ước lượng và tính xác suất thiệt hại trong một số mô hình bảo hiểm

Chẳng hạn, như trong kết quả Cramer – Lundberg về ước lượng xác suất thiệt hại với thời gian liên tục, dãy số tiền chi trả bảo hiểm, cũng như dãy thời gian giữa hai lần ñòi trả liên tiếp

MỤC LỤC

DANH MỤC CÁC BẢNG 3

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ VIẾT TẮT 3

LỜI CẢM ƠN 4

LỜI CAM ĐOAN 5

MỞ ĐẦU 6

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CƠ BẢN 11

1.1 Một số nội dung cơ bản về bài toán thiệt hại trong bảo hiểm 11

1.1.1 Bài toán thiệt hại của công ty bảo hiểm 11

1.1.2 Quá trình ñiểm 12

1.1.3 Phân loại bảo hiểm 14

1.2 Quá trình Markov 17

1.2.1 Định nghĩa 17

1.2.2 Xích Markov rời rạc và thuần nhất 19

1.3 Quá trình Martingale với thời gian rời rạc 22

1.3.1 Khái niệm tương thích và dự báo ñược 22

1.3.2 Thời ñiểm Markov và thời ñiểm dừng 23

1.3.3 Kỳ vọng có ñiều kiện 24

1.3.4 Martingale [6] 25

1.3.5 Định lý thời ñiểm dừng chọn ñối với Martingale trên 25

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 27

CHƯƠNG 2 ƯỚC LƯỢNG XÁC SUẤT THIỆT HẠI TRONG MÔ HÌNH BẢO HIỂM VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC MARKOV 28

2.1 Ước lượng xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất bằng phương pháp ñệ quy 29

2.1.1 Xét mô hình (2.1) với dãy tiền thu bảo hiểm, dãy tiền chi trả bảo hiểm là các xích Markov thuần nhất 29

2.1.2 Xét mô hình (2.2) với dãy tiền thu bảo hiểm, dãy tiền chi trả bảo hiểm là các xích Markov thuần nhất 42

2.1.3 Kết quả ước lượng số 55

2.2 Ước lượng xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất bằng phương pháp Martingale 59

2.2.1 Xét mô hình (2.1) với dãy tiền thu bảo hiểm và dãy tiền chi trả bảo hiểm là các xích Markov thuần nhất 59

2.2.2 Xét mô hình (2.2) với dãy tiền thu bảo hiểm và dãy tiền chi trả bảo hiểm là các xích Markov thuần nhất 64

KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 70

CHƯƠNG 3 TÍNH CHÍNH XÁC XÁC SUẤT THIỆT HẠI TRONG MÔ HÌNH BẢO HIỂM 71

3.1 Tính chính xác xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm tổng quát với dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov 72

3.2 Tính chính xác xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm tổng quát với dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập không cùng phân phối 87

3.3 Tính chính xác xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm tổng quát với dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập cùng phân phối 90

3.4 Kết quả thực nghiệm số 93

KẾT LUẬN CHƯƠNG 3 95

KẾT LUẬN CHUNG 101

PHỤ LỤC 103 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ 105 TÀI LIỆU THAM KHẢO 106

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 2.1 Ước lượng chặn trên của xác suất thiệt hại ψ(1) ( , , )u x y i r

Bảng 3.1 Xác suất thiệt hại ψt(1)( )u của mô hình (3.2)

Bảng 3.2 Xác suất thiệt hại ψt(2)( )u của mô hình (3.3)

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ VIẾT TẮT

LỜI CẢM ƠN

Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành ñến tập thể cán bộ hướng dẫn khoa học:

Đặc biệt PGS TS Bùi Khởi Đàm, ñã giao ñề tài, tận tình chỉ bảo, hướng dẫn tôi

trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận án

Tác giả luận án chân thành cảm ơn lãnh ñạo, các thầy, cô giáo và cán bộ Viện Toán ứng dụng và Tin học, Viện Sau ñại học – Trường Đại học Bách khoa Hà nội ñã làm hết sức trách nhiệm, nhiệt tình giúp ñỡ và tạo mọi ñiều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận án

Tác giả luận án chân thành cảm ơn các ñồng nghiệp ở Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại thương và Nhà trường ñã tạo ñiều kiện giúp ñỡ tôi làm việc và học tập Cuối cùng, tác giả luận án xin dành lời cảm ơn ñặc biệt tới gia ñình, người thân và bạn bè, những người ñã thường xuyên giúp ñỡ, chia sẻ ñộng viên và là chỗ dựa ñể tôi có thể hoàn thành luận án này!

