hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử ngược đơn điệu mạnh

Nếu không có các điều kiện đặc biệt đặt lên các toán tử Aj chẳnghạn tính đơn điệu đều hoặc đơn điệu mạnh, thì mỗi phương trìnhtoán tử Ajx = fj trong hệ 1 là một bài toán đặt không chỉnh

đại học tháI nguyên TRƯỜNG đại khoa học

luận văn thạc sĩ toán học

đại học tháI nguyên TRƯỜNG đại khoa học

-  -

Lê thị minh HƯƠNG

Hiệu chỉnh hệ PHƯƠNG trình toán tử NGƯỢC đơn điệu mạnh

Mục lục

Mở đầu 3

1 Hệ phương trình toán tử đơn điệu 7 1.1 Bài toán đặt không chỉnh 7

1.1.1 Khái niệm về bài toán đặt không chỉnh 7

1.1.2 Ví dụ về bài toán đặt không chỉnh 8

1.2 Toán tử đơn điệu 10

1.2.1 Không gian lồi chặt 10

1.2.2 Toán tử đơn điệu 11

1.2.3 Không gian E-S 14

1.3 Một số phương pháp hiệu chỉnh phương trình toán tử đặt không chỉnh 14

1.4 Hệ phương trình toán tử đơn điệu 17

2 Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử ngược đơn điệu mạnh 20 2.1 Phương pháp hiệu chỉnh và sự hội tụ 21

2.2 Tham số hiệu chỉnh 27

2.3 Tốc độ hội tụ 32

Kết luận 37

Tài liệu tham khảo 39

BẢNG KÝ HIỆU

Rn không gian Euclide n chiều

X∗ không gian liên hợp của X

hξ, xi giá trị của phiếm hàm ξ tại x

D(A) miền xác định của toán tử AR(A) miền giá trị của toán tử A

A∗ toán tử liên hợp của toán tử A

AT ma trận chuyển vị của ma trận A

xn → x dãy {xn} hội tụ mạnh tới x

xn * x dãy {xn} hội tụ yếu tới x

Mở đầu

Trong luận văn này chúng tôi xét hệ phương trình toán tử đơn điệuđặt không chỉnh trong không gian Banach X: Tìm phần tử x0 ∈ Xthỏa mãn

Aj(x0) = fj, j = 1, , N, (1)

ở đây Aj : D(Aj) ⊆ X → X∗ (X∗ là không gian liên hợp của X),

fj ∈ X∗, N ≥ 0 là một số tự nhiên, D(Aj) là ký hiệu tập xác địnhcủa toán tử Aj

Ta xét hệ phương trình toán tử (1) trong trường hợp dữ kiện ban đầu(Aj, fj) không được biết chính xác mà được cho xấp xỉ bởi (Ahj, fjδ),thỏa mãn

kfj − fjδk ≤ δ, δ → 0, j = 1, , N, (2)và

kAhj(x) − Aj(x)k ≤ hg(kxk), h → 0, j = 1, , N, (3)với g(t) là một hàm không âm và bị chặn với t ≥ 0

Nếu không có các điều kiện đặc biệt đặt lên các toán tử Aj (chẳnghạn tính đơn điệu đều hoặc đơn điệu mạnh), thì mỗi phương trìnhtoán tử Aj(x) = fj trong hệ (1) là một bài toán đặt không chỉnh theonghĩa nghiệm của bài toán không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện banđầu Do đó, hệ phương trình toán tử (1) nói chung, cũng là một bàitoán đặt không chỉnh Để giải loại bài toán này, ta phải sử dụng những

phương pháp giải ổn định, sao cho khi sai số của dữ kiện đầu vào càngnhỏ thì nghiệm xấp xỉ tìm được càng gần với nghiệm đúng của bàitoán ban đầu.

