đa thức đối xứng 2 biến và một số ứng dụng trong giải toán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮCNGÔ THỊ THU HÀ NGUYỄN THỊ LỆ NGUYỄN THỊ HỒNG QUYÊN TÓM TẮT ĐỀ TÀI NCKH CẤP TRƯỜNG ĐA THỨC ĐỐI XỨNG HAI BIẾN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TOÁ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

NGÔ THỊ THU HÀ NGUYỄN THỊ LỆ NGUYỄN THỊ HỒNG QUYÊN

TÓM TẮT ĐỀ TÀI NCKH CẤP TRƯỜNG

ĐA THỨC ĐỐI XỨNG HAI BIẾN VÀ MỘT SỐ ỨNG

DỤNG TRONG GIẢI TOÁN

Chuyên ngành: Đại số

Người hướng dẫn: TS Hoàng Ngọc Anh

Sơn La – 2013

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

4 Giả thuyết khoa học 1

5 Đối tượng nghiên cứu 1

6 Phương pháp nghiên cứu 2

7 Đóng góp đề tài 2

8 Cấu trúc của đề tài 2

Chương 1: ĐA THỨC ĐỐI XỨNG HAI BIẾN 3

1.1 Các khái niệm cơ bản 3

1.1.1 Định nghĩa đơn thức 3

1.1.2 Định nghĩa hai đơn thức đồng dạng 3

1.1.3 Định nghĩa đơn thức trội 3

1.1.4 Định nghĩa đa thức 3

1.1.5 Định nghĩa đa thức đối xứng 4

1.1.6 Định nghĩa đa thức đối xứng cơ sở 4

1.1.7 Định nghĩa đa thức đối xứng thuần nhất 4

1.2 Định lí cơ bản của đa thức đối xứng 4

1.2.1 Tổng lũy thừa và công thức Waring 4

1.2.2 Định lí cơ bản 4

1.2.3 Tính duy nhất 5

Chương 2: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC ĐỐI XỨNG HAI BIẾN 6

2.1 Hệ phương trình đối xứng hai ẩn 6

2.1.1 Định nghĩa 6

2.1.2 Ứng dụng 6

2.1.3 Các bài tập ứng dụng 13

2.2 Phương trình bậc hai 14

2.2.1 Một số ví dụ về giải phương trình bậc hai 14

2.2.2 Các bài tập ứng dụng 18

2.3 Phương trình đối xứng và phương trình hồi quy 19

2.3.1 Định nghĩa 19

2.3.1 Định lí 20

2.3.2 Các ví dụ về giải phương trình 20

2.3.3 Các bài tập ứng dụng 23

2.4 Phân tích thành nhân tử và áp dụng 24

2.4.1 Phương pháp 24

2.4.2 Các ví dụ về phân tích đa thức thành nhân tử 24

2.4.3 Các bài tập ứng dụng 26

2.5 Chia đa thức đối xứng 27

2.5.1 Định lý về phép chia 27

2.5.2 Tính chất 27

2.5.3 Một số bài toán về chia hết của các đa thức đối xứng 27

2.5.4 Một số bài tập ví dụ 31

2.5.5 Bài tập ứng dụng 32

2.6 Chứng minh bất đẳng thức 33

2.6.1 Kiến thức cơ bản 33

2.6.2 Các ví dụ về chứng minh bất đẳng thức 34

2.6.3 Các bài tập ứng dụng 37

KẾT LUẬN 40

TÀI LIỆU THAM KHẢO 41

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Hệ thống kiến thức toán học ở phổ thông đóng một vai trò hết sức quantrọng trong sự phát triển của giáo dục và là một vấn đề luôn luôn nhận được sựquan tâm đặc biệt không chỉ của ngành giáo dục mà còn là của toàn xã hội Mộttrong những nội dung của toán học phổ thông đó là “ Đa thức đối xứng” Đây lànội dung khá đa dạng, phong phú và có nhiều ứng dụng để giải các bài toán Trong thực tế, có nhiều bài toán khó chứa yếu tố đối xứng, nên nếu biết ápdụng lý thuyết về đa thức đối xứng sẽ làm cho bài toán trở nên đơn giản hơn.Nhằm nâng cao kiến thức cho học sinh Trung học phổ thông, chuẩn bị cho các

