Mô hình toán dành trong kỹ thuật cơ khí

I. KHÁI NIỆM: Sơ lược về phép biến đổi Laplace: Mô hình thường được biểu diễn dưới dạng hệ các phương trình vi phân. Dùng phép biến đổi Laplace > về các PT đại số > giải như Pt đại số. Dùng phép bíến đổi ngược tìm lại các nghiệm của chính hệ PT ban đầu.

Chương 3 MÔ HÌNH TOÁN

I

KHÁI NIỆM:

Sơ lược về phép biến đổi Laplace:

- Mơ hình thường được biểu diễn dưới dạng hệ các phương trình vi phân

- Dùng phép biến đổi Laplace ⇒ về các PT đại số ⇒

giải như Pt đại số

- Dùng phép bíến đổi ngược tìm lại các nghiệm của chính hệ PT ban đầu

II

PHÉP BI ẾN ĐỔI LAPLACE

1.Tìm ảnh của hàm

a Các định nghĩa cơ bản: Giả sử hàm f(x) thoả mãn các điều kiện sau:

- Bị chặn

- Hoặc liên tục, hoặc chỉ có một số hữu hạn

điểm gián đoạn loại I;

- Có một số hữu hạn cực trị

Các hàm như vậy trong phép tính toán tử gọi là hàm được mô tả theo Laplaxơ hay là hàm nguyên mẫu (nguyên mẫu)

Giả sử có p = α + βi là tham số phức, đồng thời Rep

= α ≥ S1 ≥ So với các điều kiện nói trên, tích phân

( )t dt f

ký hiệu f ( )p là ảnh của hàm nguyên mẫu f(t)

( )p

f = L {f(t)} hay f ( )p →f(t)

ta qui ước giá trị của hàm nguyên mẫu f(t) tại

điểm gián đoạn loại I t o bằng nửa tổng số các giá trị giới hạn của nó từ phía trái và phía phải của điểm đó.

Lf t

f

( )t f ( )p

f ÷ khi thoả mãn điều kiện này sự tương

ứng giữa f ( )p ÷ f ( )t nguyên mẫu và ảnh có các tính chất sau:

Ví dụ 2: Tìm ảnh của hàm f(t) = cos3t qua phép biến đổi Laplace

Giải: Áp dụng công thức Ơle:

1(

)7

(

2 2

2

++

+

p p

p p

2 Tìm hàm nguyên mẫu theo ảnh

Để tìm trong một số trường hợp đơn giản người ta tìm bằng định lý thứ nhất và thứ hai

Định ký khai triển thứ nhất:

F(x) = f(0) + f x

!1

)0(

'

!2

)0

(

x

f + …

Định lý này dùng để tìm cực trị

Định lý khai triển thứ hai:

Cho phép tìm nguyên mẫu đối với các ảnh là các hàm phân thức của p (tìm được f(t) nếu F(p) là hàm phân thức)

F(t) = u v((p p))

Trong đó u, v là các đa thức của p với số bậc là m và n tương ứng, m < n Đa thức v(t) đều có thể khai triển thành các thừa số có dạng:

V(p) = (p – p1)k1(s – s2)k2…(s – sr)kr

Trong dó k1 + k2 + …+ kr = r Vì vậy ta có thể khai

triển F(p) thành tổng các phân tố sơ cấp dạng:

pj

p

A

j = 1,r, s = 1,k j

Hàm F(p) được viết dưới dạng:

F(p) = ∑= ∑= − − +

r i

1(

1(

1(

1(

Cho F(p) =

)8(

+

p p

C Bp

Xác định A, B, C

)8

()42

++

+

p

p C Bp

p p

=+

12

4

02

2

0

C A

B C

1

(

++

+

+

p p

Phép nhân này không đổi khi ta hoán vị vị trí f1 và f2

do đó, tính chập đối xứng với các hàm nhân chập

Ảnh của tính chập 2 nguyên mẫu bằng tích các ảnh của chúng:

)()

()

()

p p

f

Giải:

Khai triển f ( p) thành các phân thức đơn giản có dạng

)2(

2)2(

)1(

)1(

)1(

)