Những phương pháp cơ bản được sử dụng rộng rãi để tìm nghiệmxấp xỉ của hệ phương trình toán tử (1) phải kể đến đó là phương phápkiểu hiệu chỉnh lặp hoặc phương pháp kiểu hiệu chỉnh Tikhonov saukhi viết lại hệ phương trình toán tử (1) ở dạng phương trình toán tử

và f := (f1, , fN) Các phương pháp này tỏ ra không hiệu quả khi

số phương trình của hệ (1) lớn đồng thời việc tính toán các giá trị

Aj(x) và A0j(x)∗ tỏ ra tốn kém Để cải thiện tình hình này, phươngpháp lặp kiểu Kaczmarz được nghiên cứu trên cơ sở dãy lặp xoay vòngcho mỗi phương trình trong (1) (xem [9], [10]) Một số cải biên củaphương pháp này giải hệ phương trình toán tử (1) được nghiên cứumới đây trong không gian Hilbert với mỗi toán tử Aj là liên tục yếutheo dãy và miền xác định D(Aj) tương ứng là đóng yếu

Năm 2006, để giải hệ phương trình toán tử (1) trong trường hợp

fj = θ-phần tử không trong không gian X∗ và Aj là các toán tử liên tục, đơn điệu và có tính chất thế năng với D(Aj) = X, Ng Bường[7] đã đưa ra phương pháp hiệu chỉnh kiểu Browder-Tikhonov dạng:

hemi-N X

X, α > 0 là một tham số dương, được gọi là tham số hiệu chỉnh.Những nghiên cứu tiếp theo của phương pháp này được phát triểntrong [8], [11] Chú ý rằng phương pháp Kaczmarz vốn là thuật toántuần tự, nên khi số phương trình của hệ đủ lớn thì phương pháp nàytrở nên tốn kém trên một bộ xử lý đơn, trong khi phương pháp hiệuchỉnh (4) của Ng Bường và một số cải biên của phương pháp có thểđược sử dụng tính toán song song (xem [4], [5], [6]).

Mục đích của đề tài luận văn là nghiên cứu phương pháp hiệuchỉnh hệ phương trình toán tử ngược đơn điệu mạnh trong không gianBanach Cụ thể là nghiên cứu phương trình hiệu chỉnh hệ phươngtrình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh, cách chọn tham số hiệu chỉnh

và đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh trên cơ sở kết quảtrong [8] và [11]

Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương Chương 1trình bày một số kiến thức cơ bản về bài toán đặt không chỉnh, toán

tử đơn điệu và hệ phương trình toán tử đơn điệu

Chương 2 trình bày phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán

tử với toán tử ngược đơn điệu mạnh trong không gian Banach

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học, Đạihọc Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của cô giáo Tiến sĩNguyễn Thị Thu Thủy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành vàsâu sắc nhất tới cô

Trong quá trình học tập và làm luận văn, từ bài giảng của các Giáo

sư, Phó Giáo sư công tác tại Viện Toán học, Viện Công nghệ Thôngtin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, các Thầy

Cô trong Đại học Thái Nguyên, tác giả đã trau dồi thêm rất nhiềukiến thức phục vụ cho việc nghiên cứu và công tác của bản thân Tácgiả xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô

Cuối cùng tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, lãnh đạođơn vị công tác và đồng nghiệp đã luôn động viên, giúp đỡ và tạo điềukiện tốt nhất cho tác giả khi học tập và nghiên cứu.

Tác giả

Lê Thị Minh Hương

Chương 1

Hệ phương trình toán tử đơn điệu

Chương này trình bày một số khái niệm và kết quả về phương trình

và hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh trong khônggian Banach Các kiến thức của chương này được tham khảo trongcác tài liệu [1], [2] và [3]

1.1 Bài toán đặt không chỉnh

1.1.1 Khái niệm về bài toán đặt không chỉnh

Chúng tôi trình bày khái niệm về bài toán đặt không chỉnh trên cơ

sở xét một bài toán ở dạng phương trình toán tử

trong đó A : X → Y là một toán tử từ không gian Banach X vàokhông gian Banach Y, f là phần tử thuộc Y Sau đây là một địnhnghĩa của Hadamard

Định nghĩa 1.1 Cho A là một toán tử từ không gian Banach X vàokhông gian Banach Y Bài toán (1.1) được gọi là bài toán đặt chỉnh(well-posed) nếu

1) phương trình A(x) = f có nghiệm với mọi f ∈ Y ;

2) nghiệm này là duy nhất; và

3) nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu.

