chuyên đề tổ hợp và xác suất - lê bá trần phương

Hai quy tắc đếm cơ bản thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức được giáo viên truyền đạt trong

Trang 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM

LỚP TOÁN VB2-K2

LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG

Trang 2

Bài 1: Một giáo viên muốn ra đề kiểm tra 45p môn toán phần tổ hợp - xác suất Trong ngân hàng câu hỏi

có 5 chủ đề, mỗi chủ đề có 4 câu Để ra đề kiểm tra 45p gồm 5 câu và bao gồm tất cả các chủ đề thì giáo

viên có bao nhiêu cách ra đề ?

Bài 2: Có 3 bạn nữ và 3 bạn nam Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các bạn đó vào 1 hàng dọc sao cho nam

nữ đứng xe kẽ nhau ?

Bài 3: Một lớp có 7 học sinh giỏi toán, 5 học sinh giỏi văn, 6 học sinh giỏi lý Hỏi có bao nhiêu cách chọn

ra 1 nhóm :

a Gồm 1 học sinh giỏi bất kỳ ?

b Gồm 3 học sinh giỏi trong đó có tất cả học sinh giỏi của cả 3 môn ?

c Gồm 2 học sinh giỏi khác nhau ?

Bài 4: cho các số tự nhiên sau : 1,2,5,6,7,9

a Hỏi lập được bao số lẻ có 3 chữ số khác nhau ?

b Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 5 ?

c Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số mà có mặt chữ số 2 ?

Bài 5: Cho các số tự nhiên 0,2,3,5,6,9

a Hỏi lập được bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số khác nhau ?

b Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số chia hết cho 3 ?

a Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên lớn hơn 601 ?

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương

BÀI 1 HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG

Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 1 Hai quy tắc đếm cơ bản thuộc khóa học

LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các

kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 1 Hai quy tắc đếm cơ bản Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học

trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này

Trang 3

Bài 1: Một giáo viên muốn ra đề kiểm tra 45p môn toán phần tổ hợp - xác suất Trong ngân hàng câu hỏi

có 5 chủ đề, mỗi chủ đề có 4 câu Để ra đề kiểm tra 45p gồm 5 câu và bao gồm tất cả các chủ đề thì giáo

viên có bao nhiêu cách ra đề ?

Giải

Vì đề kiểm tra có 5 câu và bao gồm 5 chủ đề nên để thành lập đề kiểm tra mỗi chủ đề ta lấy một câu hỏi

Chọn 1 câu hỏi trong chủ đề 1 có 4 cách chọn

Tương tự đối với các chủ đề 2; 3; 4; 5

Vị trí thứ nhất có 6 cách lựa chọn (nam hoặc nữ)

Vị trí thứ hai có 3 cách lựa chọn (nếu vị trí thứ nhất là nam thì bắt buộc vị trí thứ 2 phải chọn 1 trong 3 bạn

Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 1 Hai quy tắc đếm cơ bản thuộc khóa học

kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 1 Hai quy tắc đếm cơ bản Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học

trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này

Trang 4

b Gồm 3 học sinh giỏi trong đó có tất cả học sinh giỏi của cả 3 môn ?

c Gồm 2 học sinh giỏi khác nhau ?

Giải

a Số cách chọn 1 học sinh giỏi trong lớp là: 7 5 6 18   (cách)

b Số cách chọn 1 học sinh giỏi toán là 7 cách

Số cách chọn 1 học sinh giỏi văn là 5 cách

Số cách chọn 1 học sinh giỏi lý là 6 cách

Nên số cách chọn một nhóm gồm 3 học sinh giỏi trong đó có tất cả các môn là: 7.5.6210 cách

c Số cách chọn 2 học sinh trong đó một giỏi toán, một giỏi văn là 7.5 35 cách

Số cách chọn 2 học sinh trong đó một giỏi toán, 1 giỏi lý là 7.642 cách

Số cách chọn 2 học sinh trong đó một giỏi lý, 1 giỏi văn là 5.6 30 cách

Vậy số cách chọn ra một nhóm gồm 2 học sinh giỏi là 35 30 42 107   cách

Bài 4: cho các số tự nhiên sau: 1,2,5,6,7,9

a Hỏi lập được bao số lẻ có 3 chữ số khác nhau ?

b Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 5 ?

c Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số mà có mặt chữ số 2 ?

Trang 5

Bài 5: Cho các số tự nhiên 0,2,3,5,6,9

a Hỏi lập được bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số khác nhau ?

b Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số chia hết cho 3 ?

a Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên lớn hơn 601 ?

