phương trình và bất phương trình hàm chuyển đổi các đại lượng trung bình

Bất phương trình hàm chuyển đổi từ đại lượng trung bình cộng của đối số.. Bất phương trình hàm chuyển đổi từ đại lượng trung bình nhân của đối số.. Bất phương trình hàm chuyển đổi từ đại

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

PHẠM THỊ VI

PHƯƠNG TRÌNH

VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM CHUYỂN ĐỔI CÁC ĐẠI LƯỢNG TRUNG BÌNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2014

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

PHẠM THỊ VI

PHƯƠNG TRÌNH

VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM CHUYỂN ĐỔI CÁC ĐẠI LƯỢNG TRUNG BÌNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mục lục

Mở đầu 3

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 5

1.1 Định nghĩa và phân loại phương trình hàm 5

1.2 Đặc trưng hàm của một số hàm số sơ cấp 8

1.3 Phương trình hàm cơ bản 10

1.3.1 Phương trình hàm Cauchy 10

1.3.2 Một vài dạng khác của phương trình hàm Cauchy 14

1.3.3 Phương trình hàm Jensen 16

Chương 2 Phương trình hàm chuyển đổi các đại lượng trung bình 18

2.1 Phương trình hàm chuyển đổi các đại lượng trung bình một ẩn hàm 18

2.1.1 Phương trình hàm chuyển đổi từ đại lượng trung bình cộng của đối số 18

2.1.2 Phương trình hàm chuyển đổi từ đại lượng trung bình nhân của đối số 21

2.1.3 Phương trình hàm chuyển đổi từ đại lượng trung bình điều hòa của đối số 24

2.1.4 Phương trình hàm chuyển đổi từ đại lượng trung bình bình phương của đối số 27

2.2 Phương trình hàm chuyển đổi các đại lượng trung bình song ẩn hàm 30

2.2.1 Cặp hàm chuyển đổi từ đại lượng trung bình cộng của đối số 30

2.2.2 Cặp hàm chuyển đổi từ đại lượng trung bình nhân của

đối số 32

2.2.3 Cặp hàm chuyển đổi từ đại lượng trung bình điều hòa của đối số 34

2.2.4 Cặp hàm chuyển đổi từ đại lượng trung bình bình phương của đối số 37

Chương 3 Bất phương trình hàm cơ bản chuyển đổi các đại lượng trung bình 40

3.1 Bất phương trình hàm chuyển đổi từ các phép tính số học của đối số 40

3.2 Bất phương trình hàm chuyển đổi các đại lượng trung bình cơ bản 42

3.2.1 Bất phương trình hàm chuyển đổi từ đại lượng trung bình cộng của đối số 42

3.2.2 Bất phương trình hàm chuyển đổi từ đại lượng trung bình nhân của đối số 44

3.2.3 Bất phương trình hàm chuyển đổi từ đại lượng trung bình điều hòa của đối số 45

3.3 Một số bài toán áp dụng 49

Kết luận 63

Tài liệu tham khảo 64

MỞ ĐẦU

Trong chương trình Toán học phổ thông, chuyên đề phương trình hàmđóng một vai trò đặc biệt Đó là dạng chuyên đề cần thiết trong việc bồidưỡng học sinh giỏi Toán, nhưng lại chưa được dạy và học một cách cơbản và hệ thống ở bậc đại học Vì vậy việc tiếp cận tới lý thuyết cũng nhưthực hành phương pháp giải phương trình và bất phương trình hàm còn

có những bất cập, cần được chú trọng nhiều hơn

Phương trình và bất phương trình hàm luôn là sự hấp dẫn đối với giáoviên và học sinh vì nó thường xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi quốcgia, olympic Toán khu vực và quốc tế

Mục tiêu của luận văn “Phương trình và bất phương trình hàm chuyểnđổi các đại lượng trung bình” nhằm trình bày một số vấn đề cơ bản củaphương trình và bất phương trình hàm với cặp biến tự do liên quan đếncác đại lượng trung bình cơ bản của cặp số dương là đại lượng trung bìnhcộng, trung bình nhân, trung bình điều hòa và trung bình bình phương

Từ đó, tạo ra một đề tài phù hợp cho việc giảng dạy và bồi dưỡng học sinhgiỏi cấp trung học phổ thông

Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và 3 chương.Chương 1 trình bày về khái niệm phương trình hàm, mối liên hệ cơ bảngiữa một số đại lượng trung bình và các đặc trưng hàm với cặp biến tự dotương ứng, phương trình hàm Cauchy và phương trình hàm Jensen

Chương 2 trình bày một số dạng phương trình hàm chuyển đổi các đạilượng trung bình cơ bản một ẩn hàm và song ẩn hàm

Chương 3 trình bày một số một dạng bất phương trình hàm chuyển đổi

các đại lượng trung bình cơ bản trong lớp các hàm số liên tục.