Nếu ít nhất một trong các điều kiện trên không thỏa mãn thì bàitoán (1.1) được gọi là bài toán đặt không chỉnh (ill-posed)

Bài toán tìm nghiệm x phụ thuộc vào dữ kiện f, nghĩa là x = R(f ),được gọi là ổn định trên cặp không gian (X, Y ) nếu với mỗi ε > 0 tồntại một số δ(ε) > 0 sao cho từ ρY(f1, f2) ≤ δ(ε) cho ta ρX(x1, x2) ≤ ε,

ở đây

xi = R(fi), xi ∈ X, fi ∈ Y, i = 1, 2

Nhận xét 1.1 Một bài toán có thể đặt chỉnh trên cặp không giannày nhưng lại đặt không chỉnh trên cặp không gian khác

Trong nhiều ứng dụng thì vế phải của (1.1) thường được cho bởi

đo đạc, nghĩa là thay cho giá trị chính xác f, ta chỉ biết xấp xỉ fδ của

nó thỏa mãn kfδ− f k ≤ δ Giả sử xδ là nghiệm của bài toán (1.1) với

f thay bởi fδ (giả thiết rằng nghiệm tồn tại) Khi δ → 0 thì fδ → fnhưng với bài toán đặt không chỉnh thì xδ nói chung không hội tụ đếnx

1.1.2 Ví dụ về bài toán đặt không chỉnh

Xét phương trình toán tử (1.1) với A là một ma trận vuông cấp

thì phương trình A(x) = f vô nghiệm.

Như vậy, chỉ cần một thay đổi nhỏ trong dữ kiện ban đầu của bàitoán đã dẫn đến thay đổi lớn của nghiệm Bài toán trong ví dụ trên

là bài toán đặt không chỉnh

Vì tính không duy nhất của nghiệm của bài toán đặt không chỉnhnên người ta thường có tiêu chuẩn cho sự lựa chọn của nghiệm Ta

sẽ sử dụng nghiệm x0 có x∗-chuẩn nhỏ nhất, nghĩa là ta tìm nghiệm

x0 ∈ S thỏa mãn

A(x0) = f,và

kx0 − x∗k = min{kx − x∗k : Ax = f },trong đó S là tập nghiệm của bài toán (1.1), được giả thiết là khácrỗng Bằng cách chọn x∗ ta có thể có được nghiệm mà ta muốn xấpxỉ

1.2 Toán tử đơn điệu

1.2.1 Không gian lồi chặt

Cho X là không gian Banach thực, X∗ là không gian đối ngẫu của

X Cả hai có chuẩn đều được ký hiệu là k · k Ta viết hξ, xi thay choξ(x) với ξ ∈ X∗ và x ∈ X Giả sử A : X → X∗ là một toán tử vớimiền xác định là D(A) = X và miền ảnh R(A) nằm trong X∗ Kýhiệu SX = {x ∈ X : kxk = 1} là mặt cầu đơn vị của X

Định nghĩa 1.2 Không gian Banach X được gọi là không gian lồichặt nếu x, y ∈ SX, x 6= y thì

k(1 − λ)x + λyk < 1, ∀λ ∈ (0, 1)

Ví dụ 1.1 Xét X = Rn, n ≥ 2 với chuẩn Euclid

||x|| =

„ n X

i=1

x2i

Ž 1 2

, x = (x1, x2, , xn) ∈ Rn

Ta có X là không gian lồi chặt

1.2.2 Toán tử đơn điệu

Định nghĩa 1.3 Cho X là không gian Banach thực, X∗ là không gianđối ngẫu của X Toán tử A : X → X∗ với miền xác định D(A) = X

và miền ảnh R(A) nằm trong X∗ được gọi là đơn điệu (monotone)nếu

hA(x) − A(y), x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A) (1.2)Toán tử A được gọi là đơn điệu chặt (strictly monotone) nếu dấubằng trong bất đẳng thức (1.2) chỉ xảy ra khi x = y

Toán tử A được gọi là đơn điệu đều nếu tồn tại một hàm không âmδ(t) không giảm với t ≥ 0, δ(0) = 0 và

hA(x) − A(y), x − yi ≥ δ(||x − y||), ∀x, y ∈ D(A)

