về một lớp bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCVŨ LỆ THỦY VỀ MỘT LỚP BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN HAI CẤP LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2014... TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC -VŨ LỆ THỦY VỀ MỘT LỚP BÀI T

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

VŨ LỆ THỦY

VỀ MỘT LỚP BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN HAI CẤP

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2014

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

-VŨ LỆ THỦY

VỀ MỘT LỚP BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN HAI CẤP

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG

Mã số: 60.46.01.12

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

GS TSKH LÊ DŨNG MƯU

Thái Nguyên - 2014

Mục lục

Mở đầu 2

1 Bài toán bất đẳng thức biến phân 4 1.1 Phát biểu bài toán và ví dụ 4

1.1.1 Một số kiến thức cơ bản về không gian Hilbert 4

1.1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân 6

1.1.3 Các trường hợp riêng và ví dụ thực tế 7

1.2 Sự tồn tại nghiệm và các tính chất 11

2 Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp 20 2.1 Phát biểu bài toán và các kiến thức bổ trợ 20

2.2 Thuật toán và sự hội tụ 23

Kết luận 31

Tài liệu tham khảo 32

Mở đầu

Bất đẳng thức biến phân là một vấn đề quan trọng của Toán học Ứngdụng Bài toán này có rất nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau.Ngoài ra, nhiều bài toán quan trọng như tối ưu lồi, bài toán bù, các bài toánphương trình vi phân và đạo hàm riêng v.v đều có thể mô tả dưới dạngmột bất đẳng thức biến phân

Bất đẳng thức biến phân đã được bắt đầu nghiên cứu từ thập kỷ 60 củathế kỷ trước, tuy nhiên bài toán này vẫn là một vấn đề thời sự vì vai trò quantrọng của nó trong lý thuyết toán học và trong ứng dụng thực tế Một trongnhững hướng nghiên cứu quan trọng là xây dựng các phương pháp giải.Gần đây bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp mà một trường hợpriêng quan trọng là bài toán cực tiểu một chuẩn trên tập nghiệm của mộtbất đẳng thức biến phân đang được nhiều người quan tâm nghiên cứu Bàitoán này xuất hiện trong nhiều vấn đề khác nhau, ví dụ trong vấn đề hiệuchỉnh bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu Việc giải bài toán nàykhông thể áp dụng trực tiếp được bằng các phương pháp giải bất đẳng thứcbiến phân thông thường (một cấp) đã có, do cấu trúc lồng nhau và phụ thuộcnhau của bài toán hai cấp

Mục đích của bản luận văn này là giới thiệu một cách cơ bản về bài toánbất đẳng thức biến phân Đặc biệt luận văn đi sâu vào một thuật toán giảibài toán cực tiểu hàm chuẩn trên tập nghiệp của bài toán bất đẳng thứcbiến phân giả đơn điệu Thuật toán được trình bày ở luận văn được lấy từmột bài báo gần đây của tác giả Bùi Văn Định và Lê Dũng Mưu ở tạp chíACTA Mathematica Vietnamica Đây là một thuật toán dựa trên phươngpháp chiếu kết hợp với kỹ thuật tìm kiếm Armijo và siêu phẳng cắt để thuđược sự hội tụ mạnh trong không gian Hilbert

Bản luận văn ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo còn có haichương Chương 1 có tiêu đề "Bài toán bất đẳng thức biến phân." Trong

chương này tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về bài toán bất đẳng thứcbiến phân và các bài toán liên quan Tiếp đó là một số kết quả về việc sửdụng toán tử đơn điệu trong việc chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệmcủa bài toán bất đẳng thức biến phân Chương 2 có tiêu đề là: "Bài toán bấtđẳng thức biến phân hai cấp" Chương này giành để trình bày các kiến thức

cơ bản về một bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp và chủ yếu trìnhbày một thuật toán dựa theo nguyên lý bài toán phụ kết hợp với kỹ thuậttìm kiếm theo tia và siêu phẳng cắt để giải bài toán này

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại họcThái Nguyên dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH Lê Dũng Mưu Tôi xin bày

tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đối với Thầy, Thầy đã dành nhiềuthời gian trực tiếp tận tình hướng dẫn cũng như giải đáp những thắc mắccủa tôi trong suốt quá trình làm và hoàn thiện luận văn Qua đây tôi cũngxin gửi lời cảm ơn các Thầy, Cô tại Đại học Thái Nguyên và tại Viện toánhọc đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi hoàn thành khóa học

