nghiên cứu phụ thuộc mạnh trong cơ sở dữ liệu

Đây là khái niệm đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng quan hệ Armstrong của sơ đồ mạnh Cuối cùng, luận văn đề cập đến bốn bài toán quan trọng đối với việc nghiên cứu cấu trúc và l

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TS VŨ ĐỨC THI

Thái Nguyên - 2014

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng cá nhân tôi, không sao chép của ai do tôi tự nghiên cứu, đọc, dịch tài liệu, tổng hợp và thực hiện Nội dung lý thuyết trong trong luận văn tôi có sử dụng một số tài liệu tham khảo như đã trình bày trong phần tài liệu tham khảo Chương trình phần mềm và những kết quả trong luận văn là trung thực và chưa được công

bố trong bất kỳ một công trình nào khác

Thái Nguyên, ngày7 tháng 6 năm 2014

Học viên thực hiện

Lê Mạnh Hà

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, em xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến GS.TS Vũ Đức Thi người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo, giúp đỡ em trong suốt quá trình làm luận văn

Em cũng xin gửi lời cảm ơn đến các giảng viên trường Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông - Đại học Thái Nguyên, các thầy Viện Công nghệ thông tin đã truyền đạt những kiến thức và giúp đỡ em trong suốt quá trình học của mình

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các đồng nghiệp, gia đình và bạn bè những người đã ủng hộ, động viên tạo mọi điều kiện giúp đỡ để tôi có thể hoàn thành tốt luận văn

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu Trường Cao đẳng Sư phạm Quảng Ninh đã tạo kiện thuận lợi cho tôi tham gia khóa học và trong suốt quá trình hoàn thành luận văn

Một lần nữa, xin chân thành cảm ơn

MỤC LỤC

Lời cam đoan i

Lời cảm ơn ii

Mục lục iii

Phần mở đầu v

Bảng các kí hiệu vii

Bảng các hình vẽ viii

Chương 1: Phụ thuộc hàm 1

1.1 Định nghĩa 1

1.2 Hệ tiên đề ArmStrong 3

1.3 Bao đóng của tập phụ thuộc hàm và tập thuộc tính 4

1.4 Khoá tối thiểu của sơ đồ quan hệ và quan hệ 7

1.5 Các dạng chuẩn 9

1.6 Hệ Sperner 11

1.7 Các dạng tương đương của họ phụ thuộc hàm 17

1.8 Kết luận 19

Chương 2: Phụ thuộc mạnh và một số tính chất đặc trưng của phụ thuộc mạnh 20

2.1 Định nghĩa 20

2.2 Hệ tiên đề phụ thuộc mạnh 21

2.3 Bao đóng của tập phụ thuộc mạnh và tập thuộc tính 22

2.4 Khoá tối thiểu của sơ đồ mạnh và quan hệ 25

2.5 Các dạng tương đương của họ phụ thuộc mạnh 25

2.6 Một số tính chất cơ bản của bao đóng của tập thuộc tính 27

2.7 Thuật toán tính bao đóng của tập thuộc tính trên quan hệ 29

2.8 Họ các tập tối thiểu 31

2.9 Quan hệ ArmStrong của phụ thuộc mạnh 34

2.9.1 Sự tồn tại của quan hệ ArmStrong 34

2.92 Các thuật toán 38

2.9.3 Một số bài toán quan trọng 42

2.10 Kết luận 43

Chương 3: Cài đặt một số thuật toán về phụ thuộc mạnh trong CSDL 45

3.1 Lựa chọn bài toán 45

3.2 Thuật toán sử dụng trong chương trình 46

3.3.Cài đặt chương trình 48

3.4.Một số mã lệnh 49

3.5 Hướng dẫn sử dụng chương trình 56

3.6Chương trình minh họa 57

3.7 Đánh giá kết quả thực nghiệm 57

Kết luận 58

Tài liệu tham khảo 60

MỞ ĐẦU

Cơ sở dữ liệu (CSDL) là một trong những lĩnh vực được tập trung nghiên cứu và phát triển của công nghệ thông tin, nhằm giải quyết các bài toán quản lý, tìm kiếm thông tin trong những hệ thống lớn đa dạng, phức tạp cho nhiều người sử dụng trên máy tính điện tử Có thể nói E F Codd là người đầu tiên đề xuất mô hình dữ liệu quan hệ cho CSDL với công trình [6]

mà ngày nay đã trở thành kinh điển Đây là mô hình được xây dựng trên cơ sở

lý thuyết toán học về các quan hệ, bao gồm các thực thể (đối tượng) và các mối quan hệ qua lại giữa chúng Chỉ điều này đã tạo cơ sở toán học với cấu trúc hoàn chỉnh làm nền tảng cho các vấn đề nghiên cứu lý thuyết về CSDL

Người ta xem CSDL quan hệ như là một tập hợp hữu hạn các quan hệ Trong đó mỗi quan hệ có thể được hình dung một cách trực quan như là một bảng chữ nhật gồm có các hàng và các cột Mỗi hàng là một bản ghi (record) lưu trữ các dữ liệu Mỗi cột là một thuộc tính

Trong lý thuyết thiết kế CSDL quan hệ, ràng buộc dữ liệu hay còn gọi

là phụ thuộc dữ liệu có một ý nghĩa quan trọng trong việc đảm bảo tính nhất quán của dữ liệu Nghiên cứu ràng buộc dữ liệu là một vấn đề cần thiết Ý nghĩa của việc nêu ra khái niệm ràng buộc dữ liệu là nhằm đảm bảo cho dữ liệu trong CSDL không mâu thuẫn, phản ánh đúng thế giới hiện thực Các nhà nghiên cứu đã đưa ra nhiều loại ràng buộc dữ liệu khác nhau để đáp ứng phù hợp với thực tế rất phong phú và đa dạng Loại ràng buộc dữ liệu đầu tiên là phụ thuộc hàm được giới thiệu bởi E F Codd [6] vào những năm 1970 Ba loại ràng buộc dữ liệu khác sau đó cũng được xem xét đến là phụ thuộc đối ngẫu, phụ thuộc mạnh và phụ thuộc yếu bởiCzédli [7, 8] (1980) Tiếp sau đó