kì thi học sinh giỏi, thi vào các trường Đại học và Cao đẳng, bồi dưỡng kiếnthức cho chuyên ngành toán của các trường Sư phạm chúng tôi đặt vấn đề

nghiên cứu đề tài : “Đa thức đối xứng hai biến và một số ứng dụng trong giải toán”.

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu các nội dung cơ bản về đa thức đối xứng hai biến và một sốứng dụng của nó để giải bài toán có liên quan

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu kĩ cơ sở lí thuyết về đa thức đối xứng hai biến, chứng minhcác định lí và các tính chất về đa thức đối xứng hai biến

- Các dạng bài tập ứng dụng của đa thức đối xứng hai biến và phương phápgiải

4 Giả thuyết khoa học

Nếu hiểu và nắm vững định nghĩa, tính chất và các định lí liên quan tới đathức đối xứng của hàm hai biến, các phương pháp để giải các dạng bài tập, kếthợp với sự tự nghiên cứu của học sinh sẽ giúp giải các bài toán đơn giản và dễdàng hơn

5 Đối tượng nghiên cứu

- Nghiên cứu lí thuyết liên quan đến đa thức đối xứng hai biến

- Nghiên cứu các dạng bài tập, ứng dụng của đa thức đối xứng hai biến đểgiải một số bài toán.

6 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu tài liệu

8 Cấu trúc của đề tài

Đề tài bao gồm: phần mở đầu, phần nội dung gồm 2 chương và phần kếtluận

Phần nội dung bao gồm các chương sau:

Chương 1: Đa thức đối xứng hai biến

Chương 2: Ứng dụng đa thức đối xứng hai biến

Chương 1: ĐA THỨC ĐỐI XỨNG HAI BIẾN

1.1 Các khái niệm cơ bản

Trong đó a  là một số; k, l là những số nguyên không âm kl 0

Số a kl được gọi là hệ số, còn kl được gọi là bậc của đơn thức ( , )f x y

1.1.2 Định nghĩa hai đơn thức đồng dạng

Hai đơn thức của các biến x, y được gọi là đồng dạng (tương tự) nếu chúngchỉ có hệ số khác nhau (bậc tương ứng của các biến x, y bằng nhau) Như vậy,hai đơn thức được gọi là đồng dạng nếu chúng có dạng:

,

k l k l

Ax y Bx y A B

1.1.3 Định nghĩa đơn thức trội

Giả sử Ax y k l và Bx y m n là hai đơn thức của các biến x, y Ta nói rằng đơnthức k l

Ax y trội hơn đơn thức Bx y theo thứ tự của các biến x, y nếu k m n m

hoặc k m , l > n

1.1.4 Định nghĩa đa thức

Một hàm số P x y( , ) được gọi là một đa thức theo các biến số x, y nếu nó cóthể biểu diễn được dưới dạng tổng của hữu hạn các đơn thức Như vậy, đa thức( , )

Bậc lớn nhất của các đơn thức trong đa thức được gọi là bậc của đa thức

1.1.5 Định nghĩa đa thức đối xứng

Đa thức P x y( , ) được gọi là đối xứng nếu nó không thay đổi khi đổi chỗ của

x và y, nghĩa là:

P x y( , )P y x( , )

1.1.6 Định nghĩa đa thức đối xứng cơ sở

Các đa thức j(j 1, 2) trong đó 1  x y ;  2 xy được gọi là các đathức đối xứng cơ sở của các biến x, y

1.1.7 Định nghĩa đa thức đối xứng thuần nhất

Đa thức đối xứng f x y( , ) được gọi thuần nhất bậc m nếu:

f tx ty( , )t f x y m ( , ),  t 0

1.2 Định lí cơ bản của đa thức đối xứng

1.2.1 Tổng lũy thừa và công thức Waring

Định nghĩa: Các đa thức  k x k y k (k=1,2,…) gọi là tổng các lũy thừa bậc kcủa các biến x, y

Định lí 1.1: Mỗi tổng lũy thừa s m x m y m có thể biểu diễn được dưới dạng

( 1) ( 1)!

