SKKN Toán 10 hướng dẫn học sinh phân tích véc tơ

Ngoài ra, các kiến thức về vectơ còn được áp dụng trong Vật lý như vấn đề tổng hợp lực, phân tích một lực theo hai lực thành phần… Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương là

MỤC LỤC

Mục Trang

I Lý do chọn đề tài 2

II Cơ sở lí luận 2

1 Đặt vấn đề 2

2 Các biện pháp thực hiện 2

III Thực trạng trước khi thực hiện các giải pháp của đề tài 3

1 Thuận lợi 3

2 Khó khăn 3

IV Nội dung đề tài 3

1 Một số kiến thức liên quan 3

2 Nội dung 4

3 Bài tập rèn luyện 13

V Kết quả 14

VI Bài học kinh nghiệm 14

VII Kết luận 15

VIII Tài liệu tham khảo 15

Tên sáng kiến kinh nghiệm:

HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 10 CÁCH PHÂN TÍCH MỘT VECTƠ THEO HAI VECTƠ KHÔNG CÙNG PHƯƠNG

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong Hình học lớp 10, chương Vectơ là chương đầu tiên và cũng là phần kiến thức mới đối với các em học sinh Ở lớp 10, vectơ được áp dụng để chứng minh các hệ thức lượng trong tam giác và trong đường tròn Nó cũng là cơ sở để trình bày phương pháp toạ độ trong mặt phẳng Ngoài ra, các kiến thức về vectơ còn được áp dụng trong Vật lý như vấn đề tổng hợp lực, phân tích một lực theo hai lực thành phần…

Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương là bài toán ngược của bài toán tính tổng của hai vectơ theo quy tắc hình bình hành, việc phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương còn giúp học sinh giải các bài tập chứng minh ba điểm thẳng hàng, các bài toán áp dụng trong vật lý… Nó cũng là một dạng bài tập mới lạ đối với các em lớp 10, tạo nhiều hứng thú đối với các

em yêu thích môn Hình học Từ thực tế những năm học đã qua, có nhiều em còn lúng túng khi gặp các bài về dạng này

Với tư tưởng dạy học sinh không chỉ dạy kiến thức cho các em mà cần dạy

cả phương pháp suy luận, khả năng vận dụng, khả năng kết nối các môn khoa

học, hướng tư duy khái quát Do đó tôi đã trình bày đề tài HƯỚNG DẪN HỌC

SINH LỚP 10 CÁCH PHÂN TÍCH MỘT VECTƠ THEO HAI VECTƠ KHÔNG CÙNG PHƯƠNG

II CƠ SỞ LÍ LUẬN

1 Đặt vấn đề:

Trong các đợt thi đại học, đã có không ít học sinh thi đạt kết quả cao, nhưng khi vào học thì kết quả học tập chỉ đạt trung bình, thậm chí không thể học tiếp Lí do vì sao? Phải chăng các em không chú ý học? Đó không phải là lý do chính, quan trọng là các em chưa có phương pháp học tập đúng, khả năng suy luận, khái quát còn yếu Do đó vấn đề đặt ra cho người thầy là:

+ Ngoài sự yêu nghề, lòng đam mê bộ môn toán học người thầy phải có phương pháp tạo ra tình huống có vấn đề cho học sinh từ đó gợi mở sự sáng tạo, phát triển tư duy của các em

+ Người thầy không chỉ thường xuyên rèn luyện phẩm chất đạo đức, học tập để nâng cao trình độ mà còn phải đổi mới về phương pháp, cách truyền đạt cho học sinh để giúp các em tiếp thu kiến thức mới một cách nhẹ nhàng

2 Các biện pháp thực hiện:

Để giải quyết những vấn đề trên tôi đề xuất giải pháp sau:

+ Trong các tiết học thông qua các vấn đề hoặc các bài tập trong sách giáo khoa, người thầy phải cung cấp cho học sinh không chỉ kiến thức mà cả phương pháp suy luận, khả năng tư duy Từ những kiến thức cơ bản phải dẫn dắt để học sinh có được những kiến thức nâng cao một cách tự nhiên Hướng dẫn học sinh

khai thác, mở rộng bài toán, biết nhìn bài toán dưới nhiều góc độ giúp học sinh

có khả năng tổng hợp, khái quát hoá các vấn đề

Để cụ thể hoá điều trên, tôi đã trình bày trong đề tài này: Từ bài tập đơn

giản trong SGK (Bài tập 2, trang 17- SGK Hình Học 10), với cách giải là áp

dụng phương pháp có sẵn, nhưng ta thấy:

* Có nhiều cách trình bày giải khác nhau

* Từ một bài toán cụ thể ta có thể mở rộng ra những bài toán tổng quát, nâng cao

* Kết quả của bài toán này có thể sử dụng để làm bài toán khác

III THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI.

1.Thuận lợi:

- Các em được học “Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương” sau khi đã học các phép cộng, phép trừ hai vectơ, phép nhân một vectơ với một số và các tính chất của các phép toán đó Các em so sánh được các phép toán trên vectơ và các phép toán trên các tập hợp số đã học

- Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương có áp dụng trong một số bài toán có nội dung vật lý liên quan đến thực tế

- SGK, tài liệu tham khảo phục vụ cho việc học tập của các em đầy đủ

- Đa số các em chăm chỉ học tập, nắm vững những kiến thức cơ bản ở các lớp dưới và các kiến thức liên quan, chủ động, tích cực trong học tập

2 Khó khăn:

- “Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương” là một mục nhỏ trong bài “Tích của vectơ với một số” thời gian học khoảng 10 đến 15 phút Bài tập dạng này là bài mới và khó đối với các em mới được học về vectơ, không có thời gian luyện tập, nhiều em còn lúng túng trong việc tìm cách giải và cách trình bày bài giải

- Các bài tập trong SGK còn ít, chưa phát huy được tác dụng rèn luyện kỹ năng giải bài tập cho HS

IV NỘI DUNG ĐỀ TÀI

1 Một số kiến thức liên quan:

 Quy tắc ba điểm: với 3 điểm A, B, C tùy ý ta có:

             AC              AB              BC

             AC              BC               BA

 Quy tắc hình bình hành:

Tứ giác ABCD là hình bình hành thì              AB              AD              AC

 Tính chất của trung điểm của đoạn thẳng:

+ M là trung điểm của đoạn thẳng AB  MA MB                                            0

+M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm O ta có:

2OM                            OA OB              

 Tính chất trọng tâm của tam giác:

+ G là trọng tâm tam giác ABC  GA GB GC                                                           0

+ Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì với mọi điểm O ta có:

3OG OA OB OC                                                          

 Điều kiện hai vectơ cùng phương:

 Điều kiện ba điểm thẳng hàng:

Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng  k sao cho AB k AC

, (k R)

 Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương:

Cho hai vectơ avà b không cùng phương Khi đó mọi vectơ x đều phân tích được một cách duy nhất theo hai vectơ avà b, nghĩa là có duy nhất cặp số

h, k sao cho x ha kb  

 Nếu a b , không cùng phương mà ma kb  thì m = 0 và k = 0

 Phương pháp phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: sử dụng quy tắc ba điểm phối hợp với các tính chất của các phép toán vectơ để biểu thị vectơ cần biểu diễn theo hai vectơ không cùng phương cho trước

 Có hai hướng giải:

+ Từ giả thiết của bài toán xác định được tính chất hình học, rồi từ đó khai triển vectơ cần biểu diễn bằng phương pháp “chèn” điểm theo quy tắc ba điểm + Giả sử đã có một cặp số m, n Dùng các tính chất đã biết và giả thiết của bài toán biến đổi về hai vectơ không cùng phương cho trước (hệ vectơ gốc) rồi dùng điều kiện cùng phương để suy ra m, n

2 Nội dung :

Hướng dẫn HS phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương qua Bài tập 2, trang 17- SGK Hình Học 10.

