Giáo trình chuyên đề vật lý nano phương pháp trường tự hợp hartree fock áp dụng cho hệ nhiều điện tử

Áp dụng cho hệ nhiều điện tử và lỗ trống trong chấm lượng tử dạng đĩa với thế giamcầm Parabolic 3.. Phương pháp trường tự hợp Hartree - Fockáp dụng cho hệ nhiều điện tử Mô hình Xét một h

Giáo trình chuyên đề Vật lý Nano Phương pháp trường tự hợp Hartree - Fock áp dụng cho hệ nhiều điện tử

-Biên tập bởi:

TS Nguyễn Hồng Quang

Giáo trình chuyên đề Vật lý Nano Phương pháp trường tự hợp Hartree - Fock áp dụng cho hệ nhiều điện tử

MỤC LỤC

1 Phương pháp trường tự hợp Hartree - Fock áp dụng cho hệ nhiều điện tử

2 Áp dụng cho hệ nhiều điện tử và lỗ trống trong chấm lượng tử dạng đĩa với thế giamcầm Parabolic

3 Phụ lục I

4 Phụ lục II

5 Tài liệu tham khảo

Tham gia đóng góp

Phương pháp trường tự hợp Hartree - Fock

áp dụng cho hệ nhiều điện tử

Mô hình

Xét một hệ ba chiều gồm N điện tử có khối lượng m đặt trong một trường V( →r )nào đó

Hamiltonian của hệ phụ thuộc vào tọa độ của N hạt mà mỗi hạt có ba thành phần theo ba phương khác nhau nên Hamiltonian của hệ phụ thuộc vào 3N toạ độ Hamiltonian của

Thực tế thì phương trình trên không phải là một phương trình mà là một hệ 3N phương

trình vi phân, mỗi phương trình không thể giải được giải tích chính xác, nên hệ phươngtrình trên cũng không giải chính xác được mà phải giải gần đúng Một trong các phươngpháp gần đúng thông dụng là phương pháp Hartree - Fock Nội dung của phương phápnày là chuyển việc nghiên cứu giải phương trình Schrodinger của hệ nhiều điện tử (hệphương trình nhiều biến) về việc nghiên cứu phương trình Schrodinger đơn điện tử(phương trình một biến)

Phương trình Schrodinger của hệ N điện tử ở trạng thái dừng có dạng

^

Hψ( →r

1, , →r N) = Eψ( →r

1, , →r N),với Hamiltonian

trong đó H^i = −ℏ2 ∇i

2

2m + V( →r

i) là toán tử Hamiltonian của điện tử thứ i trong trường

V( →r ) Số hạng thứ hai của Hamiltonian mô tả tương tác Coulomb giữa tất cả các điện

tử,ϵ là hằng số điện môi, r ij= |→r

i− →r j|là khoảng cách giữa 2 hạt i và j.

Để đưa phương trình Schrodinger của hệ N điện tử về phương trình của một điện tử ta đưa vào khái niệm trường trung bình Hãy đơn cử lấy một điện tử thứ i nào đó Điện tử này tương tác với tất cả N − 1 điện tử còn lại, và do đó có thể mô tả điện tử đó bằng cách

xét chuyển động của nó ở trong trường được tạo ra bởi tất cả các điện tử còn lại Giả sử

tại mỗi thời điểm ta có thể tạo ra được ở vị trí của điện tử thứ i( →r

i)là hàm riêng của toán tử HamiltonianH^i'với trị riêngϵn i, ta có

với năng lượng của hệ

Gần đúng Hartree - Fock

Trong phép gần đúng Hartree ở trên chúng ta chưa tính đến nguyên lí hệ các hạt đồng

nhất Các điện tử có spin bán nguyên s = 1/2 nên chúng tuân theo thống kê Fermi

-Dirac và chúng thỏa mãn nguyên lí loại trừ Pauli Trạng thái của điện tử i được đặc trưng bởi 3 tọa độ x i , y i , z i và một thành phần nữa là hình chiếu của spin s i lên phương OZ Đối với điện tử s z có trị riêng là m s ℏ với m s = ± 1/2 Hàm sóng của điện tử i là hàm của các biến số tọa độ x i , y i , z i và s ikí hiệu các biến số này là ξi(i = 1, , N)

Để mô tả trạng thái của điện tử có tính đến spin ta đưa vào hàm s như sau

Nếu bỏ qua tương tác giữa mômen từ của điện tử với từ trường do điện tử chuyển động

theo quỹ đạo gây nên thì ta có thể biểu diễn hàm sóng của điện tử i dưới dạng

ψk(ξi) = ψn k( →r

i)σα(σi),chỉ số k ở hàm ψk(ξi)kí hiệu trạng thái lượng tử (n k , a)

Điều kiện trực giao và chuẩn hóa của hàm ψk(ξi)

Để phù hợp với nguyên lý loại trừ Pauli hàm Ψ(ξ1, , ξN) phải là hàm phản đối xứng

ψk1(ξN)

ψk N(ξN) |,

trong đó ký hiệu Pν[ψk1(ξ1) ψk N(ξN) ]là hàm nhận được từ hàm

ψk1(ξ1) ψk N(ξN)bằng cách hoán vị ν cặp biến số ξi ? ξkbất kì cho nhau Khi hoán vị bất

kì một cặp chỉ số ξi ? ξk hay một cặp trạng thái k i ? k j cho nhau thì định thức đổi dấu.Khi ξi= ξk hay k i = k kthì định thức bằng 0 (không tồn tại hàm sóng) điều này thỏa mãnnguyên lí loại trừ Pauli (không tồn tại hơn một hạt trên 1 trạng thái lượng tử)

Gọi ψ0( →r ) và E0 là hàm sóng và năng lượng của hệ ở trạng thái cơ bản của hệ lượng

tử với toán tử HamiltonianH và ψ^ 0( →r ), E0thỏa mãn phương trình Schrodinger

∫ψ*( →r )Hψ^ (→r )d→r ≥ E0.

Ta thấy các hàm ψ( →r ) càng gần với hàm riêng ψ0( →r ) bao nhiêu thì ¯E càng gần

E0 bấy nhiêu Ta chọn trước một lớp hàm ψ( →r ) nào đó có dạng thích hợp rồi tronglớp hàm này chọn một hàm ψ( →r ) sao cho giá trị ¯E là nhỏ nhất (gần E0 nhất) nghĩa

là lời giải gần đúng nhất của bài toán vì ¯E ứng với hàm ψ đã cho là nhỏ nhất nên

δE =¯E − E0 → 0 Vậy nghiệm gần đúng ψ0nhất phải thỏa mãn điều kiện

δE = δ∫ψ*( →r )Hψ^ ( →r )d→r = 0

đó là nội dung của nguyên lí biến phân

Năng lượng trung bình của hệ N điện tử

Nhân biểu thức này với −λk(thừa số Lagrange), ta có

* trong biểu thức của δE là độc lập tuyến tính, nên biểu thức trong

[ ] phải bằng 0 Như vậy ta có phương trình đối với hàm sóng ψn kcó dạng sau

Phương trình [link] là phương trình Hartree - Fock cho phép ta xác định hàm sóng tự

hợp ở trạng thái n k trong đó U eff( →r

1) là trường hiệu dụng được xác định bởi [link]

Để giải [link] ta chọn nghiệm ψn k gần đúng nào đó đã biết (chẳng hạn hàm sóng củamột điện tử tự do hay hàm sóng của điện tử trong nguyên tử, hàm sóng này có thể giải

chính xác được) thì ta tính được U eff Giải phương trình [link] để tìm được hàm sóngmới gần đúng với thực tế hơn tiếp theo dùng hàm ψn k( →r

1)để tính được U effrồi lại đặt

U effvào phương trình [link] rồi giải Cứ thế tiếp tục cho đến khi ta tìm được nghiệmgần đúng tốt nhất (tức là giá trị của hai nghiệm liên tiếp liền nhau khác nhau không đáng

kể Trường U effđược tính như trên được gọi là trường tự hợp

Áp dụng cho hệ nhiều điện tử và lỗ trống

trong chấm lượng tử dạng đĩa với thế giam cầm Parabolic

Phương trình Hartree-Fock cho hệ nhiều điện tử và lỗ trống

Trong phần này chúng ta sẽ mở rộng bài toán trong hệ N điện tử tự do cho bài toán tổng

quát: hệ nhiều điện tử và lỗ trống tương tác với nhau trong chấm lượng tử parabolic Bàitoán bây giờ trở nên phức tạp hơn vì ngoài tương tác giữa các điện tử với nhau còn cóthêm tương tác giữa điện tử với lỗ trống và lỗ trống với lỗ trống

Hamilton toàn phần của hệ có dạng

Các kí hiệu Ωe2= ωe2+ 14ωc2evµ Ωh2 = ωh2+ 14ωc2h,

ωc e, ωc hlà tần số cyclotron của điện tử và lỗ trống,

m e*, m h* là khối lượng hiệu dụng của điện tử và lỗ trống,

^

L zlà thành phần z của toán tử momen động lượng của điện tử hoặc lỗ trống,

ϵ là hằng số điện môi

Đơn vị chiều dài được dùng là bán kính Born hiệu dụng a B = ℏ2ϵ

m e*e2, đơn vị năng lượng là

2 lần năng lượng Rydberg 2Ry = m e

trong đó ξ là biến số đặc trưng cho cả toạ độ và spin

Với năng lượng

ψi(ξe i) = { ϕiα( →r )α(σ)

ϕiβ( →r )β(σ)

đốivớiđiệntửcóspinlên(↑)đốivớiđiệntửcóspinxuống( ↓ )

Trong đó kí hiệu ∑' là tương ứng cho các giá trị của i ≠ j, k ≠ l

Viết dưới dạng khai triển theo Nα, Nβ, Mα, Mβ với Nα, Mα, Nβ, Mβ là số điện tử và lỗ

trống có spin lên ( ↑ ) và spin xuống ( ↓ ) ( Nα+ Nβ = N, Mα+ Mβ = M)

Từ đó ta có

Biểu thức năng lượng của hệ có dạng

Lấy biến phân δE theoϕiα *(1) (tính với chỉ số α, các chỉ số khác tính tương tự), sau đó

cho δE = 0, ta được

Bằng cách tương tự chúng ta nhận được phương trình Hartree - Fock cho hàm sóng tự

hợp của điện tử và lỗ trống trong hệ nhiều Exciton (N điện tử và M lỗ trống) Đây là

phương trình tổng quát cần giải

bởi vì các hàm χνcó thể giải được chính xác (xem phụ lục I):

Thay các biểu thức khai triển này vào phương trình trên (tính với chỉ số α rồi sau đó tínhtương tự cho các chỉ số còn lại) ta có:

lỗ trống C νi vµ ¯C νk Giải hệ phương trình ma trận này bằng phương pháp chéo hoá ma

trận ta tính được các hệ số C νi vµ¯C νk và khi biết các hệ số này thì có nghĩa là ta đã tìmđược hàm sóng của hệ

Thay thế biểu thức từ (23) - (26) của fα, β(1) vµ¯fα, β(1) vào công thức [link] ta tính và

thu được biểu thức cuối cùng cho các yếu tố ma trận Fμνα, βvà ¯Fμν

α, β

:

với μ, ν, λ, σ ≡{n, m} là số lượng tử đặc trưng cho trạng thái của điện tử hoặc lỗ trống.

3 Biểu thức năng lượng của hệ

Năng lượng cơ bản của hệ nhiều điện tử và lỗ trống được tính theo biểu thức [link].Thay các biểu thức của (32) vào (22) và sử dụng các công thức (23) - (26), (39) và

(41) - (44) ta thu được biểu thức của năng lượng E biểu diễn qua các yếu tố ma trận

Công thức[link] là công thức tổng quát cho phép ta tính năng lượng cơ bản của hệ với

số điện tử và lỗ trống tuỳ ý Các tham số của bài toán như độ lớn của thế giam cầm (và

tỷ lệ với nó là bán kính của chấm lượng tử), độ lớn của từ trường ngoài cũng như cácthông số của vật liệu như khối lượng hiệu dụng của điện tử và lỗ trống, hằng số điệnmôi, được biểu diễn gián tiếp, không tường minh qua các yếu tố ma trận

Phụ lục I

Bài toán đơn điện tử trong chấm lượng tử dạng đĩa với thế giam cầm

parabol đặt trong từ trường

Hamiltonian của điện tử trong chấm lượng tử dạng đĩa với thế giam cầm parabol đặttrong từ trường có dạng

m e* là khối lượng hiệu dụng của điện tử,

ωeđặc trưng cho thế giam cầm lượng tử,

Điều kiện để phương trình trên có nghiệm (điều kiện lượng tử )

