skkn hướng dẫn học sinh vẽ yếu tố phụ khi giải bài tập hình học

Các bài toán hình học có lời giải phải kẻ thêm đường phụ là các bài toán khóđối với với học sinh THCS.. Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải bài toán dạng toán hình học có vẽ th

UBND TỈNH HẢI DƯƠNG

TÊN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “ HƯỚNG DẪN HỌC SINH VẼ YẾU PHỤ KHI GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC ” MÔN:TOÁN KHỐI LỚP: 8; 9 NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG CẤP TỈNH ĐIỂM THỐNG NHẤT Bằng số:

Bằng chữ:

Họ và tên Giám khảo số 1: chữ ký:

Họ và tên Giám khảo số 2: chữ ký:

Năm học: 2012-2013

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG

Trường: THCS Văn Giang

TÊN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

“HƯỚNG DẪN HỌC SINH VẼ YẾU PHỤ KHI

GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC”

MÔN:TOÁN

TÊN TÁC GIẢ: ÔNG NGUYỄN ĐẮC VIỆN

Xác nhận của nhà trường( ký, đóng dấu)

Số phách

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NINH GIANG

TÊN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

“HƯỚNG DẪN HỌC SINH VẼ YẾU PHỤ KHI

GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC”

MÔN:TOÁN KHỐI LỚP: 8; 9

ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG CẤP HUYỆN

UBND TỈNH HẢI DƯƠNG

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TÊN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

“HƯỚNG DẪN HỌC SINH VẼ YẾU PHỤ KHI

GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC”

MÔN:TOÁN KHỐI LỚP: 8; 9

NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG CẤP NGÀNH

ĐIỂM THỐNG NHẤT

Bằng số:

Bằng số:

Họ và tên Giám khảo số 1:

Họ và tên Giám khảo số 2:

Năm học 2012 - 2013

PHẦN 1 MỞ ĐẦU

1.1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

1.1.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN

Nhằm đáp ứng được mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, con đườngduy nhất là nâng cao chất lượng học tập của học sinh ngay từ nhà trường phổthông Là giáo viên ai cũng mong muốn học sinh của mình tiến bộ, lĩnh hội kiếnthức dễ dàng, phát huy tư duy sáng tạo, rèn tính tự học, thì toán học là môn khoahọc đáp ứng đầy đủ những yêu cầu đó

Các bài toán hình học có lời giải phải kẻ thêm đường phụ là các bài toán khóđối với với học sinh THCS Bởi vì để giải các bài toán dạng này không chỉ yêucầu học sinh nắm vững kiến thức mà nó còn đòi hỏi học sinh cần có một kỹnăng giải toán nhất định, có sự sáng tạo nhất định Để tạo ra được một đườngphụ liên kết tường minh các mối quan hệ toán học giữa các điều kiện đã cho (giảthiết) với điều kiện cần phải tìm (kết luận) đòi hỏi phải thực hiện các thao tác tưduy: Phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hoá, đặc biệt hoá, Hay nói cáchkhác giải một bài toán phải kẻ thêm đường phụ là một sáng tạo nhỏ Kẻ thêmđường phụ để giải một bài toán hình về mặt phương pháp là một biểu hiện ởmức độ cao của kỹ năng, thể hiện các tình huống hình học phù hợp với một địnhnghĩa, định lý nào đó hay còn gọi là quy lạ về quen Ở đó khoảng cách từ lạđến quen càng xa thì mức độ sáng tạo càng lớn Do đó việc học tốt các bài toánhình có lời giải phải kẻ thêm đường phụ có tác dụng rất lớn trong việc phát triểnnăng lực trí tuệ và tư duy khoa học của học sinh

1.1.2 CƠ SỞ THỰC TIỄN.

Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải bài toán dạng toán hình học có

vẽ thêm yếu tố phụ, nhanh chóng và đạt hiệu quả cao Để thực hiện tốt điều này,đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh những kĩ năng như quan sát, nhậnxét, đánh giá bài toán, đặc biệt là kĩ năng giải toán, kĩ năng vận dụng bài toán,tuỳ theo từng đối tượng học sinh, mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp trên cơ

sở các phương pháp đã học và các cách giải khác, để giúp học sinh học tập tốt

bộ môn

Trên thực tế, đối với học sinh khi giải các bài toán dạng này cần phải có rấtnhiều thời gian nghiên cứu Do đó việc đi sâu vào nghiên cứu và tìm tòi các cáchgiải bài toán có vẽ thêm đường phụ đối với học sinh còn rất ít Còn đối với đa sốhọc sinh việc nắm vững về mục đích, yêu cầu khi vẽ các đường phụ cũng nhưkiến thức về một số loại đường phụ là còn rất hạn chế Các tài liệu viết riêng vềloại toán này cũng không có nhiều cho nên việc tham khảo đối với học sinh còngặp nhiều khó khăn.