J Demetrovics và G.Gyepesi [11] (1983), vànhững người khác [1, 15, 26]

cũng tiếp tục nghiên cứu các ràng buộc dữ liệu này Với ba loại ràng buộc dữ liệu này, người sử dụng đôi khi có thể lấy được các thông tin thực mong muốn, ngay cả khi không tồn tại một phụ thuộc hàm nào giữa các tập thuộc tính và chỉ cần biết ít nhất một giá trị của các thuộc tính chứ không phải tập toàn bộ các giá trị của các thuộc tính của vế trái Hơn thế nữa, đôi khi việc xử

lý và tìm kiếm thông tin được tiến hành nhanh chóng hơn vì chỉ cần phải tìm kiếm trên một phần của quan hệ mà thôi

Mục tiêu của luận văn là tiếp tục nghiên cứu phụ thuộc hàm và phụ thuộc mạnh Luận văn bao gồm: Phần mở đầu, 3 chương và phần kết luận

Chương 1: Nhắc lại một số khái niệm cơ bản về phụ thuộc hàm và quan hệ Armstrong

Chương 2: Mục đích của chương này là trình bày nghiên cứu quan hệ Armstrong đối với phụ thuộc mạnh Có thể nói, trong nghiên cứu về các ràng buộc dữ liệu nói chung và phụ thuộc mạnh nói riêng, khái niệm bao đóng của tập thuộc tính thật sự đóng một vai trò quan trọng Kết quả chính là trình bày một số nghiên cứu về quan hệ Armstrong Đầu tiên, khái niệm họ các tập tối tiểu của thuộc tính của một sơ đồ mạnh được đề xuất Đây là khái niệm đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng quan hệ Armstrong của sơ đồ mạnh

Cuối cùng, luận văn đề cập đến bốn bài toán quan trọng đối với việc nghiên cứu cấu trúc và lôgic của họ phụ thuộc mạnh: bài toán xây dựng quan

hệ Armstrong của một sơ đồ mạnh cho trước, bài toán xây dựng sơ đồ mạnh đúng trên một quan hệ cho trước, bài toán kéo theo phụ thuộc mạnh-quan hệ

và bài toán tương đương phụ thuộc mạnh-quan hệ Tất cả các bài toán này được chứng tỏ có thể được giải quyết bằng các thuật toán thời gian đa thức

Chương 3: Cài đặt chương trình để minh họa phụ lý thuyết phụ thuộc mạnh

BẢNG CÁC KÍ HIỆU

Trong luận văn, có sử dụng các quy ước về kí hiệu và chữ viết tắt sau:

S=(U,F): Sơ đồ quan hệ, với U là tập các thuộc tính và F là tập các phụ thuộc hàm trên U

G=(U,S): Sơ đồ mạnh, với U là tập thuộc tính và S là tập các phụ thuộc mạnh trên U

R: quan hệ trên tập thuộc tính U

FR: (tương ứng SR) tập tất cả các phụ thuộc hàm (tương ứng phụ thuộc mạnh) đúng trên quan hệ R

F+: (tương ứng S+) bao đóng của tập phụ thuộc hàm (tương ứng phụ thuộc mạnh)

KS: (tương ứng KG, KR) tập tất cả các khóa tối tiểu của sơ đồ quan hệ s (tương ứng sơ đồ mạnh, quan hệ R)

KS-1: (tương ứng KR-1) tập phản khóa của KS (tương ứng KR)

Ka: họ các tập tối tiểu của thuộc tính a

Fn: (tương ứng Dn) tập tất cả các thuộc tính không cơ bản (tương ứng thuộc tính phụ thuộc)

R: (tương ứng NR) hệ bằng nhau (tương ứng không bằng nhau) quan

hệ của R

IS: họ các tập độc lập tối tiểu của sơ đồ quan hệ s

LS: (tương ứng LR) họ tất cả các bao đóng của tập thuộc tính của sơ đồ quan hệ s (tương ứng quan hệ R)

CSDL: cơ sở dữ liệu

BẢNG CÁC HÌNH VẼ

Hình 1.1: Phụ thuộc hàm

Hình 1.2 : Tương quan giữa lớp quan hệ với lớp phụ thuộc hàm Hình 1.3 : Tương quan giữa lớp phụ thuộc hàm với lớp hàm đóng Hình 1.4 : Lớp các dạng chuẩn

Hình 1.5 : Tương quan giữa họ phụ thuộc hàm với hệ Sperner Hình 1.6 : Tương quan lớp các hàm đóng với hàm chọn đặc biệt Hình 1.7 : Tương quan giữa lớp các hàm đóng và nửa dàn giao Hình 1.8 : Tương quan giữa lớp các nửa dàn giao và tập không giao

Chương 1: PHỤ THUỘC HÀM

Khái niệm phụ thuộc hàm được đề xuất bởi E.F.Codd và sau đó lần đầu tiên được tiên đề hoá bởi W.W.Armstrong [4](1974) Đây là một loại ràng buộc dữ liệu xảy ra tự nhiên nhất giữa các tập thuộc tính, về cơ bản các hệ quản trị cơ sở dữ liệu lớn đều sử dụng phụ thuộc này