Phùng Duy Quang

LỜI CAM ĐOAN

Tác giả luận án xin cam ñoan ñây là công trình nghiên cứu của tác giả Các kết quả nêu trong luận án này là trung thực và chưa từng ñược các tác giả khác công bố trong bất kỳ công trình nào

Phùng Duy Quang

MỞ ĐẦU

Trong những năm gần ñây các công ty bảo hiểm ñược mở ra ở nhiều nơi nhằm mục ñích chịu trách nhiệm và chia sẻ một phần trách nhiệm cho các chủ thể rủi ro, nhưng ngay chính hoạt ñộng bảo hiểm cũng là một hoạt ñộng ñầu tư tài chính nên bản thân nó cũng chứa ñựng sự rủi ro Việc ñánh giá mức ñộ rủi ro và thời ñiểm rủi

ro là nhu cầu cấp thiết ñòi hỏi cần ñược nghiên cứu và giải quyết ñể hạn chế tối thiểu thiệt hại có thể xảy ra Lý thuyết rủi ro (Risk Theory, [13], [29], [30], [55]) ñã ñược nghiên cứu rộng rãi trong thời gian gần ñây, ñặc biệt là những nghiên cứu về rủi ro trong bảo hiểm, tài chính Một trong những vấn ñề trọng tâm ñược nhiều nhà nghiên cứu quan tâm về lý thuyết này là bài toán ước lượng xác suất thiệt hại trong các mô hình bảo hiểm với thời gian liên tục và rời rạc

Trong công trình của Lundberg (1903), với luận án tiến sỹ nổi tiếng của ông ở Đại học Uppsala (Thủy ñiển), công trình này ñã ñưa ñến việc sáng lập ra lý thuyết rủi ro trong bảo hiểm Sau ñó, Carmer, H và trường phái Stockholm ñã phát triển các ý tưởng của Lundberg và ñóng góp vào việc hình thành và phát triển lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên trong toán học Với các kết quả ñó Cramer ñã ñóng góp một cách ñáng kể vào cả lý thuyết bảo hiểm, tài chính lẫn cả lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mô hình cơ bản ñầu tiên trong số những ñóng góp ñó là mô hình Cramer – Lundberg

Trong mô hình rủi ro cổ ñiển, bài toán thường ñược nghiên cứu với các giả thiết liên quan tới dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập Chẳng hạn, như trong kết quả Cramer – Lundberg về ước lượng xác suất thiệt hại với thời gian liên tục, dãy số tiền chi trả bảo hiểm, cũng như dãy thời gian giữa hai lần ñòi trả liên tiếp, ñều giả thiết là dãy biến ngẫu nhiên không âm, ñộc lập, cùng phân phối Có nhiều công trình nghiên cứu của các nhà toán học có tên tuổi về vấn ñề này như: Asmussen, S [10], Buhlma, H [13], Embrechts, P [26], Kluppelberg, C [36], Grandell, J [30], Hipp,

C [32], Schmidli, H [56], Musiela, M [42], Nyrhinen, H [44], Paulsel, J [46],

Schmidt, K D [55], … Các công trình trên ñều cho ước lượng cận trên cho xác suất thiệt hại có dạng hàm mũ

Bên cạnh ñó một loạt công trình sử dụng phương pháp Martingale ñể chứng minh các công thức ước lượng xác suất thiệt hại cho mô hình rủi ro mở rộng có tác ñộng của yếu tố lãi suất như: Cai, J [14], [15], Cai J and Dickson, D C M [17], Gaier, J [29], Kluppelberg, C and Stadtmuller [36], Konstantinide, D.G and Tang,

Q H and Tsitsiashvili, G S [37], Sundt, B and Teugels, J L [58], [59], Tang, Q [60], [61], [62], Yang, H [65], Yang, H and Zhang, L H [66], [67]…Tuy nhiên, thực tế các sản phẩm bảo hiểm và tái bảo hiểm cũng như ñối tượng tham gia bảo hiểm ngày càng nhiều và càng phức tạp nên ñòi hỏi các mô hình có cấu trúc phụ thuộc Do ñó, ñể phù hợp với thực tế hơn, một hướng nghiên cứu ñã và ñang ñược nhiều nhà toán học quan tâm, ñó là các mô hình với dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Một loạt các công trình có giá trị của các nhà toán học, xét mô hình bảo hiểm với giả thiết dãy tiền thu bảo hiểm, dãy tiền chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập, còn dãy lãi suất phụ thuộc theo nghĩa hồi quy hoặc xích Markov như Arbrecher,