Trong suốt quá trình làm luận văn, tôi luôn nhận được sự hướng dẫn vàgiúp đỡ tận tình của PGS.TS Đàm Văn Nhỉ Tôi xin được bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc nhất đến thầy

Tôi xin chân thành cảm ơn GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu đã giúp tôihoàn thành tiểu luận về Phương trình hàm chuyển đổi các đại lượng trungbình để từ đó tôi có ý tưởng phát triển nó thành luận văn này

Tôi xin cảm ơn quý thầy, cô giảng dạy lớp cao học khóa 6 (2012 − 2014)

đã mang đến cho tôi nhiều kiến thức bổ ích trong khoa học và cuộc sống.Cuối cùng tôi xin trân trọng cảm ơn trường Đại học Thái Nguyên - Đại họcKhoa Học đã tạo điều kiện cho tôi được học tập trong môi trường tốt nhất

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếusót Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy, cô vàbạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn !

CHƯƠNG 1

Một số kiến thức chuẩn bị

1.1 Định nghĩa và phân loại phương trình hàm

Trong mục này trình bày lại một vài khái niệm cơ bản đã được giớithiệu trong bài báo của Kuczma [12] (xem [1]-[2]) về phương trình hàm.Trước khi định nghĩa phương trình hàm chúng ta nhắc lại khái niệm từ.Định nghĩa 1.1 Khái niệm từ được định nghĩa như sau đây:

(1) Các biến độc lập được gọi là các từ

(2) Nếu t1, · · · , tp là các từ và f (x1, · · · , xp) là một hàm p biến thì

f (t1, · · · , tp) cũng là một từ

(3) Không tồn tại các loại từ khác

Sau khi có khái niệm từ, Phương trình hàm được định nghĩa như sau:Định nghĩa 1.2 Phương trình hàm là một phương trình dạng t1 = t2

giữa hai từ t1, t2, và hai từ đó phải chứa tối thiểu một hàm chưa biết vàmột số hữu hạn các biến số độc lập Phương trình t1 = t2 sẽ phải thỏamãn đối với tất cả các giá trị nhận được của các biến thuộc một tập xácđịnh nào đấy Nghiệm của phương trình hàm có thể phụ thuộc hoàn toànvào tập nào đó

Như vậy, một phương trình hàm được hiểu nôm na như những bài toánxác định những hàm số f (x)thỏa mãn một số tính chất T1, , Tn nào đó.Giải phương trình hàm tức là tìm tất cả những hàm f (x) thỏa mãn tất cảnhững tính chất T1, , Tn Khi giải phương trình hàm, với mỗi tính chất

Tk ta tìm cách tiến dần đến hàm số cần tìm Với hàm số tìm được ta kiểmtra lại xem nó có thỏa mãn tất cả những tính chất Tk hay không? Thườnggiải phương trình hàm được đưa về giải một hệ phương trình hay một dãy

truy hồi Từ những kết quả đã đạt được về đa thức hoặc hàm liên tục ta

có thể dễ dàng giải được bài toán Chúng tôi chỉ giới thiệu một vài dạng

W Maier còn đưa ra khái niệm hạng của phương trình trong bài báo củamình:

Định nghĩa 1.4 Số biến độc lập xuất hiện trong phương trình hàm đượcgọi là hạng của phương trình ấy

Phân loại phương trình hàm

Vấn đề phân loại phương trình hàm là rất khó và hiện nay vẫn chưađược giải quyết thỏa đáng J Aczel trong công trình của mình ông đã tuântheo các bước sau: một hoặc nhiều hàm ẩn một hoặc nhiều biến - tất cảbốn loại Tất nhiên, việc phân loại là rất khó; cho dù là có ích

Định nghĩa 1.5 Phương trình hàm trong đó mọi hàm ẩn là hàm mộtbiến được gọi là phương trình hàm đơn (một) biến (thông thường) Phươngtrình hàm trong đó ít nhất một trong các hàm ẩn là hàm một biến đượcgọi là phương trình hàm riêng Lưu ý rằng hàm riêng có thể hoàn toànđược xác định bằng phương trình hàm đơn biến, ngược với phương pháp

trong phương trình vi phân Mệnh đề về phân loại phương trình hàm thôngthường được nêu trong tài liệu của Kuczma.