1.1 Định nghĩa

Cho U là tập hữu hạn khác rỗng các thuộc tính Một phụ thuộc hàm

làmộtmệnh đề có dạng X Y, trong đóX, Y U Ta nói phụ thuộc hàm X Y

( hi,hj R)(( a X)(hi(a)=hj(a)) ( b Y)(hi(b)=hj(b)))

Ta cũng nói rằng R thỏa phụ thuộc hàm X Y

Gọi FRlà họ tất cả các phụ thuộc hàm đúng trên quan hệ R

Ta có thể nhận thấy rằng X mà phụ thuộc hàm vào Y, nếu hai dòng bất

kỳ mà các giá trị của tập thuộc tính X mà bằng nhau từng cặp một, thì kéo theo các giá trị trên tập thuộc tính Y cũng phải bằng nhau từng cặp một

Với định nghĩa này dễ thấy rằng trong các file dữ liệu cột, mã số hoặc thứ tự không thể bằng nhau

Ví dụ:Một cửa hàng cần quản lý về các loại mặt hàng mà họ bán ra

Giả sử mỗi loại hàng có một mầu duy nhất và một giá duy nhất Khi đó kí hiệu hàng hóa (KIHIEU) xác định hàm màu (MAU) và đơn giá (DONGIA) của loại hàng đó Trong trường hợp đơn giản đó, ta có tập thuộc tính U = {KIHIEU, MAU, DONGIA} và tập các phụ thuộc hàm F = {KIHIEU MAU, KIHIEU DONGIA}

R KIHIEU MAU DONGIA S KIHIEU MAU DONGIA

Hình 1.1(a) mô tả quan hệ r thỏa F vì nó thỏa cả hai phụ thuộc hàm của

F Trong hình 1.1(b), quan hệ s mặc dù thỏa phụ thuộc hàm KIHIEU DONGIA Tuy nhiên, s không thỏa KIHIEU MAU vì nó chứa hai bộ bằng nhau trên KIHIEU(“A1”) nhưng không bằng nhau trên MAU (“Xanh” và

“Đỏ”) do đó nó không thỏa F Tất cả nhưng quan hệ thỏa F như r lập thành lược đồ quan hệ R(U) = (U, F)

Trong ví dụ này, rõ ràng mọi quan hệ thỏa F đều thỏa (KIHIEU MAU DONGIA) nên phụ thuộc hàm này là được suy diễn từ F hay F = (KIHIEU MAU DONGIA)

Khái niệm phụ thuộc hàm miêu tả một loạt ràng buộc (phụ thuộc dữ liệu) xảy ra tự nhiên nhất giữa các tập thuộc tính

1.2 Hệ tiên đề Arsmtrong

Năm 1974, Armstrong đã chỉ ra được bốn đặc trưng cho một tập phụ thuộc hàm của một file dữ liệu nào đó Chúng được gọi là hệ tiên đề Armstrong

Giả sửU là tập hữu hạn khác rỗng các thuộc tính và X,Y,Z,V,W U Ta

nói F là một f - họ hay họ đầy đủ trên U nếu:

đi nghiên cứu và khảo sát họ phụ thuộc hàm không bị lệ thuộc vào các quan

hệ (bảng) cụ thể Các công cụ của toán học được áp dụng để nghiên cứu làm sáng tỏ cấu trúc lôgic của mô hình dữ liệu quan hệ Đặc biệt, sử dụng công cụ thuật toán để thiết kế các công đoạn xây dựng các hệ quản trị cơ sở dữ liệu

Ví dụ chỉ ra có nhiều quan hệ khác nhau xong các họ đầy đủ các phụ thuộc hàm của chúng lại như nhau

Cho R1 và R2 là các quan hệ sau:

Có thể thấy r1 và r2 khác nhau nhưng Fr1 = Fr2

Như vậy, tương quan giữa lớp các quan hệ với lớp các họ phụ thuộc hàm có thể được thể hiện bằng hình vẽ sau





 Lớp các quan hệ Lớp các phụ thuộc hàm

Hình1.2 : Tương quan giữa lớp quan hệ với lớp phụ thuộc hàm

1.3 Bao đóng của tập phụ thuộc hàm và tập thuộc tính

Ta gọi sơ đồ quan hệ s là một cặp (U,F) trong đó U là tập hữu hạn khác rỗng các thuộc tính vàF là tập các phụ thuộc hàm trên U

Như vậy khi cho một sơ đồ quan hệ có nghĩa ta cho một đầu biểu gồm nhiều cột, nhưng không có dữ liệu và áp đặt các các ràng buộc giữa các tập cột (bằng việc cho phụ thuộc hàm) Sự thật việc cho các ràng buộc này phải

tuân theo nghĩa của các cột

Khi đóbao đóng của tập phụ thuộc hàm F, ký hiệu F+

Hình 1.3 : Tương quan giữa lớp phụ thuộc hàm với lớp hàm đóng

Trong [4] W.W.Armstrong đã chứng minh rằng nếu s = (U, F) là một

sơ đồ quan hệ thì luôn tồn tại một quan hệ R trên U sao cho FR=F+.Một quan

hệ R như vậy được gọi là quan hệ Armstrong của s Trong trường hợp này

hiển nhiên các phụ thuộc hàm của s đều đúng trên R

Gọi X là tập con thuộc tính của U Ký pháp X+

={a U|X {a} F+} Khi đó X+

được gọi là bao đóng của tập thuộc tính X trên s

Bài toán xác định bao đóng X+

có độ phức tạp là đa thức theo kích thước của s(D.Maier [23]) Do đó, bài toán thành viên đối với sơ đồ quan hệ (nghĩa là cho sơ đồ quan hệ s=(U, F) và phụ thuộc hàm X Y, kiểm tra xem