H [7], Cai, J [14], [15], Dickson, D C M [16], [17], Gerber, H U [29], Muller,

A [41], Promisslow, S.D [51], Valdez, E A [63], Xu, L and Wang R [64], Yang,

H [65], Yang, H and Zhang, L H [66], …

Các công trình của Bùi Khởi Đàm và Nguyễn Huy Hoàng [1], [2], Nguyễn Huy Hoàng [3] ñã xây dựng ñược các ước lượng cho xác suất thiệt hại của các mô hình rủi ro với giả thiết dãy tiền thu bảo hiểm, dãy tiền chi trả bảo hiểm, dãy lãi suất là

dãy biến ngẫu nhiên m - phụ thuộc

Bên cạnh các bài toán ước lượng xác suất thiệt hại thì bài toán tính chính xác xác suất thiệt hại ñối với các mô hình bảo hiểm gắn liền với các tình huống thực tế hơn Một số công trình ñã tiếp cận theo hướng này với giả thiết dãy tiền chi trả bảo hiểm nhận giá trị nguyên dương như Caude Lefèvre [18], Rullière, D and Loisel,

St [54], De Vylder, F E [21], [22], De Vylder and Goovaerts, M J [23], [24], Ignatov, Z G and Kaishev, V K [34],[35], Pircard, Ph and Lefèvre,Cl [49] Công trình của Hong, N.T.T [33] ñã xây dựng ñược công thức tính chính xác xác suất thiệt hại (không thiệt hại) cho mô hình bảo hiểm:

với dãy tiền thu bảo hiểm là { }X i , dãy tiền chi trả bảo hiểm { }Y i , thời gian t nhận

giá trị nguyên dương

Với những lý do trên, chúng tôi xác ñịnh ñối tượng nghiên cứu của luận án là một số mô hình toán học ứng dụng trong bảo hiểm, cụ thể là mô hình bảo hiểm rời rạc có tác ñộng của lãi suất Luận án tập trung vào các bài toán: ước lượng xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm với dãy biến ngẫu nhiên là xích Markov thuần nhất, tính chính xác xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất Các kết quả chủ yếu của luận án ñã ñược công bố trong các công trình [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7] (xem danh mục các công trình của tác giả luận án) Luận án ñã thu ñược các kết quả mới sau ñây:

a Trong mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất, chúng tôi sử dụng phương pháp ñệ quy và phương pháp Martingale ñể xây dựng các bất ñẳng thức ước lượng dưới dạng hàm mũ cho xác suất thiệt hại trong trường hợp: dãy tiền thu bảo hiểm và dãy tiền chi trả bảo hiểm là các xích Markov thuần nhất còn dãy lãi suất là dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập cùng phân phối

b Đối với mô hình tổng quát có tác ñộng của lãi suất, mở rộng kết quả của Hong, N.T.T [33], luận án ñã xây dựng ñược công thức tính chính xác xác suất thiệt hại (không thiệt hại) cho mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất với giả thiết dãy tiền thu và dãy tiền chi trả bảo hiểm nhận giá trị dương trong tập hữu hạn, dãy lãi suất nhận giá trị không âm trong tập hữu hạn Công thức tính chính xác xác suất thiệt hại ñược xây dựng trong các trường hợp: dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập cùng phân phối, dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập không cùng phân phối, dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov

Qua việc hoàn thành luận án, chúng tôi cũng hy vọng ñược góp phần khiêm tốn vào việc nghiên cứu và phát triển lý thuyết các mô hình toán học ứng dụng trong tài chính và bảo hiểm

Nội dung của luận án gồm 3 chương

Chương 1 Một số khái niệm và kết quả cơ bản

Trong chương này, chúng tôi sẽ giới thiệu một số nội dung cơ bản và các kết quả

về bài toán thiệt hại trong bảo hiểm, tổng quan về xích Markov thuần nhất, quá trình Martingale

Chương 2 Ước lượng xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm với dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov

Trong chương này, chúng tôi ñã sử dụng phương pháp ñệ quy và phương pháp Martingale ñể xây dựng ñược các bất ñẳng thức ước lượng dưới dạng hàm mũ cho xác suất thiệt hại ñối với mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất trong trường hợp: dãy tiền thu bảo hiểm và dãy tiền chi trả bảo hiểm là các xích Markov thuần nhất còn dãy lãi suất là dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập cùng phân phối

Chương 3 Tính chính xác xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm

Trong chương này, chúng tôi mở rộng kết quả của Nguyễn Thị Thúy Hồng [33] cho mô hình bảo hiểm có tác ñộng của lãi suất, luận án ñã mở rộng công thức tính chính xác xác suất thiệt hại (không thiệt hại) cho mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất với giả thiết dãy tiền thu và dãy tiền chi trả bảo hiểm nhận giá trị dương trong tập hữu hạn, dãy lãi suất nhận giá trị không âm trong tập hữu hạn Các công thức tính chính xác xác suất thiệt hại ñược xây dựng trong các trường hợp: dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập cùng phân phối, dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập không cùng phân phối, dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov

Các kết quả chủ yếu của luận án ñã ñược báo cáo tại

- Semina “Ứng dụng toán học”, Viện Toán ứng dụng và Tin học, Đại học Bách khoa Hà nội

- Hội thảo khoa học Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại thương (2010-2014)

