LUẬN VĂN THẠC SỸ VỀ XẤP XỈ TCHEBYCHEFF BẰNG CÁC ĐA THỨC giáo viên hướng dẫn tiến sĩ Mai Xuân Thảo

LUẬN VĂN THẠC SỸ VỀ XẤP XỈ TCHEBYCHEFF BẰNG CÁC ĐA THỨC giáo viên hướng dẫn tiến sĩ Mai Xuân Thảo. Chương 1: Trình bày về xấp xỉ Tchebyshew bằng đa thức, một số vấn đề về nội suy (công thức Lagrange, công thức sai số, đa thức Tchebyshew, nội suy Hermite), định lý Weierstrass, đa thức Bernstein, định lý Fejér . Chương 2: Trình bày kiến thức về xấp xỉ Tchebyshew bằng đa thức tổng quát, điều kiện Haar, hệ Markoff, định lý de La Vallée Poussin, định lý Freud, các định lý hội tụ. Chương 3: Trình bày về sai số, xét sai số trên không gian metric compact tùy ý và trên một không gian metric compact cụ thể, bất đẳng thức Markoff và bất đẳng thức Bernstein. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng chắc chắn luận văn khó tránh khỏi những khiếm khuyết nhất định. Vậy tôi rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô giáo và những người quan tâm đến vấn đề này.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên nghành: Toán giải tích

Mã số: 60.46.01.02

Người hướng dẫn khoa học: TS Mai Xuân Thảo

THANH HÓA, NĂM 2014

Mở đầu

Như chúng ta đều biết: chuẩn xác định trên không gian cáchàm liên tục bị chặn trên một tập S theo công thức

Khi xét xấp xỉ hàm liên tục f xác định trên đoạn a b bằng đa, 

c g



Như vậy, bài toán xấp xỉ có dạng

số xấp xỉ của xấp xỉ Tchebyshew bằng đa thức

Chương 1: Trình bày về xấp xỉ Tchebyshew bằng đa thức, một sốvấn đề về nội suy (công thức Lagrange, công thức sai số, đa thức

Tchebyshew, nội suy Hermite), định lý Weierstrass, đa thứcBernstein, định lý Fejér

Chương 2: Trình bày kiến thức về xấp xỉ Tchebyshew bằng đathức tổng quát, điều kiện Haar, hệ Markoff, định lý de La ValléePoussin, định lý Freud, các định lý hội tụ

Chương 3: Trình bày về sai số, xét sai số trên không gian metriccompact tùy ý và trên một không gian metric compact cụ thể, bấtđẳng thức Markoff và bất đẳng thức Bernstein

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng chắc chắn luận văn khótránh khỏi những khiếm khuyết nhất định Vậy tôi rất mong nhậnđược sự góp ý của các thầy cô giáo và những người quan tâm đếnvấn đề này

Chương 1 Xấp xỉ Tchebycheff bằng đa thức

1.1 Nội suy

Định lý 1.1 ( Định lý nội suy )

Tồn tại duy nhất đa thức có bậc  n nhận giá trị cho trước tại n + 1 điểm phân biệt.

Định lí 1.2 Nếu f có đạo hàm liên tục đến cấp n trên đoạn

a b , giả sử ;  P là đa thức của f tại n nút x có bậc i n nội suy trong đoạn a b và giả sử W( );  x (x x i) thì ta có:

Định lí 1.4.( Nội suy Hermite)

Tồn tại duy nhất đa thức P có bậc  2n -1 sao cho P và đạo hàm của nó P' nhận các giá trị cho trước tại n điểm.

1.2 Định lý Weierstrass

1.2.1 Đa thức Bernstein

Với mỗi f C0,1, một dãy các đa thức gọi là đa thức Bernstein B f được xác định bởi công thức n

k n

Công thức (1) cũng xác định với mỗi n, một toán tử B Như vậy n

với mỗi phần tử f C0;1, có tương ứng một phần tử khác

n

B f của C0;1 được xác định như ở trên sao cho điều kiện

tuyến tính được thỏa mãn, đó là

B af bg n(  )aB f n( )bB g n (2)Các toán tử B có thêm tính chất quan trọng, đó là với mọi n

x a b , Khi đó các toán tử B được gọi là các toán tử đơn n

điệu Một sự kiểm tra của chứng minh của Bernstein tiết lộ rằngmấu chốt của vấn đề là sự xác minh của toán tử này có tính chấthội tụ

