số 1 3 1 2

y x  x  x trên khoảng  1; 2 như dạng ngôn ngữ, dạng kí hiệu, dạng đồ thị Từ đó giúp HS thấy được ý nghĩa của từng dạng biểu diễn trong việc đề xuất các phương pháp giải các dạng bài toán khác nhau (phương pháp đồ thị hoặc phương pháp đại số)

* Hình thành mối liên hệ giữa hình học và đại số:

Hiểu được mối liên hệ giữa hình học và đại số giúp HS dễ dàng chuyển

từ tiếp cận các đối tượng hình học bằng phương pháp tổng hợp sang phương pháp toạ độ Phương pháp này là công cụ để nghiên cứu hình học theo quan điểm hiện đại và cũng góp phần bồi dưỡng cho HS khả năng suy luận, khái

quát và tư duy trừu tượng Trong biểu diễn bội liên kết và tích hợp, mỗi dạng biểu diễn đều nhấn mạnh đến các khía cạnh khác nhau của cùng một khái niệm hay đối tượng toán học Kĩ năng phiên dịch và chuyển đổi giữa các dạng bảng biểu, phương trình và đồ thị của hàm số tạo điều kiện cho HS hiểu được mối liên hệ tương ứng giữa số học, đại số và hình học (Davis, 1987) Hơn nữa GV

có thể sử dụng biểu diễn thực tế tích hợp với biểu diễn dạng bảng, dạng đồ thị

và dạng đại số của hàm số để tổ chức các hoạt động mô hình hoá các hiện tượng thực tiễn trong dạy học toán ở trường phổ thông (NCTM, 2000)

Các nghiên cứu của Bidwell & Clason cho thấy sử dụng biểu diễn bội giúp HS giải các bài toán hình học và đại số tốt hơn Các khái niệm và quan hệ toán học được mô tả dưới nhiều dạng khác nhau sẽ giúp HS nắm được bản chất trừu tượng của toán học, tối ưu hoá việc học tập môn toán Hơn nữa quá trình phiên dịch trôi chảy giữa các dạng biểu diễn của khái niệm toán học với nhau

sẽ phát triển sự thông hiểu các ý tưởng toán học

Ví dụ 1.4 Hãy xác định phương trình biểu diễn quỹ đạo rơi của nước từ

các vòi phun nước

Hình 1.2: Parabol biểu diễn quỹ đạo rơi của nước từ các đài phun nước

Hoạt động: GV yêu cầu HS các nhóm HS tạo các thanh trượt biểu diễn hệ số a, h, k của đường Parabol có dạng 2

* Rèn luyện các thao tác tư duy linh hoạt:

Dreyfus và Eisenberg (1996) cho rằng sự linh hoạt trong phiên dịch và chuyển đổi giữa các dạng biểu diễn bội khác nhau là dấu hiệu của sự thành thạo trong tư duy toán học, kỹ năng giải quyết vấn đề và thông hiểu các khái niệm toán học Sự linh hoạt trong việc lựa chọn phương pháp giải quyết vấn đề còn được thể hiện ở năng lực sáng tạo trong sử dụng ngôn ngữ, kí hiệu, minh hoạ trực quan khi giải toán

Ví dụ 1.5 Hãy phác thảo hình ảnh minh hoạ cho kết quả tính toán các

vẽ trực quan và góp phần phát triển tư duy có tính biểu diễn trong dạy học môn toán

Hình 1.3: Ý tưởng tính tổng dựa vào hình vẽ trực quan

1.2.2.2 Biểu diễn bội động

Biểu diễn bội động là biểu diễn bội được thể hiện trên máy tính thông qua phần mềm toán học động, trong đó người dùng có thể thực hiện các thao tác động như kéo rê, thay đổi giá trị tham số, thay đổi hình dạng, kích thước… của các biểu diễn Kordaki (2006, [17]) trong nghiên cứu của mình

đã chỉ ra môi trường học tập có sự hỗ trợ của máy tính cung cấp nhiều công

cụ khác nhau để xây dựng phương án giải trong hệ thống biểu diễn bội và môi trường này có thể hỗ trợ cho HS những cách hiểu toán của riêng mình tốt hơn môi trường truyền thống chỉ có giấy và bút Biểu diễn bội động cung cấp một môi trường hiệu quả cho HS nhận biết và hiểu những khái niệm toán được học Biểu diễn bội động dưới đây bao gồm biểu diễn số động, đồ thị động Kéo rê thanh trượt tham số, biểu thức của hàm số sẽ thay đổi tương ứng kéo theo sự thay đổi hình dạng của đồ thị