- Semina của Phòng Xác suất và thống kê toán, Viện Toán học- Viện

KH & CN Việt Nam

Các kết quả chủ yếu của luận án ñã ñược ñăng trong các công trình [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7] (xem danh mục các công trình của tác giả luận án)

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CƠ BẢN

Trong chương này, chúng tôi sẽ giới thiệu một số nội dung cơ bản về bài toán thiệt hại trong bảo hiểm, tổng quan về xích Markov thuần nhất, quá trình Martingale

1.1 Một số nội dung cơ bản về bài toán thiệt hại trong bảo hiểm

1.1.1 Bài toán thiệt hại của công ty bảo hiểm

Giả sử một công ty bảo hiểm phát hành một loại chứng từ bảo hiểm về một dịch vụ tài chính nào ñó Khách hàng là người mua chứng từ ñó Công ty bảo hiểm với số vốn ban ñầu là u > , thu ñược của khách hàng một khoản tiền mua bảo hiểm 0với phí suất c> Tại mỗi thời ñiểm t , công ty phải trả một số tiền bảo hiểm tổng 0cộng là ( )S t cho các khách hàng có nhu cầu ñòi trả bảo hiểm Quỹ vốn của công ty bảo hiểm ñược xác ñịnh bởi

U t = +u ct−S t (1.1) Quỹ vốn phải dương thì công ty mới có lãi, ngược lại nếu ( ) 0U t < thì có sự cố

“thiệt hại” Thông thường ñối với mô hình bài toán thiệt hại, người ta thường có các giả thiết sau ñây:

A Dãy tiền chi trả { }Y i i≥1 là dãy biến ngẫu nhiên không âm, ñộc lập, cùng phân phối, kỳ vọng chung hữu hạn là µ

B Khoảng thời gian giữa hai lần ñòi trả liên tiếp { }t i i 1

≥ cũng là dãy biến ngẫu nhiên không âm, ñộc lập cùng phân phối G, kỳ vọng hữu hạn chung và ñộc lập với dãy { }Y i i≥1

C Số các yêu cầu ñòi trả ( )N t trong khoảng thời gian [ ]0,t ñược ñịnh

Khi ñó

( ) 1( )

N t i i

(b) Xác suất thiệt hại trong thời gian vô hạn ký hiệu là ( )ψ u ñược ñịnh nghĩa bởi

Định nghĩa 1.1 [5] Quá trình ngẫu nhiên {N( t ),t≥0} ñược gọi là quá trình ñiểm

nếu N( t ) biểu thị tổng số lần một biến cố nào ñó xảy ra cho ñến thời ñiểm t Vậy, quá trình ñiểm N( t ) là quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục, lấy giá trị

nguyên dương và có bước nhảy tại các thời ñiểm ngẫu nhiên T T o, , , , 1 T n sao cho

trong ñó 1[ , 1)

T T+ là hàm chỉ tiêu của tập [T T n, n+1)

Sau ñây, chúng ta xét một vài quá trình ñiểm phổ biến nhất

1.1.2.1 Quá trình Poisson thuần nhất

Quá trình ñiểm của dòng yêu cầu phổ biến nhất là quá trình Poisson thuần nhất Khi

ñó các yêu cầu tới theo những thời ñiểm tuân theo quy luật Poisson

Định nghĩa 1.2.[5] Quá trình ngẫu nhiên liên tục {N( t ),t≥0} là quá trình Poisson cường ñộ λ> n0 ếu thỏa mãn:

i) (0) 0N = ,

ii) {N( t ),t≥0} có số gia ñộc lập,

ii) Số biến cố xảy ra trong bất kỳ khoảng thời gian nào có ñộ dài t là một biến ngẫu

nhiên có phân phối Poisson với trung bình λ λt ( >0)

Điều này có nghĩa là, với mọi ,s t≥ ta có 0

!

n t

1.1.2.2 Quá trình Poisson không thuần nhất

Định nghĩa 1.3.[5] Quá trình Poisson không thuần nhất là quá trình Poisson với

cường ñộ ( t )λ , là hàm phụ thuộc thời gian Trường hợp ñặc biệt, nếu ( t )λ =λ là hằng số thì quá trình Poison không thuần nhất sẽ trở thành quá trình Poisson thuần nhất

1.1.2.3 Quá trình Poisson phức hợp

Định nghĩa 1.4.[5] Cho quá trình Poisson N( t ) với cường ñộ λ > Gi0 ả sử

1 2

N( t ) Khi ñó, quá trình ngẫu nhiên Z( t ) ñịnh nghĩa bởi

ñược gọi là quá trình Poisson phức hợp

Có hai cách biểu diễn quá trình Poisson phức hợp Ngoài cách biểu diễn như trên,

quá trình Z( t ) còn có thể ñược biểu diễn bởi

[ ] 1

Trong ñó, τk(0<τ1<τ2 < ) là các thời ñiểm có bước nhảy của ( )N t

1.1.3 Phân loại bảo hiểm

Người ta quy ước phân loại các trường hợp bảo hiểm dẫn tới việc phải trả tiền bảo hiểm ra làm ba loại sau:

- loại bình thường,

- loại ñặc biệt,

- loại tai họa

Ký hiệu F F( y )= là hàm phân phối của số tiền chi trả bảo hiểm và hàm

1

F( y )= −F( y ) là ñuôi của phân phối F

Để mô tả các biến cố thuộc loại bình thường, người ta dùng các phân phối có ñuôi nhẹ, chẳng hạn một phân phối mũ

> (các phân phối Pareto)

1.1.4 Một số mô hình bảo hiểm với dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập

1.1.4.1 Mô hình ñổi mới và mô hình Cramer – Lundberg

Xét mô hình bảo hiểm (1.1) với các giả thiết sau:

A1 Dãy khoảng thời gian giữa hai lần ñòi trả liên tiếp { }t i i 1

≥ là dãy biến ngẫu nhiên không âm, ñộc lập cùng phân phối với kỳ vọng hữu hạn chung;

B1 Dãy tiền chi trả { }Y i i1

≥ là dãy biến ngẫu nhiên không âm, ñộc lập, cùng phân phối với hàm phân phối xác suất F( y )=P( Y1< y ) sao cho F( )0 = và kỳ vọng 0chung hữu hạn là µ;

C1 Hai dãy biến ngẫu nhiên { }t i i≥1 và { }Y i i≥1 là ñộc lập với nhau

Khi ñó, mô hình (1.1) ñược gọi là mô hình ñổi mới Đối với mô hình này chúng ta thu ñược kết quả

Định lý 1.1 (Định lý Cramer – Lundberg, xem [54])

Giả sử các giả thiết của mô hình Cramer – Lundberg ñược thỏa mãn Khi ñó, tồn tại

và các xác suất thiệt hại ñến thời gian hữu hạn T cùng xác suất thiệt hại với thời

gian vô hạn ñược ước lượng tương ứng như sau

1.1.4.2 Mô hình bảo hiểm với thời gian rời rạc

Trong mô hình bảo hiểm với thời gian rời rạc, ở mỗi thời kỳ dãy tiền thu bảo hiểm

{ }X n n 1

≥ và dãy tiền chi trả bảo hiểm { }Y n n 1

≥ ñược giả thiết là các dãy biến ngẫu

nhiên không âm, ñộc lập cùng phân phối và hai dãy biến ngẫu nhiên này là ñộc lập

với nhau Khi ñó, vốn của công ty bảo hiểm ở thời kỳ thứ t là biến ngẫu nhiên sau

1.1.4.3 Mô hình bảo hiểm với thời gian rời rạc có tác ñộng của lãi suất

Xét mô hình bảo hiểm tổng quát với thời gian rời rạc có tác ñộng của lãi suất, ở mỗi thời kỳ dãy tiền thu bảo hiểm X { }X i i 1

- Trường hợp 1: ở mỗi thời kỳ t ( t≥ ), v1 ốn của kỳ trước ñược ñem ñầu tư với lãi

suất là dãy biến ngẫu nhiên I Khi ñó, vốn ở thời kỳ t ñược xác ñịnh như sau

- Trường hợp 2: ở mỗi thời kỳ t ( t≥ ), không những vốn của kỳ trước mà cả tiền 1

thu bảo hiểm ở kỳ hiện tại cũng ñược tính lãi suất là dãy I Khi ñó, vốn ở thời kỳ t

ñược xác ñịnh như sau

với u là vốn ban ñầu của công ty bảo hiểm

Khi ñó, xác suất thiệt hại ñến thời kỳ t ñược ñịnh nghĩa bởi

≥ là các hằng số Ngoài ra, Cai J [14], [15], Xu, L và Wang, R [64] cũng ñã xét mô hình (1.11) và (1.12) khi { }I n n 1

Giả sử (Ω,A ,P) là không gian xác suất, (E , B) là không gian ño sao cho tất

cả các tập gồm một ñiểm là ño ñược (tức là{ }e ∈B) Giả sửX ={X t, ∈T} với

T ⊂R là quá trình ngẫu nhiên nhận giá trị trong E (E ñược gọi là không gian trạng thái của X ) t t ức là với mỗi t∈T, X t:Ω → E là ánh xạ ño ñược nếu

với xác suất là bao nhiêu? Nếu xác suất này chỉ phụ thuộc , , ,s t i j thì ñiều này có

nghĩa là: sự tiến triển của X trong tương lai chỉ phụ thuộc vào hiện tại và ñộc lập

với quá khứ hay nói một cách khác khi ñã biết hiện tại thì tương lai và quá khứ của

quá trình X ñộc lập với nhau

Về phương diện xác suất, ta phải dùng xác suất có ñiều kiện ñể diễn tả tính

Markov Cụ thể là, nếu s là thời ñiểm hiện tại thì X s = là trạng thái hiện tại, x

