ứng dụng nguyên lý dirichlet vào chứng minh bất đẳng thức

-Bùi Thị Lan Hương ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET VÀO CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP... 27 2 Ứng dụng nguyên lý Dirichlet vào chứn

-Bùi Thị Lan Hương

ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET VÀO

CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mục lục

1 Sơ lược về chứng minh bất đẳng thức 4

1.1 Bất đẳng thức 4

1.2 Một vài phương pháp chứng minh bất đẳng thức 5

1.2.1 Phương pháp biển đổi tương đương 5

1.2.2 Phương pháp phản chứng 9

1.2.3 Phương pháp quy nạp toán học 11

1.2.4 Sử dụng tam thức bậc hai 12

1.2.5 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM 16

1.2.6 Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacovski 19

1.2.7 Sử dụng bất đẳng thức Karamata 22

1.2.8 Vận dụng tính chất của hàm số đơn điệu vào chứng minh bất đẳng thức 24

1.2.9 Vận dụng tính chất hình học vào chứng minh bất đẳng thức 27

2 Ứng dụng nguyên lý Dirichlet vào chứng minh bất đẳng thức 32 2.1 Tổng quan về nguyên lý Dirichlet 32

2.1.1 Nguyên lý Dirichlet 32

2.1.2 Một số dạng phát biểu nguyên lý Dirichlet 32

2.2 Ứng dụng nguyên lý Dirichlet vào chứng minh bất đẳng thức 35 2.2.1 Ý tưởng 35

2.2.2 Một số ví dụ minh họa 36

2.2.3 Bài tập tương tự 64

Mở đầu

Bất đẳng thức là chuyên đề quen thuộc và quan trọng đối với Toán học

và người làm Toán, học Toán Các bài toán về bất đẳng thức có mặt tronghầu hết đề thi học sinh giỏi, Đại học, Olympic Trong phân phối chươngtrình chuyên sâu Toán 10 Trung học phổ thông do Bộ giáo dục ấn hành,ngoài nội dung bắt buộc, chuyên đề bất đẳng thức chiếm khoảng 12 tiếttrong số 55 tiết chuyên đề Tuy nhiên đây là chuyên đề khó vì đòi hỏi ngườilàm Toán phải có vốn kiến thức vững vàng, đồng thời linh hoạt, sáng tạovận dụng kiến thức khi giải Toán Cũng chính vì lí do đó mà các bài toán

về bất đẳng thức vô cùng phong phú, đa dạng Nó khơi gợi óc sáng tạo, tưduy, góp phần hình thành, củng cố và phát triển năng lực phân tích, giảiquyết vấn đề của người học Toán

Nguyên lý Dirichlet được phát biểu đầu tiên bởi nhà toán học ĐứcJohann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859) như sau: “nếu nhốt

n + 1 con thỏ vào n cái chuồng thì bao giờ cũng có một chuồng chứa ítnhất 2 con thỏ” Đây là phương pháp thông dụng và hiệu quả để giải nhiềudạng toán

Hiện nay có một số đề tài đã tìm hiểu và ứng dụng nguyên lí Dirichletvào giải một vài dạng toán nhưng chưa có ai tập trung khai thác rõ việcvận dụng nguyên lý Dirichlet vào chứng minh bất đẳng thức Mặt khácvấn đề này đã được nêu trong tạp chí như tạp chí Toán học và Tuổi trẻ,nhưng mới chỉ dừng ở ý tưởng, vài ví dụ đơn giản và đưa ra các bài tập

Vì những lí do trên nên tôi chọn đề tài “Ứng dụng nguyên lýDirichlet vào chứng minh bất đẳng thức” làm đề tài luận văn Thạcsĩ

Luận văn gồm hai nhiệm vụ nghiên cứu chính

• Tổng quan về bất đẳng thức ở phổ thông

• Vận dụng nguyên lý Dirichlet vào chứng minh một vài bất đẳng thức

Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, luận văn gồm hai chương

Chương 1: Sơ lược về chứng minh bất đẳng thức

Nội dung chương 1 giới thiệu vài phương pháp chứng minh bất đẳngthức kèm theo ví dụ minh họa cho từng phương pháp ở trường phổ thông.Chương 2: Ứng dụng nguyên lý Dirichlet vào chứng minh bấtđẳng thức

Nội dung chương 2 nêu tổng quan về nguyên lý Dirichlet, ứng dụngnguyên lý Dirichlet vào chứng minh bất đẳng thức và một số ví dụ minhhọa chứng minh bất đẳng thức bằng cách sử dụng nguyên lý Dirichlet.Cuối chương 2 là một số ví dụ để độc giả tham khảo và tự chứng minh.Trong quá trình làm luận văn, chúng tôi đã tham khảo, sử dụng các tàiliệu bồi dưỡng học sinh giỏi, giáo trình của GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu,Tạp chí Toán học và tuổi trẻ từ năm 1964, đề thi Đại học từ năm 1970đến nay, một số đề thi Olympic Toán

Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Ban Giám hiệu, khoa Toán - Tin, phòng Đàotạo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, các thầy cô giáo

đã trang bị kiến thức và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong quá trìnhhọc tập và nghiên cứu Xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành và sâu sắc tớiPGS.TS Trịnh Thanh Hải, người đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn tôi hoànthành luận văn

Mặc dù luận văn đã hoàn thành nhưng không tránh khỏi những thiếusót Tôi rất mong nhận được những lời đóng góp ý kiến của các thầy côgiáo và các bạn về những mặt tích cực và hạn chế để luận văn được hoànthiện hơn

Thái Nguyên, tháng 04 năm 2014

Học viên

Bùi Thị Lan Hương

Định nghĩa 1.1 Cho hai số thực a và b a được gọi là lớn hơn b, kí hiệu

a > b nếu hiệu a − b là một số dương; a được gọi là lớn hơn hoặc bằng b,

kí hiệu a ≥ b nếu hiệu a − b là một số không âm; a được gọi là nhỏ hơn

b, kí hiệu a < b nếu hiệu a − b là một số âm; a được gọi là nhỏ hơn hoặcbằng b, kí hiệu a ≤ b nếu hiệu a − b là một số không dương

1.2 Một vài phương pháp chứng minh bất đẳng

c(b + c) +

bca(c + a) +

cab(a + b) ≥ 3

2.

r acb(a + b) ·√a + b

r acb(a + b) ·√a + b

acb(a + b)

!2

≤



abc(b + c) +

bca(c + a) +

acb(a + b)

bca(c + a) +

acb(a + b)



[2 (a + b + c)]

Hay

abc(b + c) +

bca(c + a) +

acb(a + b) ≥ 3



Bất đẳng thức (1.1) được chứng minh

Ví dụ 1.2 (IMO 1995 - [5]) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện

≥ 32

1.2.2 Phương pháp phản chứng

• Ý tưởng

Phương pháp phản chứng để chứng minh bất đẳng thức thường dùngkhi điều kiện bài toán thì phức tạp, còn bất đẳng thức cần chứng minhthì đơn giản Khi đó ta đảo điều kiện và kết luận của bài toán cho nhau.Muốn chứng minh bất đẳng thức A ≥ B bằng phương pháp phảnchứng, ta giả sử A < B Bằng lập luận ta suy ra điều mâu thuẫn Do đóđiều giả sử là sai Vậy nên bất đẳng thức A ≥ B đúng

Từ cách đặt x, y, z ta được

a28bc =

x2

1 − x2

b28ca =

y2

1 − y2

c28ab =

- Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n = n0.

- Giả thiết bất đẳng thức đúng với n = k với k > n0 (gọi là giả thiếtquy nạp), rồi chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 0.

Định lý 1.2 (Định lí đảo) Điều kiện cần và đủ để tồn tại số α sao cho

af (α) < 0 là ∆ > 0 và x1 < α < x2, trong đó x1, x2 là các nghiệm của

• Ví dụ minh họa

Ví dụ 1.5 Cho các số thực dương a, b, c Chứng minh rằng

a2 + b2 + c2 + 2abc + 1 ≥ 2(ab + bc + ca) (1.5)Giải

Tóm lại trong mọi trường hợp ta đều chứng minh được ∆0 ≤ 0.

Áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai ta có

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

Ví dụ 1.6 (Bất đẳng thức Bunhiacovski) Chứng minh rằng với mọi bộ

tế được viết tắt từ Arithmetic Mean-Geometric Mean.

Định lý 1.3 Giả sử x1, x2, xn là các số không âm Khi đó

x1 + x2 + · · · + xn

x1.x2 xn

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ x1 = x2 = · · · = xn.

Để áp dụng tốt bất đẳng thức AM-GM ta phải nghiên cứu kĩ điều kiệnxảy ra dấu đẳng thức và áp dụng kĩ thuật chọn “điểm rơi”

Bây giờ ta thực hiện quy trình quy nạp theo hướng xuống phía dưới

Ta chứng minh rằng khi định lí đúng với n (n > 1) thì nó cũng đúng với

n − 1 Ta thay xn trong định lí bởi

Từ giả thiết a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn

2yz(z + y)(x + y).

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có

2xy

(x + z)(y + z) = xy ·

2(x + z)(y + z) ≤ xy ·



1(x + z)2 + 1



1(y + x)2 + 1



1(z + y)2 + 1

2zx(z + y)(x + y)

≤ xy



1(x + z)2 + 1

(z + x)2



++ zx

Định lý 1.4 Với mọi bộ số (ai), (bi) ta luôn có bất đẳng thức sau

Định lý 1.5 Với mọi cặp hàm f (x) và g(x) liên tục trên [a; b] ta đều có

Z b a

f (x).g(x)dx

2

≤

Z b a

f2(x)dx

Z b a

f (x)dx

2

(1.9)

1 − f2(x)
dx.

Z 1 0

dx

Suy ra

Z 1 0

f (x)dx

2

≤

Z 1 0

f2(x)dx

Z 1 0

dx

Hay

Z 1 0

f (x)dx

2

≤

Z 1 0

f2(x)dx

Từ đó suy ra

1 −

Z 1 0

f (x)dx

2

≥ 1 −

Z 1 0

f2(x)dx

Vậy nên

Z 1 0

1.2.7 Sử dụng bất đẳng thức Karamata

Định nghĩa 1.2 Hàm số y = f (x) được gọi là hàm lồi (xuống phía dưới)trong khoảng (a; b) nếu với mọi a < x1, x2 < b và mọi α ∈ (0; 1) luôn cóbất đẳng thức

αf (x1) + (1 − α)f (x2) ≥ f (αx1 + (1 − α)x2)

Định nghĩa 1.3 Hàm số y = f (x) được gọi là hàm lõm (lên phía trên)trong khoảng (a; b) nếu với mọi a < x1, x2 < b và mọi α ∈ (0; 1) luôn cóbất đẳng thức

αf (x1) + (1 − α)f (x2) ≤ f (αx1 + (1 − α)x2)

Định lý 1.6 (Bất đẳng thức Karamata) Cho hai dãy số xk, yk ∈ I(a, b),

k = 1, 2, , n, thỏa mãn các điều kiện

s



2abc + 9

Ví dụ 1.11 (IMO 2000) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điềukiện abc = 1 Chứng minh rằng

ta có

ln(x − y + z) + ln(y − z + x) + ln(z − x + y) ≤ ln x + ln y + ln z

Vì f (x) = ln x là hàm lõm trên (0, +∞), do đó, sử dụng bất đẳng thứcKaramata, ta được

ln(y − z + x) + ln(x − y + z) + ln(z − x + y) ≤ ln x + ln y + ln z

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z hay a = b = c = 1

1.2.8 Vận dụng tính chất của hàm số đơn điệu vào chứng minh

bất đẳng thức

Định lý 1.7 Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên khoảng (a, b)

(i) Nếu f0(x) > 0 với mọi x ∈ (a; b) thì hàm số f (x) đồng biến trênkhoảng đó

(ii) Nếu f0(x) < 0 với mọi x ∈ (a; b) thì hàm số f (x) nghịch biến trênkhoảng đó

• Ví dụ minh họa

Ví dụ 1.12 (Bất đẳng thức Turkevia) Chứng minh rằng nếu a, b, c, d làcác số thực không âm thì

a4+ b4+ c4+ d4+ 2abcd ≥ a2b2+ a2c2+ a2d2+ b2c2+ b2d2+ c2d2 (1.12)Nhận xét 1.5 Vì vai trò của các số thực không âm a, b, c, d trong bấtđẳng thức là như nhau nên ta có thể giả sử

1.2.9 Vận dụng tính chất hình học vào chứng minh bất đẳng

thức

• Ý tưởng

Để chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp vận dụng tính chấthình học, ta sử dụng tính chất của vector hoặc định lý tính chất cơ bảntrong hình học, dùng biểu diễn miền nghiệm

- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai vector ~a(a1; a2),~b(b1; b2) Khi



, ~b =



y;1y



, ~c =



z;1z

2

≥

vuu

t(3√3

xyz)2 + 33

s

1xyz

.Suy ra

Q(t) ≥ Q



19

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy xét M (x − 1; −y), N (x + 1; y)

3 khi x = 0 và y = √1

3.

Nguyên lý Dirichlet cơ bản được phát biểu như sau

“Nếu nhốt n + 1 con thỏ vào n cái chuồng thì bao giờ cũng có mộtchuồng chứa ít nhất hai con thỏ.”

2.1.2 Một số dạng phát biểu nguyên lý Dirichlet

• Nguyên lý Dirichlet tổng quát

Nếu có N đồ vật được đặt vào trong k hộp thì sẽ tồn tại một hộp chứa

Ở đây, kí hiệu [α] để chỉ phần nguyên của số α, là số nguyên lớn nhất

có giá trị nhỏ hơn hoặc bằng α

Chứng minh Giả sử mọi chuồng không có đến



n + m − 1m

con thỏ

Ta có



n + m − 1m

con

Từ đó suy ra tổng số con thỏ không vượt quá m ·



n − 1m



≥ n − 1 con.Điều này vô lí vì có n con thỏ Vậy điều giả sử là sai

• Nguyên lý Dirichlet đối ngẫu

Cho tập hữu hạn S 6= ∅ và S1, S2, , Sn là các tập con của S sao cho

• Nguyên lý Dirichlet dạng tập hợp mở rộng

Giả sử A, B là hai tập hợp hữu hạn và S(A), S(B) tương ứng kí hiệu

là các số lượng phần tử của A, B Giả sử có một số tự nhiên k nào đó mà

S(A) > k.S(B) và ta có quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử của A vớimột phần tử của B Khi đó tồn tại ít nhất k + 1 phần tử của A mà chúngtương ứng với cùng một phần tử của B

Chú ý : Khi k = 1 ta có ngay nguyên lí Dirichlet

• Nguyên lý Dirichlet cho diện tích

Nếu K là một hình phẳng, còn K1, K2, , Kn là các hình phẳng saocho Ki ⊆ K (i = 1, n) và

| K |<| K1 | + | K2 | + + | Kn |

Ở đây | K | là diện tích của hình phẳng K, còn | Ki | là diện tích hìnhphẳng Ki (i = 1, n), thì tồn tại ít nhất hai hình phẳng Hi, Hj (1 ≤ i ≤

j ≤ n) sao cho Hi, Hj có điểm trong chung

Ở đây ta nói rằng P là điểm trong của tập hợp A trên mặt phẳng nếunhư tồn tại hình tròn tâm P bán kính đủ bé sao cho hình tròn này nằmtrọn trong A

Tương tự như nguyên lý Dirichlet cho diện tích, ta có các nguyên lýDirichlet cho độ dài các đoạn thẳng, thể tích các vật thể

• Nguyên lý Dirichlet vô hạn

Nếu chia một tập hợp vô hạn các quả táo vào hữu hạn ngăn kéo thìphải có ít nhất một ngăn kéo chứa vô hạn các quả táo

• Nguyên lý Dirichlet đối ngẫu vô hạn phần tử

* Cho A là một khoảng giới nội, A1, A2, , An là các khoảng sao cho

Ai ⊂ A (i = 1, n) và

d(A) < d(A1) + d(A2) + · · · + d(An)

Khi đó ít nhất có hai khoảng trong số các khoảng trên có một điểmtrong chung

Trong đó

- Tập phần tử là một khoảng trên đường thẳng

- Kí hiệu d(I) là độ dài của khoảng I ∈ R.

* Nếu A là một miền giới hạn bởi một đường cong phẳng khép kín, còn

A1, A2, , An là các miền sao cho Ai ⊂ A (i = 1, n) và

S(A) < S(A1) + S(A2) + · · · + S(An)

thì ít nhất có hai miền trong số các miền nói trên có điểm trong chung

Trong đó

- Tập phần tử là miền phẳng giới hạn bởi một đường cong phẳng khépkín

- Kí hiệu S(A) là diện tích miền A trong một mặt phẳng

Nguyên lý Dirichlet là một công cụ rất hiệu quả để chứng minh nhiềukết quả sâu sắc của Toán học Ta có thể ứng dụng nguyên lí Dirichlet vàobài toán hình học tổ hợp, bài toán số học và nhiều dạng toán khác Sửdụng nguyên lý này trong nhiều trường hợp người ta dễ dàng chứng minhđược sự tồn tại mà không đưa ra được phương pháp tìm được vật cụ thể,nhưng trong thực tế nhiều bài toán ta chỉ cần chỉ ra sự tồn tại là đủ

2.2 Ứng dụng nguyên lý Dirichlet vào chứng minh

2.2.2 Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 2.1 Cho các số thực dương a, b, c Chứng minh rằng

a2 + b2 + c2 + 2abc + 1 ≥ 2(ab + bc + ca) (2.1)Nhận xét 2.1 Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1 Khi đó theonguyên lý Dirichlet thì hai trong ba số (a − 1), (b − 1), (c − 1) cùng dấu,giả sử (a − 1)(b − 1) ≥ 0

Mặt khác vì bất đẳng thức cần chứng minh có số hạng 2abc nên ta làmxuất hiện thêmcbằng cách nhân hai vế của bất đẳng thức(a−1)(b−1) ≥ 0

với số dương 2c

Giải

Theo nguyên lý Dirichlet, trong ba số (a − 1), (b − 1), (c − 1) tồn tạihai số cùng dấu Không mất tính tổng quát, giả sử (a − 1), (b − 1) cùngdấu Khi đó

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

Ví dụ 2.2 Cho các số thực dương a, b, c Chứng minh rằng

a2 + b2 + c2 + abc + 5 ≥ 3(a + b + c) (2.2)Nhận xét 2.2 Vế trái của bất đẳng thức (2.2) có số hạng abc, còn củabất đẳng thức (2.1) có số hạng 2abc Do đó để áp dụng kết bất đẳng thức

(2.1) ta nhân hai vế của bất đẳng thức cần chứng minh với 2.

Giải

Ta có

a2 + b2 + c2 + abc + 5 ≥ 3(a + b + c)

⇔ 2(a2 + b2 + c2) + 2abc + 10 ≥ 6(a + b + c)

⇔ [a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)] + a2 + b2 + c2 + 2abc + 10

≥ 6(a + b + c) + 2(ab + bc + ca)

⇔ (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 + 2abc + 10 ≥ 6(a + b + c) + 2(ab + bc + ca)

⇔ [(a + b + c)2 − 6(a + b + c) + 9] + a2 + b2 + c2 + 2abc + 1

≥ 2(ab + bc + ca)

⇔ (a + b + c − 3)2 + [a2 + b2 + c2 + 2abc + 1 − 2(ab + bc + ca)] ≥ 0

Kết hợp với bất đẳng thức (2.1)

a2 + b2 + c2 + 2abc + 1 ≥ 2(ab + bc + ca)

Suy ra bất đẳng thức thu được luôn đúng

Bất đẳng thức (2.2) được chứng minh

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

Ví dụ 2.3 Cho các số thực a, b, c Chứng minh rằng

a2 + b2 + c2 + a2b2c2 + 2 ≥ 2(ab + bc + ca) (2.3)Nhận xét 2.3 Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c = ±1 nên ta áp dụngnguyên lí Dirichlet cho ba số (a2 − 1), (b2 − 1), (c2 − 1)

Giải

Theo nguyên lý Dirichlet, trong ba số (a2− 1), (b2− 1), (c2− 1) tồn tạihai số cùng dấu Không mất tính tổng quát, giả sử (a2− 1), (b2 − 1) cùngdấu Khi đó

Bất đẳng thức thu được luôn đúng Bất đẳng thức (2.3) được chứng

minh

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = ±1

Ví dụ 2.4 Cho các số thực dương a, b, c Chứng minh rằng

a2 + b2 + c2 + 2abc + 3 ≥ (a + 1)(b + 1)(c + 1) (2.4)Nhận xét 2.4 Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1 nên ta áp dụng

nguyên lý Dirichlet cho ba số (a − 1), (b − 1), (c − 1)

Giải

Theo nguyên lý Dirichlet, trong ba số (a − 1), (b − 1), (c − 1) tồn tại

hai số cùng dấu Không mất tính tổng quát, giả sử (a − 1), (b − 1) cùng

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

Ví dụ 2.5 Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện

a + b + c = 3

Chứng minh rằng

a2 + b2 + c2 + abc ≥ 4 (2.5)Nhận xét 2.5 Vế trái của bất đẳng thức (2.5) có số hạng abc, còn của

bất đẳng thức (2.1) có số hạng 2abc Do đó để áp dụng bất đẳng thức (2.1)

ta nhân hai vế của bất đẳng thức cần chứng minh với 2