2

2 ,

1 3

1 ,

1

+

++

A p

A p

A p

A p

f

Sử dụng công thức (2)

)2(

lim)

()

1(

lim

!0

1

2 1

3 1

f p

A

p p

2

,

1

)2(

lim)

()

1(

lim

!1

1

p

p dp

d p

f

p dp

d A

=+

−+

2)

21(

1)

2(

2)

2(

1lim

p

p p

p

=

27

127

29

3 2

2 1 3

,

1

)2(

lim2

1)

()

1(

lim

!2

1

p

p dp

d p

f

p dp

d A

p p

=

27

1)

2(

6)

2(

4lim

2

1

3 3

−

p p

1 , 2

)1(

lim)

()

2(

lim

!0

1

p

p dp

d p

f p

A

p p

1(

1lim

p

p p

p

=

27

1)

3(

6)

3(

1lim

4 3

2(

21

1)

1(

1)

1(

327

1)

p p

p p

1)

22

3 Áp dụng phép tính toán tử để giải một số phương

trình vi phân và tích phân

Nếu cho phương trình vi phân tuyến tính cấp n với hệ số hằng sốy(n) + a1y(n-1) + …+ any = f(y) mà vế phải f(t) là hàm nguyên mẫu thì nghiệm của phương trình này thõa mãn các điều kiện ban đầu tùy ý dạng y(0) = y(0) ,y′(0) = y′(0), …y(n-1)(0) = y0(n-1) (*tức là nghiệm của bài toán côsi tùy ý, đặt cho phương trình này với các điều kiện ban đàu tại t = 0 cũng sẽ là hàm nguyên mẫu Ký hiệu ảnh của nghiệm đó là y ( p ), ta tìm ảnh của vế trái, phương trình vi phân xuất phát và so sánh với ảnh của hàm f(t) , ta đi đến phương trình ảnh hóa Phương trình ảnh hóa luôn luôn là một phương trình đại số tuyến tính đối với y ( p)

Xác định y ( p)từ phương trình đó ta tìm được nguyên mẫu f(t)

Phương pháp chuyển về phương trình ảnh hóa đó

cũng cho phép ta dễ dàng tìm được nghiệm của

phương trình tích phân dạng:

Ví dụ:Giải phương trình nguyên phân y′′ - 2y′ -3y = e3t

Nếu y(0) = 0; y′(0) = 0

Giải: Ta chuyển về ảnh

3

1)

3)

0((

2)

0()

y p y

py y

p y

)3)(

1(

1

−+

=

p p

y

Khai triển phân thức hữu tỷ này thành các phân thức đơn giản

13

)3(

)3)(

1(

B p

A p

)1)(

3(

)1

()

3)(

1

(

1

−+

−+

+

−+

p B p

A p

t t

1 4

Ví dụ 2:

Giải phương trình tích phân y = ∫0 t ydt +1

Giải: Ta lập phương trình ảnh hóa

p p

Giải phương trình tích phân ∫0t yτ sin(t −τ )dt −1− cost

Giải hệ phương trình :

=

+

=

12

2

y

x dt

dy

y

x dt

dx

III HÀM TRUYỀN: dùng để giải phương trình vi

phân

1 Định nghĩa và công dụng

Nếu lập tỷ số giữa hàm số thời gian của đại lượng ra và hàm số thời gian của đại lượng vào dưới dạng toán tử Laplace ta có hàm số truyền sau:

F

p

F w

W p

trong đó

A

a

: tỉ số biên độ dao động của tín hiệu vào

ϕ : góc lệch pha của tín hiệu ra so với tín hiệu

vào

w: tần số của tín hiệu đưa vào hệSau khi xây dựng hàm truyền trong khoảng tần số rộng, ta có đồ thị đặc trưng tần số, sau đó có thể so sánh với đồ thị đặc trưng tần số đã biết của các mô hình điều hình phối hợp các mô hình khác nhau (trên

cơ sở mô hình cấu trúc) có thể đánh giá được các hàm số truyền thực của các thiết bị thực

