Chuyên đề SKKN Các dạng toán về quan hệ giữa Parabol và đường thẳng

Một số sai lầm thờng gặp khi giải bài toán về quan hệ giữa Parabol 11 và đờng thẳng ở học sinh trờng Tiểu Học và THCS Túc Đán 1.. b Yêu cầu thực tiễn: Trong chơng trình đại số lớp 9, việ

Phần thứ nhất: Mở đầu ……… 3

1/ Lý do chọn đề tài ……… 3

a) Căn cứ pháp chế ……… 3

b) Yêu cầu thực tiễn ……… 3

2 Mục đích nghiên cứu ………4

3 Đối tợng nghiên cứu ………4

4 Giới hạn phạm vi nội dung nghiên cứu ……… … 4

5 Nhiệm vụ nghiên cứu ……… 5

6 Phơng pháp nghiên cứu ……… 5

a) Nghiên cứu lý thuyết ……… 5

b) Nghiên cứu thực tiễn ……… 5

c) Viết đề tài ……… 5

7 Thời gian nghiên cứu …… ……… 6

Phần thứ hai: Nội Dung ……… 7

Chơng I: Cơ sở lý luận của đề tài ……… 7

1 Phơng pháp vẽ đồ thị hàm số bậc nhất ……… 7

2 Phơng pháp vẽ đồ thị hàm số bậc hai y = ax2 ……… 7

3 Công thức nghiệm phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ……… 7

4 Công thức nghiệm thu gọn của phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 8

5 Tính nhẩm nghiệm phơng trình bậc hai ……… 8

Chơng II: Thực trạng của đề tài ……… 9

1 Thuận lợi ……… 9

2 Khó khăn ……… 9

Chơng III: Giải quyết vấn đề:……… … 11

I Một số sai lầm thờng gặp khi giải bài toán về quan hệ giữa Parabol 11

và đờng thẳng ở học sinh trờng Tiểu Học và THCS Túc Đán 1 Vẽ sai đồ thị hàm số……… 11

2 Giải sai phơng trình ……… ……… 11

II Cách khắc phục ……… 11

1 Khắc phục tình trạng học sinh vẽ sai đồ thị hàm số ……… 11

2 Khắc phục tình trạng giải sai phơng trình ……… 12

III Một số dạng toán về quan hệ giữa Parabol và đờng thẳng thờng gặp 12 1 Dạng 1: Bài toán vẽ đồ thị ……… 12

2 Dạng 2: Bài toán giải phơng trình: …… ……… 17

a) Bài toán yêu cầu tìm hoành độ giao điểm của Parabol và đờng thẳng: 18 b) Bài toán yêu cầu xác định toạ độ giao điểm của Parabol và đờng thẳng: 19 3 Dạng 3: Biện luận số giao điểm giữa Parabol và đờng thẳng ……… 20

Phần thứ ba: Kết Luận và khuyến nghị ……… 23

I Kết luận ……… 23

II Khuyến nghị ……… ……… 23

Tài liệu tham khảo ……… 25

Phụ lục ……… 26

Đánh giá ……… 27

Phần thứ nhất: Mở đầu

1/ Lý do chọn đề tài.

a) Căn cứ pháp chế

Căn cứ vào chỉ thị 40/CT Ban bí th về việc nâng cao chất lợng đội ngũ nhà giáo

và đội ngũ quản lý giáo dục

Chỉ thị số 39/2007/bgd&đt ngày 31tháng 7 năm 2007 của Bộ gd&đt về nhiệm vụ trọng tâm của Giáo dục Mầm non, Giáo dục Phổ thông, Giáo dục Thờng xuyên, Giáo dục chuyên nghiệp và các trờng, khoa s phạm trong năm học 2009 -2010

Hớng dẫn số: 8227/bgd&đt – gdth ngày 06 tháng 8 năm 2007 của Bộ gd&đt về việc hớng dẫn nhiệm vụ Giáo dục Trung học

Căn cứ vào chỉ thị 184/PGD về việc thực hiện nhiệm vụ năm học 2009-2010

Và căn cứ vào kế hoạch chỉ đạo thực hiện nhiệm vụ năm học 2009-2010 của trờng Tiểu Học và THCS túc đán đã nêu rõ tính cấp thiết phải nghiên cứu, cải cách và đổi mới trong dạy học của thầy và trò trong nhà trờng

Việc dạy môn toán theo hớng cải cách có nhiều điểm mới, đòi hỏi và yêu cầu cao hơn so với các lớp dới

b) Yêu cầu thực tiễn:

Trong chơng trình đại số lớp 9, việc xác định các vị trí tơng đối giữa parabol

và đờng thẳng là một dạng toán tơng đối khó - nhất là với đối tợng học sinh vùng cao ở các em kĩ năng vẽ đồ thị còn yếu, nhiều khi hình vẽ có độ chính xác cha cao, nhiều em còn thiếu dụng cụ học tập Bên cạnh đó, khả năng t duy suy luận của các em còn hạn chế, óc t duy hình học nhiều em quên các kiến thức lớp dới có liên quan nh: Biến đổi tơng đơng phơng trình, giải phơng trình, các hằng đẳng thức

đáng nhớ, nên việc dạy học phần đồ thị còn gặp nhiều khó khăn.…

Sau những năm tham gia giảng dạy học sinh khối 9, với những kinh nghiệm đợc

đúc kết từ thực tiễn, tôi mạnh dạn đa ra một số phơng pháp hớng dẫn học sinh học tốt mối quan hệ giữa parabol và đờng thẳng , để cùng đồng nghiệp tham khảo và trao đổi, nhằm mục đích khắc phục những tồn tại nói trên Đồng thời nhằm giúp học sinh khối 9 có đợc một cách nhìn nhận mới về các vị trí tơng đối giữa parabol

và đờng thẳng, trên nền tảng các kiến thức cơ bản đã đợc trang bị của cấp học, qua

đó giúp các em trau dồi đợc những phẩm chất về trí tuệ nh: tính độc lập, linh hoạt, sáng tạo trong quá trình giải toán, giúp các em tự tin hơn trong quá trình học tập môn toán THCS

2 Mục đích nghiên cứu:

Để giúp các em học tốt hơn môn toán Ngời thày giáo, cô giáo ngoài việc giúp các em nắm đợc những kiến thức lý thuyết toán, thì việc bồi dỡng cho các em

về mặt phơng pháp giải các loại toán là rất quan trọng Nó giúp các em nhận dạng, tìm tòi đờng lối giải một cách nhanh chóng, hình thành kỹ năng phát triển t duy ngày càng sâu sắc hơn Việc tự mình giải đợc 1 bài toán sẽ giúp các em tự tin hơn, hứng thú hơn trong học tập, và yêu thích môn toán hơn Điều này sẽ giúp cho kết quả học toán của các em tốt hơn Mục đích cuối cùng là nhằm vận dụng tốt đổi mới phơng pháp dạy học toán và nâng cao chất lợng dạy môn toán của giáo viên, chất l-ợng học môn của học sinh trờng Tiểu Học Và THCS Túc Đán

3 Đối tợng nghiên cứu:

Việc hớng dẫn học sinh quan hệ giữa parabol và đờng thẳng đợc nghiên cứu trên đối tợng học sinh khối lớp 9 trên địa bàn xã Túc Đán

4 Giới hạn phạm vi nội dung nghiên cứu:

Trong rất nhiều mảng kiến thức toán THCS, đề tài này chỉ xin đóng góp 1 phần nhỏ vào việc làm thế nào để học sinh giải bài toán quan hệ giữa Parabol và đ-

ờng thẳng đợc tốt hơn Qua đó phần nào nâng cao chất lợng học toán của học sinh vùng cao.

5 Nhiệm vụ nghiên cứu:

Trong chơng trình đại số lớp 9, việc xác định các vị trí tơng đối giữa Parabol

và đờng thẳng đối với học sinh còn gặp những khó khăn nh không biết phơng hớng giải, khả năng tởng tợng hình còn yếu, cha trình bầy lời giải một cách đầy đủ vầ chính xác Học sinh thờng mắc một số sai lầm cơ bản nh: Vẽ hình cha chính xác, giải sai phơng trình hoặc tính toán sai trong khi giải …

Nhiệm vụ đặt ra của đề tài là chỉ ra những sai lầm học sinh thờng mắc phải , giúp các em tránh đợc những sai lầm đó Đồng thời hệ thống một số dạng, giúp học sinh có thể nhận dạng quan hệ giữa parabol và đờng thẳng đợc nhanh hơn

6 Phơng pháp nghiên cứu:

a) Nghiên cứu lý thuyết:

Nghiên cứu Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập toán 9

Nghiên cứu các tài liệu tham khảo

b) Nghiên cứu thực tiễn:

Nghiên cứu qua việc giảng dạy thực tế ở trờng Tiểu Học Và THCS Túc Đán

Qua dự giờ đồng nghiệp trong nhà trờng và qua trao đổi, học hỏi các thầy, cô giáo đi trớc nhiều kinh nghiệm

Qua trao đổi trực tiếp với học sinh tìm hiểu những khó khăn, qua các bài kiểm tra và vở bài tập của học sinh

c) Viết đề tài :

Sau một thời gian nghiên cứu và qua thực nghiệm với các đối tợng học sinh Đợc sự góp ý chỉ đạo tận tình của các đồng nghiệp cùng tổ chuyên môn , ban giám hiệu nhà trờng, bản thân tôi đã tiến hành viết đề tài này.