Sự mở rộng nổi bật về định lí của Benstein hiện tại đã được đưa

ra bởi Bohman và Korovkin, ở đó các tính chất (2),(3),(4) là đủ

cho bất kỳ dãy toán tử L nào có tính chất n L f n  f với mọi

0;1

f C

Định lí 1.5 Với mỗi dãy các toán tử tuyến tính đơn điệu { } L n

trên C a b , các điều kiện sau là tương đương ; 

(i) L f n  f ( hội tụ đều) với mọi f Ca b; 

1

n

i i i

Với mục đích của định lí Fejér, nó là tiện lợi để biểu diễn toán tử

ở (5) theo các số hạng của hàm W( )x (x x i), như các mụctrước đó chúng ta vẫn có

lượng dạng không xác định thì ta nhận được i'( )i 12 W'(x )W"(x )i

Chương 2 Xấp xỉ Tchebycheff bằng đa thức tổng quát

2.1 Sự tồn tại của xấp xỉ tốt nhất

Ở các phần trước chúng ta đã xem xét việc xấp xỉ của các hàm

số bởi các đa thức thường có bậc n , dĩ nhiên những đa thứcnày là đơn giản chúng là các tổ hợp tuyến tính đơn giản của cáchàm 1; ; ; ;x x2 x n

Điều hết sức tự nhiên là cần mở rộng khái niệm về đa thức để baogồm tổ hợp tuyến tính của các hàm cho trước, đó là g g1, , ,2 g n

Chúng ta luôn giả sử những hàm như thế là liên tục trên mộtkhông gian metric compact X cho trước Tổ hợp tuyến tính của

r c g f



  nhỏ nhất ( theo chuẩn đều ) là gốc của n không gian phải nằm trong bao lồi của tập điểm r x x r x( ) : ( )ˆ r  ở đây , c i i 1,n là các hệ số, xˆ

là ký hiệu của bộ g x1( ), ,g x n( )

Chú ý định lí trên có thể mở rộng trong trường hợp phức, tậpđiểm

r x x r x( ) : ( )ˆ  r được viết lại là r x x r x( ) : ( )ˆ r 

Ở đây ( )r x là liên hợp phức của ( ) r x

Với những loại cụ thể của các đa thức tổng quát, đặc trưng củaxấp xỉ tốt nhất có thể đưa ra theo một dạng tiện lợi hơn rất nhiều

đó là điều kiện Haar

Điều kiện Haar Hệ các hàm g , ,1 g n là thỏa mãn điều kiện Haar nếu mỗi g i là liên tục và nếu mỗi tập gồm n véc tơ dạng

1

( ) ( ) , , 0

( ) ( )

n n

trong đó x x1, , ,2 x là các điểm phân biệt n

Hệ Tchebycheff : Một hệ hàm thỏa mãn điều kiện Haar được

gọi là hệ Tchebycheff nếu có ít nhất n nghiệm trên [a;b]

Chú ý rằng hệ  g g1; ; ;2 g thỏa mãn điều kiện Haar nếu và n

Bổ đề 2.1 Cho g g1; ; ;2 g là các phần tử của n C a b thỏa , 

mãn điều kiện Haar Giả sử a x 0 x1 x n b và

0, , n

  là các hằng số 0 Khi đó để 0 nằm trong bao lồi của

bộ : 0 0xˆ ; ;n n xˆ thì điều kiện cần và đủ là i đan dấu, tức là

thức

1

n

i i i

P c g



 là xấp xỉ tốt nhất của f trên X là r  f P xác định trên X và r x( )i r x( i1)r với x0  x n ; x iX ;

P x c c x trên 0,1 thì hàm sai số f  P cần phải đổi dấu

ít nhất 3 lần Từ phác thảo dưới đây, ta giả sử 3 điểm đổi dấu là

0,  ,1 , ở đây  là điểm chưa biết Cho   f  P

Nếu chúng ta biết  , chúng ta có thể tính được c c 0; ;1

Tại  , sai số giữa f và P là lớn nhất Do vậy'( ) '( ) 0

f   P  

Như một ứng dụng thú vị của định lí đan dấu, chúng ta có thểchứng minh một “ định lí không tồn tại ” Đầu tiên, ta định nghĩamột hệ Markoff

Hệ Markoff Hệ có thứ tự vô hạn (hoặc hữu hạn) các hàm liên

tục  ,gg2, trên đoạn a, b được gọi là hệ Markoff nếu mọi đoạn đầu g1,g2, g n  thỏa mãn điều kiện Haar.