Đề bài: Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC Hãy phân

tích các vectơ   AB BC CA, , theo hai vectơ uAK v BM, 

* Với ý thứ nhất: phân tích vectơ AB

theo hai vectơ u                           AK v BM             ,  

GV: Gọi một học sinh nhắc lại cách phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương Nêu các hướng giải?

GV: Theo quy tắc ba điểm và giả thiết của bài, vectơ AB có thể phân tích thành tổng của hai vectơ không cùng phương nào?

AB AM MB

ABAC CB

………

GV: Gọi một em lên bảng làm bài

Khi HS hoàn thành bài giải trên bảng, ta bắt đầu sửa lời giải:

Bài giải:

C

Cách 1 :

Theo quy tắc ba điểm ta có:

2

(vì MK là đường trung bình của tam giác ABC)

Do đó:

1 2

1 2

3

3 u v

  

GV: Còn cách nào phân tích vectơ AB theo hai vectơ  AK BM, nữa không? Áp dụng hiệu của hai vectơ ta có cách giải như thế nào?

Cách 2:

Ta có: AB CB CA   2BK 2AM

3AB 2AK 2BM

3 u v

  

Để rèn luyện tư duy của HS, GV cho nhận xét về vị trí của điểm M và K?

Từ đó suy ra cách giải 3.

Cách 3:

Vì M, K lần lượt là các trung điểm của các cạnh AC và BC, ta có:

3AB 2AK 2BM

3 u v

  

GV: Nếu tinh ý hơn, vẫn theo qui tắc ba điểm nhưng nếu sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác ta có cách giải khác như thế nào?

Cách 4:

Gọi G là giao điểm của hai trung tuyến AK và BM của tam giác ABC

3 u v

  

Nếu trình bầy bài giải theo hướng thứ hai thì ta làm như thế nào ?

Cách 5: Giả sử đã có cặp số m, n sao cho: AB mAK nBM  (1)

Gọi G là giao điểm của hai trung tuyến AK và BM của tam giác ABC

Theo qui tắc ba điểm: ABAG GB

Do đó (1) AG GB

(2)

2 3

1 0

3 2

1 0

m m









3 u v

  

Sau khi hướng dẫn HS các cách giải và trình bày ý thứ nhất, GV cho các

em nhận xét và trình bày bài giải vào vở bằng cách ngắn gọn nhất.

* Làm tương tự với ý thứ 2 và 3: phân tích vectơ  BC CA, theo hai vectơ ,

GV :Gọi HS trình bầy cách giải và ghi kết quả

* BC  2 4

3u 3v

* CA 4 2

3u 3v

  

Để học sinh luyện khả năng khái quát GV có thể hỏi: có một công thức nào để áp dụng phân tích nhanh một vectơ theo hai vectơ không cùng phương cho trước không? Cho HS làm bài toán sau:

Bài toán 1:

Cho tam giác ABC Điểm M nằm trên đường thẳng BC sao cho

Phân tích vectơ AM theo hai vectơ AB, AC

HS dễ dàng tìm ra lời giải của bài toán

Bài giải:

Ta có: MB k MC  AB AM k AC AM  

 (1  k AM) AB k AC

1

AB k AC AM

k







GV: Có nhận xét gì khi k = – 1?

Nếu k = – 1 thì ta có AM 12 AB AC 

Đúng với tính chất trung điểm của đoạn thẳng

Ta có thể thay đổi giả thiết của bài toán để được bài toán mới:

Bài toán 2:

Cho tam giác ABC Điểm M nằm trên đường thẳng BC sao cho

Phân tích vectơ AM theo hai vectơ AB, AC

GV: Gọi HS nhận xét giả thiết của bài toán 2 so với bài toán 1; để áp dụng được công thức của bài toán 1 ta làm thế nào?

