quan hệ song song - hình học không gian

Dạng 3: Chứng minh hai đường thẳng song song * Phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song - Cách 1: Chứng minh hai đường thẳng đó đồng phẳng, rồi áp dụng các phương pháp chứng minh

HÌNH HỌC 11 QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN

Đỗ Văn Thọ (Biên Soạn)

Hội An

Dạng 3: Chứng minh hai đường thẳng song song

* Phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song

- Cách 1: Chứng minh hai đường thẳng đó đồng phẳng, rồi áp dụng các phương pháp chứng minh song song trong hình học phẳng (định lý Ta-let đảo trong mặt phẳng, tính chất đường

trung bình…)

Định lý ta-let đảo trong mặt phẳng (lớp 8): Nếu một đường

thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh

đó những đoạn thẳng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với một cạnh còn lại của tam giác

N

B

A

C M

AM AN

AB AC

MN BC

AM AN

BM CD















O

AB CD

 



O



- Cách 2: Áp dụng hệ quả định lý giao tuyến của hai mặt phẳng

   

   

   

,

P Q

a P b Q

a b c

a b

P Q c













 



- Cách 3: Chứng minh đường thẳng đó song song với đường

thẳng thứ 3

Bài tập:

Bài 3.1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang,

đáy lớn AD, đáy nhỏ BC Gọi E, F lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB và SCD

a Chứng minh EF AD BC 

b Gọi H là giao điểm của mặt phẳng (ABF) với SD và K là giao điểm của mặt phẳng (CDE) với SA Chứng minh

HK  AD

Bài 3.2: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm

của AB, BC và Q là một điểm nằm trên cạnh AD và P là giao điểm của CD với mặt phẳng (MNQ) Chứng minh rằng

PQ MN và PQ  AC

Bài 3.3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với đáy

lớn AB Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB

a Chứng minh MN  CD

b Tìm giao điểm K của SC với (AND) Kéo dài AN và DK cắt nhau tại I Chứng minh SI  AB CD

Bài 3.4: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm

của BC và BD Gọi P là điểm tùy ý trên cạnh AB sao cho

P  A và P  B Gọi I  PD AN và J  PC  AM Chứng minh rằng IJ CD (Định lý giao tuyến)

Bài 3.5: Cho tứ diện ABCD và ba điểm P, Q, R lần lượt lấy

trên ba cạnh AB, CD, BC Tìm giao điểm S của AD với mặt phẳng (PQR) trong hai trường hợp sau:

a PR song song với AC

b PR cắt AC

Bài 3.6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi Gọi

M và N lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB và SAD; E là trung điểm của BC Chứng minh rằng MN  BD (dùng định lý Ta-let đảo)

Bài 3.7: Cho tứ diện ABCD Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các

tam giác ABC, ABD Chứng minh JI  CD

Bài 3.8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD

với đáy là AD và BC Gọi I, J lần lượt là trọng tâm của các tam

giác SAD và SBC Mặt phẳng (ADJ) cắt SB, SC lần lượt tại M,

N Mặt phẳng (BCI) cắt SA, SD lần lượt tại P, Q

a Chứng minh MN song song với PQ

b Giả sử AM  BP  E và CQ DN  F Chứng minh rằng

Bài 3.9:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Gọi M, N, P,

Q là các điểm lần lượt nằm trên BC, SC, SD, AD sao cho

MN  BS NP CD MQ CD 

a Chứng minh PQ SA (dùng Ta-let)

b Gọi K là giao điểm của MN và PQ Chứng minh

SK  AD BC (Hệ quả định lý giao tuyến)

Bài 3.10:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD Gọi

M, K lần lượt là trung điểm AB và BC, I là giao điểm của DM

và AC, J là điểm trên đoạn SM sao cho SJ=2JM

a Chứng minh JI  SD

b Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IJK)

Bài 3.11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành

ABCD Gọi H và K lần lượt là trung điểm của SA và SB

a Chứng minh HK CD

b Gọi M là điểm trên cạnh SC và không trùng với S Tìm giao tuyến của (HKM) và (SCD)