Chẳng hạn các đơn thức 2

1; ; ; x x có dạng hệ Markoff trênđoạn bất kỳ

Định lý 2.3 Cho g g1, , 2 g là một hệ Markoff vô hạn trên n

[a,b] Cho M là không gian con tuyến tính đóng của Ca b,  được

sinh bởi các phần tử g khi đó với mọi điểm nằm ngoài M thì sẽ i

không tồn tại điểm nằm trong M để sai số là bé nhất

Chứng minh Giả sử ngược lại là tồn tại g là một điểm của M gần nhất đối với f và f  g   0 Khi đó 0 là điểm gần nhấtcủa M đối với f  g Cho không gian con hữu hạn chiều sinh

ra bởi g1, ,g Lúc này 0 là điểm của n M và gần f g n  nhất.

Theo định lý đan dấu f  g thể hiện ít nhất n+1 dao động vớibiên độ  Điều này là đúng với mọi n, do vậy f  g không thểliên tục, suy ra g không liên tục mâu thuẫn với giả thiết là

g M Từ đây ta có điều phải chứng minh

Sau đây là một ứng dụng khác của định lý đan dấu, chúng ta lấy

X là tập tùy ý của n+2 điểm trên đường thẳng thực Chúng ta

P Q có bậc n Sai số trong xấp xỉ này là 

Chứng minh Sự tồn tại của P và Q được đảm bảo bởi tính chất nội suy Vì Q là thay đổi dấu tại điểm x đồng thời có i n 1

nghiệm và do đó nó có bậc n  Suy ra  tồn tại Ta có1

( ) ( ) ( ) ( 1)i

f x  p x Q x    Khi đó theo định lí luân phiên

P Q là xấp xỉ tốt nhất cho f

Trong định lí tiếp theo ta sử dụng các hệ các hàm liên tục

g1,g2, g n  thoả mãn điều kiện Haar Ta kí hiệu( ) inf

E f  P f , ở đây P thuộc tập hợp các đa thức tổng quát

có dạng Pc g i i

Định lí 2.4 (Định lí de La Vallée Poussin).

Nếu P là một đa thức sao cho giá trị f  P đổi dấu luân phiên tại n+1 điểm liên tiếp x của [a;b] thì i

Như trong nội dung của những phần trước, chúng ta giả

sử hệ các hàm liên tục, độc lập tuyến tính  g g1, , ,2 g trên n

một đoạn [a,b]

chúng ta đã trình bày một số định lý đặc trưng về xấp xỉ của f

bởi một đa thức tổng quát , c g i i với mục đích làm nhỏ nhấtchuẩn f c g i i m a x bax ( )f x c g x i i( )

 

Một câu hỏi được đặt ra là khi nào xấp xỉ tốt nhất như thế là duynhất chúng ta cùng trình bày tiếp cùng với các định lý quan trọngsau

2.2 Tính duy nhất của xấp xỉ tốt nhất

Định lý 2.5 ( Định lý duy nhất )

Nếu các hàm g g1, , 2 g là liên tục trên đoạn [a,b] và n thỏa mãn điều kiện Haar thì khi đó xấp xỉ tốt nhất của mỗi hàm liên tục bởi một đa thức tổng quát c g i i là duy nhất

Chứng minh Ta giả sử P và Q là hai đa thức tổng quát phân biệt của xấp xỉ tốt nhất cho f cho trước Nhờ bất đẳng thức tam

giác ta nhận được 1 

2 P Q cũng là đa thức xấp xỉ tốt nhất của

f Thật vậy nếu ta ký hiệu  là tập hợp tất cả các đa thức tổng

quát Khi đó ta có

P f ming g f

Q f ming g fsuy ra 1( ) 1( ) 1( )

trong đoạn a b sao cho ,  ( ) 1( )( ) ( 1)

không thể Bởi vì hệ  g g1; ; ;2 g thỏa mãn điều kiện Haar thì n

không thể tồn tại đa thức tổng quát không tầm thường có nhiềuhơn n – 1 nghiệm □

Có hai hướng trong định lí có thể được cải tiến Hướngthứ nhất chúng ta chứng minh định lí ngược cho điều kiện Haar