7 Thời gian nghiên cứu:

Quá trình nghiên cứu đợc tiến hành từ ngày 5 tháng 9 năm 2008 đến ngày 8 tháng 4 năm 2010

Phần thứ hai: Nội Dung

Chơng I: Cơ sở lý luận của đề tài:

 > 0: Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt:

1 Thuận lợi:

Nội dung chơng trình SGK đợc đổi mới giảm nhẹ tính lý thuyết kinh viện, tăng yêu cầu thực hành Thời lợng dành cho lí thuyết cũng đã giảm, chỉ chiếm 60% tổng thời lợng Thời gian dành cho bài tập, luyện tập, ôn tập và thực hành đợc tăng lên, giúp khắc sâu kiến thức cho HS hơn so với chơng trình cũ

Giáo viên đợc tham gia đầy đủ các lớp bồi dỡng chuyên môn về đổi mới nội dung chơng trình SGK, đổi mới phơng pháp dạy học cho phù hợp với đối tợng học sinh vùng cao

Nhà trờng đợc sự quan tâm của nhà nớc trang bị sách giáo khoa cho học sinh, giảm bớt phần nào thiếu thốn về tài liệu học tập

2 Khó khăn:

Trong quả trình giảng dạy toán ở trờng tôi gặp rất nhiều khó khăn vì 100% đối tợng học sinh là ngời dân tộc thiểu số có nhận thức rất chậm, kĩ năng vẽ hình yếu, nên việc giúp các em tiếp cận những kiến thức cơ bản và vận dụng vào giải bài tập

là điều rất quan trọng

Tài liệu toán học, sách tham khảo, sách nâng cao ở th viện nhà trờng còn ít về

số lợng, nghèo nàn về chủng loại Học sinh không có điều kiện tiếp xúc với các loại sách tham khảo, nâng cao Tài liệu duy nhất HS đợc trang bị để trong học tập là SGK + SBT toán Kinh tế gia đình đại đa số HS còn nghèo, không trang bị đầy đủ các dụng cụ học tập cần thiết cho việc học tập môn toán của HS nh: máy tính bỏ túi…

Đề tài Giúp Học sinh học tốt dạng toán quan hệ giữa Parabol và đờng thẳng cho phù hợp với đối tợng học sinh trờng Tiểu Học Và THCS Túc Đán từ trớc đến nay cha đợc triển khai

Hiện nay, giải bài toán quan hệ giữa Parabol và đờng thẳng là một trong những khó khăn lớn đối với các em học sinh trờng Tiểu Học Và THCS Túc Đán Dạng toán này đòi hỏi ở học sinh tổng hợp nhiều kĩ năng nh: Vẽ chính xác đồ thị, phân tích hình vẽ, giải phơng trình, biện luận phơng trình bậc hai, mà tất cả các kĩ năng nói trên thì ở nhiều em học sinh còn yếu Chính vì vậy mà nhiều em học sinh rất ngại khi gặp phải dạng toán xác định vị trí tơng đối giữa Parabol và đờng thẳng Qua điều tra học sinh, tôi thu đợc số liệu nh sau:

Sở thích Mức độThích Không

Các nhiệm vụ cần giải quyết:

1 Chỉ ra đợc những sai lầm thờng gặp khi giải bài toán về quan hệ giữa Parabol và đờng thẳng

2 Đa ra một số dạng bài toán về quan hệ giữa Parabol và đờng thẳng thờng gặp và phơng pháp giải

Chơng III: Giải quyết vấn đề:

I Một số sai lầm thờng gặp khi giải bài toán về quan hệ giữa Parabol

và đờng thẳng ở học sinh trờng Tiểu Học Và THCS Túc Đán :

1 Vẽ sai đồ thị hàm số:

- Chia các khoảng đơn vị trên 2 trục toạ độ không bằng nhau

- Gióng toạ độ điểm không vuông góc với 2 trục toạ độ, dẫn đến lấy các điểm không chính xác

- Vẽ đờng nối giữa các điểm của Parabol không chính xác

2 Giải sai phơng trình:

- Quên hoặc áp dụng sai các phép biến đổi tơng đơng các phơng trình

- Sai lầm trong tính toán

II Cách khắc phục:

1 Khắc phục tình trạng học sinh vẽ sai đồ thị hàm số:

- Nếu các em vẽ đồ thị trên vở kẻ ô li thì hình vẽ có độ chính xác cao hơn, còn vẽ trên giấy thếp thờng không chính xác Để khắc phục hiện tợng chia khoảng đơn vị trên hệ trục toạ độ ở vở giấy thếp không bằng nhau, tôi hớng dẫn các em làm một thớc đo đơn giản bằng giấy thếp gấp lại Dùng thớc này đo sẽ cho các khoảng trên trục nằm ngang bằng với trục thẳng đứng một cách chính xác

- Để khắc phục tình trạng các em gióng toạ độ điểm không vuông góc với 2 trục toạ

độ, hoặc vẽ đờng nối giữa các điểm của Parabol không chính xác, đòi hỏi ở ngời giáo viên sự kiên trì theo dõi quá trình học tập của từng em, uốn nắn từng điểm sai trong hình vẽ cho các em Qua đó giáo dục tính cẩn thận, chính xác trong vẽ hình cho các em

2 Khắc phục tình trạng giải sai phơng trình:

- Ôn tập lại các phép biến đổi tơng đơng các phơng trình

- Luyện kĩ năng tính toán cho học sinh

- Luyện cho các em tính cẩn thận soát lại bài sau khi giải xong

III Một số dạng toán về quan hệ giữa Parabol và đờng thẳng thờng gặp:

1 Dạng 1: Bài toán vẽ đồ thị

- Cho đồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b và hàm số bậc hai y = ax2 Yêu cầu vẽ các

đồ thị trên cùng một mặt phẳng toạ độ rồi tìm toạ độ giao điểm

* Cách giải:

- Lập bảng giá trị rồi vẽ Parabol

- Xác định toạ độ các giao điểm của đờng thẳng với các trục toạ độ rồi vẽ đồ thị

- Xác định toạ độ các giao điểm (Nếu có)

* Trờng hợp Parabol và đờng thẳng không có điểm chung:

VD1: Vẽ Parabol y = 2x2 (P) và đờng thẳng y = x - 2 (d) trên cùng một mặt phẳng toạ độ Tìm toạ độ giao điểm?

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2 -1

1 2 3 4 5 6

x y

 Đờng thẳng (d) và Parabol (P) không có điểm chung

* Trờng hợp Parabol và đờng thẳng có một điểm chung :

VD2: Vẽ Parabol y = x2 (P) và đờng thẳng y = 4x - 4 (d) trên cùng một mặt phẳng toạ độ Tìm toạ độ giao điểm?

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4 -3 -2 -1

1 2 3 4 5

x

y

A

 (d) tiếp xúc (P) tại điểm A(2; 4)

VD3: Vẽ Parabol y = x2 và đờng thẳng x = -2 Xác định toạ độ giao điểm?

Giải:

Bảng giá trị:

f(x)=-1/2*x^2 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

x y

 Đờng thẳng x = -2 cắt Parabol y = -2x2 tại điểm B(-2; -2)

* Trờng hợp Parabol và đờng thẳng có hai điểm chung:

VD4: Trên cùng một mặt phẳng toạ độ, vẽ đồ thị hai hàm số y = -x2 và y = x - 2 Xác định toạ độ giao điểm?

f(x)=-x^2 f(x)=x-2

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

1

x y

f(x)=1/2*x^2 f(x)=2

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

1 2 3 4 5 6 7 8

x

y

 §êng th¼ng y = 2 c¾t Parabol y = x2 t¹i hai ®iÓm E (-2; 2) vµ F (2; 2)

2 D¹ng 2: Bµi to¸n gi¶i ph¬ng tr×nh:

- Sau khi tìm đợc giá trị hoành độ, thay vào một trong hai hàm số sẽ tìm đợc giá trị tung độ của giao điểm

a) Bài toán yêu cầu tìm hoành độ giao điểm của Parabol và đờng thẳng:

VD1: Tìm hoành độ giao điểm giữa Parabol y = x2 và đờng thẳng y = x - 6

 Parabol và đờng thẳng không có điểm chung

VD2: Cho Parabol y = x và đờng thẳng y = 2x - 3 Xác định hoành độ giao điểm của hai đồ thị?