X Y có thuộc F+ hay không) có thể được giải quyết bằng một thuật toán thời gian đa thức (D.Maier [23])

Đối với quan hệ R trên tập thuộc tính U, ta đặt

XR+={a U|X {a} FR} Khi đó, XR+ được gọi bao đóng của tập thuộc tính

X trên R

Bài toán xác định bao đóng XR

+

cũng có độ phức tạp là đa thức theo kích thước của R(Vũ Đức Thi [25])

Lưu ý rằng, khi bàn về phụ thuộc hàm thì quan hệ R được xét là quan

hệ của một sơ đồ quan hệ s = (U, F) nào đó, nghĩa là tập thuộc tính của R là U

và R thoả mọi phụ thuộc hàm của F

Dưới đây là một số tính chất cơ bản của bao đóng của tập thuộc tính trên sơ đồ quan hệ (trên quan hệ vẫn còn đúng) Các tính chất này có thể tìm thấy trong[2]

Định lý 1.3.1 [2]Giả sử s = (U, F) là một sơ đồquan hệ và X,Y U Khi đó

Trong phần này cùng giới thiệu thêm khái niệm phủ (D.Maier [23])

Tập phụ thuộc hàm F được gọi là một phủ của tập phụ thuộc hàm G nếu F+

=

G+ Phủ F được gọi là không dư thừa nếu với mọi phụ thuộc hàm X Y F thì

X Y (F-{X Y})+ Phủ F được gọi tốitiểu nếu |F|≤|F’| với mọi phủF’

1.4 Khoá tối tiểu của sơ đồ quan hệ và quan hệ

Cho s =(U, F) là một sơ đồ quan hệ, R là một quan hệ và K là một tập

con thuộc tính của U Khi đó K được gọi là một khoá tối tiểu của s(tương ứng

của R) nếu K thỏa các điều kiện sau:

1 K U F+(tương ứng K U FR)

X K sao cho X U F+(tương ứng X U FR)

Nếu K thỏa điều kiện (1) thì K được gọi là khoá của s (tương ứng của R)

Ký pháp Ks(tương ứng KR) là tập tất cả khoá tối tiểu của s(tương ứng R) Đã có nhiều tác giả nghiên cứu về khoá tối tiểu của sơ đồ quan hệ và quan

hệ Chẳng hạn, những kết quả này có thể tìm thấy trong [9, 14, 17]

Đối với việc tìm một khoá tối tiểu của sơ đồ quan hệ và quan hệ,cácthuậttoán tương ứng của nó đều có độphức tạp thời gian đa thức

Biếtrằng,trong[3] để tìm một khoá tối tiểu của sơ đồ quan hệs = (U,F)dịch

thuộc tính ít hơn và số phụ thuộc hàm “gọn hơn”, ở đây

F= {Xi Yi|Xi,Yi U,Xi Yi= ,i = 1,2, ,m}

Yi |Xi Yi , Xi Yi F Khi đó, tachứng minh được một mối quan hệ tương đương khoá như sau:

Định lý 1.4.1.K là một khóa tối tiểu của nếu và chỉ nếu K (U-R) là một

khoá tối tiểu của s

Rõ ràng, việc tìm một khoá tối tiểu trên sơ đồ quan hệ tốt hơn (bài toán này có độ phức tạp là đa thức theo kích thước của ) trên sơ đồ quan hệ s ban đầu Những kết quả nghiên cứu về phép dịch chuyển sơ đồ quan hệ, chẳng hạn có thể tìm thấy trong [12]

Thuật toán xác định tập tất cả khoá tối tiểu của sơ đồ quan hệ cũng đã được nghiên cứu nhiều Trong đó thuật toán của C.L.Lucchesi và S.L.Osborn [21] là khá hiệu quả, dù rằng độ phức tạp của nó cũng là hàm mũ Thuật toán này được xem là thuật toán cơ bản để tìm tất cả khoá tối tiểu của một sơ đồ quan hệ

Đối với quan hệ R, bài toán tìm tập tất cả khoá tối tiểu cũng có độ phức tạp là hàm mũ theo kích thước của R(C.Beeri, M.Dowd, R.Fagin và R.Staman [5], J Demetrovics và Vũ Đức Thi [14], G.Gottlob và L.Libkin [19])

Thuộc tính a được gọi là thuộc tính cơ bản của sơ đồ quan hệ s(tương

ứng của quan hệ R) nếu tồn tại một khoá tối tiểu K Ks(tương ứng K KR) để

a là một thuộc tính của K Trong trường hợp ngược lạia được gọi là thuộc tính

Thuộc tính cơ bản và thuộc tính không cơ bản đóng một vai trò quan trọng trong việc chuẩn hoá các sơ đồ quan hệ cũng như quan hệ

Bài toán xác định a là thuộc tính cơ bản hay không của một sơ đồ quan

hệ là bài toán NP-đầy đủ (C.L.Lucchesi và S.L.Osborn [21]) Có nghĩa là cho đến nay chưa có một thuật toán có độ phức tạp thời gian đa thức để giải quyết bài toán này Tuy nhiên, đối với quan hệ thì bài toán này được giải quyết bằng một thuật toán thời gian đa thức (J.Demetrovics và Vũ Đức Thi [14])