* Dạng 4: Chứng minh đường thẳng song song với mặt

phẳng

- Cách 1: Ta chứng minh đường thẳng đó song song với một

đường thẳng nằm trong một mặt phẳng nào đó

d

P

 

 

  '

'

 







 



- Cách 2: Ta chứng minh đường thẳng đã cho nằm trong một

mặt phẳng khác song song với mặt phẳng đã cho

Q

d P

 

 













Bài 4.1: Cho tứ diện ABCD G là trọng tâm tam giác ABD

Trên đoạn BC lấy điểm M sao cho MB=2MC Chứng minh

rằng MG  ACD

Bài 4.2: Cho tứ diện ABCD Gọi G và 1 G lần lượt là trọng tâm 2

của các tam giác ACD và BCD Chứng minh rằng G G song 1 2

song với các mặt phẳng (ABC) và (ABD)

Bài 4.3: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong

hai mặt phẳng phân biệt Gọi O là giao điểm của AC và BD, O’ là giao điểm của AE và BF

a Chứng minh OO '  ADF và OO ' BCE

b Gọi I, J lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABD và ABE Chứng minh rằng IJ  CEF

Bài 4.4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành

ABCD Gọi G là trọng tâm tam giác SAB và I là trung điểm của AB Lấy điểm M trên đoạn AD sao cho AD=3AM

a Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)

b Đường thẳng qua M và song song với AB cắt CI tại N

Chứng minh rằng NG  SCD

c Chứng minh rằng MG  SCD

Bài 4.5*: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD,

đáy lớn là AD và AD=2BC Gọi O là giao điểm của AC và BD

G là trọng tâm của tam giác SCD

a Chứng minh rằng OG  SBC

b Cho M là trung điểm của SD Chứng minh rằng CM  SAB

c Giả sử điểm I nằm trong đoạn SC sao cho 3

2

SC  SI Chứng minh rằng SA  BID

Bài 4.6: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang có hai

đáy là AB và CD với AB=2CD Gọi O là giao điểm của AC và

BD, I là giao điểm của AD và BC, K là điểm thuộc đoạn SI sao cho KI=2KS Chứng minh rằng OK  SAB

Bài 4.7: Cho hình chóp S.ABCD Gọi G là trọng tâm của tam

giác SAB, N là điểm trên đoạn AC sao cho 1

3

AN

AC  Chứng

minh GN song song với (SCD)

Bài 4.8: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang, AB CD

cho AM=2DN Gọi E là trung điểm của SM Chứng minh

EN  SAD và EN  SBC

Bài 4.9: (Cơ Bản) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình

hành ABCD

a Chứng minh rằng AD  SBC và CD SAB

b Gọi M, N lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB và ABD Chứng minh MN  SAD

Bài 4.10: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P lần lượt là trung

điểm của AB, AD, BD

a Chứng minh rằng BD  CMN

b Gọi I là điểm trên cạnh AC sao cho AI=2IC, MI cắt BC tại

K Chứng minh rằng DK CPN 

Bài 4.11: (Cơ Bản) Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P lần lượt là

trung điểm của AC, BC, CD Chứng minh rằng

a MNP AB

b MNP  AD

c MNP BD

Bài 4.12: (Cơ Bản) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là

hình thang, đáy lớn AB, đáy nhỏ CD Gọi I, J lần lượt là trung điểm AD, BC

a Tìm giao tuyến của (SIJ) với các mặt phẳng (SAD), (SBC), (ABCD), (SAB) và (SCD)

b Chứng minh rằng AB  SIJ và CD  SIJ

Bài 4.13: (Cơ bản) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ

giác lồi có các cặp cạnh đối không song song với nhau

a Tìm giao tuyến của (SAC) với (SBD)

b Tìm giao tuyến của (SCD) với (SAB)

c Tìm giao tuyến của (SAD) với (SBC)

d Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SA, SB và K là điểm bất

kỳ trên SD Tìm giao điểm của IJ với (SCD)

e Chứng minh rằng AB  IJD

f Tìm giao điểm KJ với (SAC)

g Tìm giao tuyến của (IJK) với (SAC)

