một số vấn đề toán học trong lý thuyết mật mã

Thậm chí nếu ta tăng số điểm lên nhiều hơn k+1 điểmk+2 điểm trở lên thì kết quả cho ta vẫn không thay đổi tức là F x ≡ f x 1.2.1 Tổng quan về mật mã Ta có thể hiểu nôm na, mật mã học là

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGÔ THỊ NGA

MỘT SỐ VẤN ĐỀ TOÁN HỌC TRONG LÝ THUYẾT MẬT MÃ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2014

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGÔ THỊ NGA

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số : 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌCGS.TSKH: HÀ HUY KHOÁI

Thái Nguyên - Năm 2014

Mục lục

1.1 Kiến thức cơ sở 4

1.1.1 Định lý Euler 4

1.1.2 Thuật toán Euclide 7

1.1.3 Đa thức nội suy Lagrange 7

1.2 Tổng quan về mật mã - Hệ mã công khai RSA 8

1.2.1 Tổng quan về mật mã 8

1.2.2 Hệ mã mũ của Pohlig và Hellman 11

1.2.3 Hệ mã công khai RSA 13

2 CHỮ KÍ SỐ - CHỮ KÍ NGƯỠNG 17 2.1 Hàm băm mật mã 18

2.2 Chữ kí số 19

2.3 Chữ kí ngưỡng 25

2.3.1 Quá trình kí văn bản 25

LỜI NÓI ĐẦU

Hiện nay, mạng máy tính ngày càng thể hiện rõ vai trò thiết yếu trong mọi lĩnhvực của xã hội Nó đã và đang trở thành phương tiện điều hành các hệ thống, khi

đó nhu cầu bảo mật thông tin được đặt lên hàng đầu Nét nổi bật trong sự pháttriển của công nghệ bảo mật thông tin ngày nay là sự thâm nhập ngày càng sâucủa phương pháp Toán học vào lĩnh vực này (đặc biệt là của các phương pháp Sốhọc và Hình hoc Đại số) Với sự tăng truởng nhanh về tốc độ của các bộ vi xử lí,các phương pháp mã hoá truyền thống (kể cả nhiều máy mã từng nổi tiếng trongcác cuộc Đại chiến Thế giới) đã không thể chống cự nổi khả năng phá khoá củacác siêu máy tính ngày nay Vì vậy người ta đã buộc phải tìm những phương phápmới, dựa trên kết quả nghiên cứu sâu sắc của Toán học Một điều đã trở thànhrất phổ biến hiện nay là các chuyên gia hàng đầu thế giới về mã hóa đều là nhàtoán học hoặc được đào tạo toán học một cách cơ bản Chính Toán học đã làmcho công nghệ mã có một bước nhảy vọt và đáp ứng một cách suất xắc các yêucầu của thực tiễn hiện tại Mục đích của luận văn này nhằm trình bày cơ sở củaviệc ứng dụng số học trong lý thuyết mật mã đặc biệt là chữ kí số - chữ kí ngưỡng.Luận văn gồm 2 chương: Chương I : Kiến thức cơ sở.Chương này nhằm giới thiệuchung về lý thuyết mật mã, nhắc lại một số khái niệm cơ sở, một số công cụ toánhọc sử dụng tong lý thuyết mật mã liên quan đến luận văn, giới thiệu tổng quan vềmật mã và hệ mã công khai RSA Chương II: Chữ kí số - Chữ kí ngưỡng Chươngtrình trình bày về hàm băm mã, chữ kí số và chữ kí ngưỡng Luận văn này đượchoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của Giáo sư - Tiến sĩ khoahọc Hà Huy Khoái Qua đây cho tôi bày tỏ lònh kính trọng và biết ơn chân thành

đối với thầy hướng dẫn, người đã tận tình chỉ bảo, quan tâm động viên và giúp đỡtôi hoàn thành bản luận văn này Đồng thời tôi xin chân thành cảm ơn các thầy

cô, các cán bộ khoa Toán và các cán bộ phòng quản lí Khoa học - Trường Đại họcKhoa học Thái Nguyên đã hết lòng giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập vànghiên cứu Cuối cùng tôi xin cảm ơn các anh,các chị,các bạn lớp cao học toánK6b của trường Đại học Khoa Học Thái Nguyên đã động viên tinh thần ,chia sẻnhững khó khăn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Thái Nguyên, ngày 10 tháng 5 năm 2013

