xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian hilbert

đại học tháI nguyên TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --- --- Lý minh thùy Xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian hilbert luận văn thạc sĩ toán học TháI nguyên, 2014..

đại học tháI nguyên TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

-  -

Lý minh thùy

Xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn

trong không gian hilbert

luận văn thạc sĩ toán học

TháI nguyên, 2014

Mục lục

Lời cảm ơn 2

Danh mục ký hiệu 3

Mở đầu 4

1 Bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn 6 1.1 Không gian Hilbert 6

1.2 Ánh xạ không giãn 9

1.3 Bài toán điểm bất động 12

1.3.1 Bài toán điểm bất động 12

1.3.2 Một số phương pháp xấp xỉ điểm bất động 15

1.4 Một số bổ đề bổ trợ 18

2 Xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn 19 2.1 Phương pháp lặp Mann-Halpern cải biên 19

2.2 Điểm bất động chung của hai ánh xạ không giãn 26

2.3 Phương pháp lai ghép thu hẹp 33

Kết luận 35

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đạihọc Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS TS Đỗ Văn Lưu Tácgiả xin bày tỏ lòng biết ơn về sự tận tâm và nhiệt tình của Thầy trongsuốt quá trình tác giả thực hiện luận văn

Trong quá trình học tập và làm luận văn, từ bài giảng của các Giáo

sư, Phó Giáo sư công tác tại Viện Toán học, Viện Công nghệ Thôngtin - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, trường Đại họcKhoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, các Thầy Cô trongĐại học Thái Nguyên, tác giả đã trau dồi thêm rất nhiều kiến thứcphục vụ cho việc nghiên cứu và công tác của bản thân Từ đáy lòngmình, tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các Thầy Cô

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo,Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đãquan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại Trường.Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn

vị công tác và đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốtnhất cho tôi khi học tập và nghiên cứu

Tác giả

Lý Minh Thùy

DANH MỤC KÝ HIỆU

X Không gian Banach thực

H Không gian Hilbert thực

∀x Với mọi x

∃x Tồn tại x

D(T ) Miền xác định của toán tử T

Fix(T ) Tập các điểm bất động của toán tử T

xn → x Dãy {xn} hội tụ mạnh tới x

xn * x Dãy {xn} hội tụ yếu tới x

MỞ ĐẦU

Lý thuyết điểm bất động có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khácnhau của toán học như giải tích số, phương trình vi phân, phươngtrình đạo hàm riêng, tối ưu hóa, bất đẳng thức biến phân, bài toánchấp nhận lồi, bài toán cân bằng

Cho H là một không gian Hilbert thực;C là một tập con lồi,đóng,khácrỗng của H; T : C → H là một ánh xạ phi tuyến Điểm x∗ ∈ C thỏamãn T x∗ = x∗ gọi là điểm bất động của ánh xạ T Trong nhiều trườnghợp, việc giải một phương trình được đưa về bài toán tìm điểm bấtđộng của một ánh xạ thích hợp Chẳng hạn nghiệm của phương trìnhtoán tử Ax = f , ở đây A : H → H là một ánh xạ phi tuyến, f

là phần tử thuộc H, là điểm bất động của ánh xạ S xác định bởi

xạ không giãn trong không gian Hilbert

Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương Chương

1 trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian Hilbert, bài toánđiểm bất động và một số phương pháp xấp xỉ điểm bất động của ánhxạ

Trong chương 2, chúng tôi trình bày phương pháp xấp xỉ điểm bấtđộng của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert

Đóng góp chính của chúng tôi trong luận văn là đọc, dịch, tổng hợpkiến thức trong các tài liệu [2] và [3] Toàn bộ phần chứng minh cácđịnh lý trong chương 2 được chúng tôi làm rõ từ các kết quả nghiêncứu đã công bố trong [2] và [3].

1.1 Không gian Hilbert

Trong mục này, chúng tôi trình bày khái niệm và một số kết quả vềkhông gian Hilbert thực H

Định nghĩa 1.1 Cho H là một không gian tuyến tính trên R Mộttích vô hướng trong H là một ánh xạ, ký hiệu h·, ·i : H × H → R thỏamãn các điều kiện sau:

i) hx, xi > 0, ∀x 6= 0, hx, xi = 0 ⇔ x = 0;

ii) hx, yi = hy, xi, ∀x, y ∈ H;

iii) hαx, yi = αhx, yi, ∀x, y ∈ H, ∀α ∈ R;

iv) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi, ∀x, y, z ∈ H

Không gian tuyến tính H cùng với tích vô hướng h·, ·i được gọi làkhông gian tiền Hilbert