−( | m | + 1)

ωc e

Ωe + ϵnm2Ωe = nnphảilàsốnguyên

do đó ta tính đượcϵnm

[ |m | + 1 mωc

]

Hệ hàm cơ sở mà ta chọn là hàm sóng của một điện tử và một lỗ trống trong chấm lượng

tử dạng đĩa với thế giam cầm parabolic đặt trong từ trường Từ hệ hàm cơ sở này ta có

P12là toán tử trao đổi biếnP^12χν(1)χλ(2) = χλ(1)χν(2)

Biểu thức cuối cùng của Fμνα có dạng

Tài liệu tham khảo

1 ThisenJ M Thijssen, Computational Physics, Cambridge University press(2001)

2 U Woggon, Optical Properties of Semiconductor Quantum dots, Springertracts in Modem Physic, V 136, Singapor (1997)

3 M Fujsto, A Natori and H Yasunaga, Phys Rev 53 9952 (1996)

4 N H Quang, S Ohnuma and A Natori, Phys Rev B 62 12955 (2000)

5 A Natori, S Ohnuma and N H Quang, Jpn J Appl 40 1951 (2001)

6 A Natori, S Ohnuma, Nguyen Hong Quang, Appl Surf Sci 190, 205-211(2002)

7 Phạm Quý Tư, Đỗ Đình Thanh, Cơ học lượng tử, NXB ĐHQGHN, 1999

8 Nguyễn Thành Trung, Đinh Như Thảo, Nguyễn Hồng Quang, Multi - ElectronSystems in Parabolic Quantum Dots, Hội thảo Vật lý Mô hình hoá, Hà Nộitháng 8 (2001), trang 22

Module: Tài liệu tham khảo

Các tác giả: TS Nguyễn Hồng Quang

URL: http://www.voer.edu.vn/m/99720de1

Giấy phép: http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/

Chương trình Thư viện Học liệu Mở Việt Nam

Chương trình Thư viện Học liệu Mở Việt Nam (Vietnam Open Educational Resources– VOER) được hỗ trợ bởi Quỹ Việt Nam Mục tiêu của chương trình là xây dựng khoTài nguyên giáo dục Mở miễn phí của người Việt và cho người Việt, có nội dung phongphú Các nội dung đểu tuân thủ Giấy phép Creative Commons Attribution (CC-by) 4.0

do đó các nội dung đều có thể được sử dụng, tái sử dụng và truy nhập miễn phí trướchết trong trong môi trường giảng dạy, học tập và nghiên cứu sau đó cho toàn xã hội

Với sự hỗ trợ của Quỹ Việt Nam, Thư viện Học liệu Mở Việt Nam (VOER) đã trở thànhmột cổng thông tin chính cho các sinh viên và giảng viên trong và ngoài Việt Nam Mỗingày có hàng chục nghìn lượt truy cập VOER (www.voer.edu.vn) để nghiên cứu, họctập và tải tài liệu giảng dạy về Với hàng chục nghìn module kiến thức từ hàng nghìntác giả khác nhau đóng góp, Thư Viện Học liệu Mở Việt Nam là một kho tàng tài liệukhổng lồ, nội dung phong phú phục vụ cho tất cả các nhu cầu học tập, nghiên cứu củađộc giả

Nguồn tài liệu mở phong phú có trên VOER có được là do sự chia sẻ tự nguyện của cáctác giả trong và ngoài nước Quá trình chia sẻ tài liệu trên VOER trở lên dễ dàng nhưđếm 1, 2, 3 nhờ vào sức mạnh của nền tảng Hanoi Spring

Hanoi Spring là một nền tảng công nghệ tiên tiến được thiết kế cho phép công chúng dễdàng chia sẻ tài liệu giảng dạy, học tập cũng như chủ động phát triển chương trình giảngdạy dựa trên khái niệm về học liệu mở (OCW) và tài nguyên giáo dục mở (OER) Kháiniệm chia sẻ tri thức có tính cách mạng đã được khởi xướng và phát triển tiên phongbởi Đại học MIT và Đại học Rice Hoa Kỳ trong vòng một thập kỷ qua Kể từ đó, phongtrào Tài nguyên Giáo dục Mở đã phát triển nhanh chóng, được UNESCO hỗ trợ và đượcchấp nhận như một chương trình chính thức ở nhiều nước trên thế giới