Tìm giá trị nhỏ nhất của M.. Qua I dựng đường thẳng vuông góc với IA cắt AB, AC tại M và N... Trong nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn có bờ là đường thẳng AB, kẻ tiếp tuyến Ax.. Đường
Trang 1UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI
PHÒNG GD&ĐT LƯƠNG TÀI
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT 1
Năm học 2014 – 2015 Môn thi : Toán lớp 9 Thời gian làm bài 120 phút ( không kể thời gian phát đề )
Câu 1 (2 điểm)
a) Biểu thức sau là hữu tỉ hay vô tỷ: A = 6 24 12 8 3 1
b) Chứng minh rằng B= n4 + 6n3 + 11n2 + 6n chia hết cho 24 với mọi
nN
Câu 2 (2 điểm)
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm giá trị lớn nhất của P
Câu 3 (2 điểm)
a) Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 –3a –3b +2016 Tìm giá trị nhỏ nhất của M b) Giải phương trình: x 2 3 2x 5 x 2 2x 5 2 2
Câu 4 (3 điểm) : Cho tam giác ABC, gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
Qua I dựng đường thẳng vuông góc với IA cắt AB, AC tại M và N
Chứng minh rằng:
a) BM BI22
CN CI b) BM.AC + CN.AB + AI2 = AB.AC
Câu 5 (1 điểm)
Cho x.y = 1 và x >y Chứng minh : 2 2
2 2
y x
y x
HẾT ( Đề thi gồm có 1 trang ) Thí sinh không được sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh ……… Số báo danh ………
Trang 2UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI HƯỚNG DẪN CHẤM
PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO BẮC NINH Môn thi : Vật lý 9
Đề số : 01
Bài 1( 2 Điểm)
Ta có:
2
6 24 12 8 3 1 6 2 6 2 3 2 2 3 1 (1 2 3) 3 1 2
2là số vô tỉ
Vậy A là số vô tỉ
0,5
0,5
b) Biến đổi biểu thức về dạng:
3 2 2
( 1) 5 ( 1) 6 ( 1) ( 1)( 5 6 )
( 1)( 5 6) ( 1)( 2)( 3)
Tích này có 4 số tự nhiên liên tiếp
Có n(n+1) là tích 2 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2, và
n(n+1)(n+2) chia hết cho 3 và n(n+1)(n+2)(n+3) chia hết cho
4 nên chia hết cho 8
Mà (3, 8)= 1 Do đó B chia hết cho 24
0,25
0,25
0,25 0,25
Bài 2 ( 2 Điểm)
a ĐK: x 0; x 9
Rút gọn được P =
x 4
x 2
0,25
0,75
b
Ta có P =
2
x
max x 2 min x=0 Vậy giá trị lớn nhất của P là 2 khi x=0
0,5 0,25
0,25
Bài 3 ( 2 Điểm)
a a) Có 2M = (a + b – 2)2 + (a – 1)2 + (b – 1)2 + 2.2013 ≥2
2013
0,25
Trang 3Dấu " = " xảy ra khi
a b 2 0
a 1 0
b 1 0
a = b = 1
0,25
2
Nhân 2 vế của pt với 2, ta được :
2x 5 3 2x 5 1 4
0,25
5/2 ≤ x ≤ 3
Kết luận
0,25 0,25
Bài 4 ( 3 Điểm)
B C
A
I M
N
0,25
a I là tâm của đường tròn nội tiếp ABC AI là phân giác
của
MN AI (gt) =900 - = ( + )
= + ( t/c góc ngoài BMI ) =
BMI ∽ BIC (g g ) = BI2 = BM BC (1)
Chứng minh tương tự ta đươc CI2 CN CB. (2)
Từ (1) và (2) suy ra = BM BI22
CN CI
0,25
0,25 0,25 0,25 0,25
0,25
b Từ chứng minh trên BMI ∽ INC
mà AMN cân tai A IM = IN BM.CN = IM2
Xét AIM có: AI2+ IM2 = AM2
=(AB-BM)(AC- CN) – AI2
= AB.AC-AB.CN-
BM.AC+BM.CN-AI2
0,25 0,25 0,25 0,25
0,25
Trang 4 BM.CN+ AB.CN + BM.AC - BM.CN + AI2 = AB.AC
BM.AC +CN.AB +AI2 = AB.AC (đpcm) Bài 5 ( 1 Điểm)
Vì x > y nên x - y > 0 nên bất đẳng thức:
2 2
2 2
2 2
2
2 2
2
2 2
2 2 2 2 0
2 2 2 2 2 2 0
2 2 2 2 2 2 0 1 2 2
2 0
x y
Điều này luôn đúng Vậy bất đẳng thức được chứng minh
0,25 0,25
0,25 0,25
UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT 1
Trang 5PHÒNG GD&ĐT LƯƠNG TÀI Năm học 2014 – 2015
Môn thi : Toán lớp 9 Thời gian làm bài 120 phút ( không kể thời gian phát đề )
Bài 1 : ( 1 điểm ) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: P = (4x3 - 6x2 + 1)2014
víi x = ( + )
Bài 2: ( 2 điểm )
3
2 2
3 6
9 : 9
3 1
x
x x
x x
x
x x
x x
a Rút gọn P
b Tìm x để P > 0
c Với x > 4, x ≠ 9 Tìm giá trị lớn nhất của P.(x + 1)
Bài 3: ( 2 điểm )
1 Tìm tất cả số tự nhiên n sao cho n2 – 14n – 256 là 1 số chính phương
2 Cho: a > 0, b > 0 và ab = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
b a b a b a
1 2 2
Bài 4: (3.0 điểm) Cho điểm M nằm trên nửa đường tròn tâm O đường kính AB
= 2R (M không trùng với A và B) Trong nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn có
bờ là đường thẳng AB, kẻ tiếp tuyến Ax Đường thẳng BM cắt Ax tại I; tia phân giác của IAM cắt nửa đường tròn O tại E, cắt IB tại F; đường thẳng BE cắt AI tại H, cắt AM tại K.
a) Chứng minh 4 điểm F, E, K, M cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh HF BI
c) Xác định vị trí của M trên nửa đường tròn O để chu vi AMB đạt giá
trị lớn nhất và tìm giá trị đó theo R?
Bài 5: (2 điểm )
a) Tìm tất cả các cặp số nguyên x, y thỏa mãn:
2
b) Cho x; y là các số thực thỏa mãn x 1 y2 y 1 x2 1. Tính N = x 2 + y 2
HẾT ( Đề thi gồm có 1 trang ) Thí sinh không được sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh ……… Số báo danh ………
UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI HƯỚNG DẪN CHẤM
PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO BẮC NINH Môn thi : Toán 9
Đề số : 02
Bài 1 ( 2 Điểm )
Trang 6Phần Đáp án Điểm
Đặt a = +
a3 = 3 + 2 + 3 - 2 + ( + )
a3 = 6 +( + ) a3 = 6 + a
a3 - a - 6 = 0
a3 - 2a2 + 2a2 - 4a + 3a - 6 =0
a2( a - 2) + 2a( a - 2) + 3(a - 2 ) = 0
( a - 2)( a2 + 2a + 3 ) = 0 vì a2 + 2a +3 = ( a+1)2 +2 > 0 với "a
a - 2 = 0 a = 2
x = a = 2 = 1
Thay x = 1 vào biểu thức P ta có
P = ( 4.13 - 6.12 + 1 )2014 = ( 4 - 6 + 1)2014 = ( -1)2014 = 1
0,25
0,25 0,25
0,25
Bài 2 ( 2 Điểm )
a Tìm đúng điều kiện : x ≥ 0, x ≠ 4, x ≠9
3
2 2
3 2
3
9 :
9
3 1
x
x x
x x
x
x x
x x
= … =
0,25
0,75
b,P > 0 > 0 vì 3 > 0 2 - > 0 - > -2 < 2
x < 4
Kết hợp với ĐK : x ≥ 0, x ≠ 4, x ≠9
Vậy 0 x < 4 thì P > 0
0,25
0,25
4 2
5 2 3
2
) 1 ( 3
x
x x
x
Áp dụng bất đẳng thức Cô si chỉ ra Max
P.(x 1 ) 6 5 12
Chỉ ra dấu bằng ó x = 2
2
5
0,25
0,25
Bài 3 ( 2 Điểm )
a, Đặt n2 – 14n – 256 = k2 ( k є N )
ó ( n – 7 )2 – k = 305 ó ( n – k – 7 )( n +k – 7 ) = 305
Vì n và k N nên n -k -7 ; n + k - 7 là ước của 305; n + k - 7 >
n -k -7
Lập bảng ta có
0,25 0,25
0,25
Trang 7n 160 -146 40 -26
Vì n là số tự nhiên Vậy n = 40 hoặc n = 160
0,25
b,2 Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số dương a2 và b2
2 2 2 2 2 2 2
b a b a b a b a b
b a b
A 2 2 . 4 2 2 4 2 8
b a b a
-> Giá trị nhỏ nhất của A=8 khi a = b = 1
025
0,25 0,25 0,25 0,25
Bài 4 ( 2 Điểm )
Hình vẽ
x
I
F
M
H E
K
A O B
a AMB nội tiếp (O) có cạnh AB là đường kính(gt) AMB
vuông tại M AM BF KMF vuông tại M 3 điểm
K,M,F cùng thuộc đường tròn đường kính FK (1)
Chứng minh tương tự ta có 3 điểm K,F, E cùng thuộc đường tròn
đường kính FK (2)
Từ (1) và (2) 4 điểm M,F,H,K cùng cùng thuộc đường tròn
đường kính FK
o.25
0,25
Suy ra AK = KF, kết hợp với 5) ta được AH = KF (6) 0,25
Từ (4) và 6) ta có AKFH là hình bình hành nên HF // AK Mà
AK IB suy ra HF IB
0,25
Chu vi của AMB C AMB MA MB AB lớn nhất khi chỉ khi
MA + MB lớn nhất (vì AB không đổi).
0,25
Trang 8Áp dụng bất đẳng thức a b 2 2a2 b2 dấu "=" xảy ra
a b
, ta có MA MB 2 2(MA2 MB2) 2 AB2
0,25
Nên MA + MB đạt giá trị lớn nhất bằng AB 2 khi và chỉ khi
MA = MB hay M nằm chính giữa cung AB.
0,25
Vậy khi M nằm chính giữa cung AB thì CAMB đạt giá trị lớn nhất.
Khi đó
AMB
C MA MB AB AB AB AB R
0,25
Bài 4 ( 2 Điểm )
a, Ta có : x2 7 y x 6 2y 0 y x 2 x2 7x 6 Rõ
ràng x = 2 không thể là nghiệm nên chia cả hai vế cho x – 2
ta được
5
Do x, y là số nguyên nên x – 2 là ước của -4 mà
4 1; 2; 4
U
Ta có bảng:
đối chiếu với các điều kiện ở đề bài thì các cặp số sau thoả
mãn
(x;y) = 1;0 ; 0;3 ; 2; 6 ; 6;0 ; 4; 3 ; 3; 6
0,25
0,25
0,25
0,25
b, ĐK: 1 x y; 1.theo bài ra ta có
Dấu bằng xảy ra khi: x 1 y2 và y 1 x2 hay x 2 = 1- y 2
hay x 2 + y 2 =
0,25
0,5 0,25