!( 2 )!

k m m k

Một đa thức đối xứng ( , )P x y của các biến x, y đều có thể biểu diễn được

dưới dạng đa thức p( ,   1 2 ) theo các biến 1 x y ; 2 xy nghĩa là

Chương 2: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC ĐỐI XỨNG

Hệ phương trình (1), (2) được gọi là hệ phương trình đối xứng hai ẩn

Hệ phương trình (2) thường đơn giản hơn hệ (1) và ta có thể dễ dàng tìmđược nghiệm  1, 2 Sau khi tìm được giá trị của   1 , 2cần phải tìm các giá trịcủa x, y là nghiệm của hệ (1)

Ngược lại, nếu x a , y b là nghiệm của hệ (4) thì các cặp số a b,  lànghiệm của phương trình (3)

2.1.2 Ứng dụng

2.1.2.1 Hệ phương trình đối xứng

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:

3 3 35 5

5 5 6

Phương trình này có nghiệm là 1

2

2 3

z z

x y

x x

a Giải hệ phương trình với m 72

b Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm

Lời giải

Nhận thấy, hệ phương trình đã cho là hệ phương trình đối xứng theo cácbiến x, y Tuy nhiên, nếu đặt  1  x y,  2 xythì sẽ gặp khó khăn khi phải đưa

về hệ bậc hai theo   1 , 2, nhất là hệ có tham số

Ta thấy, nếu viết phương trình đầu của hệ ở dạng

12 6

3 4 2 3

x x y y

Khi đó hệ ban đầu có nghiệm  phương trình (**) có hai nghiệm t t thỏa1, 2

mãn điều kiện 1 2

1 4

6 44

2 5 6 0 2

3

t t

3

x x

2

x x

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x 16 và x 81

2.1.2.3 Tìm nghiệm nguyên của phương trình

Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình

Khi đó ta có x y  1 0 Phương trình này có vô số nghiệm nguyên vì

2

2 1

2 1

Như vậy: x, y là nghiệm của phương trình:t2  2 1 0t 

Giải phương trình này ta được x  y 1

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là:

2.2.1 Một số ví dụ về giải phương trình bậc hai

Nhiều bài toán về phương trình bậc hai được giải một cách dễ dàng nhờ ápdụng đa thức đối xứng Để minh họa, xét một số ví dụ sau:

Ví dụ 1: Giả sử x1, x2 là nghiệm của phương trình bậc hai

aS  bS  cS (1)

b Đặt x1  1 2, x2   1 2thì x x1, 2 là nghiệm của phương trình

 

0 2, 1 6, n 1 6 n 2 n 1 1

a Tìm số hạng tổng quát un

b Chứng minh rằng u2kchia hết cho 2k 1với mọi kN

c Chứng minh rằng với mọi k 1 thì u2 1k chia hết cho 2k và không chiahết cho 2k 1

Từ công thức trên suy ra v là một số chẵn với mọi k N k 

c Chúng ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp Với k 1 khẳngđịnh là đúng Giả sử, khẳng định đúng cho đến k m m ,  1 Ta sẽ chứngminh khẳng định cũng đúng với k  m 1 Thật vậy ta có:

   Nhưng 6a b là số lẻ, nên u2m1

chia hết cho 2m1 và không chia hết cho 2m2

Ví dụ 4 : Kí hiệu [x] là phần nguyên của số thực x cho m là số nguyên dương.