{X q q, <s} là quá khứ, {X s t, <t} là tương lai Khi ñó tính Markov ñược ñịnh nghĩa như sau

Định nghĩa 1.5 [6] Quá trình ngẫu nhiên X ={X t t, ∈T} ñược gọi là quá trình có tính Markov nếu

trong ñó A1 là biến cố thuộc về tương lai, tức là biến cố thuộc vào σ − trường sinh bởi {X s t, <t}, A2 là biến cố thuộc về quá khứ, tức là biến cố thuộc vào σ − trường sinh bởi {X q q, <s}

Khi ñó, quá trình ngẫu nhiên X ={X t t, ∈T} ñược gọi là quá trình Markov

• Tùy theo tập T là rời rạc hay liên tục ta có khái niệm quá trình Markov với

thời gian rời rạc hay liên tục Đặc biệt, một quá trình Markov với thời gian rời rạc còn ñược gọi là xích Markov

• Để ñơn giản tính Markov có thể ñược hiểu như sau

Quá trình X ={X t t, ∈T}với không gian trạng thái E có tính Markov nếu

Ta xem t n là hiện tại, t n+1 là tương lai, (t t0, , ,1 … t n−1) là quá khứ

Nếu ký hiệu p s i t j( , , , )=P X{ t = j X s =i} (s<t) thì ñây là xác suất có ñiều

kiện ñể quá trình tại thời ñiểm s ở trạng thái i , ñến thời ñiểm t chuyển sang trạng thái j , vì thế ta gọi p s i t j( , , , ) là xác suất chuyển trạng thái của quá trình ngẫu

nhiên X

thuộc vào (t−s), tức là: p s i t j( , , , )= p s( +h i t, , +h j, )ñược gọi là quá trình Markov là thuần nhất theo thời gian

1.2.2 Xích Markov rời rạc và thuần nhất

Giả sử (X n n, =0,1, 2,…) là xích Markov rời rạc và thuần nhất, tức là X n:Ω →E là biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong tập ñếm ñược E và nó là quá trình Markov thuần nhất theo thời gian

• Ma trận xác suất chuyển:

Đặt pij=P X{ n+1= j X n =i}=P X{ n+1 = j X0 =i0, ,… X n−1=i n−1,X n =i}

ij

p là xác suất có ñiều kiện ñể quá trình tại thời ñiểm n (hiện tại) ở trạng thái

i chuyển sang trạng thái j tại thời ñiểm n + 1 (tương lai), pij không phụ thuộc vào

n (do tính thuần nhất)

Đặt P=( )pij thì ma trận P=( )pij ñược gọi là ma trận xác suất chuyển sau một bước

Đặt các biến cố A=(X = j),B=(X =i C), =(X =i , ,… X =i )

Chú ý rằng: từ công thức xác suất ñầy ñủ suy ra ma trận P=( )pij có tính chất

Ma trận có tính chất như thế gọi là ma trận ngẫu nhiên

• Phương trình Chapman – Kolmogorov

Xác suất chuyển sau n bước ñược ñịnh nghĩa theo công thức

ij

n

P = p , ñó là ma trận xác suất chuyển sau n bước

Từ công thức xác suất ñầy ñủ và tính Markov ta có, với mọi n=0,1, 2,…

(n+1) ( )

ik kj k

ε

∈

Tổng quát hơn, với mọi ,n m=0,1,2,… ta có

(n+m) ( ) ( )

ik kj k

ε

∈

Phương trình (1.15) gọi là phương trình ngược

Phương trình (1.16) gọi là phương trình thuận

Phương trình (1.17) gọi là phương trình Chapman – Kolmogorov

• Phân phối ban ñầu: ( ) ( )

• Phân phối hữu hạn chiều

Phân phối hữu hạn chiều của xích Markov ñược tính theo

Π = Π là phân phối ban ñầu của xích Markov

Ta quy ước viết ( )n ( ( )n )

j p

,

,

Π = Π hay Π = Π P

Như vậy mô hình xác suất của một xích Markov rời rạc và thuần nhất là bộ

ba (X n, ,Π P), trong ñó X là dãy các n ñại lượng ngẫu nhiên rời rạc, Π là phân phối

ban ñầu, P là ma trận xác suất chuyển

1.3 Quá trình Martingale với thời gian rời rạc

1.3.1 Khái niệm tương thích và dự báo ñược

Giả sử (Ω, A, P) là không gian xác suất, F ⊂ A là σ - trường con của A và X là biến ngẫu nhiên nào ñó Ta nói rằng X tương thích với F nếu X là F -ño ñược (tức là 1