Nếu đa thức của xấp xỉ tốt nhất cho f là duy nhất cho  f thì

tập các hàm  g g1; ; ;2 g là thỏa mãn điều kiện Haar Trong n

hướng thứ hai chúng ta có thể nhận được một vài thông tin chi

tiết về f  P tăng nhanh như thế nào khi P dần xa xấp xỉ tốtnhất Ở đây ta có thể làm nhẹ X là một khoảng bằng một khônggian metric compact bất kỳ

Định lí 2.6 ( Định lý duy nhất mạnh )

Cho tập các hàm  g g1; ; ;2 g thỏa mãn điều kiện Haar, n

giả sử P là đa thức xấp xỉ tốt nhất của hàm f liên tục cho0

trước Khi đó tồn tại hằng số >0 phụ thuộc vào f sao cho với bất kỳ đa thức P , ta có

j n

nhờ điều kiện Haar, ta có k n và điều kiện Carathe’odory có

k n Do vậy k n Cho Q là đa thức tổng quát sao cho

Vì  i 0 nên chúng ta suy rằng ít nhất có một số 1Q x( )i làdương

khi đó biểu diễn ax 1 ( )1

i

m Q x là một hàm dương của Q

Lúc này min(maxQ i i Q x( )) 0i  , đồng thời là giá trị nhỏ nhấtcủa hàm dương liên tục trên một tập compact Bây giờ cho P làmột đa thức tổng quát tuỳ ý Nếu P P 0 thì bất đẳng thức cầnchứng minh trong định lí là tầm thường, trong trường hợp P P 0

thì đa thức tổng quát 0

0

P P Q

P P





 có chuẩn bằng 1, khi đó cómột chỉ số i với i Q x( )i  chúng ta có

 là duy nhất nếu và chỉ nếu g g1; ; ;2 g thoả mãn n

điều kiện Haar.

Một trong những ứng dụng thú vị của định lí liên tục mạnh là

nếu f thay đổi không đáng kể thì đa thức xấp xỉ tổng quát của

nó cũng thay đổi không đáng kể Để diễn đạt điều này một cáchchính xác, giả xử rằng hệ các hàm thỏa mãn điều kiện Haar trên

: , , n

X g g Với mỗi f C X  , cho Jf là đa thức tổng quát của xấp xỉ tốt nhất cho f Khi đó J là toán tử liên tục, hơnthế nữa nó còn thỏa mãn điều kiện Lipschitz, đó là

Định lí 2.8 ( Định lí Freud)

Với mỗi f có tương ứng một số0 >0 sao cho với mọi

f ta có:

Jf0 Jf  f0 f

Chương 3 Sai số

Bài toán tính xấp xỉ tốt nhất trên một đoạn thường đượcthay bằng một tập hữu hạn các điểm và tìm xấp xỉ tốt nhất trêntập này Việc thay thế tính liên tục bằng một tập rời rạc được gọi

là rời rạc hóa Trong chương này ta sẽ xét sai số rời rạc trongkhông gian metric compact và áp dụng đối với không gian metriccompact X   1,1 với metric thông thường

3.1 Sai số trên không gian metric compact tùy ý

Giả sử ( , )X d là một không gian metric compact, ta đặc

biệt quan tâm trường hợp X   1,1 và ( ; )d x y  x y , hoặc

Với mọi tập con Y của X chúng ta cần một độ đo để Y lấp đầy

X Với mục đích này, chúng ta định nghĩa tính trù mật của Y

trong X bởi phương trình

Với khái niệm này, chuẩn ban đầu trong C X là   x

vì ở đây sẽ thường xuyên tồn tại hàm khác không liên tục và triệttiêu trên Y nên có thể f  0 và f  Do vậy nó là không0thể để có bất đẳng thức có dạng f xk f Y

Tuy nhiên trong trường hợp đặc biệt, bất đẳng thức như thế là cóthể , điều này được thể hiện bởi bổ đề sau