Nhận xét 1.1 i) Không gian tiền Hilbert là một không gian địnhchuẩn với chuẩn:

||x|| = hx, xi12, ∀x ∈ H

ii) Đẳng thức hình bình hành luôn thỏa mãn trong không gian tiềnHilbert H:

||x + y||2 + ||x − y||2 = 2(||x||2 + ||y||2), ∀x, y ∈ H

Ngược lại, nếu không gian định chuẩn X có chuẩn thỏa mãn đẳngthức hình bình hành thì trên đó ta có thể xây dựng một tích vô hướng

hx, yi = 1

4(||x + y||

2

− ||x − y||2), ∀x, y ∈ X

Khi đó X trở thành không gian tiền Hilbert

iii) Trong không gian tiền Hilbert H bất đẳng thức Schwarz luônthỏa mãn:

tích vô hướng được xác định tương ứng là:

hx, yi =

n X i=1

xiyi, x = (x1, x2, , xn), y = (y1, y2, , yn) ∈ Rn;

hx, yi =

b Z a

x(t)y(t)dt, x(t), y(t) ∈ L2[a, b]

Định nghĩa 1.3 Dãy {xn}∞

n=1 trong không gian Hilbert H được gọi

là hội tụ yếu đến phần tử x ∈ H nếu limn→∞hxn, yi = hx, yi, với mọi

Định nghĩa 1.5 Tập C ⊂ H được gọi là tập đóng nếu mọi dãy hội

tụ {xn} ⊂ C đều có giới hạn thuộc C, tức là

¨

v ∈ C : ky − vk2 ≤ kx − vk2 + hz, vi + a

«

là tập lồi đóng trong H

Số L được gọi là hằng số Lipschitz của T

Nếu L < 1 thì T là ánh xạ co và nếu L = 1 thì T là ánh xạ khônggiãn, nghĩa là:

kT x − T yk ≤ kx − yk, ∀x, y ∈ D(T ) (1.2)Sau đây là khái niệm và một số tính chất của phép chiếu mêtric.Định nghĩa 1.7 Cho C là một tập con lồi ,đóng của không gianHilbert thực H, phép chiếu mêtric PC từ H lên C cho tương ứng mỗi

x ∈ H với phần tử PC(x) ∈ C thỏa mãn

kx − PC(x)k ≤ kx − yk với mọi y ∈ C

Bổ đề 1.2 Cho C là tập con lồi, đóng trong không gian Hilbert thực

H, với bất kì x ∈ H, tồn tại duy nhất z ∈ C sao cho ||z −x|| ≤ ||y −x||,với mọi y ∈ C và z = PC(x) nếu và chỉ nếu hz − x, y − zi ≥ 0, vớimọi y ∈ C

Định lý 1.1 Nếu C là một tập con lồi ,đóng , khác rỗng trong khônggian Hilbert H thì tồn tại một phần tử duy nhất x0 của C sao cho

kx0k ≤ kxk với mọi x ∈ C

kxn − xmk2 ≤ 2kxnk2 + 2kynk2 − 4d2.

Do đó m,n→∞lim ||xn − xm|| = 0 Vậy {xn} là một dãy Cauchy Vì H làkhông gian đầy đủ nên dãy xn hội tụ đến x0 ∈ H Do C là một tậpđóng trong H nên x0 ∈ C Ngoài ra, kx0k = lim

n→∞kxnk = d

Mệnh đề 1.1 Cho C là một tập con lồi ,đóng ,khác rỗng của khônggian Hilbert H và PC là phép chiếu mêtric từ H lên C Khi đó nhữngđiều sau thỏa mãn:

(i) PC(PC(x)) = PC(x) với mọi x ∈ H;

(ii) PC là ánh xạ đơn điệu mạnh, nghĩa là:

hx − y, PC(x) − PC(y)i ≥ kPC(x) − PC(y)k2, ∀x, y ∈ H;

(iii) PC là ánh xạ không giãn, nghĩa là :

hy − PC(y) , PC(x) − PC(y)i ≥ 0

Điều đó kéo theo

hx − y, PC(x) − PC(y)i ≥ kPC(x) − PC(y)k2.(iii) là hệ quả trực tiếp của (ii)

(iv) được suy ra từ (ii)