1.5 Các dạng chuẩn

Do việc cập nhật dữ liệu thông qua các thao tác thêm, xoá và sửa đổi gây nên những dị thường, mà nguyên nhân chính là do lặp lại một số dữ liệu trong quan hệ nên các quan hệ cần thiết phải được phân tách thành các quan

hệ nhỏ hơn hay biến đổi về các dạng chuẩn thích hợp Quá trình đó được gọi

là quá trình chuẩn hoá Như vậy, việc chuẩn hoá các quan hệ cũng như sơ đồ

quan hệ đóng một vai trò cực kỳ quan trọng trong thiết kế các hệ quản trị CSDL trên mô hình dữ liệu quan hệ của E.F.Codd Nhờ có chuẩn hoá, chúng

ta tránh được dư thừa dữ liệu, dị thường trong cập nhật và tăng tốc độ của các phép toán xử lý quan hệ

Cho F là tập phụ thuộc hàm trên U và X Y là một phụ thuộc hàm

trong F Tập Y được gọi là phụ thuộc hàm đầy đủ vào X nếu X Y là rút gọn trái, nghĩa là không tồn tại một tập con thật sự Z của X sao cho Z Y F+

Ngược lại, Y được gọi là phụ thuộc bộ phận vào X

Cho F là tập phụ thuộc hàm trên U và X, Y F+ Tập Y được gọi là

, Z Y F+,

Z X F+và Y Z Ngược lại, Y được gọi là phụ thuộc trực tiếp vào X

Cho s = (U,F) là một sơ đồ quan hệ Khi đó s được gọi là:

1 Ởdạng chuẩn một(1NF) ứng với tập phụ thuộc hàm F nếu toàn bộ

miền giá trị của các thuộc tính trong s chỉ chứa các giá trị nguyên tố

2 Ởdạng chuẩn hai(2NF) ứng với tập phụ thuộc hàm F nếu s ở dạng

chuẩn một và mọi thuộc tính không cơ bản của s đều phụ thuộc đầy đủ vào mọi khoá tối tiểu của s

3 Ởdạng chuẩn ba(3NF) ứng với tập phụ thuộc hàm F nếu s ở dạng

chuẩn một và không có thuộc tính không cơ bản của s phụ thuộc bắc cầu vào

bất kỳ một khoá tối tiểu của s

4 Ởdạng chuẩn Boyce-Codd(BCNF) ứng với tập phụ thuộc hàm F nếu

s ở dạng chuẩn một và không có thuộc tính nào của s phụ thuộc bắc cầu vào bất kỳ một khoá tối tiểu của s

Như vậy việc phân lớp các dạng chuẩn có thể được thể hiện quan hình vẽ sau

BCNF

3NF 2NF 1NF

Cho trước một sơ đồ quan hệ hay một quan hệ, kiểm tra xem sơ đồ quan hệ hay quan hệ đó đã là ở BCNF, hay 3NF hay chưa là rất quan trọng Những kết quả nghiên cứu về vấn đề này đã có khá nhiều [10, 13, 15, 16, 18]

Đối với một quan hệ R(tương ứng sơ đồ quan hệ s) trên U cho trước, bài toán xác định R(s)có phải là dạng chuẩn Boyce-Codd hay không là được tính bằng thời gian đa thức theo kích thước của R(s) Đối với quan hệ R trên U cho trước, bài toán xác định R có phải là dạng chuẩn 3 hay không cũng là đa thức theo kích thước của R Tuy nhiên, đối với sơ đồ quan hệ s trên U cho trước, khi đó bài toán xác định s có phải dạng chuẩn 3 hay không là NP-đầy đủ [25]

Có nghĩa là cho đến nay, độ phức tạp thời gian của bài toán này không là đa thức

Đối với dạng chuẩn 2, các câu hỏi tương tự cho R lẫn s vẫn còn là bài toán mở Chúng ta phỏng đoán có độ phức tạp thời gian là hàm mũ trở lên

1.6 Hệ Sperner

Cho U là một tập hữu hạnP(U) là tập luỹ thừa của U và K là một tập

con của P(U) Ta nói K là một hệ Sperner trên U nếu với mọi A,B K kéo

theo A B Từ định nghĩa này, rõ ràng chúng ta thấy Ks và KR(tập tất cả khoá tối tiểu của sơ đồ quan hệ s và quan hệ R) là các hệ Sperner

Trong [10] J.Demetrovics đã chứng minh rằng, nếu s=(U, F) là một sơ

đồ quan hệ thì Ks là một hệ Sperner trên U Ngược lại, nếu Ks là một hệ Sperner bất kỳ trên U thì luôn tồn tại một sơ đồ quan hệ s sao cho Ks = K

Mối quan hệ giữa lớp họ phụ thuộc hàm và lớp các hệ Sperner thể hiện qua hình vẽ sau

Lớp các họ phụ thuộc hàm Lớp các hệ Sperner

Hình 1.5 : Tương quan giữa họ phụ thuộc hàm với hệ Sperner

Ví dụ 1.6.1 Cho K={K1,., Km} là một hệ Sperner trên U Khi đó

s=(U,F), ở đây F={K1 U,…, Km U}, là sơ đồ quan hệ mà Ks = K

K-1 = {A P(U)| (B K) (B A)và (A C) ( B K)(B C)}

Có thể thấy K-1 cũng là một hệ Sperner trên U Rõ ràng, nếu K đóng vai trò là tập các khoá tối tiểu của một sơ đồ quan hệ nào đó thì theo định nghĩa

K-1là tập tất cả tập không phải là khoá lớn nhất

Trong luận văn này, chúng ta luôn quy ước rằng nếu hệ Sperner đóng vai trò là tập các khoá tối tiểu (tương ứng tập các phản khoá) thì hệ này không rỗng và không chứa tập (tương ứng không chứa tập U và ) Chúng ta cũng coi mỗi phép so sánh hai thuộc tính là một phép cơ bản của thuật toán Vì vậy, nếu chúng ta giả sử rằng các tập con của U được biểu diễn như là các danh sách được sắp các thuộc tính, thì phép toán Boolean trên hai tập con của U đòi hỏi khoảng |U| phép cơ bản