Người viết

Ngô Thị Nga

Lưu ý: Nếu p là số nguyên tố thì ϕ(p) = p − 1

Định nghĩa 1.2 Một hệ thặng dư đầy đủ modulo n là một tập hợp số nguyênsao cho mỗi số nguyên tùy ý đều đồng dư modnlo n với đúng một số của tập hợp.Định nghĩa 1.3 Một hệ thặng dư thu gọn modulo n là một tập gồm ϕ(n) sốnguyên sao cho mỗi phần tử của tập hợp đều nguyên tố cùng nhau với n, và không

có hai phần tử khác nhau nào đồng dư với nhau theo modulo n

Ví dụ 1.2 Tập hơp 1, 3, 5, 7 là một hệ thặng dư thu gọn modulo 8

Định lý 1.1 Giả sửr1; r2; rϕ(n) là hệ thặng dư thu gọn modulo n, a là số nguyêndương và (a,n)= 1 Khi đó, tập hợp ar1, ar2, arϕ(n) cũng là hệ thặng dư thu gọnmodulo n

Chứng minh

Trước hết ta chứng tỏ rằng, mỗi số arj nguyên tố cùng nhau với n Giả sử ngượclại (ar j; n) > 1 với j nào đó Khi đó, tồn tại ước nguyên tố p của (ar j;n) Do đóhoặc p là ước số của a hoặc p là ước của rj; tức là p là ước số của a và p là ướccủa n; hoặc p là ước của rjvà p là ước số của n Tuy nhiên, không thể có p là ước

số của rj và p là ước số của n, vì rj và n nguyên tố cùng nhau Tương tự, khôngthể có p là ước số của a và p là ước số của n Vậy arj và n nguyên tố cùng nhauvới mọi j=1,2, ,ϕ(n)

Còn phải chứng tỏ không có hai số arj; ark nào đồng dư nhau modulo n Giả sử

arj ≡ ark modn, j 6= k và 1 ≤ j ≤ ϕ(n); j 6= k; 1 ≤ k ≤ ϕ(n) Vì (a,n) = 1 nên ta suy

ra r j ≡ rkmod n Điều này mâu thuẫn vì r j; rk cùng hệ thặng dư thu gọn ban đầumodulo n

Mệnh đề 1.1 Nếu m, n là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau thì ta có

và r

Vậy để tìm số hạng nguyên tố cùng nhau với m.n ta chỉ xét trên dòng thứ r với m

và r nguyên tố cùng nhau

Trên dòng r đó ta có các số: r; m+r; 2m+r; ;(n-1)m+r Vì m và r nguyên tố cùngnhau nên trên dòng r các số đều nguyên tố cùng nhau với n Như vậy, n số nguyêntrên dòng r lập thành hệ thặng dư đầy đủ modulo n Do đó, có đúngϕ(n) số hạngtrên dòng đó nguyên tố cùng nhau với n Do các số cũng nguyên tố cùng nhau với

m nên chúng nguyên tố cùng nhau với m.n

Vì có ϕ(m) dòng, mỗi dòng có chứa ϕ(n) số nguyên tố cùng nhau với m.n nên suy

ra ta được ϕ(m.n) = ϕ(m).ϕ(n)

dư bé nhất của ar 1 ; ar 2 ; ; arϕ(m) phải là các số nguyên r 1 ; r 2 ; ; rϕ(m) xếp theo thứ

tự nào đó

Dễ thấy rằng : ar1.ar2 arϕ(m) ≡ r1, r2, ,rϕ(m) (mod m)