Ví dụ 1.6 Minh hoạ xấp xỉ tổng tích phân trên và tổng tích phân dưới

f x   x  x  x bị giới hạn bởi các đường thẳng đi qua A,

B và vuông góc với trục hoành

Hình 1.4: Mô hình toán học động

Hoạt động: GV sử dụng phần mềm toán học động minh hoạ xấp xỉ tổng

tích phân trên và tổng tích phân dưới của hàm số đã cho để HS thấy được ý nghĩa của sự phân hoạch trong việc tính diện tích hình thang cong, từ đó dẫn đến khái niệm tích phân theo các bước sau:

Bước 1: Nhập vào đa thức bậc ba 3 2

Hình ảnh sẽ cho HS thấy được rằng khi a càng lớn, tức là sự phân hoạch càng lớn thì sự sai khác càng nhỏ, tức là hai tổng tích phân càng gần nhau và

tiến tới giá trị của tích phân khi sự phân hoạch là vô cùng lớn

1.2.3 Năng lực biểu diễn bội

(1) Năng lực 1 : Năng lực nhận dạng biểu diễn: Là khả năng nhận ra các

dạng biểu diễn khác nhau của cùng một khái niệm, một tính chất hay một mối

quan hệ toán học

Ví dụ 1.7 Cho bảng phân bố tần số sau:

Bảng 1.3: Bảng phân bố khối lượng của 30 con thằn lằn

A B

0 5 10 140

150

160 170

180

190

0 2 4 6 8 10

C D

Thông qua ví dụ này GV cho HS thấy được các dạng biểu đồ có thể mô

tả tập số liệu trong bảng trên, rèn luyện cho HS khả năng đọc các số liệu cho trên các biểu đồ, từ đó giúp HS lựa chọn được dạng biểu diễn (biểu đồ) phù hợp với từng bảng số liệu

(2) Năng lực 2: Năng lực biểu diễn đơn: Là khả năng sử dụng một

dạng biểu diễn để biểu diễn một khái niệm, một tính chất hay một mối quan hệ toán học

Ví dụ 1.8 Vẽ đồ thị hàm số y 2 x

Hình 1.5: Đồ thị hàm số y  2 x

Thông qua hoạt động này GV nhấn mạnh dạng biểu diễn bằng đồ thị của hàm số đã cho, rèn luyện cho HS kĩ năng vẽ đồ thị của hàm số, kĩ năng đọc đồ thị, qua đó giúp HS linh hoạt hơn trong việc giải quyết các vấn đề toán học bằng phương pháp đồ thị

(3) Năng lực 3: Năng lực biểu diễn bội tích hợp: Là khả năng sử dụng

nhiều dạng biểu diễn khác nhau để làm rõ các khía cạnh của một vấn đề

Ví dụ 1.9 Phát biểu định lí “Dấu của tam thức bậc hai”dưới nhiều dạng

khác nhau

Dưới đây là các cách phát biểu định lí trên:

Dạng ngôn ngữ: Cho f(x) ax2 bxc a 0, b2  4ac

Nếu   0 thì f (x) luôn cùng dấu với hệ số a với mọi xR

Nếu   0 thì f (x) luôn cùng dấu với hệ số a với mọi

a

b x

2



Nếu   0 thì f (x) luôn cùng dấu với hệ số a khi x  x1 hoặc x  x2, trái

dấu với hệ số a khi x1 xx2, trong đó x1,x2, (x1 x2) là hai nghiệm của f (x)

2





  0 af(x)  0, x (  ;x1)  (x2;  ) và af(x)  0 x (x1;x2)trong đó x1,x2, (x1  x2) là hai nghiệm của f (x)

Với việc phát biểu định lí “Dấu của tam thức bậc hai” dưới nhiều

dạng khác nhau, GV giúp HS thấy rõ được các mặt của định lí này như mặt ngôn ngữ, mặt kí hiệu và mặt trực quan, đồng thời thấy được mối quan hệ giữa các dạng biểu diễn Qua đó giúp HS linh hoạt trong việc đề xuất các phương pháp (phương pháp đại số, phương pháp đồ thị…) giải quyết các vấn đề toán học

(4) Năng lực 4: Năng lực phiên dịch và chuyển đổi các dạng biểu diễn:

Là khả năng chuyển đổi giữa các dạng biểu diễn khác nhau của cùng một khái niệm hay một mối quan hệ toán học

Ví dụ 1.10 Hoàn thành các cột tương ứng trong bảng sau

) ( ) ( x f x

Bảng dưới cho thấy khả năng chuyển đổi giữa các dạng biểu diễn của tính chất trên:

Dạng ngôn ngữ Dạng kí hiệu Dạng đồ thị

Hàm số f(x) là

hàm số chẵn

) ( ) ( x f x

Qua ví dụ này GV rèn luyện cho HS khả năng phiên dịch và chuyển đổi giữa các dạng biểu diễn khác nhau của tính chất hàm số chẵn, giúp HS thấy được mối liên hệ giữa các dạng biểu diễn tính chất trên Điều này có ý nghĩa quan trọng trong việc rèn luyện tư duy linh hoạt cho HS trong quá trình giải quyết vấn đề