X ( B )− ∈F với mọi tập BorelB⊂ ℝ) Trường hợp ñó, ta viết: X ∈F

Chẳng hạn, {σ≤n ,n∈ ℕ}là họ không giảm Ta lưu ý rằng σ≤n gồm các biến cố quan sát ñược tính ñến thời ñiểm n

Định nghĩa 1.7 [6] Quá trình ngẫu nhiên X = {Xn, Fn, n∈ ℕ} là dãy tương thích nếu Xn∈Fn với mỗi n∈ ℕ

Ta nói rằng V = {Vn, Fn-1, n∈ ℕ, F-1= Fo } là dãy dự báo ñược nếu Vn∈Fn-1 với mỗi n∈ ℕ

Rõ ràng, dãy dự báo ñược là dãy tương thích

Tất nhiên, ta luôn có X = {X , n σ≤n ,n∈ ℕ} là dãy tương thích Người ta thường gọi

n

σ≤ là σ- trường tự nhiên của dãy ( X ,n n ∈ ℕ) Nó gồm tất cả những biến cố liên quan tới quá khứ (trước n) và hiện tại (tại n) của dãy

1.3.2 Thời ñiểm Markov và thời ñiểm dừng

Ta gọi (Ω,A, P) là không gian xác suất ñầy ñủ nếu A chứa tất cả các tập con có xác suất không (Tập O có xác suất không nếu tồn tại một tập A∈A sao cho

Giả sử τ : Ω → ℕ là biến ngẫu nhiên (có thể lấy giá trị ∞)

Định nghĩa 1.8 [6] τ là thời ñiểm Markov ñối với {Fn, n∈ ℕ} nếu

{ω τ ω: ( )=n}∈Fn, ∀ ∈ ℕn Nếu thêm vào P(τ < ∞ = ) 1 thì τ ñược gọi là thời ñiểm dừng

Biến ngẫu nhiên *

X này sẽ ñược ký hiệu là E X( F ) Lưu ý rằng, nếu chọn σ - trường F là σ - trường σ( )Y sinh bởi biến ngẫu nhiên Y nào ñó, khi ñó kỳ vọng có ñiều kiện của X ñối với σ( )Y cũng ñược ký hiệu là

E X Y

Trong một số tính chất sau ñây, các hệ thức ñược hiểu theo nghĩa hầu chắc chắn

* Tính chất 1 [6] Nếu X ño ñược ñối với F thì

(

* Tính chất 2 [6] (Bất ñẳng thức Jensen ñối với kỳ vọng có ñiều kiện)

Nếu ( )g x là hàm lõm (l ồi) trên tập I ⊂ ℝ , tức là

với mọi ,x y∈ và mI ọi λ∈[0,1 ,) và nếu X là biến ngẫu nhiên lấy giá trị trên I thì

(

g E X F ))≥ E g X( ( ) F ) ( )≤

1.3.4 Martingale [6]

Giả sử (Ω, A , P) là không gian xác suất Dãy X = {Xn, Fn, n∈ ℕ} ñược gọi là

* martingale trên (ñối với Fn, n∈ ℕ), nếu

(i) {Xn, Fn, n∈ ℕ} là dãy tương thích,

(ii) E X n < ∞ ∀ ∈, n ℕ,

(iii) với mọi m≤n, m,n∈ ℕ

E(X n Fm) ≤ Xm (h.c.c)

* martingale dưới (ñối với Fn, n∈ ℕ), nếu các ñiều kiện (i) và (ii) ñược thực hiện và

(iii’) với mọi m≤n, m,n∈ ℕ

E(X n Fm) ≥ Xm, (h.c.c)

* martingale (ñối với Fn, n∈ ℕ), nếu các ñiều kiện (i) và (ii) ñược thực hiện và

(iii’’) với mọi m≤n, m,n∈ ℕ

E(X n Fm) = Xm, (h.c.c)

1.3.5 Định lý thời ñiểm dừng chọn ñối với Martingale trên

Định lý 1.3 [31] Nếu {Xn, Fn, n∈ ℕ} là martingale trên và τ là thời ñiểm dừng Giả sử một trong 3 ñiều kiện sau thỏa mãn :

(i) τ là thời ñiểm dừng hữu hạn, tức là tồn tại hằng số k sao cho P(τ ≤k )= 1,

(ii) E( )τ < +∞ và tồn tại hằng số B ñể

E X n+1−X n Fn]≤B( h.c.c ),

(iii) Tồn tại hằng số C ñể X n∧τ ≤C ( h.c.c ).