(v) Từ Bổ đề 1.2 ta có:

hxn− PC(xn), PC(xn) − zi ≥ 0 với mọi z ∈ C

Vì xn * x0 và PC(xn) → y0, nên

hx0 − y0, y0 − zi ≥ 0 với mọi z ∈ C

1.3 Bài toán điểm bất động

Định nghĩa 1.8 Phần tử x ∈ D(T ) trong không gian Hilbert Hđược gọi là một điểm bất động của ánh xạ T : D(T ) ⊆ H → H nếu

x = T x

Ký hiệu tập các điểm bất động của ánh xạ T là Fix(T ) Chú ý rằngtập điểm bất động của ánh xạ không giãn T : D(T ) ⊆ H → H trongkhông gian Hilbert H, nếu khác rỗng, là một tập con lồi và đóng củaH

Bài toán điểm bất động được phát biểu như sau: Cho C là một tậpcon lồi của không gian Hilbert H, T : C → H là một ánh xạ

Hãy tìm phần tử x∗ ∈ C sao cho T x∗ = x∗ (1.5)Việc tìm nghiệm của bài toán điểm bất động (1.5) tương đương vớiviệc giải phương trình toán tử

Định lý điểm bất động Banach được đưa ra trong luận án củaBanach vào năm 1922 Nó được sử dụng để thiết lập sự tồn tại nghiệmcủa phương trình tích phân Kể từ đó, vì sự đơn giản và hữu dụng,Định lý điểm bất động Banach đã trở thành một công cụ rất phổ biếntrong việc giải quyết các vấn đề tồn tại trong nhiều ngành của toánhọc giải tích

Định lý 1.2 (Định lý điểm bất động Banach) Cho (X, d) là khônggian mêtric đầy đủ và T : X → X là một ánh xạ co Khi đó, T có duy

nhất điểm bất động ¯x trong X và với mỗi x0 ∈ X, dãy lặp {xn} đượcđịnh nghĩa bởi xn+1 = T xn, với n ≥ 0 hội tụ tới ¯x.

Vì dãy {xn} hội tụ về ¯x ∈ X nên d(¯x, xn) + λd(xn−1, ¯x) → 0 khi

n → ∞ Từ đó 0 ≤ d(¯x, T ¯x) ≤ 0 suy ra d(¯x, T ¯x) = 0 hay T ¯x = ¯x Vậy

¯

x là điểm bất động của ánh xạ T

Giả sử tồn tại ˜x ∈ X sao cho T ˜x = ˜x Khi đó:

x2n = T x2n−1 = 1,

x2n+1 = T x2n = 0,

không hội tụ tới điểm bất động duy nhất 1

2 ∈ R của ánh xạ T Nếu C là một tập con lồi của X và T : C → C là một ánh xạ khônggiãn thì với mọi λ ∈ (0; 1) ánh xạ Tλ : C → C được xác định bởi:

Tλx = λx + (1 − λ)T x, ∀x ∈ Ccũng là ánh xạ không giãn đồng thời T và Tλ có cùng điểm bất độngtrong C

1.3.2 Một số phương pháp xấp xỉ điểm bất động

Trong mục này chúng ta nhắc lại một số phương pháp xấp xỉ điểmbất động cổ điển, đó là phương pháp lặp Mann, phương pháp lặpIshikawa và phương pháp lặp Halpern

xk

k , n ≥ 0 (1.7)hội tụ tới một điểm bất động của T

Hầu hết các nghiên cứu về phương pháp lặp Mann với dãy {xn}được xác định bởi:

gian Hilbert như sau:

ở đây PC là phép chiếu mêtrix từ H lên tập con lồi ,đóng C của H

Họ đã chứng minh được rằng nếu dãy {βn} bị chặn trên bởi 1 thì dãylặp {xn} xác định bởi (1.9) hội tụ mạnh về PFix(T )(x0) Phương phápnày có nhược điểm là việc tính toán hình chiếu của x0 lên giao củahai tập lồi,đóng bất kỳ Cn và Qn gặp nhiều khó khăn

• Phương pháp lặp Ishikawa

Năm 1974, Ishikawa [5] đã nghiên cứu một suy rộng của dãy lặpMann, và được gọi là dãy lặp Ishikawa:

Định lý 1.4 Cho K là tập con compact lồi của không gian Hilbert

H và T : K → K là ánh xạ giả co, liên tục Lipschitz Khi đó, dãy lặp{xn} trong K xác định bởi:

(C6) ∞P

n=1αnβn = ∞

Chú ý rằng, ánh xạ T : K → K được gọi là giả co nếu

kT x − T yk2 ≤ kx − yk2 + k(I − T )x − (I − T )yk2, ∀x, y ∈ D(T )trong đó I là toán tử đồng nhất Từ định nghĩa này ta thấy mọi ánh

xạ giả co đều là ánh xạ không giãn

• Phương pháp lặp Halpern

Phương pháp lặp Halpern được Halpern đề xuất năm 1967 trong[4] dạng:

xn+1 = αnu + (1 − αn)T (xn), n ≥ 0, (1.11)trong đó u, x0 ∈ C, {αn} ⊂ (0, 1) và T là một ánh xạ không giãn

từ tập con lồi đóng C của không gian Hilbert H vào C Halpern đãchứng minh rằng nếu αn = n−α, α ∈ (0, 1) thì dãy {xn} xác định bởi(1.11) hội tụ về một điểm bất động của ánh xạ T

Để tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn T trên C, Alber đã

đề xuất phương pháp sau:

xn+1 = PC(xn− µn(I − T )xn), n ≥ 0, x0 ∈ C, (1.12)trong đó I là toán tử đơn vị trong H, và ông đã chứng minh rằng nếudãy số thực dương {µn} được chọn sao cho µn → 0 khi n → ∞ và dãy{xn} bị chặn, thì:

(i) tồn tại một điểm tụ yếu ¯x ∈ C của {xn};

(ii) tất cả các điểm tụ yếu của {xn} thuộc Fix(T );

(iii) nếu Fix(T ) chỉ gồm một điểm, tức là Fix(T ) = {¯x} thì dãy{xn} hội tụ yếu đến ¯x

1.4 Một số bổ đề bổ trợ

Bổ đề 1.3 Cho H là không gian Hilbert thực Khi đó

||x − y||2 = ||x||2 − ||y||2 − 2hx − y, yi, ∀x, y ∈ H

Bổ đề 1.4 (Nguyên lý nửa đóng) Nếu C là tập con lồi, đóng ,khácrỗng của không gian Hilbert thực H, T là ánh xạ không giãn trên C,{xn} là dãy trong C sao cho xn * x và xn− T xn → 0 thì x − T x = 0

Bổ đề 1.5 Mọi không gian Hilbert H đều có tính chất Randon-Rieszhoặc tính chất Kadec-Klee, nghĩa là, với mọi dãy {xn} ∈ H mà xn * x

Chương 2

Xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn

Trong chương này chúng tôi trình bày hai kết quả nghiên cứu mớiđây của Giáo sư Nguyễn Bường và các học trò của ông về phươngpháp lặp Mann-Halpern cải biên và phương pháp lai ghép thu hẹp tìmđiểm bất động của một ánh xạ không giãn, điểm bất động chung củahai ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert Các kết quả trìnhbày trong chương này được lấy từ tài liệu [2] và [3]

2.1 Phương pháp lặp Mann-Halpern cải biên

Trong mục này trình bày một cải biên của phương pháp lặp Halpern xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn T trong khônggian Hilbert H Kết quả này được lấy từ bài báo [2] công bố năm2011

Mann-Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập con lồi đóng,khác rỗng của H, T : C → H là một ánh xạ không giãn Ta xét

phương pháp lặp sau đây:

Sự hội tụ mạnh của phương pháp (2.1) được trình bày trong định

lý sau đây:

Định lý 2.1 Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của khônggian Hilbert thực H và T : C → H là ánh xạ không giãn sao choFix(T ) 6= ∅ Giả sử {αn} và {βn} là các dãy số trong [0, 1] thỏa mãn

αn → 1 và βn → 0 Khi đó, dãy {xn}, {yn} và {zn} được định nghĩabởi (2.1) hội tụ mạnh tới điểm u0 = PFix(T)(x0) khi n → ∞

Chứng minh Trước hết ta có bất đẳng thức

||yn− z||2 ≤ ||xn − z||2 + βn(||x0||2 + 2hxn − x0, zi),

tương đương với

||zn− p||2 = ||αnPC(xn) − p + (1 − αn)PCT PC(xn)||2

= ||αn(PC(xn) − PC(p))+ (1 − αn)[PCT PC(xn) − PCT PC(p)]||2

≤ αn||xn − p||2 + (1 − αn)||PC(xn) − PC(p)||2

≤ ||xn − p||2.Bằng cách biến đổi tương tự và sử dụng Bổ đề 1.3 với x = x0 − p và

Vì vậy, p ∈ Hn với mọi n ≥ 0 Điều đó có nghĩa Fix(T ) ⊂ Hn, ∀n ≥ 0.Tiếp theo ta chỉ ra rằng Fix(T ) ⊂ Hn ∩ Wn, với mỗi n ≥ 0 bằngphương pháp quy nạp Thật vậy, với n = 0, ta có W0 = H, suy raFix(T ) ⊂ H0∩ W0 Giả sử rằng xi cho trước và Fix(T ) ⊂ Hi∩ Wi, với