Định nghĩa 1.6 Số biến độc lập xuất hiện trong phương trình hàm đượcgọi là bậc của phương trình này

1 Trung bình cộng các hàm số f (x) + f (y)

2 ; f (x), f (y) ∈ R.

2 Trung bình nhân các hàm số pf (x)f (y); f (x), f (y) ∈ R+

3 Trung bình điều hòa các hàm số 2f (x)f (y)

1.2 Đặc trưng hàm của một số hàm số sơ cấp

Để mô tả bức tranh mang tính định hướng, gợi ý và dự đoán công thứcnghiệm của các bài toán liên quan, chúng ta xét một vài tính chất tiêubiểu của một số dạng hàm số quen biết

• Hàm tuyến tính f (x) = ax (a 6= 0) có tính chất

f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R

• Hàm bậc nhất f (x) = ax + b (a 6= 0, b 6= 0) có tính chất

fx + y2

Bài toán 1.1 Tìm tất cả các hàm liên tục f :R → R thỏa mãn

Vậy f (ax) = af (x) với mọi a, x ∈R

Chox = 1cóf (a) = af (1)hayf (x) = xf (1)với mọix ∈ R.Đặta = f (1)

Lần lượt thay y = 0 và y = x vào (1.6) ta được

f (0) = 0, f (2x) = 2f (x), ∀x ∈ R

Suy ra f (x) > 0 khi x > 0 và

f (mx) = mf (x), ∀x ∈ R, m ∈ N∗ (1.7)

Thay x bởi x

m vào (1.7) ta được

f xm



< f (x) < f



1n

(Để lập dãy {qn} thỏa mãn điều kiện trên, chỉ cần cho tương ứng với mỗi

số tự nhiên n một số hữu tỷ qn sao cho

trong đó |f (qnxn)| ≤ M, ∀n ∈ Z+).

Khi đó

|f (xn)| =

f (x) = ax, với a ∈ R tùy ý sao cho |a| ≤ c

Bài toán 1.4 Tìm tất cả các hàm số f :R →R thỏa mãn điều kiện

1.3.2 Một vài dạng khác của phương trình hàm Cauchy

Ngoài các phương trình hàm Cauchy ở trên, những phương trình hàmsau có thể đưa về phương trình hàm Cauchy một cách dễ dàng Người tacoi chúng là những dạng khác của phương trình hàm Cauchy

Bài toán 1.5 (Phương trình hàm Cauchy dạng mũ) Xác định các hàm

f (x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện

f (x + y) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R (1.10)Lời giải

Ta nhận thấy f (x) ≡ 0 là một nghiệm của phương trình (1.10)

Xét trường hợp f (x) 6≡ 0 Khi đó tồn tại x0 ∈ R sao cho f (x0) 6= 0

Theo phương trình hàm Cauchy (1.1) thì g(x) = bx, b ∈ R tùy ý.

Với x, y ∈ R+ Đặt x = eu, y = ev và f (et) = g(t) Khi đó phương trình(1.11) có dạng

g(u + v) = g(u) + g(v), ∀u, v ∈ R (1.12)Theo phương trình hàm Cauchy (1.1) thì từ (1.12) ta có g(t) = bt và dođó

Thay y = 1 vào (1.13) ta được

f (x)(1 − f (1)) = 0, ∀x ∈ R+ (1.14)

Nếu f (1) 6= 1 thì từ (1.15) suy ra f (x) ≡ 0 và nghiệm này thỏa mãn(1.13).

Xét f (1) = 1, khi đó

f (1) = f



x1x



= f (x).f



1x

g(u + v) = g(u)g(v), ∀u, v ∈ R

Theo Bài toán 1.10 thì

g(t) = at, ∀t ∈ R, a > 0 tùy ý

Do vậy

f (x) = f (eu) = g(u) = aln x = eln a
ln x = xln a = xα, ∀x ∈ R, α = ln a

Thử lại ta thấy hàm này thỏa mãn điều kiện bài ra

Kết luận: Nghiệm của bài toán là một trong các hàm số sau:

1) f (x) ≡ 0, ∀x ∈ R+

2) f (x) = |x|α, x ∈ R+, α tùy ý

1.3.3 Phương trình hàm Jensen

Bài toán 1.8 (Phương trình hàm Jensen) Tìm hàm f (x) xác định

và liên tục trên R thỏa mãn điều kiện

fx + y2



= g(x) + g(y)

2 , ∀x, y ∈ R.