Nếu δ(t) = cAt2 với cA là một hằng số dương thì toán tử A được gọi

là toán tử đơn điệu mạnh

Chú ý rằng, nếu A là toán tử tuyến tính thì tính đơn điệu tươngđương với tính không âm của toán tử

Ví dụ 1.2 Toán tử A : R → R được cho bởi A(x) = 2x là một toán

tử đơn điệu mạnh

Định nghĩa 1.4 Một toán tử A : D(A) ≡ X → X∗ được gọi là toán

tử mA-ngược đơn điệu mạnh nếu

hA(x) − A(y), x − yi ≥ mAkA(x) − A(y)k2, (1.3)với mọi x, y ∈ X, mA là hằng số dương

Ví dụ 1.3 Toán tử A : R → R được cho bởi A(x) = 1

mx, trong đó

m > 0 là toán tử ngược đơn điệu mạnh

Định nghĩa 1.5 Một ánh xạ Us : X → X∗ được gọi là ánh xạ đốingẫu tổng quát của X nếu

Us(x) = nx∗ ∈ X∗ : hx∗, xi = kx∗k.kxk, kx∗k = kxks−1o, s ≥ 2.Nếu s = 2 thì U2 (thường viết là U ) gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩntắc của X

Khái niệm toán tử đơn điệu còn được mô tả trên đồ thị Gr(A) trongkhông gian tích X × X∗, trong đó, theo định nghĩa Gr(A) = {(x, Ax) :

X × X∗ thì toán tử A được gọi là toán tử đơn điệu cực đại

Định nghĩa 1.7 Toán tử A được gọi là

i) hemi-liên tục (hemicontinuous) trên X nếu A(x + ty) * Ax khi

t → 0+ với mọi x, y thuộc X

ii) demi-liên tục (demicontinuous) trên X nếu từ xn → x suy ra

Định lý 1.1 Cho X là một không gian Banach thực phản xạ, B :

X → X∗ là một toán tử đơn điệu, hemi-liên tục và bị chặn, A : X →

X∗ là toán tử đơn điệu cực đại Khi đó A + B cũng là một toán tử đơnđiệu cực đại

Tính bị chặn của toán tử sẽ là không cần thiết nếu miền xác địnhcủa nó là toàn bộ không gian X Ta có kết quả sau

Định lý 1.2 Cho X là không gian Banach thực phản xạ, và A :D(A) ≡ X → X∗ là một toán tử đơn điệu, hemi-liên tục Khi đó A

là toán tử đơn điệu cực đại Ngoài ra, nếu A là toán tử bức thì ta cóR(A) ≡ X∗

Chú ý rằng nếu X là không gian Banach lồi chặt thì U là ánh xạđơn điệu chặt Nếu X∗ là không gian lồi chặt thì ánh xạ U đơn trị,demi-liên tục (do đó, hemi-liên tục) Trong đề tài luận văn này ta sẽ

ký hiệu ánh xạ đối ngẫu tổng quát (ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc) đơntrị tương ứng là Us (và U )

Sau đây là một kết quả của lý thuyết toán tử đơn điệu được dùngtrong Chương 2

Bổ đề 1.1 Cho X là không gian Banach thực, X∗ là không gian đốingẫu của X, f ∈ X∗ và A : X → X∗ là một toán tử hemi-liên tục.Khi đó nếu tồn tại x0 ∈ X thỏa mãn bất đẳng thức:

hA(x) − f, x − x0i ≥ 0, ∀x ∈ Xthì x0 là nghiệm của phương trình A(x) = f

Nếu A là một toán tử đơn điệu trên X thì điều kiện trên tươngđương với

hA(x0) − f, x − x0i ≥ 0, ∀x ∈ X

Bổ đề 1.1 gọi là bổ đề Minty, tên một nhà toán học Mỹ, người đãchứng minh kết quả trên trong trường hợp không gian Hilbert Sau

này chính ông và Browder đã chứng minh một cách độc lập cho khônggian Banach.