i > 0 Khi đó tồn tại duy nhất một phần tử xi+1 ∈ Hi ∩ Wi sao cho

xi+1 = PHi∩Wi(x0) Theo Bổ đề 1.2 suy ra

hxi+1 − x0, p − xi+1i ≥ 0 với mỗi p ∈ Hi∩ Wi

Vì Fix(T ) ⊂ Hi ∩ Wi, nên Fix(T ) ⊂ Wi+1 Vì vậy, Fix(T ) ⊂ Hi+1 ∩

Wi+1 Hơn nữa, vì Fix(T ) là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H,tồn tại duy nhất một phần tử u0 ∈ Fix(T ) sao cho u0 = PFix(T )(x0)

Từ xn+1 = PHn∩Wn(x0), ta được

||xn+1 − x0|| ≤ ||z − x0||, ∀z ∈ Hn ∩ Wn

Vì u0 ∈ Fix(T ) ⊂ Wn, nên

||xn+1 − x0|| ≤ ||u0 − x0||, n ≥ 0 (2.2)Suy ra dãy {xn} bị chặn Do PC, T là các ánh xạ không giãn nên cácdãy {PCT PC(xn)}, {zn} và {T zn} cũng bị chặn

giới hạn hữu hạn lim

lim

n→∞||yn− xn|| = 0 (2.6)Chú ý rằng

PCT zn = yn− βn(xn− PCT zn) + βn(xn− x0)

n→∞||xn − PCT zn|| = 0 (2.7)Hơn nữa, ta có PCT zn = PCTCT zn và do đó

Bây giờ, từ (2.2) và tính nửa liên tục yếu của chuẩn ta suy ra rằng

Từ đó suy ra xnj → p = u0 theo Bổ đề 1.5 Sử dụng tính duy nhấtcủa phép chiếu u0 = PFix(T )(x0), ta có xn → u0 Từ (2.6) và (2.8) tacũng có yn → u0 và zn → u0 Định lý được chứng minh.

Hệ quả 2.1 Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gianHilbert thực H và T : C → H là ánh xạ không giãn sao cho Fix(T ) 6= ∅.Giả sử rằng {βn} là dãy trong [0, 1] sao cho βn → 0 Khi đó dãy {xn}

và {yn} được định nghĩa bởi

Chứng minh Sử dụng Định lý 2.1 với αn = 1, ta thu được điều cầnchứng minh

Hệ quả 2.2 Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gianHilbert thực H và T : C → H là ánh xạ không giãn sao cho Fix(T ) 6= ∅.Giả sử rằng {αn} là dãy trong [0, 1] sao cho αn → 1 Khi đó dãy {xn}

và {yn} được định nghĩa bởi

Chứng minh Trong Định lý 2.1 đặt βn = 0, ta thu được điều cầnchứng minh

2.2 Điểm bất động chung của hai ánh xạ không giãn

Cho C1 và C2 là hai tập con lồi ,đóng của không gian Hilbert H.Cho T1 : C1 → H và T2 : C2 → H là hai ánh xạ không giãn Bài toánnghiên cứu trong mục này là:

Chúng ta chỉ ra sự hội tụ mạnh của các dãy {xn}, {yn} và {zn} xácđịnh bởi (2.10) tương ứng đến các điểm p và q.

Định lý 2.2 Cho C1, C2 là hai tập con lồi ,đóng, khác rỗng của khônggian Hilbert thực H và T1, T2 là hai ánh xạ không giãn trên C1 và C2sao cho F := Fix(T1)∩Fix(T2) 6= ∅ Giả sử {µn} và {βn} là các dãy sốtrong [0, 1] sao cho µn ∈ (a, b) với a, b ∈ (0, 1) và βn → 0 Khi đó dãy{xn}, {zn} và {yn}, xác định bởi (2.10) hội tụ mạnh về u0 = PF(x0)khi n → ∞

˜

Ti = TiPC, và ˜Ti, i = 1, 2 là hai ánh xạ không giãn trên H Do đó từ(2.10) và Bổ đề 1.3 ta có p ∈ F và