Ví dụ: lập hàm truyền của thiết bị dòng chảy có cánh khuấy

Đặt vs: vận tốc thể tích; cv: thành phần vào

cr: thành phần ra; k: hằng số vận tốc của phản ứng

v: thể tích thiết bị; τ : thời gian

theo cân bằng vật liệu ta có:

τ

d

dc v c

v k c

v c

v s v − s r − r = r (3.II.1) dùng phép biến đổi Laplace ta có:

( )p v c ( )p k v c ( )p v c ( )p p c

trong đó: p: tham số phức dùng trong toán tử Laplace

lấy tỉ số giữa đầu ra và đầu vào ta có:

v v

v

v p

c

p c

s

s v

p c

p c

p c

p c

τ hàm số này tương đương với hàm

truyền của mô hình trộn lý tưởng

0

=

k c

c

v r

so với hàm truyền của thiết bị khuấy trộn hoàn toàn (bảng) thấy rằng phương trình động lực học của phản ứng bậc nhất trong trạng thái ổn định có thể có được bằng cách thay thế p bởi k vào hàm truyền từ đó mở ra con đường đánh giá động học quá trình theo các đặc trưng tần số.

2 Các mô hình toán học điều khiển bởi cấu trúc dòng trong thiết bị

Mọi mô hình toán học của các dòng trong thiết bị khác nhau có thể phân tích thành một số mô hình mẫu

Mô hình trộn lý tưởng

Trong mô hình này vật chất phân bố đều trong cả dòng, sự phụ thuộc giữa nồng độ của vật chất trong dòng ở cửa vào cv và cửa ra cr:

c v

v d

v

v d

Trong đó τ là thời gian lưu lại trung bình của hệ

truyềnTrộn lý tưởng

1

xem sự tuyến tính là gần đúng, xét các chuyển động diễn ra gần vị trí cân bằng phương trình Lagrange hạng hai:

j j

j

Q q

T q

T dt

Trong đó: T = T(q j,q j ,t) là biểu thức động năng của

hệ trong toạ độ suy rộng

k: bậc tự dophương trình (3.4) có thể thay bằng phương trình vi phân gần đúng:

j a jm qm b jm qm c jm q m

(3.5)nếu ngoại lực Qm được xác định bởi tác dụng vào fi thì phương trình (3.5) có dạng:

k m

yếu tố ấy nhưng có thể phân tích lên được để có phương trình liên kết.

Bài toán xây dựng mô hình toán học tuyến tính chuyển động của liên hợp máy (của những dao động nhỏ được trình bày như sau: cho liên hợp máy dưới dạng động lực học có phương trình liên kết hệ số bằng số hữu hạn k của bậc tự do và bằng véc tơ q = {q1 , q2 ,

… qk } của hệ toạ độ (dao động động thẳng và quay với hệ quán tính toạ độ)

Véc tơ ngoại lực F = {f1 , f2 , ……, fn } là tác động vào Ngoài ra những ngoại lực tổng quát vào hệ không thể biểu diễn bằng giải tích nhưng chúng là những hàm của ngoại lực fi Trong trường hợp đó véc tơ q trong mô hình chuyển động của liên hợp máy được xem như trạng thái pha của nó trong không gian k chiều

∆

∂

∂ +

∆

∂

∂ γ +

1 1

n 1

0 m

0 2

0 1

m 2

1

R x

x

F

x x

F x

x

F

!

1 X

, , X , X F

X , , X , X F

C

trong đó X1 = X10 + ∆X1 X 2 = X20 + ∆X2

m m

X = 0 + ∆

số mũ luỹ thừa γ theo nguyên tắc đại số Ví dụ với hàm 3 biến F(X1,X2,X3) và trong công thức (3.8) chỉ tính số hạng bậc nhất và bậc hai vô cùng bé γ = 2

ta sẽ có:

3 2 3 2

2 2

1 2 1

2 2

1 2 1 2

2 3 3 2

2 2

2 2 2

2 2

1 1 2 2

3 3

2 2

1 1

X X X X

F 2

1 X X X X

F 2

1 X X X X

F 2

1

X X

F 2

1 X X

F 2

1 X X

F 2

1

X X

F X

X

F X

X F

X X

F X

X

F X

X

F

! 1

+

∆

∂

∂ +

∆

∂

∂ +

∆

∂

∂ +

∆

∂

∂ +

∆

∂

∂ γ

C

nên = const nếu trong công thức (3.8) chỉ gồm các vô cùng bé bậc nhất đối với số gia ∆ F của hàm F(X1,X2,X3) sẽ có dạng:

X X

F

1

0

0 2

0

tương tự với số gia ∆Q m của hàm (3.7) ta nhận được:

n n

m 2

2

m

1 1

m n

n 2

2 1

1 m

f m

f m

f m

f dm

f dm

f dm

Q

∆+

+

∆+

∆+

∆+

+

∆+

∆

=

∂

n n

f

Q mm

∆

=

∆ +

∆ +

f dm q

c q

b q

(3.12)khi xét những dao động thẳng hoặc quay của liên hợp máy, cơ cấu làm việc dưới tác dụng của lực và momen gây nhiễu thường tiến hành đồng thời mô hình chuyển động một chiều Nếu có một đại lượng f vào và một đại lượng ra q = y thì phương trình (3.12) có dạng: (j,m

= 1 ; n = 1)

f m

f d

y c

y b

của các lực và mô men nhiễu khác nhau, chúng được gây bởi:

- chuyển động theo bề mặt

- lực cản của môi trường (đất, cây trồng,…)các hằng số T2, T1 có thứ nguyên thời gian thể hiện tính chất quán tính (T2) và tính chất chống rung (T1) của hệ Trong chuyển động đều khi vận tốc và gia tốc các điểm của hệ bằng không, từ công thức (3.13) ta có:

trong thực tế cho phép chọn τ11 = 0 (3.13) có dạng:

f k

y y

T y

T22∆  + 1∆ + ∆ = 11∆ (3.15)khi ∆f = 0 ta có:

T2 đặc trưng cho chu kỳ dao động tự do của hệ động

lực học Tần số dao động tự do là

Mô hình tuyến tính động lực học và quá trình làm việc của chúng với một tín hiệu vào và một tín hiệu ra có dạng:

i i

hoặc được viết dưới dạng:

A

1 1

0

0

0

0

10

Dùng phép biến đổi Laplace đối với (3.19) và (3.20) và giải phương trình theo biến X(s), ta có hàm truyền của liên hợp máy nông nghiệp:

W(s) = C(SI – A)-1.B (3.21)Trong đó: S = iw là số phức

I là ma trận đơn vịTừ phương trình (3.17) đến (3.21) ta có hàm truyền của liên hợp máy trong điều kiện làm việc bình thường với tín hiệu vào là F và tín hiệu ra là Y

W

(3.22)

Ví dụ: nghiên cứu động lực học của liên hợp cày tời và công cụ làm đất trên ruộng lầy, phương trình vi phân của chuyển động tương đối của hệ có thể viết:

( ) ( ) ( ) F( )t

M

t X

w dt

t

dX k dt

t X

k: hệ số tắt dần của dao độngw: tần số dao động của hệ tời s-1

Trong đó c: độ cứng của tời có chiều dài L

E: modun đàn hồi của tờiS: diện tích mặt cắt ngang của tờiM: hệ số

Tương ứng với hàm truyền ta có:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F( )t

M t

X

t

X k

w t

1 2

k s

k = là hệ số khuyếch đại

ξ là hệ số tắt dần của dao động

khi các liên hợp máy làm việc ở chế độ tốc độ thấp ( < 2,2 m/s) còn sử dụng 2 dạng hàm truyền khác:

12

13

T

s

k s

W

ξ

τ

(3.26)ứng với phương trình vi phân sau đây:

( )t k f ( )t

y dt

k t

y dt

dy T

(3.28)

phương trình không gian trang thái tương ứng(3.24) &(3.25) sẽ là

( )( )

t f kT

0 T

kT 0

t X

t X T

2

1 T

0 t

X

t X t

X

2

1 2 3

2 3 2

2

1 3

1 2 3 2

( )2

11 11

s

s

c s

c s

W

+

−+

c t

Y dt

t dY 2

21 11

2 2

2

α +

+

α

−

= α

+ α

+

(3.32)

t f c

c

0 c

c 0

t X

t X 2

1 0 t

X

t X t

X

2

1 21 11

21 11

2

1 2

trong đó c11, c21 : hệ số chuỗi Furiê

α: hằng số thời gian hàm Lage

Ví dụ :