Lần lượt cho y = 0 và x = 0 thì

g

x2



= g(x)

2 , g

y2



= g

x2



+ g

y2

số chuyển đổi một số dạng trung bình thường gặp trong chương trình toán

ở bậc phổ thông như các đại lượng trung bình cộng, trung bình nhân, trungbình điều hòa, trung bình bình phương Những đại lượng này được sắp xếptheo thứ tự sau :

fx + y2

Cho y = 0 vào (2.2), ta được g

x2

f

x + y2



=

q

f (x).f (y), ∀x, y ∈ R (2.4)Lời giải

Vậy f (x) ≡ 0 là một nghiệm của (2.4)

+ Trường hợp 2: f (t) > 0, ∀t ∈ R Lấy logarit cơ số e hai vế của (2.4) tađược

gx + y2

fx + y2

hay

1f

x + y2



= g(x) + g(y)

2 , ∀x, y ∈ R,

trong đó g(t) = 1

f (t), ∀t ∈ R. Khi đó g(t) > 0, ∀t ∈ R Theo kết quả

của Bài toán 2.1 ta được g(t) = at + b, ∀t ∈ R và f (t) = 1

at + b. Chọn

a, b để f (t) có hai tính chất liên tục và dương ∀t ∈ R mẫu số khác 0 nên

a = 0, b > 0 suy ra f (t) = 1

b.

Thử lại ta thấy hàm này thỏa mãn điều kiện bài ra.

Kết luận:

f (x) ≡ c, c > 0 tùy ý

Bài toán 2.4 (Hàm chuyển đổi từ trung bình cộng vào trung bình bìnhphương) Tìm các hàm số f (x) xác định và liên tục trên R thỏa mãn điềukiện

fx + y2

2.1.2 Phương trình hàm chuyển đổi từ đại lượng trung bình

nhân của đối số

Bài toán 2.5 (Hàm chuyển đổi từ trung bình nhân thành trung bìnhcộng) Tìm các hàm số f (x) xác định và liên tục trên R+ thỏa mãn điềukiện

f (√xy) = f (x) + f (y)

2 , ∀x, y ∈ R

+

(2.8)Lời giải

Vì x > 0, y > 0 nên có thể đặt x = eu, y = ev, u, v ∈ R Thay vào (2.8)

f (√xy) =

q

f (x).f (y), ∀x, y ∈ R+ (2.10)Lời giải

Từ điều kiện của Bài toán suy ra f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R+

Nếu tồn tại x0 > 0 sao cho f (x0) = 0 thì từ (2.10) suy ra

f (√

x0y) =

q

f (x0)f (y) = 0, ∀y ∈ R+

Trong trường hợp này f (x) ≡ 0

Nếu f (x) > 0, ∀x ∈ R+ thì đặt x = eu, y = ev, u, v ∈ R Thay vào(2.10) ta được

gu + v2

f (√xy) = 2f (x)f (y)

f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R

+

(2.11)Lời giải

2 , ∀x, y ∈ R

+

,

trong đóg(x) = 1

f (x).Theo kết quả của Bài toán 2.5 thì g(x) = a ln x + b.

Để f (x) liên tục và dương trong R+ thì g(x) 6= 0, ∀x ∈ R+ Điều đótương đương với a = 0, b > 0

Kết luận:

f (x) ≡ b ∈ R+ tùy ý

Bài toán 2.8 (Hàm chuyển đổi từ trung bình nhân thành trung bình bìnhphương) Tìm các hàm sốf (x)xác định và liên tục trên R+thỏa mãn điềukiện

f (√xy) =

Lời giải.

Từ giả thiết suy ra f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R+ Vì x > 0, y > 0 nên có thể đặt

x = eu, y = ev, u, v ∈ R Khi đó g(u) ≥ 0, ∀u ∈ R

Thay vào (2.12) ta được

gu + v2



= g(u) + g(v)

2 , ∀u, v ∈ R.

Theo kết quả của Bài toán 2.1, thì g(u) = au + b, ∀u ∈ R

Để g(u) ≥ 0, ∀u ∈ R phải chọn a = 0 và b ≥ 0

Vậy f (x) ≡ c, c ≥ 0 tùy ý

Kết luận

f (x) ≡ c, c ≥ 0 tùy ý

2.1.3 Phương trình hàm chuyển đổi từ đại lượng trung bình

điều hòa của đối số

Bài toán 2.9 (Hàm chuyển đổi từ trung bình điều hòa thành trung bìnhcộng) Tìm các hàm số f (x) xác định, liên tục trên R+ và thỏa mãn điềukiện



= g(u) Khi đó g(u) liên tục trên R+ và (2.13)

có dạng

gu + v2

Từ điều kiện của bài toán f (x) > 0, ∀x ∈ R+.

Thử lại ta thấy các hàmf (x) thỏa mãn các điều kiện của bài toán đã cho.Kết luận:

f (x) = a 1

x + b với a > 0, b ≥ 0 hoặc a = 0, b > 0.

Bài toán 2.12 (Hàm chuyển đổi từ trung bình điều hòa thành trung bìnhbình phương) Tìm các hàm số f (x) xác định và liên tục trên R+ thỏamãn điều kiện

Từ giả thiết suy ra f (x) ≥ 0, ∀x > 0 Vậy

Theo kết quả của Bài toán 2.1 thì g(u) = au + b, ∀u ∈R+

Để g(u) ≥ 0, ∀u > 0 phải chọn a > 0, b ≥ 0 hoặc a = 0, b > 0

2.1.4 Phương trình hàm chuyển đổi từ đại lượng trung bình

bình phương của đối số

Bài toán 2.13 (Hàm chuyển đổi từ trung bình bình phương thành trungbình cộng) Tìm các hàm số f (x) xác định và liên tục trên R thỏa mãnđiều kiện

r

u + v2



= f (

√u) + f (√

Từ giả thiết suy ra f (x) = |f (|x|)| ≥ 0, ∀x ∈ R, tức f (x) là hàm chẵn.Vậy nên ta xét f (t) với t ≥ 0

Đặt |x| = √u, |y| = √

v (u, v ≥ 0) Khi đó(2.18) ⇔ f

r

u + v2



=

q

f (√u)f (√

v), ∀u, v ≥ 0

Đặt f (√

u) = g(u), u ≥ 0 ta được

gu + v2



=

q

g(u)g(v), ∀u, v ≥ 0

Theo Bài toán 2.2 thì g(u) = abu với a ≥ 0, b > 0

Suy ra f (x) = abx2, thử lại ta thấy hàm này thỏa mãn các điều kiện củabài toán đặt ra

Kết luận:

f (x) = abx2, a ≥ 0, b > 0 tùy ý

Bài toán 2.15 (Hàm chuyển đổi từ trung bình bình phương thành trungbình điều hòa) Tìm các hàm số f (x) xác định, liên tục và dương trên R+thỏa mãn điều kiện

Đặt f (x) = 1

g(x), ∀x, ∈ R, ta có g(x) > 0, ∀x ∈ R, g(x) liên tục trên Rvà

r



= g(

√u) + g(√

2.2 Phương trình hàm chuyển đổi các đại lượng trung bình song

Bài toán 2.18 (Cặp hàm chuyển từ trung bình cộng vào trung bình nhân).Tìm các hàm số f (x), g(x)liên tục và dương trên R và thỏa mãn điều kiện

fx + y2



=

q

g(x).g(y), ∀x, y ∈ R (2.22)Lời giải



=

q

g(x).g(x0), ∀x ∈ R,

tức g(x) luôn luôn cùng dấu với g(x0) để biểu thức căn thức có nghĩa.Không mất tính tổng quát, ta xét g(x) ≥ 0 Khi đó f (x) ≡ g(x) và ta thuđược bài toán

fx + y2

f (x) = c.ax, g(x) = c.ax hoặc f (x) = c.ax, g(x) = −c.ax với a > 0, c ≥ 0

Bài toán 2.19 (Cặp hàm chuyển từ trung bình cộng vào trung bình điềuhòa) Tìm các hàm số f (x), g(x) xác định, liên tục và dương trên R vàthỏa mãn điều kiện

fx + y2



= 2g(x)g(y)g(x) + g(y), ∀x, y ∈ R. (2.23)

Lời giải

Cho y = x ta được f (x) = g(x) Thay vào (2.23)ta được

fx + y2

Bài toán 2.20 (Cặp hàm chuyển từ trung bình cộng vào trung bình bìnhphương) Tìm các hàm số f (x), g(x) liên tục và dương trên R thỏa mãnđiều kiện

fx + y2

2.1.4 Phương trình hàm chuyển đổi từ đại lượng trung bình< /p>

bình phương đối số

Bài toán 2.13 (Hàm chuyển đổi từ trung bình bình phương thành trungbình cộng) Tìm hàm số f (x)... data-page="20">

số chuyển đổi số dạng trung bình thường gặp chương trình tốn

ở bậc phổ thơng đại lượng trung bình cộng, trung bình nhân, trungbình điều hịa, trung bình bình phương Những đại lượng xếptheo... tùy ý

2.1.3 Phương trình hàm chuyển đổi từ đại lượng trung bình

điều hịa đối số

Bài tốn 2.9 (Hàm chuyển đổi từ trung bình điều hịa thành trung bìnhcộng) Tìm hàm số f (x) xác