 Parabol và đờng thẳng tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ là 3

VD3: Tìm hoành độ giao điểm giữa Parabol y = 2x2 và đờng thẳng y = 7x - 5

Giải:

Hoành độ giao điểm của Parabol và đờng thẳng là nghiệm của phơng trình:

 Đờng thẳng y = 7x - 5 cắt Parabol y = 2x2 tại hai điểm có hoành độ là 1 và

b) Bài toán yêu cầu xác định toạ độ giao điểm của Parabol và đờng thẳng:

VD4: Tìm toạ độ giao điểm của Parabol y = x2 và đờng thẳng y = 2x - 5

Vậy đờng thẳng y = 2x - 4 tiếp xúc Parabol y = x2 tại điểm (4; 4)

VD6: Xác định toạ độ giao điểm của Parabol y = x2 và đờng thẳng y = 7x - 12?Giải:

Vậy đờng thẳng cắt Parabol tại hai điểm: (4; 16) và (3; 9)

3 Dạng 3: Biện luận số giao điểm giữa Parabol và đờng thẳng

 = (-b)2 - 4a (- c) = b2 + 4ac Nếu:

 < 0: Parabol và đờng thẳng không cắt nhau

 = 0: Parabol và đờng thẳng tiếp xúc nhau

 > 0: Parabol và đờng thẳng cắt nhau tại hai điểm

VD: Cho Parabol (P) y = x2 và đờng thẳng (d) y = 2(m - 1)x - m2 - 9 Tìm m để:a) (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt

b) (d) Tiếp xúc (P) tại một điểm

a) (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt

 Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt

 ’ > 0

 - 2m - 8 > 0

 m < - 4

Vậy với m < - 4 thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt

b) (d) Tiếp xúc (P) tại một điểm

b) (d) tiếp xúc (P) Tìm toạ độ giao điểm?

c) (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt? Tìm toạ độ giao điểm khi m = -1

 Phơng trình (2) có hai nghiệm phân biệt

Với m > 0 hoặc m < 0 thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Tại m = -1 thì (d) cắt (P) tại hai điểm: (- 2; 4) và (- 4; 16)

Phần thứ ba: Kết Luận và khuyến nghị

áp dụng đề tài cha Số học sinh hiểu bài Tỉ lệ %

- Thờng xuyên chỉ ra những sai lầm mắc phải ở học sinh, để các em sửa chữa, giúp các em hiểu sâu hơn, khắc sâu kiến thức.

- Dạng toán 1: Vẽ đồ thị hai hàm số rồi xác định toạ độ giao điểm đòi hỏi

ở học sinh tính cẩn thận, độ chính xác cao trong khi vẽ hình Nếu hình vẽ đúng thì toạ độ giao điểm đúng, hình vẽ sai sẽ cho toạ độ giao điểm sai

- Dạng toán 2: Đa việc tìm số giao điểm, hoành độ giao điểm, toạ độ giao

điểm về việc giải phơng trình bậc hai Dạng toán này rèn luyện cho các em kỹ năng vận dụng công thức nghiệm, kỹ năng tính toán, tính nhẩm nghiệm

- ở dạng toán 3: Đa việc biện luận số giao điểm của Parabol và đờng thẳng

về việc giải và biện luận phơng trình bậc hai Dạng toán này tơng đối khó so với trình độ nhận thức của các em học sinh vùng cao Sau khi tôi áp dụng cách phân dạng bài tập thì các em đã biết cách giải

II Khuyến nghị:

- Mỗi học sinh cần trang bị đầy đủ đồ dùng học tập nh thớc kẻ, com pa, máy tính bỏ túi…

- Các em cần nâng cao ý thức tự giác trong học tập, tính hợp tác trong hoạt

động nhóm, tính cẩn thận trong vẽ đồ thị và trong tính toán Thờng xuyên kiểm tra, soát lại bài giải sau khi làm xong một bài tập

- Mỗi giáo viên cần phải thờng xuyên tự học, tự bồi dỡng, rèn luyện để không ngừng trau dồi về kiến thức kỹ năng dạy học

- Thờng xuyên đổi mới về cách soạn, cách giảng, đa các ứng dụng công nghệ

thông tin vào dạy học, đa dạng hoá các phơng pháp và hình thức tổ chức dạy học để lôi cuốn đợc học sinh vào quá trình học tập

- Cần quan tâm sâu sát đến từng đối tợng học sinh đặc biệt là học sinh yếu

kém, giúp đỡ ân cần, nhẹ nhàng tạo niềm tin, hứng thú cho các em vào môn học

- Trong quá trình dạy giáo viên phải hớng dẫn học sinh vào việc phát huy

tính tích cực, chủ động, sáng tạo, tạo ra những tình huống có vấn đề để học sinh