Từ đó suy ra phương trình cần lập là:

Thay (2) vào (1) ta được :S n  S n3 5 7 S n1 S n3

Từ đây suy ra điều phải chứng minh

2.3 Phương trình đối xứng và phương trình hồi quy

được gọi là đa thức hồi quy

Phương trình đa thức hồi quy được gọi là phương trình hồi quy

Khi   1 thì đa thức hồi quy trở thành đa thức đối xứng

Ví dụ : Phương trình 4x65x5 3x410x3 9x245x108 0 là phương trìnhhồi quy với   3

thức nào đó theo biến  và có bậc bằng k

Mọi đa thức hồi quy bậc lẻ đều có dạng f z   z1  g z trong đó g z 

là đa thức hồi quy bậc chẵn

2.3.2 Các ví dụ về giải phương trình

Ví dụ 1 : Giải phương trình

Xét (2) ta thấy đây là phương trình đối xứng bậc 10

Vì x 0 không là nghiệm của phương trình nên ta chia cả hai vế phươngtrình cho z5, ta có :

Đây là phương trình bậc tám truy hồi với  2

Ta thấy x 0 không phải là nghiệm của phương trình

Chia cả hai vế của phương trình cho x4 ta có

6 16

x x x x x x

Nhận thấy x  0 không phải là nghiệm của phương trình.

Chia cả hai vế của phương trình cho x2 sau đó đặt x 1

x

   Khi đó ta có phương trình :

2 5 14 0

2

1 ;

7 452

x x

Giải (2), ta làm tương tự phần a.

Cuối cùng ta có nghiệm của phương trình là :x 1

Nhận thấy x  0 không phải là nghiệm của phương trình

Chia cả 2 vế cho x2 rồi đặt 2

x x

Ta sử dụng hai phương pháp phân tích đa thức đối xứng thành nhân tử

- Phương pháp thứ nhất: biểu diễn các đa thức đã cho theo các đa thức đốixứng cơ sở  1, 2

- Phương pháp thứ hai: phương pháp hệ số bất định

2.4.2 Các ví dụ về phân tích đa thức thành nhân tử

Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: f x y ,   x y4x4y4

Lời giải

Trong đó r x   0 hoặc degr x  degg x  (deg : bậc của đa thức)

Đặc biệt : Nếu r x   0thì ta nói f x  chia hết chog x  và kí hiệu

c f x g x   ; g x f x     f x q g x   

2.5.3 Một số bài toán về chia hết của các đa thức đối xứng

Bài toán số 1: Chứng minh rằng: x2nx y n ny2n chia hết cho x2xy y 2

khi và chỉ khi n không phải là bội của 3

Từ đó ta thấy: x3k  y3k chia hết cho x2 xy y 2

x y3k 3k không chia hết cho x2xy y 2

Vậy x2n x y n n y2n không chia hết cho x2 xy y 2

       

4 6k 6k 2 3k 2 3k 3k 6k 2 2 2 2

Suy ra x2n x yn n  y2n chia hết cho x2xy y 2

Vậy điều kiện cần và đủ để x2n  x yn n  y2n chia hết cho x2 xy y 2 là nkhông phải là bội của 3

Bài toán số 2: Chứng minh rằng với mọi n 

Trong đó q x y ;  là đa thức với hệ số nguyên (vì hệ số chính của đa thức chia

bằng 1, còn các hệ số của đa thức bị chia và đa thức chia là các số nguyên)

Trong đẳng thức trên, lấy x y 1 ta được:

Vậy đa thức x2n  x y n n y2n không chia hết cho x2 xy y 2

Bài toán số 3: Với n 

Z nào thì x2n  x yn n  y2n chia hết cho x2  xy y 2?

Theo bài toán số 2, đẳng thức này không thể xảy ra.