Biết rằng, nếu K là một hệ Sperner khác rỗng tuỳ ý thì luôn tồn tại một quan hệ R để KR =K(J.Demetrovics [9]) Bởi kết quả này định nghĩa sau đã được đưa ra Cho R là một quan hệ và K là một hệ Sperner khác rỗng trên U

Khi đó, ta nói R biểudiễn K nếu KR=K

Định lý sau cho chúng ta một điều kiện cần và đủ để một quan hệ biểu diễn một hệ Sperner cho trước

Định lý 1.6.2.[14] Giả sử K là một hệ sperner không rỗng và R là một quan

hệ trên U Khi đó R biểu diễn K nếu và chỉ nếuK -1

hệ bằng nhau cực đại của quan hệ R

Hệ bằng nhau cực đại của quan hệ được định nghĩa như sau Cho

R={hi, , hm} là một quan hệ trên U và R là hệ bằng nhau của R, nghĩa là:

R = {Ei,j | 1 ≤i < j ≤m}với Eij = {a U|hi(a) =hj(a)}Khi đó,tađặt

max( R)= Ei,j R | Epq R : Ei,j Epq} Cho s = (U,F)là một sơ đồ quan hệ và Ks là tập tất cả khoá tối tiểu của

s Ký hiệu Ks

-1

là tập các phản khoá của Ks Hệ quả sau là được chỉ ra

Hệ quả 1.6.3 [14] Giả sử s =(U,F) là một sơ đồ quan hệ và R là một quan hệ

trên U Quan hệ R đuợc gọi là biểu diễn s nếu KR=Ks Khi đó R biểu diễn s nếu và chỉ nếu K-1

s=max( R)

Kết quả sau cũng được chỉ ra bởi J.Demetrovics và Vũ Đức Thi trong [14]

Định lý 1.6.4 [14] Giả sử K là một hệ Sperner trên U Khi đó

Từ Hệ quả 1.6.3 và Định lý 1.6.4, rõ ràng chúng ta thấy rằng đối với quan hệ R vấn đề thuộc tính cơ bản được giải quyết bằng một thuật toán thời gian đa thức theo kích thước của R

Trong [25], Vũ Đức Thi đã đưa ra thuật toán tìm một tập phản khoá từ một hệ Sperner cho trước Thuật toán đó được mô tả như sau

Thuật toán 1.6.5 [25](Tìm tập phản khoá)

Vào: hệ Sperner K = {B1, ,Bm} trên U

Ra: K-1

Phương pháp:

Bước 1: Đặt K1={U-{a}|a B1}.Rõ ràng K1= {B1}-1

Buớc q+1(q < m): Giả sử Kq =Fq {X1, ,Xtq} với X1, ,Xtq chứa Bq+1 và

Fq={A Kq|Bq+1 A} Với mọi i (i = 1,2, ,tq), xây dựng các phản khoá của {Bq+1} trên Xitương tự như K1 Ký hiệu chúng là ,…, (i=1,2…tq )

xác định duy nhất lẫn nhau và việc xác định

K-1dựa trên thuật toán 1.6.5 là không phụ thuộc vào thứ tự của B1, ,Bm Ký hiệu Kq=Fq {X1,…,Xtq}và gọi lq(l ≤ q ≤ m-1) là số các phần tử của Kq

Mệnh đề 1.6.7.[25]Độ phức tạp thời gian tồi nhất của thuật toán 1.6.5 là

O(|U|2

ở đây uq =

Rõ ràng, trong mỗi bước của thuật toán 1.6.5Kq, là một hệ Sperner Trong các trường hợp lq≤ lm (q=1,2,…,m-1), dễ dàng thấy độ phức tạp thời gian của thuật toán 1.6.5 là không lớn hơn O (|U|2

|K||K-1|2) Do đó, trong các trường hợp này thuật toán 1.6.5 tính K-1

là thời gian đa thức theo |U|, |K| và

|K-1| Rõ ràng, nếu số các phần tử của K là nhỏ thì thuật toán 1.6.5 rất hiệu

quả Nó chỉ đòi hỏi thời gian đa thức theo |U|

Bây giờ chúng ta tìm hiểu một số hệ Sperner đặc biệt, bao gồm hệ Sperner bão hoà, hệ Sperner được nhúng và hệ Sperner bao hàm Các hệ Sperner này có vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu độ phức tạp của một

số bài toán trong CSDL quan hệ

Cho U là một tập hữu hạn Hệ Sperner K trên U được gọi là bão

hoànếu với mỗi X U thì K {X} không phải là một hệ Sperner Hệ Sperner

K trên U gọi là đượcnhúng nếu với mỗi X K có một Y H để X Y, trong

Bài toán 1.6.8 (Xây dựng quan hệ Armstrong) Cho trước sơ đồ quan hệ

S = (U, F), xây dựng quan hệ R sao cho FR=F+

Bài toán1.6.9 (Bài toán suy diễn phụ thuộc) Cho trước quan hệ R trên U xây

dựng sơ đồ quan hệ s = (U, F) sao cho F+

= FR

Bài toán1.6.10 (Bài toán kéo theo phụ thuộc hàm-quan hệ) Cho trước sơ đồ

quan hệ s=(U, F) và quan hệ R trên U, xác định xem FR F+

Bài toán 1.6.11 (Bài toán tương đương phụ thuộc hàm-quan hệ) Cho trước

sơ đồ quan hệ s = (U,F) và quan hệ R trên U, xác định xem FR= F+

Hai bài toán đầu tiên có tầm quan trọng trong thực tế C.Beeri,

M.Dowd, R.Pagin, R.Staman [5] chứng tỏ rằng độ phức tạp của hai bài toán này là hàm mũ, và do đó không có thuật toán thời gian đa thức để giải hai bài toán này Bài toán thứ ba được xem là quan trọng trong lý thuyết thiết kế Trong [19] (G.Gottlob và L.Libkin) chứng minh rằng độ phức tạp của bài toán này là NP-đầy đủ Bài toán cuối cùng cho đến nay vẫn không xác định được

có độ phức tạp là đa thức hay không Tuy nhiên bài toán này có thể tách thành hai hài toán con như sau:

Bài toán 1.6.11a Xác định xem tất cả các phụ thuộc hàm đúng trên quan hệ

R có thể được suy diễn từ F hay không, nghĩa là FR F+ Rõ ràng bài toán này

là Bài toán 1.6.10 ở trên

Bài toán 1.6.11b Xác định xem tất cả các phụ thuộc hàm của F có đúng trên

quan hệ R hay không, nghĩa là F+

FR Dễ thấy bài toán này được giải quyết bằng một thuật toán thời gian đa thức

Do đó Bài toán 1.6.11 là kết hợp của bài toán con co-NP-đầy đủ và bài toán con đa thức Độ phức tạp của bài toán này có lẽ là một bài toán mở

Tuy nhiên, độ phức tạp của các Bài toán 1.6.8-Bài toán 1.6.11 sẽ là đa thức nếu lớp các quan hệ và sơ đồ quan hệ thoả một số điều kiện nào đó Trước khi mô tả các điều kiện đó, chúng ta bắt đầu với định nghĩa sau Cho s

= (U,F) là một sơ đồ quan hệ Ta nói rằng s là k-sơđồ quan hệ nếu

F={K1 U,…,Km U}, trong đó {K1,…,Km}là một hệ Sperner trên U

Điều kiện 1.6.12 Sơ đồ quan hệ s =(U, F) là k - sơ đồ quan hệ, ở đây

F={ K1 U, …,Km U}và K={K1,…,Km} là một hệ Sperner bão hoà

Điều kiện 1.6.13 Quan hệ R là ở BCNF và tập phản khoá KR

-1là một hệ

Sperner bão hoà

Điều kiện 1.6.14 Sơ đồ quan hệ s= (U,F) có dạng k -sơ đồ quan hệ và quan hệ

R là ở BCNF Họ K={K1, , Km} hoặc tệp phản khoá Klà một hệ Sperner bão hoà

1.7 Các dạng tương đương của họ phụ thuộc hàm

Các dạng tương đương của họ phụ thuộc hàm chính là các công cụ để chúng ta có thể nghiên cứu phong phú hơn nữa cấu trúc lôgic của họ phụ

thuộc hàm Các dạng tương đương được giới thiệu sau đây là hàm đóng, nửa

dàn giao và tập không giao

Ánh xạ L : P(U) P(U) được gọi là hàm đóng trên U nếu với mọi

Hình 1.6 : Tương quan lớp các hàm đóng với hàm chọn đặc biệt

Định lý 1.7.1 [4]Giả sử F là một f -họ trên U

ĐặtLF(X)={a U |X {a} F} Khi đóLF làmột hàm đóng Ngược lại, nếu Llà một hàm đóng thì tồn tại duy nhất một f - họ F trên U sao cho

L=LF, ở đây F={X Y |X,Y U,Y L(X)}

Như vậy định lý 1.7.1 chỉ ra rằng để nghiên cứu phân tích các đặc trưng của họ phụ thuộc hàm chúng ta có thể dùng công cụ hàm đóng

Cho I là một tập con của P(U) Khi đó X được gọi là nửa dàn giao trên

L(X)=X} Khi đó, Z(L) là nửa dàn giao trên U Nguợc lại, nếu X là nửa dàn

giao trên U thì tồn tại duy nhất một hàm đóngLsao cho Z(L) =I, ở đây

L(X)=

Từ định lý 1.7.1 và định lý 1.7.2, chúng ta thấy có một tương ứng 1-1 giữa lớp các nửa dàn giao và lớp các ƒ - họ trên U

Lớp các nửa dàn giao Lớp các tập không giao

Hình 1.8 : Tương quan giữa lớp các nửa dàn giao và tập không giao

Giả sử N là một tập con của P(U) Khi đó N được gọi làtậpkhông

giaonếu với mọi X N thì N

1.8 Kết luận

Chương này đã giới thiệu khái niệm về phụ thuộc hàm trong đó tập trung về một số vấn đề sau: Hệ tiên đề Armstrong, bao đóng của tập phụ thuộc hàm và tập thuộc tính, khóa tối tiểu của sơ đồ quan hệ, các dạng chuẩn,

hệ sperner và các dạng tương của họ phụ thuộc hàm Sang chương hai tập trung nghiên cứu và trình bày khái niệm phụ thuộc mạnh, một số tính chất đặc trưng của phụ thuộc mạnh và cuối cùng là một số bài toán đặc trưng của phụ thuộc mạnh

Chương 2: PHỤ THUỘC MẠNH VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐẶC TRƯNG CỦA PHỤ THUỘC MẠNH

Phụ thuộc mạnh lần đầu tiên được giới thiệu và tiên đề hoá bởi G.Czédli trong [7,8] Sau đó được J.Demetrovics và G.Gyepesi tiếp tục nghiên cứu trong [10, 11] Phụ thuộc mạnh được cài đặt trong việc thiết kế các hệ quản trị CSDL có đặc tính nổi bật là phân tách các mảng dữ liệu lớn thành các mảng dữ liệu nhỏ hơn và đẹp để đưa vào bộ nhớ