Bài giải:

Ta có: nBM mMC

 (m n AM ) nAB mAC

Nếu áp dụng theo bài toán 1 thì phải đưa nBM mMC

về MB m MC

n



tức là k = m

n

 Khi đó

1

m

n AM

m n









AM n AB m AC

GV: Như vậy từ hai bài toán trên ta có những nhận xét gì?

- Nếu MB k MC k   1

thì với điểm A bất kì ta có:

1

AB k AC AM

k









(*)

- Nếu nBM mMC thì với điểm A bất kì ta cóAM n AB m AC

(**)

GV: Gọi HS lên bảng HS làm bài tập áp dụng.

Ví dụ 1: Trên đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC lấy một điểm

M sao cho MB 3MC

Hãy phân tích vectơ AM

theo hai vectơ ABvà AC

Bài giải:

Áp dụng công thức (*),

ta có: MB                             3MC 3 3 1



Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho

2IC  3BI

Phân tích vectơ AItheo hai vectơ ABvà AC

Bài giải:

- Áp dụng công thức (**), ta có: 3BI  2IC

5AB 5AC

Chú ý: Với một số bài khi phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng

phương cho trước, ta có thể phải qua một số bước trung gian.

Từ hai bài toán trên, ta có thể lật ngược vấn đề là:

Nếu cho tam giác ABC và có một điểm M thoả đẳng thức vectơ

thì điểm M có chắc thuộc đường thẳng BC hay không và cần thêm điều kiện gì ?

Để giải quyết vấn đề đó ta xét bài toán sau:

Bài toán 3:

Cho tam giác ABC Chứng minh rằng điểm M thuộc đường thẳng BC khi

và chỉ khi tồn tại các số   , sao cho 1

 







Bài giải:

M thuộc đường thẳng BC khi và chỉ khi B, C, M thẳng hàng

:

(điều kiện 3 điểm thẳng hàng)

:

, :

1

 

 





(đặt    1 k,  k ) các số   , xác định như trên là duy nhất (đã được chứng minh trong phần phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương của bài học)

Để rèn luyện kỹ năng phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương , cho HS làm thêm các bài tập.

Bài tập 1:

Cho hình bình hành ABCD Gọi M, N là các điểm nằm trên các cạnh AB

a) Phân tích vectơ AN theo hai vectơ AB a AC b , 

b) Gọi G là trọng tâm của tam giác BMN Hãy phân tích AG theo hai vectơ a b ,

GV: Gọi học sinh vẽ hình, phân tích đề bài để tìm ra cách giải hợp lí nhất Lưu ý: Nếu giả thiết bài toán cho có trung điểm thì nên kiểm tra cách dùng tính chất trung điểm của đoạn thẳng trước, sử dụng giả thiết sao cho linh hoạt.

Bài giải:

a) vì N là trung điểm của đoạn CD, nên với điểm A bất kỳ, ta có:

ABCD là hình bình hành nên:  AB AD  AC   ADAC AB

Vậy 2AN  AC AC AB   2AC AB

B M

C

A

G

Do đó: 1 1

b) Vì G là trọng tâm của tam giác MNB, với điểm A bất kỳ, ta có:

3

* Ta có thể tổng quát, mở rộng Bài tập 1 bằng các câu hỏi sau:

c) Gọi I, J lần lượt là các điểm xác định bởi BI mBC AJ, nAI

Hãy phân tích các vectơ  AI AJ, theo hai vectơ a b , và m, n

d) Xác định m để AI đi qua G

Với câu c) HS có thể dễ dàng tìm ra lời giải

Giải c) :Theo qui tắc 3 điểm, ta có:

AI AB BI AB mBC AB m AC AB (  )

  (1 m AB mAC)    (1 m a mb) 

Từ giả thiết :              AJ               n AI

Mà              AI   (1 m a mb              )               

Vậy              AJ n(1  m a nmb              )               

GV : Gọi HS giải thích yêu cầu của câu d ? Nhắc lại điều kiện để ba điểm phân biệt thẳng hàng ?