(5) Năng lực 5: Năng lực giải quyết vấn đề: Là khả năng khai thác biểu

diễn bội để giải quyết các vấn đề toán học được giao

Ví dụ 1.11 Với giá trị nào của m thì đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm

số yx4 2x2 3 tại bốn điểm phân biệt

0 2

0 4

0 0

0 '

y tại 4 điểm phân biệt thì -4 < m < -3

Với bài toán này HS cần có khả năng khai thác biểu diễn bội để đề xuất các phương pháp giải và lựa chọn phương pháp giải tối ưu

1.3 Thực trạng của việc khai thác biểu diễn bội trong dạy học toán ở trường phổ thông

1.3.1 Điều tra, quan sát

Tìm hiểu về tình hình dạy học môn toán ở trường phổ thông theo hướng khai thác biểu diễn bội, đối với HS chúng tôi tiến hành điều tra đầu vào đối với

43 HS lớp TN 11A1 và 43 HS lớp ĐC 11A4 Trường THPT Quảng Khê, Huyện

Ba Bể, tỉnh Bắc Kạn thông qua bài kiểm tra về năng lực biểu diễn bội của HS Kết quả được thể hiện trong các bảng sau:

Bảng 1.4: Kiểm tra chất lượng đầu vào

Điểm số Tần số

xuất hiện Tổng số điểm Điểm số

Tần số xuất hiện

Tổng số điểm

3 3 43

3 3

5 5 5 5

 , ta chấp nhận giả thuyết H0, tức là điểm

trung bình của hai lớp tương đương

Bảng 1.5: Bảng tỉ lệ phần trăm về năng lực biểu diễn bội

của HS lớp TN 11A1 và lớp ĐC 11A4

Tỉ lệ (%)

Lớp Năng lực 1 Năng lực 2 Năng lực 3 Năng lực 4 Năng lực 5

Các số liệu ở bảng 1.4 cho thấy năng lực biểu diễn bội của HS hai lớp là

tương đương nhau, dựa vào các số liệu đó ta có thể thấy ngay rằng năng lực biểu diễn bội của 2 lớp chưa cao chủ yếu là sử dụng biểu diễn đơn

1.3.2 Phỏng vấn

* Phỏng vấn HS:

Song song với việc kiểm tra chất lượng đầu vào của HS các lớp TN và ĐC chúng tôi cũng tiến hành phỏng vấn một số HS về thực trạng khai thác biểu diễn bội trong qua trình dạy học Chúng tôi xin trích đoạn phỏng vấn em Nông Trung Đức, HS lớp 11A1, Trường THPT Quảng Khê, Huyện Ba Bể, Tỉnh Bắc Kạn như sau:

- Câu hỏi 1: Em hiểu thế nào về hàm số?

- HS trả lời: Hàm số là biểu thức có dạng yaxb hoặc 2

ax

- Câu hỏi 2: Thế nào là hàm số chẵn?

- HS trả lời: Hàm số f (x) được gọi là hàm số chẵn nếu f( x)  f(x)

- Câu hỏi 3: Đứng trước một bài toán có thể giải theo nhiều phương pháp (phương pháp đại số, phương pháp đồ thị, phương pháp thống kê…) em có lưu

ý đến việc phân tích bài toán theo nhiều hướng khác nhau để từ đó đưa ra nhiều phương pháp giải không?

- HS trả lời: ít lắm cô ạ, những bài toán giải theo phương pháp đồ thị em thấy khó lắm

Tiến hành phỏng vấn thêm một số HS chúng tôi thấy rằng kiến thức liên quan đến hàm số thường được các em lưu lại dưới dạng các kí hiệu hoặc các biểu thức giải tích Các dạng biểu diễn khác của hàm số như bảng, biểu đồ, đồ thị… không được HS chú ý ghi nhớ Điều đó đồng nghĩa với việc các dạng biểu diễn này không được HS ưu tiên sử dụng trong giải quyết các bài tập liên quan đến chủ đề hàm số, các em thường chỉ lựa chọn phương pháp biến đổi đại

số các phương pháp khác thường hiếm khi sử dụng

* Phỏng vấn GV:

Đối với GV, thông qua trao đổi, tìm hiểu một số GV dạy Toán (13 GV) thuộc hai trường: THPT Quảng Khê (Huyện Ba Bể - Tỉnh Bắc Kạn) và THPT Hà Quảng (Huyện Hà Quảng - Tỉnh Cao Bằng) về thực trạng sử