Chính vì sự lúng túng của học sinh khi giải các bài tập hình cần kẻ thêm

các yếu tố phụ nên tôi chọn đề tài “Hướng dẫn học sinh vẽ yếu tố phụ khi giải

bài tập hình học” nhằm giúp các em có thêm những kĩ năng trong việc đề xuất

tìm lời giải cho bài toán đồng thời góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy môntoán trong nhà trường

1.2 PHẠM VI NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI

Trọng tâm nghiên cứu của đề tài là giành cho ôn tập học sinh khá giỏikhối lớp 8 và lớp 9, yêu cầu đối với các em phải nắm vững kiến thức và kĩ năng

cơ bản về hình học, cần có niềm say mê học hình

Với giáo viên là người đem lại niềm say mê, hứng thú cho các em, dẫn dắtcác em biết khai thác , nâng cao để khái quát hóa một vấn đề để đảm bảo tính hệthống, tính liên tục, tính logic theo hướng khai triển của bài toán

Vì vậy khi nghiên cứu và áp dụng tôi xin các Thầy, Cô lưu ý tới trình độnhận thức của các em để vận dụng đề tài cho phù hợp

1.3 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI.

Đề tài tập trung nghiên cứu các yêu cầu khi vẽ thêm yếu tố phụ cho cácbài tập hình hình học trong chương trình toán THCS và các bài tập nâng caonhằm giúp các em có các kĩ năng cơ bản nhất khi nhận dạng và phát hiện cácyếu tố phụ cần vẽ thêm cho phù hợp

Nghiên cứu một số cơ sở để xác định đường phụ khi áp dụng cho một bàitoán cụ thể dựa trên cơ sở giả thiết đã cho, hình vẽ cần có

Nghiên cứu một số bài tập vận dụng những phương pháp xác định đườngphụ cho đối tượng là học sinh khá giỏi.

1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI.

- Nghiên cứu các tài liệu, giáo trình về phương pháp dạy học Toán, các tàiliệu có liên quan đến vấn đề cần nghiên cứu

- Nghiên cứu và hệ thống các kiến thức cơ bản về vẽ đường phụ trong giảitoán hình học ở bậc THCS Cụ thể là các tài liệu rất thiết thực đối với học sinhphổ thông cơ sở như:

- Đúc rút kinh nghiệm qua khảo sát thực nghiệm và đối chứng

1.5 ĐÓNG GÓP MỚI CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU.

- Về mặt lý luận: Rèn luyện khả năng tư duy sáng tạo, kỹ năng vẽ yếu tốphụ trong giải toán hình học ở bậc THCS, tính cẩn thận chính xác, tính kiên trìcho học sinh Giúp các em có hứng thú học tập, say mê học Toán và phát huynăng lực sáng tạo khi gặp các dạng toán khó

- Về thực tiễn: Giúp học sinh nắm vững các phương pháp vẽ yếu tố phụtrong giải toán hình học ở bậc THCS , phát hiện và vận dụng các phương phápgiải phù hợp với từng bài toán cụ thể ở các dạng khác nhau

PHẦN 2: NỘI DUNG

2.1 CƠ SỞ KHOA HỌC.

là một thuận lợi cho cả giáo viên và học sinh trong đổi mới cách dạy và học.