Bổ đề 3.1 Cho g1, ,g là tập bất kỳ các hàm liên tục trên n}

không gian metric compact X Với mỗi  1 có tương ứng 

>0 sao cho P  P  với mọi đa thức Pc g i i và với mọi tập Y thỏa mãn Y 

Nếu f là hàm nhận giá trị thực và bị chặn đồng thời xác

định trên một không gian metric X thì độ đo về tính liên tục của

nó được cho bởi hàm  , xác định với   0và phuơng trình :      

dụ, nếu đồ thị của f có một buớc nhảy độ lớn bằng 1 thì

   0

 khi  0.Thực vậy, cho  0 tồn tại hàm liên tục đều

và một số  0 sao cho : với mọi x và y

dx y,    f x( ) f y( ) 

Bất đẳng thức này là tương đương với    

Bổ đề 3.2 Cho X là không gian metric compact và f g, , ,1 g n

là các phần tử tuỳ ý của C X Khi đó với mỗi đa thức

Định lí 3.1 Cho X là một không gian metric compact và

1

, , , n

f g g là các phần tử của C X ,với mỗi    X , cho P

là kí hiệu của một đa thức P Y c g i i là xấp xỉ tốt nhất cho f trên Y Khi đó : f  P Y  f  P khi   0

Để diễn đạt các kết quả tiếp theo, chúng ta cần đến khái niệmcủa một tập cơ bản Một tập G trong C X được gọi là một tập 

cơ bản nếu với mỗi phần tử của C X có thể được xấp xỉ tốt tùy 

ý bởi một tổ hợp tuyến tính của các phần tử của G, nghĩa là vớimỗi f C X  và  0, cần tồn tại g iG và các hệ số c sao i

cơ bản trong C a b nhờ định lí Weierstrass. ; 

Định lí 3.2 Cho X là một không gian metric compact và

g g1; ; 2  là một tập cơ bản trong C X Khi đó ta có thể biểu 

diễn dãy các tập con hữu hạn  Y của n X sao cho với mọi

 

f C X xấp xỉ tốt nhất ( )

1

n n

i



 của f trên Y hội tụ n

đều tới f khi n  

Định lý 3.3 Cho X là không gian metric compact và f g; ; ;1 g n

là phần tử của C X Nếu f có duy nhất đa thức   P X c g i i

là xấp xỉ tốt nhất trên X thì xấp xỉ tốt nhất P của nó trên tập y

con Y hội tụ tới P khi X Y  0

f  P Y  f  P X  ( )Chúng ta quan sát thấy rằng nếu tập các hàm của chúng ta

g1; ;g thỏa mãn điều kiện Haar thì từ định lí duy nhất mạnh n

chúng ta có bất đẳng thức

P y P X 1  ( ) 2 f ( )

      (*)

Ở đây hằng số  phụ thuộc vào f nhưng không phụ thuộc vào 

3.2 Sai số trong không gian metric compact X   1,1

Mục này ta sẽ áp dụng các kết quả của mục trước cho khônggian metric compact X   1,1 (với metric thông thường ) và

hàm cơ sở 1 ,x,x2 , x n Do vậy bất đẳng thức (*) ở mục 3.1

bảo đảm xấp xỉ tốt nhất

0

n k

Với bất kì đa thức lượng giác S có bậc n, ta có

Nhận xét: Vì bất đẳng thức  ii là thuận lợi hơn bất đẳng thức

 i nên chúng ta có thể dành được ưu thế rõ ràng về sự phân bố

các điểm rời rạc cho xấp xỉ đa thức theo cách không đều Mặc dùđịnh lí này không làm lộ rõ sự phân bố tối ưu của các điểm là gì,nhưng nó đã cho thấy nếu chúng ta có m điểm ở sự sắp đặt củachúng ta trên đoạn 1;1 thì chúng ta nên đặt os(2 1)

Khi đó đa thức P với bậc n n  là xấp xỉ tốt nhất của f C1;1

trên Y hội tụ đều tới f khi n n  

2 Xấp xỉ Tchebyshew bằng đa thức tổng quát, điều kiện Haar,

hệ Markoff , chứng minh các định lý về tồn tại và duy nhấtcủa xấp xỉ tốt nhất : định lý tồn tại, định lý duy nhất, định lýduy nhất mạnh, định lý Haar, định lý de La Vallée Poussin,định lý Freud

3 Xét sai số xấp xỉ trên không gian metric compact X   1,1

với metric thông thường bất đẳng thức Markoff , bất đẳngthức Bernstein