1.2.3 Không gian E-S

Định nghĩa 1.9 Không gian Banach X được gọi là không gian E-Snếu X phản xạ và trong X sự hội tụ yếu của các phần tử (xn * x)

và sự hội tụ chuẩn (||xn|| → ||x||) luôn kéo theo sự hội tụ mạnh(||xn− x|| → 0)

Ví dụ 1.4 Không gian Hilbert H có tính chất E-S Thật vậy, trướchết ta có không gian Hilbert H là không gian phản xạ Bây giờ ta sẽchỉ ra nếu xn * x và ||xn|| → ||x|| thì ||xn− x|| → 0 Thật vậy,

Cho A : X → Y là một toán tử khả nghịch trong lân cận của x0

và giả sử A(x0) = f Với phương trình toán tử đặt không chỉnh (1.1),nếu chỉ biết dữ kiện fδ sao cho

thì thậm chí ngay cả khi tồn tại A−1, xδ := A−1fδ vẫn có thể không

là xấp xỉ của nghiệm của bài toán này Để nhận được nghiệm ổn định

ta phải sử dụng các phương pháp hiệu chỉnh

Định nghĩa 1.10 Cho A : X → Y là một toán tử từ không gianBanach X vào không gian Banach Y Toán tử T (f, α), phụ thuộc vàotham số α, tác động từ Y vào X được gọi là một toán tử hiệu chỉnhcho phương trình (1.1), nếu

- Tồn tại hai số dương δ1 và α1 sao cho toán tử T (fδ, α) xác địnhvới mọi α ∈ (0, α1) và với mọi fδ ∈ Y thỏa mãn

kfδ − f k ≤ δ, δ ∈ (0, δ1);

- Tồn tại một hàm α = α(δ, fδ) phụ thuộc vào δ sao cho với mọi

ε > 0, luôn tìm được δ(ε) ≤ δ1 để với mọi fδ ∈ Y thỏa mãn

kfδ − f k ≤ δ ≤ δ(ε)thì kxδα− x0k ≤ ε, ở đây x0 là nghiệm có x∗-chuẩn nhỏ nhất của bàitoán (1.1) và xδα ∈ T (fδ, α(δ, fδ))

Toán tử hiệu chỉnh T (f, α) trong định nghĩa này nói chung là đa trị.Phần tử xấp xỉ xδα ∈ T (fδ, α(δ, fδ)) được gọi là nghiệm hiệu chỉnh củaphương trình (1.1), còn α = α(δ, fδ) được gọi là tham số hiệu chỉnh.Tham số hiệu chỉnh α(δ, fδ) phải được chọn sao cho

lim

δ→0α(δ, fδ) = 0

Từ Định nghĩa 1.10 ta thấy nghiệm hiệu chỉnh ổn định với dữ kiệnban đầu Như vậy, việc tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán đặt khôngchỉnh phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu bao gồm việc xây dựngtoán tử hiệu chỉnh và cách chọn giá trị của tham số hiệu chỉnh α dựavào thông tin của bài toán về sai số và dữ kiện ban đầu Với cách chọngiá trị của tham số hiệu chỉnh α thì sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh

xδα đến nghiệm x0 của bài toán (1.1) có thể chậm tùy ý Để nhận đượcđánh giá sai số, nghĩa là đánh giá kxδα − x0k, người ta phải sử dụngthêm thông tin về nghiệm Một giả thiết thông dụng là "điều kiện

nguồn" (hay "điều kiện trơn" của nghiệm): tồn tại z ∈ X sao cho

x0 − x∗ = A0(x0)∗z

Sau đây là một số phương pháp hiệu chỉnh cho bài toán đặt khôngchỉnh (1.1)

• Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov

Giả thiết rằng X và Y là các không gian Hilbert thực Nội dungcủa phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov là xây dựng nghiệm hiệu chỉnhcho phương trình toán tử (1.1) dựa trên việc tìm phần tử cực tiểu xδαcủa phiếm hàm Tikhonov

Fαδ(x) = kA(x) − fδk2 + αkx − x∗k2 (1.5)Kết quả của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov là với điều kiện đặtcho toán tử A, với cách chọn tham số hiệu chỉnh α thích hợp, phần tửcực tiểu xδα là xấp xỉ tốt cho nghiệm x0 của bài toán (1.1) Ta có định

lý sau

Định lý 1.3 Cho A : H → H là một toán tử liên tục và đóng yếu,

α > 0 và {xk} là một dãy cực tiểu của (1.5) với fδ được thay bởi fk

sao cho fk → fδ Khi đó, tồn tại một dãy con hội tụ của dãy xk vàgiới hạn của dãy con hội tụ này là phần tử cực tiểu của (1.5)

• Phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov

Tư tưởng của phương pháp hiệu chỉnh do Browder đề xuất năm

1966 cho bài toán bất đẳng thức biến phân (còn gọi là phương pháphiệu chỉnh Browder-Tikhonov) là sử dụng một toán tử M : X → X∗

có tính chất hemi-liên tục, đơn điệu mạnh làm thành phần hiệu chỉnh.Một dạng của toán tử M là ánh xạ đối ngẫu tổng quát Us của X Bằngphương pháp này, Alber (xem [3]) đã xây dựng nghiệm hiệu chỉnh chophương trình toán tử (1.1) trên cơ sở phương trình

A(x) + αUs(x − x∗) = fδ (1.6)

Giả sử X là không gian Banach thực phản xạ có tính chất E-S, X∗

là không gian lồi chặt Ta có kết quả sau:

Định lý 1.4 Cho A : X → X∗ là một toán tử đơn điệu, hemi-liêntục Khi đó, với mỗi α > 0 và fδ ∈ X∗, phương trình (1.6) có duynhất nghiệm xδα Ngoài ra nếu α, δ/α → 0 thì {xδα} hội tụ đến nghiệm

có x∗-chuẩn nhỏ nhất của bài toán (1.1)

1.4 Hệ phương trình toán tử đơn điệu

Cho Aj : X → X∗ là các toán tử đơn điệu, hemi-liên tục từ khônggian Banach thực phản xạ X vào X∗ Hãy tìm x0 ∈ X sao cho

Aj(x0) = fj, ∀j = 1, , N, (1.7)trong đó N là một số dương cố định

Đặt

Sj = {¯x ∈ X : Aj(¯x) = θ}, j = 1, , N

Trong trường hợp Aj là đạo hàm Gâteaux của một hàm lồi chínhthường nửa liên tục dưới ϕj : X → R ∪ {+∞} thì tập Sj trùng vớitập nghiệm của bài toán cực trị

i) x0 là điểm cực tiểu của F (x) trên X;

Với mỗi j, sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán trong (1.7)

và (1.8) được cho bởi các định lý sau đây

Định lý 1.5 Cho F : X → R ∪ {+∞} là một hàm lồi chính thường,nửa liên tục dưới có tính chất bức trên X, nghĩa là

lim

Khi đó, bài toán inf

x∈XF (x) có ít nhất một nghiệm Ngoài ra, nếu hàm

F lồi chặt trên X thì bài toán có nghiệm duy nhất

Định lý 1.6 Nếu A là một toán tử đơn điệu và hemi-liên tục thỏamãn điều kiện: tồn tại một số M > 0 sao cho với mọi x ∈ X, kxk ≥ Mthì hAx, xi > 0 Khi đó phương trình toán tử A(x) = 0 có ít nhất mộtnghiệm

Định lý 1.7 Nếu A là một toán tử đơn điệu, hemi-liên tục và bức

từ không gian Banach phản xạ X vào X∗ thì phương trình toán tửA(x) = f có nghiệm với mọi f ∈ X∗

Bài toán chấp nhận lồi xuất hiện trong nhiều lĩnh vực, như lý thuyếttối ưu, xử lý ảnh được đưa về bài toán tìm nghiệm của hệ phươngtrình

Aj(x) := x − Pj(x) = θ, j = 1, , N, (1.9)trong đó Pj là toán tử chiếu lên tập con lồi, đóng Cj của không gianHilbert thực H, j = 1, , N , θ là phần tử không trong H Bài toán(1.9) cũng được biết đến là bài toán tìm điểm bất động chung của cácánh xạ không giãn Pj

Như đã biết trong [3] mỗi phương trình của (1.7), nói chung, là mộtbài toán đặt không chỉnh theo nghĩa nghiệm của nó không phụ thuộcliên tục vào dữ kiện ban đầu Do đó, hệ (1.7), nói chung, cũng là mộtbài toán đặt không chỉnh Vì thế sự hội tụ mạnh và tính ổn định củanghiệm hiệu chỉnh chỉ có thể giải bằng cách áp dụng phương pháphiệu chỉnh