Do đó ta có: aϕ(m)r1r2 rϕ(m) ≡ r1r2 rϕ(m)modm

Vì (r1.r2 rϕ(m), m) = 1 nên ta có: aϕ(m) ≡ 1modm

Hệ quả 1.1 Nếu (c, m) = 1 và a ≡ bmodϕ(m)thì ca = cbmodm

Chứng minh a ≡ bmodϕ(m) suy ra a = k.ϕ(m) + b với k là số nguyên suy ra

1.1.2 Thuật toán Euclide

Giả sử r0 = a; r1 = b là các số nguyên không âm và b 6= 0 Ta áp dụng liên tiếpthuật toán chia rj = rj+1.qj+1+ rj+2với 0 < rj+2 < rj+1; j= 0,l,2, ,n - 2 và rn = 0

khi đó (a,b)=r n−1

Ta chứng minh rn−1 nói trên là ước số chung lớn nhất

Thật vậy, giả sử: a = b.q + r ta chứng minh (a,b)=(b,r) Giả sử m là ước chungnào đó của a và b khi đó m là ước của r Ngược lại nếu m’ là ước của b và r thìm’ là ước của a Như vậy ước chung của a và b trùng ước chung của b và r, nên(a,b)=(b,r) Từ thuật toán trên giả sửr0 = a; r1 = b là các số nguyên dương và a>b.Bằng cách áp dụng liên tục thuật toán chia, ta được:

VD1.4 Tính ước chung lớn nhất d = (18; 84) bằng thuật toán Euclid

Thật vậy, giả sử f(x) và g(x) là hai đa thức có bậc không quá n và trùng nhau ởn+1 điểm (xi; yi); i = 1,2 ,n+1 Vì f(x) và g(x) là hai đa thức có bậc không quá nnên suy ra phương trình f(x) - g(x) = 0 là phương trình có bậc không quá n Nên

số nghiệm của phương trình không vượt quá n

Theo giả thiết, f(x) và g(x) trùng nhau ở n+1 điểm (xi; yi);

i= 1,2, n + 1 nên suy ra phương trình f(x) - g(x) = 0 có n+1 nghiệm x i, i = 1,2, n + 1

Vậy ta có được phương trình f(x) - g(x) = 0 là phương trình có bậc không vượtquá n nhưng lại có đến n+1 nghiệm

Điều đó xảy ra khi phương trình f(x) - g(x) = 0 có các hệ số đều bằng không.Điều đó dẫn đến f(x) - g(x) ≡ 0 hay f(x)≡g(x)

Đa thức nội suy Lagrange:

Cho n+1 điểm (x i ; y i ) Từ n+1 điểm đó ta xây dựng đa thức nội suy Lagrange f(x)

đó, ta thấy F (x) ≡ f (x) Thậm chí nếu ta tăng số điểm lên nhiều hơn k+1 điểm(k+2 điểm trở lên) thì kết quả cho ta vẫn không thay đổi tức là F (x) ≡ f (x)

1.2.1 Tổng quan về mật mã

Ta có thể hiểu nôm na, mật mã học là cách ngụy trang văn bản giữa các đối tác

có quan hệ trao đổi thông tin mật với nhau và chỉ có họ mới hiểu và đọc được nộidung văn bản, mà người khác dù có vô tình hay cố ý có được cũng không thể đọcđược nội dung chính xác của văn bản Mầm mống mật mã học đã có từ thời Hy

lạp cổ đại (khoảng 400 năm trước công nguyên) và nó được dùng chủ yếu trong

bí mật quân sự Người Hy lạp cổ đại dùng một dải băng dài và quấn thành khốihình trụ tròn xoay rồi viết chữ lên đó theo cách thức thông thường Mẫu tin đượcchuyển đi dưới dạng dải băng và chỉ có thể đọc ra khi biết được bán kính khối trụ

và quấn lại dải băng như khi đã viết Trong cách dùng này ta thấy được điều thú

vị ở đây là, giả sử có ai đó có được giải băng mà không biết được đường kính thìcũng không thể quấn lại được giải băng như mong muốn để đọc nội dung Rõ ràngtrong cách dùng này thì chỉ có người trong cuộc (những người biết được chính xácđường kính khối trụ) thì mới có thể đọc được nội dung văn bản, người ngoài cuộckhông thể đọc được nội dung văn bản Nên vấn đề bảo mật thông tin là có cơ sở