Khi ñó, ta có E X( τ)≤E( X ) o

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1

Trong chương 1, chúng tôi ñã giới thiệu một số khái niệm và kết quả ñã có liên quan trực tiếp ñến nội dung, phương pháp chứng minh của luận án như : bài toán thiệt hại của công ty bảo hiểm, một số mô hình bảo hiểm với dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập, bất ñẳng thức ước lượng cận trên cho xác suất thiệt hại trong các mô hình bảo hiểm với dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập và mô hình bảo hiểm có tác ñộng của lãi suất với dãy lãi suất là xích Markov rời rạc và thuần nhất Đồng thời, chương 1 của luận án cũng giới thiệu các khái niệm và kết quả cơ bản của quá trình Markov, quá trình Martingale

CHƯƠNG 2 ƯỚC LƯỢNG XÁC SUẤT THIỆT HẠI TRONG

MÔ HÌNH BẢO HIỂM VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN

PHỤ THUỘC MARKOV

Trong chương này, chúng tôi xây dựng bất ñẳng thức ñể ước lượng xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất với giả thiết dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov Cụ thể, chúng ta xét các mô hình sau ñây:

- Mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất với vốn của kỳ trước ñược ñem ñầu tư với lãi suất là dãy biến ngẫu nhiên I { }I i i 0

Ở ñây, ta quy ước t 1

+) dãy tiền thu bảo hiểm X và dãy tiền chi trả bảo hiểm Y ñộc lập cùng phân phối, dãy lãi suất I phụ thuộc hồi quy hoặc phụ thuộc Markov,

+) dãy tiền chi trả bảo hiểm Y phụ thuộc hồi quy và dãy lãi suất I phụ thuộc

Luận án xét mô hình (2.1) và (2.2) trong trường hợp: Dãy tiền thu bảo hiểm X và dãy tiền chi trả bảo hiểm Y là phụ thuộc Markov, còn dãy lãi suất I ñộc lập cùng phân phối Phương pháp ước lượng ñược sử dụng là phương pháp ñệ quy và phương pháp Martingale

Kết quả xây dựng bất ñẳng thức ước lượng xác suất thiệt hại bằng phương pháp ñệ quy cho mô hình (2.1) và (2.2) ñược ñăng tải trong công trình [5] (xem danh mục các công trình của tác giả luận án) Còn kết quả xây dựng bất ñẳng thức ước lượng xác suất thiệt hại bằng phương pháp Martingale cho mô hình (2.1) và (2.2) ñược ñăng tải trong công trình [3] (xem danh mục các công trình của tác giả luận án)

2.1 Ước lượng xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất bằng phương pháp ñệ quy

2.1.1 Xét mô hình (2.1) với dãy tiền thu bảo hiểm, dãy tiền chi trả bảo hiểm là các xích Markov thuần nhất

Xét mô hình (2.1) với các giả thiết sau:

Giả thiết 2.1 Vốn ban ñầu U o =u > 0

Giả thiết 2.2. Dãy tiền thu bảo hiểm X ={ }X n n≥0 là xích Markov thuần nhất nhận giá trị không âm trong G X ={x x1, , ,2 x M}với X0 =x i∈G X ,

Giả thiết 2.5. , ,X Y I là ñộc lập với nhau

Gọi T u là thời ñiểm thiệt hại của công ty bảo hiểm: T u =inf{j U: j <0}

Khi ñó, xác suất thiệt hại của mô hình (2.1) ñến thời kỳ t và thời ñiểm vô hạn với các giả thiết 2.1-2.5 ñược xác ñịnh tương ứng như sau

Định lý 2.1 Nếu mô hình (2.1) thỏa mãn các giả thiết 2.1- 2.5 thì

Xây dựng dãy bản sao ñộc lập { } { } { }n 0, n 0, n 0

Để thu ñược bất ñẳng thức ñánh giá ước lượng cho xác suất thiệt hại (1)( , , )u x y i r

ψ của mô hình (2.1), ta chứng minh bổ ñề sau

Bổ ñề 2.1 Cho mô hình (2.1) với các giả thiết 2.1- 2.5 Nếu với mỗi

Từ (2.17), (2.18) và (2.19) suy ra tồn tại duy nhất R ir >0 thỏa mãn (2.16)

Sử dụng kết quả của bổ ñề 2.1 và ñịnh lý 2.1, ta thu ñược bất ñẳng thức ước lượng cho xác suất thiệt hại ψ(1)( , , )u x y i r của mô hình (2.1) với các giả thiết 2.1 – 2.5 như sau

bổ ñề 2.1 Với u > , 0 x i∈G X và y r∈G Y ta có

1

(1 ) (1)

1( , , ) R u o I

( )

y x u u

1( , , ) R u o I

Do vậy, kết hợp với (2.27), ta có

1

(1) ( , )

0 ( , )

1( , , ) 1 R u o I

Từ (2.28) suy ra (2.25) ñúng với mọi t =1, 2,

Cho t → +∞ trong (2.28) ta thu ñược (2.21)

b) Bây giờ xét trường hợp:

( ) 0

1 0