PP TỈ SỐ THỂ TÍCH tiếp theo Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với SA vuông góc với đáy, G là trọng tâm tam giác SAC, mặt phẳng ABG cắt SC tại M, cắt SD tại N
Trang 1DẠNG 4 PP TỈ SỐ THỂ TÍCH (tiếp theo)
Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với SA vuông góc với đáy, G là trọng tâm
tam giác SAC, mặt phẳng (ABG) cắt SC tại M, cắt SD tại N Tính thể tích của khối đa diện MNABCD biết SA
= AB = a và góc hợp bởi đường thẳng AN và mặt phẳng (ABCD) bằng 300
Đ/s:
3
3 5 5 3
MNABCD S ABCD S ABMN
a
Ví dụ 2: Cho khối tứ diện ABCD Trên các cạnh BC, BD, AC lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho BC =
4BM, BD = 2BN và AC = 3AP Mặt phẳng (MNP) chia khối tứ diện ABCD làm hai phần Tính tỉ số thể tích
giữa hai phần đó
Đ/s: Tỉ số thể tích cần tìm là 7
13 hoặc
13 7
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi với 0
120
=
BAD , BD = a > 0 Cạnh bên SA
vuông góc với đáy Góc giữa mặt phẳng (SBC) và đáy bằng 600 Một mặt phẳng (α) đi qua BD và vuông góc
với cạnh SC Tính tỉ số thể tích giữa hai phần của hình chóp do mặt phẳng (α) tạo ra khi cắt hình chóp
Hướng dẫn giải:
Gọi V, V1 và V2 là thể tích của hình chóp S.ABCD, K.BCD và phần còn lại của hình chóp S.ABCD
Ta có
1
2 13
BCD
S SA
V S HK HK .
+
V
Ví dụ 4: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy góc 600 Gọi M là điểm đối
xứng với C qua D, N là trung điểm của SC Mặt phẳng (BMN) chia khối chóp thành hai phần Tính tỉ số thể
tích của hai phần đó
Hướng dẫn giải:
Gọi P = MN ∩ SD, Q = BM ∩ AD ⇒ P là trọng tâm ∆SCM, Q là trung điểm của MB
MCNB
1 2 1 1
2 3 2 6
6
=
• Vì D là trung điểm của MC nên d M CNB( ,( )) 2 ( ,(= d D CNB))
⇒
2
2
SABNPQ
DPQCNB
V
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, cạnh a, 0
60
=
ABC , chiều cao SO của hình chóp
bằng 3
2
a
, trong đó O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD Gọi M là trung điểm của AD, mặt phẳng
Tài liệu bài giảng:
07 THỂ TÍCH KHỐI CHÓP – P8
Thầy Đặng Việt Hùng
Trang 2Hướng dẫn giải:
Gọi N = BM ∩ AC ⇒ N là trọng tâm của ∆ABD
Kẻ NK // SA (K ∈ SC) Kẻ KI // SO (I ∈ AC) ⇒ KI ⊥ (ABCD) Vậy . D 1 D
3
V = KI S
Ta có: ∆SOC ~ ∆KIC ⇒
S
KI CK
SO = C (1), ∆KNC ~ ∆SAC ⇒
S
CK CN
C = CA (2)
Từ (1) và (2) ⇒
1
3
CO CO
KI SO
+ +
Ta có: ∆ADC đều ⇒ CM ⊥ AD và 3 1( ) 3 3 2
a
CM = ⇒S = DM +BC CM = a
⇒
3
1
a
V = KI S =
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với đáy hình chóp Cho
AB=a SA=a Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD Chứng minh SC⊥(AHK) và tính thể
tích hình chóp OAHK
Đ /s:
3
2
27
a
Bài 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt
phẳng (ABC) Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC Tính thể
tích của khối chóp A.BCNM
Đ /s:
3
3 3
50
a
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh SA vuông góc với
đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 600 Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho
3
a
AM = Mặt phẳng
(BCM) cắt cạnh SD tại N Tính thể tích khối chóp S.BCNM
Đ /s:
3
10 3
27
a
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a,AD=a 3, SA = 2a và SA ⊥
ABCD Một mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC, cắt SB, SC, SD lần lượt tại H, I, K Hãy tính thể tích
khối chóp S.AHIK theo a
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA ⊥ (ABCD), SA = 2a Gọi B’, D’ là hình chiếu
của A trên SB, SD.Mặt phẳng AB’D’ cắt SC tại C’ Tính thể tích khối chóp S AB’C’D’
Bài 6: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AD, SC Tính tỉ số thể
tích của hai phần hình chóp được phân chia bởi mặt phẳng (MNP)
Trang 3Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B; SA=a 3vuông góc với (ABC) Biết AB = BC =
a Kẻ AH ⊥ SB và AK ⊥SC
a) Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp S.ABC là các tam giác vuông
b) Tính thể tích khối chóp S.ABC
c) Chứng minh rằng SC⊥(AHK)
d) Tính V S.AHK
Bài 8: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy một góc 60o ; gọi
M là trung điểm của SC Mặt phẳng (P) đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và SD tại F
a) Chứng minh rằng AM ⊥ EF
b) Tính thể tích khối chóp S.AEMF
c) Tính chiều cao của hình chóp S.AEMF
Bài 9: Cho hình chóp SABCD có thể tích bằng 27a3 Lấy A trên SA sao cho ' SA=3SA Mặt phẳng qua ' A '
và song song với đáy hình chóp cắt SB, SC, SD lần lượt tại B C D Tính thể tích hình chóp ', ', ' SAB C D ' ' '
Đ/s: V = a3
Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, chiều cao SA = h Gọi N là trung điểm SC Mặt
phẳng chứa AN và song song với BD lần lượt cắt SB, (SDF) tại M và P Tính thể tích khối chóp SAMNP
Đ/s:
2
9
V
Bài 11: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành và lấy M trên SA sao cho SM =x
SA Tìm x để
mặt phẳng (MBC) chia hình chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau
2
−
=
x