Ở đây đường kính khối trụ xem như chìa khóa lập và giải mã văn bản Dù cònrất sơ khai nhưng chúng ta cũng thấy được sức mạnh sự bảo mật của nó, và đâyđúng thực là cái nôi của mật mã học Đến thời Hoàng để Caesar thì mật mã đượcdùng tinh vi hơn, cụ thể như sau : Hoàng đế Caesar đã từng dùng phép mã thaythế trong quân sự, trong đó mỗi kí tự được được thay thế bởi kí tự đứng sau nó

ba vị trí trong bảng chữ cái alphabet; nghĩa là chữ A được thay thế bằng chữ D,chữ B được thay tliế bằng chữ E, Trong thực tế, việc triển khai một hệ mã nhưthế là khá đơn giản và cũng thuận tiện trong việc sử dụng, với việc dùng hai chiếcđĩa đồng tâm có bán kính khác nhau và có các bảng chữ cái rải đều trên vành đĩa.Việc xoay một trong hai cái đĩa sao cho chữ A trên vành đĩa nhỏ nằm trên bánkính nối tâm đĩa vối chữ D trên vành đĩa lớn sẽ xác định được phép mã Caesar.nói trên, thông qua phép tương ứng giữa các chữ cái trên vành đĩa nhỏ với các chữcái trên vành đĩa lớn Nói chung, việc xoay đĩa theo một góc bất kỳ sẽ mang lạimột phép mã Caesar Mấu chốt vấn đề là ở chỗ, nếu ta không nắm được qui ướcthay thế thì các kí tự thì không thể dịch văn bản mật thành văn bản gốc được và

vì thế không thể đọc được nội dung văn bản Từ hai cách dùng trên ta thấy mộtđiều là tầm quan trọng trong việc bảo mật thông tin của con người Đặc biệt làtrong lĩnh vực quân sự, nếu thông tin quân sự mật mà bị đối phương nắm bắt thì

quân đội đó ắt sẽ thất bại và vì thế mật mã học cần phải được nghiên cứu mộtcách nghiêm túc và sâu sắc nhằm ứng dụng hiệu quả vào thực tiễn Trong bí mậtquân sự cũng như đời sống có những thông tin mật của người này nhưng ngườikia muốn biết cho bằng được nhằm phục vụ lợi ích riêng cho họ Thực tế đó đãthúc đẩy con người không ngừng nghiên cứu mật mã học nhằm đáp ứng nhu cầubảo mật thông tin và cho đến những năm đầu của thế kỉ XX mật mã học đã pháttriển mạnh, cụ thể là sự xuất hiện của mã khối.

Mã khối được xem là xuất hiện vào những năm đầu thế kỉ XX, với sự ra đời của hệ

mã British Playfair vào năm 1910, trong đó mỗi khối là một cặp hai chữ Phép mã

ở đây được thay thế hai chìa Người ta viết 26 chữ cái vào một bảng hình vuônggồm 5 dòng và 5 cột trong hai chữ IJ được viết vào cùng một ô Hai dòng đầu tiêndành cho chìa khóa, 3 dòng dưới viết 16 chữ cái còn lại theo thứ tự thông thườngMuốn mã hóa một khối (cặp hai chữ) nào đó, không ở trên cùng một dòng haymột cột, ta tìm cách thiết lập một hộp (chữ nhật) với hai đỉnh là hai chữ trongkhối đó, còn hai đỉnh còn lại cho ta cặp chữ là kết quả mã của cặp chữ nguồn.Muốn mã hóa cặp hai chữ trên cùng một dòng thì thay thế mỗi chữ bằng chữ kếtiếp bên phải nó trên cùng dòng đó (nếu là chữ cuối dòng thì thay thế bằng chữđầu dòng) Muốn mã hóa hai chữ trên cùng một cột, ta thay mỗi chữ bằng chữbên dưới nó

Các chữ đúp sẽ được tách ra bẳng chữ X trước khi mã hóa chúng Cho đến naythì mật mã đã phát triển rầm rộ trên toàn thế giới nhằm phục vụ nhu cầu bảomật thông tin trong quân sự, kinh tế, bằng chứng là có nhiều hệ mã ra đời vớinhiều tính năng ưu việt khác nhau Và nổi trội nhất hiện nay là hệ mã khóa côngkhai được cho là đảm bảo tính an toàn cao cho thông tin mật Vì nó có cả hai chìakhóa lập mã và giải mã khác nhau rất tiện lợi cho việc giữ bí mật Khóa lập mãđược công khai để người khác mã hóa văn bản và gửi cho mình, còn khóa giải mãđược giữ bí mật riêng nhằm phục vụ nhu cầu giải mã cá nhân Điều quan trọng

là từ khóa lập mã không thể tính được khóa giải mã và khóa giải mã chỉ có riêng

cá nhân đó biết, đối tác bên kia cũng không biết nên bảo mật thông tin cá nhânđược xem là ưu việt Điều này hơn hẳn các hệ mã đối xứng chỉ sử dụng một chìacho cả hai quá trình lập mã và giải mã.