Khi giải bài tập hình có kẻ thêm yếu tố phụ đòi hỏi phải thực hiện nhiềucác thao tác tư duy, trong các định lý ở sách giáo khoa, để chứng minh định lý

mà phải sử dụng việc vẽ đường phụ thì sách giáo khoa (SGK) rất ít đề cập đến,việc làm các ví dụ về bài tập trên lớp cũng rất hiếm khi có loại toán dạng này.Tuy nhiên trong các bài tập ở SGK lại có khá nhiều bài có yêu cầu vẽ thêmđường phụ đặc biệt là các bài tập nâng cao, các bài toán khó Vì vậy các giáoviên thường hướng dẫn học sinh giải quyết các bài toán đó bằng kinh nghiệm lâunăm của mình

Yếu tố phụ kẻ thêm phải giúp được cho việc chứng minh bài toán đó,muốn vậy nó phải là kết quả của sự phân tích tổng hợp, tương tự hoá, mày mò

dự đoán theo một mục đích xác định là gắn kết được mối quan hệ của kiến thức

đã có với điều kiện đã cho của bài toán và kết luận phải tìm Do đó không được

vẽ yếu tố phụ một cách tuỳ tiện (cho dù là mày mò, dự đoán) vì nếu yếu tố phụkhông giúp ích gì cho việc chứng minh thì nó sẽ làm cho hình vẽ rối ren thêm,càng làm khó thêm cho việc tìm ra lời giải đúng Vì vậy khi vẽ yếu tố phụ phảiluôn tự trả lời câu hỏi "Vẽ thêm yếu tố phụ này có đạt được mục đích mìnhmuốn không?" Nếu "không" nên loại bỏ ngay, tuy cùng là một yếu tố vẽ thêmnhưng do các cách vẽ khác nhau nên dẫn đến cách chứng minh cũng khác nhau

2.1.2 MỘT SỐ YÊU CẦU KHI VẼ THÊM YẾU TỐ PHỤ

* Yếu tố phụ là điểm:

- Vẽ điểm chia trong hay chia ngoài một đoạn thẳng cho trước theo một

tỷ số thích hợp

- Xác định giao điểm của các đường thẳng hoặc đường thẳng với đườngtròn

* Yếu tố phụ là đường thẳng, đoạn thẳng.

- Kéo dài một đường thẳng cho trước với độ dài tuỳ ý

- Nối hai điểm cho trước hoặc hai điểm đã xác định

- Từ một điểm cho trước dựng đường thẳng song song với một đườngthẳng đã xác định

- Từ một điểm cho trước dựng đường vuông góc với một đường thẳngxác định

- Dựng đường phân giác của một góc cho trước

- Dựng đường thẳng đi qua một điểm cho trước hợp thành với đườngthẳng khác một góc bằng góc cho trước

- Từ một điểm cho trước dựng tiếp tuyến với đường tròn cho trước

- Hai đường tròn giao nhau thì dựng được dây cung chung

- Hai đường tròn tiếp xúc nhau thì ta có thể kẻ được tiếp tuyến chungtrong , tiếp tuyến chung ngoài hoặc đường nối tâm

- Vẽ tia đối của một tia cho trước

- Dựng các đường đặc biệt trong tam giác ( Trung tuyến, trung bình,phân giác, đường cao, trung trực )

* Đường phụ là đường tròn:

- Vẽ thêm các đường tròn hoặc cung chứa góc dựa trên các điểm đã có

- Vẽ đường tròn tiếp xúc với một đường tròn hoặc đường thẳng đã có

- Vẽ đường tròn nội hoặc ngoại tiếp đa giác

Trên cơ sở đó, các yêu cầu về vẽ các đường phụ, giáo viên cần phândạng được các bài toán hình mà lời giải có sử dụng đường phụ.

2.2 THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ CẦN NGHIÊN CỨU

2.2.1 Thuận lợi:

- Được sự chỉ đạo của Ban giám hiệu nhà trường trong các hoạt động dạy vàhọc đặc biệt là trong hoạt động chuyên môn luôn tạo mọi điều kiện cho giáoviên phấn đấu, học tập và nghiên cứu, phát huy các phương pháp dạy học đổimới sáng tạo nhất nhằm bồi dưỡng cho đối tượng học sinh khá giỏi của nhàtrường

- Bên cạnh đó các đồng chí giáo viên giảng dạy môn toán cũng thấy sự cầnthiết phải trang bị cho học sinh những kiến thức về việc vẽ thêm các yếu tố phụ