Lời giải

Giả sử x y nx ny n chia hết cho x2 xy y 2, khi đó ta có:

x y n x ny n x2 xy y q x y 2.  ,  

trong đó q x y là đa thức với hệ số nguyên. , 

Trong  thay x, y tương ứng bởi x y2, 2, ta có:

Từ đó suy ra x6 y6, x3  y3 chia hết cho x2xy y 2

Vậy x x y8 4 4y8 chia hết cho x2 xy y 2

Ví dụ 2: Với n 

Z nào thì x2n x y n ny2n chia hết cho x2 xy y 2?

Lời giải

Giả sử x2n  x y n n y2n x2  xy y q x y 2  ,  6 

trong đó q x y , là đa thức đối xứng với hệ số nguyên

Xét hai trường hợp của n:

- Trường hợp 1: n là số lẻ

Trong 6  thay x bởi –x ta được: x2nx y n ny2n x2xy y q 2 x y, 

Theo bài toán số 1 đẳng thức trên đúng khi và chỉ khi n3m1 hoặc

Theo bài toán số 2, đẳng thức này không thể xảy ra.

Vậy x2n x y n n y2n chia hết cho x2 xy y 2 khi và chỉ khi n 6k 1 với,

Đôi khi ta lại cần biểu diễn 12qua 2 theo công thức: 12  z 42

Mệnh đề 1.2: Nếu 1 0 thì với mọi n nguyên dương ta có bất đẳng thức:

Mệnh đề 1.3: Nếu  1   0, n m, nguyên dương ta có

c

S  , nghĩa là:

2

2 2 2

2

c

S a b Vận dụng bất đẳng thức trên ta có

Cộng vế với vế của hai bất đẳng thức này ta được:

 9 9    8 8  3 3  6 6

Suy ra điều phải chứng minh

Ví dụ 4 : Cho các số thực x y x y1, , ,1 2 2 thỏa mãn các điều kiện

Ví dụ 5 : Hai số không âm x, y thay đổi và thỏa mãn điều kiện x y  1 Tìmgiá trị lớn nhât và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2

Ta sẽ chứng minh x y 2  xy 0hay x y 2 xy.Theo mệnh đề 1.1 ta suy ra điều phải chứng minh.

; 0;11

max 1

x y A

KẾT LUẬN

Với nhiệm vụ đặt ra, đề tài đã trình bày một cách có hệ thống và tương đốiđầy đủ về đa thức đối xứng hai biến Các kiến thức cơ bản về đa thức đối xứnghai biến được trình bày một cách logic, chặt chẽ và khoa học Các định lí, mệnh

đề được phát biểu và chứng minh một cách đầy đủ Đề tài trình bày một số ứngdụng khác nhau của đa thức đối xứng, những định hướng lời giải các dạng toán

cụ thể Sau mỗi dạng chúng tôi đều đưa ra các ví dụ có lời giải và một số bài tập

tự giải có hướng dẫn giải hoặc đáp số

Do thời gian có hạn và kiến thức chuyên môn tích lũy chưa sâu, rộng nên

đề tài không tránh khỏi những thiết sót Chúng tôi rất mong nhận được sự góp ýcủa các thầy, cô giáo và các bạn sinh viên để đề tài hoàn thiện hơn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Nguyễn Hữu Điển, 2003, Đa thức và áp dụng, NXB Giáo dục Việt Nam [2] Nguyễn Văn Mậu - Nguyễn Văn Ngọc, 2005, Chuyên đề đa thức đối xứng

và áp dụng, NXB Giáo dục Việt Nam.

[3] Nguyễn Văn Mậu, 2004, Đa thức đại số và phân thức hữu tỷ, NXB Giáo

dục Việt Nam

[4] Nguyễn Văn Mậu ( Chủ biên), Trần Nam Dũng, Nguyễn Đăng Phất, Trần

Đào Chiến, 2007, Chuyên đề chọn lọc về đa thức và áp dụng, NXB Giáo dục

Việt Nam

[5] Nguyễn Văn Mậu, 2006, Bất đẳng thức - Định lý, NXB Giáo dục Việt

Nam