1.2.2 Hệ mã mũ của Pohlig và Hellman

Hệ mã này được đưa ra từ năm 1978 Tuy vẫn thuộc vào làng khóa bí mật,nhưng nó được xem là tiền thân của các hệ mã phi đối xứng (khóa công khai)

Hệ mã đối xứng chỉ sử dụng một chìa khoá cho cả hai quá trình lập mã và giải

mã Để giải mã được văn bản được gửi từ A thì B phải có chìa khóa do A gửi đến,nên khi A gửi đến B văn bản mã thì đồng thời A cũng phải gửi cho B chìa khóa

để giải và như thế vô tình chìa khóa bỗng trở nên trôi nổi và dễ bị phát hiện Sovới hệ mã đối xứng thì hệ mã mũ có tiến bộ hơn về mặt này, vì nếu như khóa lập

mã bị lộ thì trong một thời gian có thể chấp nhận được, người có được, khóa lập

mã vẫn khó có thể tìm ra được khóa giải mã và như thế bí mật thông tin có thểđược xem như tương đối an toàn trong một khoảng thời gian nào đó

Nguyên lý thực hiện

Để tiến hành thực hiện mã hóa thì A và B sẽ tìm cho mình khóa lập mã và giữ bímật khóa (chỉ có họ mới biết chìa khóa đó)

Khóa lập mã là cặp số nguyên dương e và p Trong đó p là số nguyên tố lẻ và e là

số nguyên dương sao cho e và ϕ(p) = p - 1 là hai số nguyên tố cùng nhau

Để mã hóa văn bản cần gửi, trước tiên A phải tiến hành số hóa và chia khối vănbản Số hóa văn bản tức là ta chuyển văn bản chữ thành văn bản số bằng phépđặt tương ứng giữa các chữ cái và các số Ví dụ trong bảng chữ cái tiếng Anh gồm

26 chữ cái thì ta qui ước mỗi chữ như vậy tương ứng với một số, chẳng hạn chữ atương ứng là 01, b tương ứng là 02, c tương ứng là 03, , z tương ứng là 26 Khi

đó, nếu ta có chữ "cantho" thì văn bản số tương ứng là "030114200815" Ở đây takhông kể khoảng trắng nếu muốn thêm vào khoảng trắng ta có thể qui ước tương

tự như trên Tuy nhiên ta có thể qui ước phép đặt tương ứng theo cách khác ngược

lại hoặc tùy ý theo thỏa thuận giữa A và B Và như thế ta thấy việc có được khóagiải mã thì chưa chắc hiểu được nội dung văn bản vì ta không biết được qui ướcgiữa A và B trong phép đặt tương ứng giữa chữ và số Điều đó một lần nữa khẳngđịnh sự an toàn của hệ mã mũ này.

Chia khối văn bản là thao tác chia nhỏ văn bản số để tiến hành mã hóa được thuậnlợi hơn Ví dụ nếu ta có văn bản "cantho" thì văn bản số tương ứng như trên là

"030114200815" Nếu không chia khối thì ta sẽ làm việc với số nguyên khá lớn 12

số thập phân là "030114200815” tuy nhiên để đơn giản hơn ta có thể chia nhỏ rathành hai khối "can" và "tho" khi đó ta có thể làm việc với số nguyên nhỏ hơnrất nhiều vì mỗi khối bây giờ chỉ gồm ba chữ cái thì đồng nghĩa với việc ta thựchiện tính toán trên số nguyên không quá 6 chữ số Vậy việc chia khối là cần thiếttuy nhiên không thể quá nhỏ vì nó đem nhiều bất lợi cho người dùng mã (dễ bị lộkhóa)