Lập mô hình toán học mô tả dao động của búa nghiền ở máy nghiền kiểu búa trục ngang

Giải:

Xem đĩa lắp búa là cứng tuyệt đối

Bỏ qua lực cản

Bỏ qua mô men

Lực tác dụng gồm: trong lực P, lực ly tâm Plt

J Aϕ = A lt + A

xét ∆OAB có AB = OA.sinγ

∆

OCA

OA AOC

AC OAC

OC

sinsin

D C

A ˆ = β −ϕ = ω −ϕ ≈ ω

t c

AD = sinω

⇒

t c

mg OC

C R OC

g

m J

c R

-

Quy luật phân bố các phần tử bột nghiền của quá trnh ́ nghiền được mô tả bằng quy luật phân bố kích thước các phần tử và được đánh giá bằng các phương pháp thống kê

- xác suất Trong đó các hàm số có dạng biểu thức giải tích và gọi là phương trnh đặc tính ́ cỡ hạt Các phương trnh nàý được xây dựng bằng cách xấp xỉ các phân bố vi phân theo thực nghiệm của các phần tử theo các lớp Thực nghiệm cho kết quả tốt nhất là phương trnh m ́ ũ của Rozin - Rammler và theo quy luật lôgarit tiêu chuẩn.

R x = 100 e − bx n ; (10) Trong đó:

R x - phần dư nằm ở trên sàng có đường kính lỗ x theo tổng số [%];

x - kích thước trung bnh của các phần tử (d) của ́ lớp, [ µ m ];

b và n - hệ số trạng thái hay tham số phân bố

hạt (10) cần thiết xác đnh bằng thực nghiệm giá tr các ̣ ̣ tham số b và n Theo kết quả phân tích sàng, các mẫu giữ lại hai phần dư R x 1 và R x 2 tương ứng trên các sàng x 1 và x 2

sao cho cả hai sàng bao trùm các lớp đại diện nhất Từ đó đưa đến việc xác đnh các hệ số b và n bằng cách giải hệ ̣ thống hai phương trình sau :

bx 2

x

n 1

bx 1

x

e 100 R

e 100

R

Tiến hành lôgarit hóa hai vế hệ phương trnh (11) ta có : ́

; x

b R

100 ln

x

b R

100 ln

n 2 2

x

n 1 1

Hệ số b là tham số tỷ lệ xác đnh độ ̣ lõm hay lồi (đối

với bột nghiền thô) của đường cong, nghĩa là độ đo cỡ hạt

sản phẩm nghiền trong độ đo đã biết Giá tr tham số b s ̣ ẽ giảm xuống đối với nghiền tinh và se tăng lên khi nghiền ơ thô Hệ số n là tham số của dạng đường cong đặc trưng cho

da y phương sai, nghĩa là theo sự tản mạn theo cơ hạt của ơ ơ bột nghiền, n càng lớn th độ đồng nhất theo thành phần c ́ ỡ hạt của vật liệu càng cao Khi n = ∞ thì tất cả các phần tử có cùng kích thước.

Giá trị thực nghiệm của các hệ số biến thiên trong khoảng : đối với bột nghiền từ hạt, b = 0,003 ÷ 0,035 và n =

được xây dựng theo phương trnh (10) mô tả hàm toán phân ́

như một dẫn xuất từ hàm số tích phân F(x) có thể nhận được một dạng đường cong tích phân (trừ) có dạng :

Trên trục hoành lấy đoạn (0- ds) hình vẽ, lấy điểm bất kỳ

có giá trị x (µm) tương ứng giá trị tung độ Rx = 100 (1- e

X − − dx (6)Giá trị dRx đặc trưng cho tỷ lệ (%) hạt bột có kích thước từ x (µm) Đến kích thước x+ dx (µm)so với toàn bộ hỗn hợp

Do đó kích thước trung bình của sản phẩm sẽ là: