bộ tài liệu luyện thi học sinh giỏi các môn văn hoá cấp huyện tham khảo (1)

b Chứng tỏ rằng điểm G luôn thuộc một đường thẳng cố định khi m thay đổi.. Qua M thuộc đường thẳng d kẻ các tiếp tuyến MA, MB với O A, B là các tiếp điểm.. Kẻ OC vuông góc với đường thẳ

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN

Năm học 2013-2014 Môn: Toán 9

Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (2,0 điểm):

Cho biểu thức A = 2 1 : 1

2

a) Rút gọn biểu thức A

b) Chứng minh rằng 0 A 2

Câu 2 (2,0 điểm):

Cho hai đường thẳng (d1): y = ( m – 1 ) x – m2 – 2m (Với m là tham số)

(d2): y = ( m – 2 ) x – m2 – m + 1

cắt nhau tại G

a) Xác định toạ độ điểm G

b) Chứng tỏ rằng điểm G luôn thuộc một đường thẳng cố định khi m thay đổi

Câu 3 (2,0 điểm)

a) Tìm số nguyên dương n để B n  4  n 3  n 2   n 1 là số chính phương

b) Giải phương trình: x 2  3x 6 3 x   2  3x 4 0  

Câu 4 (3,0 điểm):

Cho (O;R) và đường thẳng d không giao nhau Qua M thuộc đường thẳng d kẻ các tiếp tuyến MA, MB với (O) ( A, B là các tiếp điểm) Kẻ OC vuông góc với đường thẳng d tại C Gọi F,G thứ tự là giao điểm của AB với OM và OC

a) Chứng minh rằng tam giác OFG đồng dạng với tam giác OCM

b) Chứng minh rằng AB luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyển trên đường thẳng d

c) Tìm vị trí của điểm M trên đường thẳng d để AB có độ dài nhỏ nhất

Câu 5 (1,0 điểm):

Cho a, b, c là các số dương tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

============ Đề gồm 01 trang =========

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHỌN HSG HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014

MÔN: TOÁN 9

Câu 1

(2,0điểm)

a) với x 0,x 1

Ta có A =

2

.



0,25 0,5

0,5 b) với x 0,x 1 ta luôn có A > 0

1

x x

x x 

  hay A  2 Vậy 0  A 2

0,25 0,25

0,25

Câu 2

a)

(1,25đ)

Hoành độ điểm G là nghiệm của phương trình:

(m-1)x - m2 - 2m = (m - 2)x - m2 - m + 1 0,25đ

Tung độ điểm G là: y = (m-1) (m+1) - m2 - 2m 0,25đ

Toạ độ điểm G là (m + 1 ; -2m - 1) 0,25đ

b)

(0,75đ)

Có y = -2m - 1 = -2(m + 1) + 1 0,25đ

Mà x = m + 1

Toạ độ điểm G thoả mãn phương trình đường thẳng y = -2x + 1 cố định Chứng tỏ G luôn thuộc đường thẳng y = -2x + 1 cố định khi

m thay đổi

0,25đ

Câu 3

a)

(1,0đ)

1)Đặt n4 + n3 + n2 + n + 1 = k2 (1) (với k nguyên dương) 0,25đ

Ta có (1)  4n4 + 4n3 + 4n2 + 4n + 4 = 4k2  (2n2 +n)2 +2n2 +(n+2)2 = (2k)2 0,25đ

 (2k)2 > (2n2 +n)2

0,25đ

 (2k)2  (2n2 +n+1)2 (do k và n nguyên dương)

 4n4 + 4n3 + 4n2 + 4n + 4 (2n2 +n+1)2

 (n+1)(n-3)  0

Do n là số nguyên dương  0 < n  3  n 1; 2; 3

Thay các giá trị của n vào (1), chỉ có n = 3 thoả mãn đề bài

0,25đ

0,25đ

(1,0đ)

x  3x 6 3 x    3x 4 0  

Ta có:

2

  với moi x Nên pt xác định với mọi x thuộc tập số thực

0,25đ

1 2

t t





  

3

x

x





 (tm) Vậy PT có tập nghiệm là S = {0; 3}

0,25đ

Câu 4

Hình vẽ

d

G F

A

O

M

a)

1,0 điểm

Ta có: MA = MB ( tc 2 tiếp tuyến cắt nhau) OA = OB = R

MO là trung trực của AB OFG 90   0 0,5 Xét OFG và OCM có:

OFG OCM 90   ; FOG (chung)

OFG OCM

0,5

b)

1,0 điểm

Do MA là tiếp tuyến của (O)  MAO 90   0lại có AFOM

Áp dụng hệ thức trong tam giác vuông MOA ta có:

OG.OC = OF.OM = OA2 = R2

2

OG = R

OC

Mà (O); d cố định nên OC cố định và không đổi

 G cố định

Vậy AB luôn đi qua G cố định khi M di chuyển trên d 0,25

1,0 điểm

Do OF  OG mà OFAB

Nên dây AB nhỏ nhất khi OF = OG ( quan hệ giữa tâm và khoảng

Vậy khi M≡C thì dây AB có độ dài nhỏ nhất 0,25

Câu 5

đặt x = 3a + b + c ; y = 3b + a + c ; z = 3c + b + a

Áp dụng bất đẳng thức Cô ta được

0,25đ

5

Dấu bằng xẩy ra khi a = b = c Vậy Max T = 3/5 khi a = b = c

0,25đ