Như cách đặt tương ứng như trên nếu mỗi khối gồm N chữ cái thì số tương ứng sẽkhông vượt quá số nguyên 2626 26 ( gồm N lần số 26 viết tiếp nhau) Tuy nhiênkhông phải lúc nào văn bản của chúng ta cũng được chia thành nguyên lần khối

N, mà nó có thể thiếu một vài chữ mới thành khối N, gặp trường hợp như vậy taphải tiến hành làm tròn khối văn bản bằng cách thêm vào các chữ cái ở cuối vănbản để cho văn bản của ta là nguyên lần khối N, nhưng không làm thay đổi nộidung văn bản Khi chia khối văn bản xong, thì A cần tiến hành mã hóa từng khốivăn bản và mã hóa hết tất cả các khối, bằng công C ≡ Nemodptrong đó C là vănbản mã ở dạng số còn N là văn bản số Và A gửi cho B là gửi tất cả các khối C.Khi có được các khối C được gửi từ A, thì B sẽ tiến hành giải mã Trước tiên, B sẽtiến hành tìm khóa giải mã d bằng cách giải phương trình đồng dư:ed ≡ 1modϕ(p).(1)

Ta thấy, số nguyên d luôn tìm được và duy nhất bằng thuật toán Euclide Khi cóđược khóa giải mã, B sẽ tiến hành giải mã từng khối C bằng công thức:Cd ≡ Ned≡

N modp(2) (theo hệ quả của định lý Euler) Khi có được tất cả các khối

N, B sẽ tiếp tục tìm lại văn bản gốc bằng cách sử dụng lại phép đặt tương ứngban đầu.

Từ công thức (1), ta thấy nếu hai số N1; N2 có cùng số dư khi chia cho p thì haikhối mã tương ứng C1; C2 sẽ trùng nhau Vì vậy, sẽ xảy ra tình trạng hai khối vănbản số ban đầu khác nhau nhưng lại có hai khối văn bản mã giống nhau điều này

sẽ nảy sinh vấn đề sai lệch nội dung khi giải mã và dẫn đến nội dung văn bản đượcgiải mã sẽ khác nội dung văn bản ban đầu Để khắc phục tình trạng này trong quátrình chia khối cần đảm bảo không có khối N nào lớn hơn hoặc bằng số nguyên tố

p Điều này đảm bảo tính toàn vẹn của nội dung văn bản, tức là nội dung văn bảnsau khi giải mã và văn bản gốc là trùng khớp nhau

Do N là số nguyên không lớn hơn số nguyên tố p, nên N và p là hai số nguyên tốcùng nhau điều đó dẫn đến Ned≡ N modp Từ công thức (2) ta thấy khối C cũng

là số luôn nhỏ hơn p Để đảm bảo C không chính là Ne thì số e được chọn khôngquá nhỏ, sao cho thường xuyên có được Ne > p

1.2.3 Hệ mã công khai RSA

1.2.3.1 Nguyên tắc chung của mã hóa công khai

Để tìm nắm rõ về hệ mã RSA, trước tiền ta ta tìm hiểu nguyên tắc chung của mãhóa với khóa công khai Giả sử trong hệ thống đang xét có n cá thể cùng tham giatrao đổi thông tin mật Mỗi cá thể chọn cho mình khóa lập mã k và công thức Ekđược thông báo công khai Như vậy có n khóa lập mã công khai k1, k2, , kn Khi cáthể thứ i muốn gửi thông báo đến cá thể thứ j, cũng như trước đây mỗi chữ trongthông báo được chuyển thành số, sau đó nhóm thành khối với độ dài nào đó Tiếp

đó, mỗi khối P trong văn bản được mã hóa bằng khóa lập mã của cá thể j theocông thứcC = Ekj(P) Để giải mã thông báo này, cá thể j chỉ cần dùng khóa giải mã(bí mật riêng của mình) Dk và tiến hành theo công thức: Dkj(C) = DkjEkj(P) = P

Vì Ekj và Dkj là khóa lập mã và giải mã của cá thể j nên người khác dù có đượcvăn bản mật thì cũng không thể biết được nội dung văn bản gốc, vì việc biết được