Cuối cùng tôi xin cảm ơn tới cơ quan, gia đình và bạn bè đã luôn quantâm động viên, tạo điều kiện và ủng hộ tôi trong suốt quá trình học tập vàlàm luận văn tốt nghiệp

Thái Nguyên, ngày 21 tháng 6 năm 2014

Tác giả

Vũ Lệ Thủy

Chương 1

Bài toán bất đẳng thức biến phân

Trong toàn bộ chương này, chúng ta sẽ làm việc trên không gian Hilbertthực H Trước tiên ta trình bày một số kiến thức cơ bản về bài toán bấtđẳng thức biến phân và các bài toán liên quan Tiếp đó là một số kết quả vềviệc sử dụng toán tử đơn điệu trong việc chứng minh sự tồn tại và duy nhấtnghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân Các kiến thức trong chươngnày được lấy trong tài liệu [1], [2], [3], [4], [6], [7], [8]

1.1 Phát biểu bài toán và ví dụ

1.1.1 Một số kiến thức cơ bản về không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1 Cho H là một không gian tuyến tính Tích vô hướng xácđịnh trên H là một ánh xạ được xác định:

h., i : H×H −→ R

hx, yi 7−→ hx, yi

thỏa mãn các điều kiện sau:

i hx, yi = hy, xi với mọi x, y ∈H;

ii hx + y, zi = hx, zi + hy, zi với mọi x, y, z ∈ H;

iii hαx, yi = αhx, yi với mọi x, y ∈ H và α ∈ R;

iv.hαx, xi ≥ 0 với mọi x ∈ H, hx, xi = 0 ⇔ x = 0

hx, yi được gọi là tích vô hướng của hai vectơ x và y

Cặp (H, h., i)được gọi là không gian tiền Hilbert (hay còn gọi là không gian

Unita) Sự hội tụ, khái niệm tập mở, ,trong (H, h., i) luôn được gắn vớichuẩn sinh bởi hx, yi Nếu không gian định chuẩn tương ứng đầy đủ thì tanói (H, h., i) là không gian Hilbert.

Định lý 1.1 Cho H là không gian tiền Hilbert, với mọi x, y ∈ H ta luôn

có bất đẳng thức sau:

| hx, yi |2 ≤ hx, xihy, yi,

bất đẳng thức này gọi là bất đẳng thức Schwarz

Định lý 1.2 Cho H là không gian tiền Hilbert Khi đó:

Định nghĩa 1.2 Hai vectơ x, y ∈ H được gọi là hai vectơ trực giao với

nhau, kí hiệu là x ⊥ y, nếu hx, yi = 0

Từ định nghĩa dễ dàng suy ra các tính chất sau:

Định lý 1.5 (Tích vô hướng sinh bởi chuẩn) Cho (X, k · k) là mộtkhông gian tuyến tính định chuẩn trên không gian Hilbert H Giả sử vớimọi x, y ∈ X, thỏa mãn:

k x + y k2 + k x − y k2 = 2(k x k2 + k y k2)

Khi đó trên X có một tích vô hướng thỏa mãn hx, xi =k x k2

Định nghĩa 1.4 Cho A là một toán tử trong không gian Hilbert H, ánhxạ: A∗ : H → H xác định như sau:

∀y ∈ H, A∗y = y∗;

trong đó:

hAx, yi = hx, A∗yi = hx, y∗i

Khi đó A∗ được gọi là toán tử liên hợp của toán tử A

Định lý 1.6 (Định lí F Riesz) Với mỗi vectơ a cố định thuộc không gianHilbert H hệ thức:

f (x) = ha, xi (1.1)Xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục f (x) trên không gian Hilbert Hvới:

k f k=k a k (1.2)Ngược lại, bất kỳ phiếm hàm tuyến tính liên tục f (x) nào trên không gianHilbert H cũng đều có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng (1.1), trong

đó a là một vectơ của H thỏa mãn (1.2)

1.1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân

Cho một tập con K của H và ánh xạ F : K → H

Bài toán bất đẳng thức được kí hiệu làV IP (K; F )là bài toán tìmx∗ sao cho:

x∗ ∈ K, F (x∗), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ K (1.3)Tập hợp những điểmx∗ thỏa mãn (1.3) được gọi là tập nghiệm củaV IP (K; F )

và kí hiệu là SOL − V IP (K; F )

1.1.3 Các trường hợp riêng và ví dụ thực tế.

Một trong những lớp bài toán quan trọng và là một trường hợp riêng củabài toán bất đẳng thức biến phân là bài toán bù được định nghĩa như sau:

Định nghĩa 1.5 Cho K là một tập con khác rỗng, lồi, đóng trong H, K∗

là nón đối ngẫu của K và cho ánh xạ: F : K → H Bài toán bù, kí hiệu là

Tập hợp nghiệm của N CP (K; F ) được kí hiệu là SOL − N CP (K; F )

Mệnh đề 1.1 Nếu K là một nón lồi, đóng trong H thì tập nghiệm của bàitoán N CP (K; F ) và bài toán V IP (K; F ) là trùng nhau, tức là:

Ngược lại, giả sử x∗ ∈ SOL − N CP (K; F ) Theo định nghĩa ta có:

BÀI TOÁN QUY HOẠCH LỒI

Cho K là tập lồi, đóng, khác rỗng trong H và f : K → R là một hàm lồi

trên K Bài toán quy hoạch lồi được phát biểu như sau:

Tìm x∗ ∈ K : f (x∗) = minf (x) | x ∈ K (OP)Mệnh đề 1.2 Giả sử : f : K → R là hàm lồi khả vi trên tập lồi K ∈ H.

Khi đó x∗ ∈ K là nghiệm của bài toán (OP) khi và chỉ khi x∗ là nghiệm củabài toán bất đẳng thức biến phân:

Tìm x∗ ∈ K sao cho ∇f (x∗), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ K;

trong đó: ∇f (x∗) là đạo hàm của f tại x∗

Ta xét các ví dụ thực tế của bài toán bất đẳng thức biến phân

Ví dụ 1.1 Bài toán cân bằng mạng giao thông.

Xét một mạng giao thông được cho bởi một mạng luồn hữu hạn Gọi:

? N : là tập các nút mạng

? A: là tập hợp các cạnh ( mỗi cạnh được gọi là một đoạn thẳng )

Giả sử O ⊆ N , D ⊆ N sao cho O ∩ D 6= ∅ Mỗi phần tử O được gọi làđiểm nguồn, còn mỗi phần tử của D được gọi là điểm đích Mỗi điểm nguồn

và điểm đích được nối với nhau bởi một tập hợp liên tiếp các cạnh (được gọi

là một tuyến đường) Kí hiệu:

• fi

a là mật độ giao thông của phương tiện i trên đoạn đường a ∈ A Đặt

f là vectơ có các thành phần là fai với i ∈ I và a ∈ A (I là tập hợp cácphương tiện giao thông)

a là mật độ giao thông của phương tiện i ∈ I trên tuyến w ∈ O × D

Giả sử trong mạng trên, phương trình cân bằng sau được thỏa mãn:

diw = P

p∈Pw

xip, ∀i ∈ I, w ∈ O × D, (1.7)trong đó: Pw là kí hiệu tập hợp các tuyến đường của w = (O, D) (nối điểmnguồnO và điểm đích D) Theo phương trình (1.7) thì nhu cầu sử dụng loạiphương tiện i trên mọi tuyến đường nối điểm nguồn và điểm đích của tuyếnđường đó Khi đó ta có:

fai = P

p∈Pw

xipδap, ∀i ∈ I, w ∈ O × D, (1.8)trong đó:

điều kiện (1.7) và (1.8) được gọi là điểm cân bằng mạng giao thông nếu:

cip



= λiw(d∗) khi xip > 0,

> λiw khi xip = 0,

với mỗi i ∈ I và mỗi tuyến đường p Theo định nghĩa này, tại điểm cân bằng

đối với mọi loại phương tiện giao thông và mọi tuyến đường, chi phí sẽ thấp

nhất khi có lưu lượng giao thông trên tuyến đó Trái lại, chi phí sẽ không

phải thấp nhất

Đặt

K = (f, d) | ∃x ≥ 0 sao cho (1.7) và (1.8) đúng

Khi đó ta có định lý sau:

Định lý 1.7 Một cặp vectơ (f∗, d∗) ∈ K là một điểm cân bằng của mạng

giao thông khi và chỉ khi nó là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân

sau:

Tìm (f∗, d∗) ∈ K : (c(f∗), λ(d∗)), (f, d) − (f∗, d∗) ≥ 0, ∀(f, d) ∈ K

Ví dụ 1.2 Bài toán kinh tế bán độc quyền

Giả sử có n công ty cùng sản xuất một loại sản phẩm và lợi nhuận pi của

mỗi công ty i phụ thuộc vào tổng số lượng sản phẩm của tất cả các công

Đặt Ui ⊂ R, (i = 1, , n) là tập chiến lược của công ty i Lẽ dĩ nhiên

mỗi công ty cần xác định cho mình một mức độ sản xuất để đạt được lợi

nhuận cao nhất Tuy nhiên, trong trường hợp tổng quát, việc tất cả các công

ty đều có lợi nhuận cực đại là khó có thể được Vì vậy người ta dùng đến

khái niệm cân bằng:

Một điểm x∗ = (x∗1, , x∗n) ∈ U := U1× × Un được gọi là điểm cân bằng

Nash nếu:

fi(x∗1, , x∗i−1, yi, x∗i+1, , x∗n) ≤ fi(x∗1, , x∗n) ∀yi ∈ Ui, ∀i = 1, , n

Trong mô hình cân bằng Cournot cổ điển, hàm chi phí và lợi nhuận của

mỗi công ty là affine có dạng:

Điểmx∗ là điểm cân bằng Nash khi và chỉ khix∗ là nghiệm của bài toán bất

đẳng thức biến phân nghĩa là:

Bổ đề 1.1 (Xem [7]) Cho K là một tập con khác rỗng, lồi, đóng của không

gian H Khi đó với mỗi x ∈ H, có duy nhất y ∈ K sao cho:

k x − y k= infn∈K k x − η k (1.11)Điểm y thỏa mãn (1.11) được gọi là hình chiếu của x lên K và được kí hiệu

là:

y = P rKx

Dễ thấy :

P rKx = x, ∀x ∈ K

Định lý 1.8 (Xem [7]) Cho K là một tập con khác rỗng, lồi và đóng trong

không gian Hilbert H và x là một điểm bất kì thuộc H Khi đó: y = P rKx

khi và chỉ khi:



y ∈ K;

(y, η − y) ≥ (x, η − y), ∀η ∈ K

Hệ quả 1.1 (Xem [7]) Cho K là một tập con khác rỗng, lồi và đóng trongkhông gian Hilbert H Khi đó toán tử P rK : H → H là không giãn, tức là:

Định lý 1.10 Cho K là một tập không rỗng, lồi, compact yếu trong H và

F : K → H là ánh xạ liên tục yếu Khi đó, bài toán bất đẳng thức biến phân

Trong trường hợp tập K không bị chặn, định lý về điểm bất động củaBrouwer không áp dụng được Khi đó, sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thứcbiến phân có thể được thiết lập theo cách khác.

Kí hiệu B(0, R)¯ là hình cầu đóng tâm 0, bán kính R > 0 trong không gian

Định lý 1.12 Cho K là một tập khác rỗng, lồi và đóng trong H và ánh xạ

F : K → H là liên tục đơn điệu mạnh Khi đó tồn tại duy nhất một nghiệm

của bài toán bất đẳng thức biến phân V IP (K; F )

Chứng minh

? Chứng minh sự tồn tại nghiệm:

Do F là ánh xạ đơn điệu mạnh, điều này kéo theo rằng F thỏa mãn điều

Do F là ánh xạ liên tục KR là một tập lồi và compact nên theo Định lý

1.10, V IP (KR; F ) luôn có nghiệm x∗R Theo Định lý 1.11, để chứng tỏ x∗R là

? Chứng minh duy nhất nghiệm:

Giả sử rằng x∗ và x0 là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân

V IP (K; F ), và x∗ 6= x0 Khi đó, chúng đều thỏa mãn:

Bổ đề 1.2 Cho K là một tập lồi đóng, khác rỗng của H và ánh xạ F : K →

H là đơn điệu và liên tục trên các không gian con hữu hạn chiều Khi đó tồntại u thỏa mãn:



u ∈ K;

F u, v − u
≥ 0, ∀v ∈ K (1.18)

Định lý 1.13 Cho K là một tập lồi, đóng, khác rỗng của H và cho ánh xạ

F : K → H là đơn điệu và liên tục yếu trên các không gian con hữu hạnchiều Khi đó tồn tại:

Khi đó,S(v) là tập đóng yếu với mỗi v ∈ K Hơn nữa, khi K là tập bị chặn,

K là tập compact yếu Do đó, ∩v∈KS(v) một tập con đóng của K là một

tập compact yếu Ta sử dụng định lý tương giao hữu hạn để kết luận rằngtập ∩v∈KS(v) khác rỗng.