Giải

Ta phân các số trên thành 2 nhóm:

Nhóm 1 gồm các số  2;5

Nhóm 2 gồm các số 0;3;6;9 

Gọi số cần lập là abc thỏa mãn abc3a b c  3 a; b; c sẽ không đồng thời thuộc cả hai nhóm trên

Số các số chia hết cho 3 có 2 chữ số được thành lập từ nhóm 1 là:

+ Có 3 chữ số giống nhau có 2 số

+ Có 1 chữ số 2 và 2 chữ số 5 có 3 số (có 3 cách chọn vị trí để chữ số 5 có 1 cách chọn để vị trí 2 chữ số 2)

+ Có 1 chữ số 5 và 2 chữ số 2 có 3 số

Vậy từ nhóm 1 ta thành lập được 2 + 3 + 3 = 8 số chia hết cho 3

Số các số chia hết cho 3 lập được từ nhóm thứ 2 là:

+ Có 3 cách chọn chữ số a

+ Có 4 cách chọn chữ số b

+ Có 4 cách chọn chữ số c

Vậy có tất cả 3.4.448 số có 3 chữ số được thành lập từ nhóm 2 chia hết cho 3

Vậy số các số chia hết cho 3 được thành lập từ các chữ số đã cho là 48 8 56  số

b Gọi số cần lập là abc thỏa mãn abc601

Vì abc601 nên a chỉ có 2 cách chọn (a6hoặc a9)

Chữ số b có 6 cách chọn

Chữ số c có 6 cách chọn

Vậy có tất cả 6.6.272 số abc601 được thành lập từ các số trên

Trang 6

(Lưu ý: các cách thực hiện của phương án này không trùng bất kì cách nào của phương án kia)

Khi đó công việc được hoàn thành bởi: m1m2 m n cách

Ví dụ 1 Một nhóm học sinh gồm 9 nam và 6 nữ Giáo viên cần chọn 1 học sinh làm trực nhật Hỏi có

bao nhiêu cách chọn

Ví dụ 2 Trong 1 cuộc thi tìm hiểu về đất nược Việt Nam người ta đưa ra: 10 đề tài về lịch sử, 8 đề tài

về thiên nhiên, 5 đề tài vè con người, 3 đề tài về văn hoá Mỗi học sinh chỉ được chọn 1 đề tài Hỏi mỗi học sinh có bao nhiêu khả năng lựa chọn đề tài

Ví dụ 3 Từ các chữ số tự nhiên 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau có những chữ số khác

nhau?

II Quy tắc nhân

Định nghĩa : G/S 1 công việc được hoàn thành (thực hiện) bởi n hành động liên tiếp:

- Hành động thứ 1: có k1 cách thực hiện

- Hành động thứ 2: có k2 cách thực hiện

………

- Hành động thứ n: có kn cách thực hiện

Khi đó có k k 1 2 k n cách hoàn thành công việc

Ví dụ 1 Từ thành phố A đến thành phố B có 2 con đường, từ thành phố B đến thành phố C có 3 con

đường Hỏi có bao nhiêu cách đi từ thành phố A đến C (qua B)

BÀI 1 HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN

TÀI LIỆU BÀI GIẢNG

Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 1 Hai quy tắc đếm cơ bản thuộc khóa học LTĐH

KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn Để có thể nắm vững kiến thức phần Bài 1 Hai quy tắc

đếm cơ bản Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này

Trang 7

Ví dụ 2 Có 18 đội bóng tham gia thi đấu Hỏi có bao nhiêu cách trao 3 loại huy chương vàng, bạc đồng

cho 3 đội nhất, nhì, ba Biết rằng mỗi đội chỉ có thể nhận nhiều nhất 1 huy chương và đội nào cũng có

thể đoạt huy chương

Ví dụ 3 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau?

Trang 8

Bài 1 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển

7 3

4

1, 0

Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 4 Nhị thức Newton (Phần 1) thuộc khóa học

kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 4 Nhị thức Newton (Phần 1) Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần

học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này

Trang 9

Bài 1 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển

7 3

4

1, 0

k k k

3 15 0

2

k

k k k

Trang 10

Số hạng không chứa x ứng với 12 3 k  0 k 4

Vậy số hạng không chứa x cần tìm là C124

Trang 11

n x

Ví dụ 2 (ĐHKA – 2012) Tìm số hạng chứa x trong khai triển 5

Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 4 Nhị thức Newton (Phần 1) thuộc khóa học LTĐH

KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn Để có thể nắm vững kiến thức phần Bài 4 Nhị

thức Newton (Phần 1) Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này

Trang 12

Bài 1 Tìm hệ số của 6

x trong khai triển 1 3

n

x x

  , biết tổng các hệ số trong khai triển bằng 1024

Bài 2 Tìm hệ số của x trong khai triển 2  2 6

Trang 13

Bài 1 Tìm hệ số của 6

x trong khai triển 1 3

n

x x

Vậy hệ số của x trong khai triển đã cho là 6 C104

Bài 2 Tìm hệ số của x trong khai triển 2  2 6

Trang 14

5 2

7

0

x k k k

Trang 15

 

II Bài tập

Dạng 1: Tìm hệ số trong khai triển Niutơn

Ví dụ 1 Tìm hệ số của x trong khai triển 31

40

2

1, 0

Ví dụ 3 Tìm hệ số của x trong khai triển 7 (2 3 ) x 2n biết: C12n1C23n1C25n1  C22n n111024

Ví dụ 6 Tìm hệ số của x trong khai triển 5 P x( )(2x1)4(2x1)5(2x1)6(2x1)7

Ví dụ 7 (ĐHKA – 2005) Tìm hệ số của x trong khai triển 8 1x2(1x)8

BÀI 5 NHỊ THỨC NEWTON (PHẦN 2)

Trang 16

Bài 1 (ĐHKA 2007): Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển: 10 2xn, biết:

Bài 3 Tìm hệ số của x3n3 trong khai triển(x21) (n x2)n Gọi hệ số đó là a3n3, tìm n để a3n326n

Bài 4 Khai triển: p x( )1(1 x) 2(1x)23(1x)3  20(1x)20

Trang 17

Bài 1 (ĐHKA 2007): Tìm hệ số của số hạng chứa 10

x trong khai triển: (2x)n, biết:

a a

n n n

Ta có:

12 12

12 0

Trang 18

So sánh a7 và a8 ta thấy a8 a7 Vậy số lớn nhất trong các số a a0, 1, ,a12 là a8 C128 28 126720

Do đó nhân vế với vế, ta được hệ số của 3n 3

x  trong khai triển (x21) (n x2)n là: 23C C n0 n32C C n1 n1

Yêu cầu của bài toán, tương đương với việc tìm hệ số của số hạng chứa x 19

Ta thấy x chỉ có trong tổng khai triển 19 19(1x)1920(1x)20

x trong khai triển p x là:   19.C191920.C1920

Trang 20

Dạng 2: Sử dụng nhị thức Niutơn để tính nghiệm của phương trình hoặc chứng minh đẳng thức

Bài 1 (ĐHKD – 2002) Tìm số nguyên dương n sao cho:

Trang 21

Bài 1: (2,0 ñiểm) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có ñộ dài cạnh bên 2a, ñáy ABC là tam giác vuông tại A,

AB = a, AC=a 3 và hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung ñiểm của BC Tính thể tích khối chóp A’ABC và khoảng cách từ ñiểm A ñến mặt phẳng (BCC’B’)

Bài 2: (2,0 ñiểm) Cho lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có ñáy ABC là tam giác cân ñỉnh C, ñường thẳng BC’

tạo với mặt phẳng (ABB’A’) góc 600 và AB = AA’ = a (a >0) Gọi M, N, P lần lượt là trung ñiểm của BB’, CC’, BC Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa 2 ñường thẳng AM và NP theo a

Bài 3: (2,0 ñiểm) Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = a 3 ,

khoảng cách từ A ñến mặt phẳng (SBC) bằng a 3 và 0

90

SAB SCB

∠ = ∠ = Tính thể tích khối chóp

S.ABC theo a và góc giữa SB với mặt phẳng (ABC)

Bài 4: (2,0 ñiểm) Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a, SA SB= = , a

2

SD=a và mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính theo a thể tích khối chóp

S .ABCD và khoảng cách giữa hai ñường thẳng AC và SD

Bài 5: (2,0 ñiểm) Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có ñáy ABC là tam giác vuông tại A, AB= , a

3

AC=a , hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC

và góc giữa AA’ tạo với mặt phẳng (ABC) bằng 600 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ B’ ñến mặt phẳng (A’BC)

Giáo viên : Lê Bá Trần Phương Nguồn : Hocmai.vn

ðỀ KIỂM TRA ðỊNH KÌ SỐ 01

MÔN: TOÁN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG

ðây là ñề kiểm tra ñịnh kì số 01 thuộc khóa học Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn ðể ñạt ñược kết quả cao trong kì thi ñại học sắp tới, Bạn cần tự mình làm trước ñề, sau ñó

kết hợp xem cùng với ñáp án

Thời gian làm bài: 90 phút

Trang 22

Theo giả thiết ta có: A H' ⊥ (ABC)

Tam giác ABC vuông tại A và AH là trung tuyến nên

Vì AB⊥A H' ⇒A B' ' ⊥ A H' ⇒ ∆A B H' ' vuông tại A’

Suy ra B H' = a2 + 3a2 = 2a=BB' ⇒ ∆BB H' cân tại B’

Gọi K là trung ñiểm của BH ta có: B K' ⊥BH Do ñó: ' '2 2 14

d A BCC B

a

Bài 2: Cho lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có ñáy ABC là tam giác cân ñỉnh C, ñường thẳng BC’ tạo với mặt

phẳng (ABB’A’) góc 600 và AB = AA’ = a (a >0) Gọi M, N, P lần lượt là trung ñiểm của BB’, CC’, BC

HƯỚNG DẪN GIẢI ðỀ KIỂM TRA ðỊNH KÌ SỐ 01

MÔN: TOÁN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG

ðây là ñáp án ñề kiểm tra ñịnh kì số 01 thuộc khóa học Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn ðể ñạt ñược kết quả cao trong kì thi ñại học sắp tới, Bạn cần tự mình làm trước

ñề, sau ñó kết hợp xem cùng với tài liệu này

Thời gian làm bài: 90 phút

Định dạng
Số trang	25
Dung lượng	4,4 MB