Bài 4.14: (Cơ bản) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là

hình bình hành Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SC, SB và điểm I là điểm bất kỳ trên cạnh CD sao cho I không trùng với trung điểm của CD, và trùng C, D

a Tìm giao điểm của SD với (IMN)

b Chứng minh (IMN)  AD

Bài 4.15: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang có đáy lớn

AB Gọi M, N lần lượt là trung điểm SA, SB

a Chứng minh MN  CD

b Tìm giao điểm P của SC với (AND)

c Gọi I là giao điểm AN với DP Chứng minh SI  AB CD

* Dựng thiết diện song song với một đường thẳng

Phương pháp: Ta sử dụng định lý: Cho đường thẳng d song

song với mặt phẳng (P) Nếu một mặt phẳng (Q) chứa d và cắt (P) theo giao tuyến d’ thì d’ song song với d

Bài 5.1: Cho tứ diện ABCD Một điểm M trên cạnh AC Mặt

phẳng (P) đi qua M và song song với AB và CD Tìm thiết diện của mặt phẳng (P) với tứ diện ABCD

Bài 5.2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là ABCD là hình thang

với đáy lớn AD Gọi M là điểm bất kì trên cạnh AB và (P) là

a Xác định thiết diện tạo bởi (P) và hình chóp

b Chứng minh rằng SC song song với (P)

Bài 5.3: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang với đáy

lớn là AB Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC và G là trọng tâm của tam giác SAB

a Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJG)

b Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IJG)

Bài 5.4: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình

hành Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB, SAD M

là trung điểm của CD Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IJM)

HAI MẶT PHẲNG SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN

* Phương Pháp: Chứng minh mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q)

- Nếu hai đường thẳng a, b cắt nhau cùng nằm trong mặt phẳng (P) lần lượt song song với hai đường thẳng a’, b’ cắt nhau nằm trong mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q)

 

   

   

,

;

a b I

a Q b Q

  











BÀI TẬP

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành

tâm O Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD

a Chứng minh OMN   SBC

b Gọi P, Q là trung điểm của AB, ON Chứng minh

PQ  SBC

Bài 2: Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt

phẳng khác nhau Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM=BN Các đường thẳng song song với AB

vẽ từ M, N lần lượt cắt AD, AF tại M’, N’

a Chứng minh CBE  ADF 

b Chứng minh DEF  MNN M' '

Bài 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Gọi M, N, E theo thứ

tự là trung điểm của các cạnh AB, AA’, A’D’

1 Chứng minh MNE  A BC' '

2 Xác định thiết diện của hình hộp với mặt phẳng (MNE)

Bài 4: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Gọi I, K, G lần

lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, A’B’C’, ACC’ Chứng minh rằng: IKG  BB C C' '  và A KG'   AIB'

Bài 5: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P lần lượt là các điểm

trên các cạnh AC, BC, CD sao cho AM BN DP

AC  BC  SC Chứng

minh rằng hai mặt phẳng ABD và  MNP song song với 

nhau

Bài 6: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, Gọi M, N, P lần lượt là

trung điểm của AB, B’C’, DD’

1 Chứng minh rằng MNP  AB D' ' và MNP  BDC'

2 Xác định thiết diện của hình hộp với (MNP)

Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình

hành tâm O Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SD

1 Chứng minh rằng OMN   SBC

2 Gọi H là trung điểm OM Chứng minh HN  SBC

Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và CD

1 Chứng minh rằng OMN   SBC

2 Gọi I là trung điểm của SD, J là một điểm trên (ABCD) và cách đều AB, CD Chứng minh IJ  SAB

3 Giả sử hai tam giác SAD, ABC đều cân tại A Gọi AE, AF là các đường phân giác trong của các tam giác ACD và SAB Chứng minh EF SAD

Bài 9: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Chứng minh rằng

ADD A' '  BCC B' '; AB D' '  DBC'