Giải d:

Theo kết quả câu b, ta có: 5 1

; Theo kết quả câu c, ta có: AI   (1 m AB mAC) 

Để AI đi qua G thì  AI AG,

cùng phương

1

18

k

k



 Vậy với 6

11

11

thì AI đi qua G

Bài tập 2: Cho tam giác ABC Gọi M, N lần lượt là các điểm thoả

2

5

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC

a Hãy phân tích các vectơ MN MG , theo hai vectơ  AB AC,

b.Chứng minh MN đi qua trọng tâm G

GV: gọi HS vẽ hình, trình bày bài giải trên bảng câu a.

Chú ý tìm cách gọn nhất.

Bài giải:

5

GV: Khi nào ta có MN đi qua trọng tâm G?

TL: MN đi qua trọng tâm G khi 3 điểm M, N, G thẳng hàng

GV: Điều kiện để 3 điểm M, N, G thẳng hàng là gì? Ta đã có những gì?

Từ đó suy ra cách giải câu b.

b) Theo kết quả câu a



Suy ra: 6

5

hay 3 điểm M, N, G thẳng hàng, tức là MN đi qua G

Bài tập 3: Cho tam giác ABC, E là trung điểm của cạnh BC Gọi D, F lần

lượt là các điểm thoả 2 , 1

3

a) Hãy biểu diễn vectơ AD theo hai vectơ  AB AF, ;

b) Hãy biểu diễn vectơ AF theo hai vectơ  AB AE, ;

c) Gọi I là trung điểm của AB, J là điểm thỏa 1

2

Hãy biểu diễn vectơ IF theo hai vectơ  JB JC,

d) Tìm trên đoạn thẳng IJ một điểm K sao cho A, K, D thẳng hàng

GV: yêu cầu HS vẽ hình, xác định các điểm trên hình vẽ.Với những câu nào ta có thể sử dụng công thức (*) hoặc (**)

Gọi HS lên bảng trình bày bài giải Chú ý cách giải ngắn gọn

Bài giải:

a) Theo qui tắc 3 điểm, ta có:

A

I

J

A

M

N G

-Chú ý : Nếu muốn áp dụng công thức (**), ta cần biến đổi giả thiết

1

3

suy ra 1

2

Vậy theo công thức (**), ta có:

1 2 1 1 2

AD







3AB 3AF

b) Làm tương tự câu a) ta có thể trình bày lời giải theo công thức hoặc theo qui tắc 3 điểm:

Ta được kết quả: 1 3

GV: Với câu c) ta có làm tương tự được không? vì sao? Với giả thiết của

đề bài thì vectơ IF có thể phân tích thành tổng của những vectơ nào là hợp lí nhất ?

TL : Ta chưa thể áp dụng công thức ngay được vì giả thiết của câu c) chưa

có dạng giả thiết của bài toán 1 hoặc 2

c) Ta có:

GV: Gọi HS phân tích câu d) : K nằm trên IJ ta có gì ?

Ba điểm A, K, D thẳng hàng ta có gì? AD n AK n AI IK  

nhận xét hệ số của  AI IK, trong trường hợp này bằng nhau;

Như vậy bài toán đưa về phân tích vectơ AD theo AI IK  , , rồi từ đó suy ra hai hệ số của chúng bằng nhau.

d) Ta có :

K nằm trên IJ  IK mIJ

Ba điểm A, K, D thẳng hàng  AD nAK n AI IK  

(1)

Từ giả thiết BE 2BD

D là trung điểm của BE, ta có:

 

2

2

m

m

Từ (1) và (2) suy ra: 9 3 1

44m m3