để có phương án đề xuất tìm lời giải cho những bài tập hình

2.2.2 Khó khăn.

- Hình học là bộ môn khó, đòi hỏi sự tư duy cao đặc biệt là những bài tập

có yếu tố kẻ thêm đường phụ

- Phần lớn các em học sinh thường ngại học môn hình, nhiều em học cònyếu những kĩ năng cơ bản như kĩ năng phân tích đề bài, kĩ năng sử dụng sơ đồsuy luận ngược để tìm lời giải, kĩ năng đề xuất kẻ thêm đường phụ để tìm lờigiải

- Đa số các em chưa có nhiều thói quen đọc thêm các tài liệu để nâng cao

kĩ năng giải bài tập hình

2.3 GIẢI PHÁP THỰC HIỆN

Với phạm vi nghiên cứu của đề tài tôi xin trình bày một vài kinh nghiệmnhỏ của bản thân trong việc phân tích tìm thêm yếu tố phụ thông qua một số bàitập quen thuộc

Trước hết giáo viên cần cung cấp nhằm giúp học sinh thấy được vai tròcủa việc vẽ thêm đường phụ sẽ giúp cho việc tìm lời giải trở nên dễ ràng hơn rấtnhiều.

- Kẻ thêm yếu tố phụ để tạo nên các tình huống phù hợp với một định lý

để giải quyết bài toán

- Kẻ thêm yếu tố phụ để tạo ra khâu trung gian nhằm liên kết các mốiquan hệ để giải quyết bài toán

- Kẻ thêm các yếu tố phụ để biến đổi kết luận tạo thành các mệnh đềtương đương để giải quyết bài toán

- Kẻ thêm yếu tố phụ để sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng

2.3.2 Một số bài tập sử dụng yếu tố phụ.

a Kẻ thêm yếu tố phụ để tạo nên các hình rồi sử dụng định nghĩa hoặc tính chất các hình để giải quyết bài toán.

Phương pháp: Từ các định lý và tính chất đã học, học sinh nghiên cứu

giả thiết và kết luận của bài toán, tìm ra các điểm tương đồng rồi từ đó vẽ yếu tốphụ thích hợp để đưa bài toán cần giải quyết về dạng quen thuộc

Ví dụ 1 Cho tam giác cân ABC đáy BC Lấy trên AB kéo dài một đoạn

BD = AB Gọi CE là trung tuyến của tam giác ABC

CMR: CE = CD

(Ta chỉ phân tích phần nội dung: Kẻ đường phụ.)

Phân tích : Từ kết luận của bài toán gợi ý cho ta xét đến trung điểm của CD

Muốn chứng tỏ một đoạn thẳng bằng nửa đoạn thẳng khác thì một trongcác cách làm cơ bản là chia đôi đoạn thẳng kia và chuyển về bài toán chứngminh hai đoạn thẳng bằng nhau

Gọi M là trung điểm của CD ta có CM = MD, vậy ta phải chứng minh

CE = CM hoặc CE=DM Từ sự phân tích tổng hợp ta nối B với M ta suy ra nếuchứng minh được  EBC =  MBC thì ta có được CE = CM là điều phải chứngminh

Đến đây điều cần chứng minh đã rõ ràng phải chứng minh

 EBC =  MBC(c.g.c) Việc hướng dẫn học sinh kẻ thêm đường phụ ta dựa vào sự phân tích trên, ta

có thể đưa ra cho học sinh những câu hỏi gợi mở

+ Với M là trung điểm của CD, thì CE và CM là các cạnh của tam giácnào?

+ Để chứng minh CE = CM ta phải kẻ thêm đường phụ nào và chứngminh điều gì? Hoặc ta có thể hỏi: Để chứng minh CE = CM ta phải chứng minhđiều gì?

b Kẻ thêm các yếu tố phụ để biến đổi kết luận tạo thành các mệnh đề tương đương để giải quyết bài toán.

Phương pháp: Từ yêu cầu của bài toán ta biến đổi chúng đưa bài toán

về dạng quen từ đó gợi nên các đường phụ cần vẽ

Ví dụ 2: Cho ΔABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm O (ABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm O (A < 600) M làđiểm bất kì trên cung nhỏ BC, AM giao với BC tại N

Đến đây ta lại trở lại bài toán quen thuộc: Cho ΔABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm O (AB’C’ đều nội tiếp (O);

M là một điểm bất kì trên cung nhỏ B’C’ Chứng minh rằng: AM = MB’ + MC’

Ta có trên AM lấy E sao cho ME = B’M Khi đó B'ME B'C 'A( 60 )     0

suy ra ΔABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm O (B’EM đều

c Kẻ thêm yếu tố phụ để tạo ra khâu trung gian nhằm liên kết các mối

quan hệ để giải quyết bài toán:

Phương pháp: Đối với dạng toán này thường là các bài toán chứng

minh các đường thẳng đồng quy, hai đường thẳng vuông góc, đường trung tuyếncủa một tam giác, tam giác cân vì có đường cao đồng thời là đường trung bình

Ví dụ 3: Cho tứ giác ABCD có cạnh AD = BC Gọi M; N lần lượt là trung điểm của

AB; CD CB và DA cắt NM lần lượt tại E và F Chứng minh rằng DFN CEN 

Phân tích: Nhìn trên hình vẽ ta thấy hai góc DFN và CEN giường như không

có quan hệ gì với nhau vì vậy phải gợi đến việc chứng minh hai góc này cùngbằng một góc thứ ba

Do M và N là trung điểm của AB và CD, lại có AD = BC nên ta lấy thêm I

là trung điểm của AC

Khi đó MI và IN là các đường trung bình của ΔABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm O (ABC và ΔABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm O (ACD

Đến đây ta cần chứng minh ΔABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm O (MIN cân tại I thì ta tìm được lời giải cho bàitoán

Ta có thể đưa ra câu hỏi gợi mở như sau:

+ Với AM = MB, DN = NC và AD = BC thì trung điểm của AC có mối quan hệ

gì với hai tam giác ΔABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm O (ABC và ΔABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm O (ACD?

+ Để chứng minh DFN CEN  ta cần chứng minh ΔABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm O (MIN là tam giác gì?

d.Kẻ thêm yếu phụ để tạo nên các tình huống phù hợp với một định lý

để giải quyết bài toán.

Phương pháp: Nhưng bài toán cho ta các giả thiết liên quan đến góc

vuông, đồng quy, song song và trung điểm của đoạn thẳng , ta có thể liên kếtcác giả thiết đó lại với nhau để đề xuất phương pháp chứng minh phù hợp

Ví dụ 4 Cho hình chữ nhật ABCD Gọi M là trung điểm cạnh CD và N

là một điểm trên đường chéo AC sao cho BNM 90   0 Gọi F là điểm đối xứngcủa A qua N Chứng minh FB  AC

(Ta phân tích nội dung kẻ đường phụ và gợi ý chứng minh)

Phân tích: Ta thấy BFClà một góc của BFC, đối chiếu với định lý: Tổng 3 góccủa một tam giác bằng 180O thì có FBC BCF BFC 180       0 , nhưng ta chưa thể tính

được FBC BCF    bằng bao nhiêu nên không thể suy ra được số đo góc BFC Vậykhông thể vận dụng định lý trên để chứng minh

Liệu BF có là đường cao của  BNC được không?

Để chứng minh BF là đường cao của tam giác BNC ta phải chứng minh BF

đi qua điểm nào đặc biệt trong tam giác?

Dựa vào đó ta hiểu rằng phải chứng minh BF đi qua trực tâm của BNC

Do sự phân tích - tổng hợp ta đi đến việc dựng NE  BC tại E Gọi giaođiểm của NE với BF là I Ta suy ra rằng nếu chứng minh được CI // MN thì suy

ra CI cũng sẽ vuông góc với BN (Vì MNBN) tức CI là một đường cao của

 BNC Vậy I là trực tâm của  BNC (Vì I  NE  CK) Do đó suy ra điềuphải chứng minh là: BF  AC

Tóm lại việc kể thêm NE BC tại E là nhằm tạo ra điểm I  NE  BF đểchứng minh I là trực tâm của  BNC

Từ sự phân tích trên ta có thể dựa vào đó đề ra một hệ thống câu hỏi gợi

mở cho học sinh tực giác, tích cực tìm lấy lời giải Chẳng hạn có thể sử dụngnhững câu hỏi như:

- Để chứng minh BF  AC ta có thể chứng minh BF là đường gì của