Điều này chứng tỏ (1.21) có nghiệm và định lý được chứng minh

Nhận xét 1.1 (Xem [7]) Từ Bổ đề 1.2 thấy rằng tập nghiệm của bất đẳngthức (1.20) là một tập con lồi đóng của tập K

Định lý 1.14 (Xem [7]) Cho K là một tập con khác rỗng, lồi, đóng của H;cho F : K → H là ánh xạ đơn điệu và liên tục trên các không gian con hữuhạn chiều Điều kiện cần và đủ để tồn tại một nghiệm của bất đẳng thức biếnphân:



u ∈ K;

F u, v − u
≥ 0, ∀v ∈ K,

là tồn tại số R > 0 sao cho có ít nhất một nghiệm của bất đẳng thức biếnphân:

từ các tài liệu [5], [6], [7].

2.1 Phát biểu bài toán và các kiến thức bổ trợ.

Xét bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp (V Is):

S là tập nghiệm của bất đẳng thức biến phânV IP (K, F )được định nghĩa là:

Tìm x∗ ∈ K sao cho F (x∗), y − x∗ ≥ 0, ∀y ∈ K (2.2)

Giả sử K là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Rn và F :Rn −→ Rn

Chúng ta gọi bài toán (2.1) là bài toán cấp trên và bài toán (2.2) là bài toáncấp dưới

Cần biết rằng tập nghiệm S của bài toán cấp dưới (2.2) là tập lồi, khi

F giả đơn điệu trên K Tuy nhiên khó khăn nằm ở chỗ là dù tập nghiệmnày lồi nhưng nó không được cho dưới dạng tường minh như là các bài toán

quy hoạch thông thường Do đó các phương pháp đã có của tối ưu lồi và bấtđẳng thức biến phân không thể áp dụng để giải bài toán này được.

Các kiến thức bổ trợ

Gọi PK là phép chiếu lên tập lồi đóng K với chuẩn k · k tức là:

PK(x) ∈ K :k x − PK(x) k≤k x − y k, ∀y ∈ K

Bổ đề 2.1 Giả sử K là một tập lồi đóng khác rỗng trong Rn thì:

i PK(x) là một điểm xác định duy nhất với mọi x;

ii π = PK(x) ⇔ π ∈ K, (x − π, y − π) ≤ 0, ∀y ∈ K;

iii k PK(x) − PK(y) k2≤k x − y k2 − k

PK(x) − x + y − PK(y) k2 ∀x, y ∈ K

Ta nhắc lại rằng: Một toán tử φ : Rn −→ Rn được gọi là:

a Đơn điệu mạnh trên K với hệ số γ > 0 nếu:

Toán tử φ là giả đơn điệu trên K với A ⊆ K nếu nó giả đơn điệu trên K

tương ứng với mọi nghiệm x∗ ∈ A

Từ định nghĩa trên ta có thể rút ra được: (a) ⇒ (b) ⇒ (c) ⇒ (d), ∀x∗ ∈ K

Trong những kết quả tiếp theo chúng ta cần đến các giả thiết trên F đó là:

(A1) : F liên tục mạnh trên miền xác định của nó

(A2) : F giả đơn điệu trên K ứng với mọi nghiệm của bài toán V IP (K, F )

Bổ đề sau đây đã được chứng minh trong tài liệu [6] cho trường hợp F giảđơn điệu Khi F giả đơn điệu với tập nghiệm, cách chứng minh hoàn toàntương tự.

Bổ đề 2.2 Giả sử các giả thiết (A1), (A2) được thỏa mãn và bất đẳng thứcbiến phân (2.2) có nghiệm Khi đó tập nghiệm của (2.2) là tập lồi đóng.Giả sử ta định nghĩa song hàm L : K × K −→ R sao cho:

(B1) : L(x, x) = 0, ∃β > 0 : L(x, y) ≥ β2 k x − y k2, ∀x, y ∈ K

(B2) : L liên tục, L(x, ·) là khả vi và lồi mạnh trên K với mọi

x ∈ K và ∇2L(x, x) = 0 với mọi x ∈ K

Bổ đề 2.3 Giả sử F thỏa mãn (A1), (A2) và L thỏa mãn (B1), (B2) Khi

đó với mọi ρ > 0 ta có các khẳng định sau là tương đương:

Trước tiên ta chỉ ra rằng(a), (b)và (c)là tương đương Thật vậy, từ L(x, y) ≥

0 với mọi x, y ∈ K ta có (a) ⇒ (b) Tuy nhiên (b) đúng khi và chỉ khi (c)

là tương đương với (a)

Ta thấy từ (d) ⇒ (a); Giả sử, ngược lại tồn tại một số w ∈ K sao cho:

F (x∗), w − x∗ < 0

thì yt := (1 − t)x∗ + tw với 0 < t < 1

Bởi tính liên tục của F, ta có F (yt ), w − x∗< 0 với 0 < t∗ < 1