2.1 Định nghĩa

Cho U là một tập hữu hạn khác rỗng các thuộc tính Một phụ thuộc

mạnh là một mệnh đề có dạng X Y, trong đó X,Y U Ta nói phụ thuộc

mạnh

Y đúng trong quan hệ R={hi, , hm} trên U nếu:

( hi, hj R)(( a X)(hi(a)=hj(a) ( b Y)(hi(b)=hj(b)))

Ta cũng nói rằng R thoả phụ thuộc mạnh X

Gọi SR là họ tất cả các phụ thuộc mạnh đứng trên quan hệ R

Biết rằng, trong một cấu trúc dữ liệu thay đổi theo thời gian, tại một thời điểm nào đó có các ràng buộc dữ liệu Một số ràng buộc dữ liệu trong chúng có thể ngẫu nhiên hoặc không quan trọng, nhưng việc đòi hỏi ít nhất là

các ràng buộc dữ liệu nhất định là thoả mãn tại một thời điểm nào đó là hợp

lý Việc tổ chức cấu trúc dữ liệu và một số hoạt động của người sử dụng có thể đặt cơ sở trên tập các ràng buộc dữ liệu không thay đổi Trong trường hợp các phụ thuộc hàm, điều đó đã được chỉ ra trong bài báo của E.F.Codd [6]

Các lý do sau đây [1,11] được trình bày để chúng ta cố gắng chỉ ra ưu thế của việc sử dụng phụ thuộc mạnh ngoài phụ thuộc hàm

Có thể xảy ra trường hợp người sử dụng chỉ biết ít nhất một giá trị thuộc tính chứ không phải tất cả các giá trị của tập thuộc tính X trong quá trình làm việc Chẳng hạn, giả sử X = {chiều cao, tuổi, } là tập một số thuộc tính của tội phạm và R là một quan hệ của ngân hàng dữ liệu tội phạm Khi

đó, một thám tử có thể là một người sử dụng như vậy ở thời điểm bắt đầu việc điều tra của anh ta Phụ thuộc mạnh liên quan đến tình huống này

Đôi khi thông tin cung cấp có thể được làm nhanh thêm bởi việc mô tả phụ thuộc mạnh bởi các hàm Tất nhiên, các hàm được đưa ra đó cần phải đòi hỏi rằng chúng sẽ đươc tính toán một cách dễ dàng hoặc được lưu trữ trong các bảng (quan hệ) khá nhỏ Khi đó, thay vì tìm kiếm thông tin trên toàn bộ bảng, chúng ta chỉ cần tìm kiếm trên một phần của bảng

Về mặt thực tiễn, các phụ thuộc hàm và phụ thuộc mạnh (phụ thuộc yếu, phụ thuộc đối ngẫu) là những ràng buộc dữ liệu mà sự hiểu biếtvề chúngsẽchophépchúng ta đặc tả quan hệ thông qua những ràng buộc áp đặtchomộttậpconnàođó cùng tập toàn bộ các cột

2.2 Hệ tiên đề phụ thuộc mạnh

Giả sử U là tập hữu hạn khác rỗng các thuộc tínhX,Y,Z,V,W U và

a U Ta nói S là một s họ trên U nếu

là các đặc trưng của họ phụ thuộc mạnh

2.3 Bao đóng của tập phụ thuộc mạnh và tập thuộc tính

Một sơ đồ mạnh G là một cặp (U,S), trong đóU là tập hữu hạn khác rỗng các thuộc tính và S là tập các phụ thuộc mạnh trên U Khi đó bao đóng của tập phụ thuộc mạnh S, ký hiệu S+, được định nghĩa là tập tất cả các phụ thuộc mạnh được dẫn xuất từ S bằng cách áp dụng các quy tắc từ (Sl)-(S5)

J.Demetrovics trong [10] đã chứng minh rằng nếu G=(U,S) là một sơ

đồ mạnh thì luôn có ít nhất một quan hệ R trên U sao cho SR = S+ Quan hệ R

như vậy được gọi là quan hệ Armstrong của G Rõ ràng trong trường hợp này các phụ thuộc mạnh của G đều đúng trên R Một điều kiện cần và đủ để một

quan hệ bất kỳ là quan hệ Armstrong của một sơ đồ mạnh cho trước được chỉ

ra bởi J.Demetrovics và Vũ Đức Thi [15]

Cho G = (U, S) là một sơ đồ mạnh và X U

Đặt ={a U | X S+} Khi đó được gọi là bao đóng của tập thuộc tính X trên G Trường

hợpG là rõ ràng, nếu không sợ nhầm lẫn chúng ta sẽ viết X+

thay cho

Bổ đề 2.3.1 [15] Giả sử G =(U,S)là một sơ đồ mạnh

Khi đó X Y S+

nếu và chỉ nếu Y X+ Biết rằng X+

= + Có thể xem J.DemetrovicsvàVũ ĐứcThitrong[15],tuynhiên trong chứng minh của mệnh đề 2.8.2chúng ta cũng

đã khẳng định được điều này Do đó để tính bao đóng của một tập thuộc tính, trước hết ta cần phải tính bao đóng của mọi thuộc tính nằm trong tập thuộc tính đó Dưới đây là thuật toán tính bao đóng {a}+ với a là một thuộc tính trong sơ đồ mạnh G=(U,S)

Thuật toán 2.3.2 [15] (Tính tập bao đóng {a}+

) Vào: sơ đồ mạnh G = (U,S) với S={Ai i| i=1,2, , m} và a U

Ra: bao đóng {a}+

, Phương pháp: tính {a}+

bằng quy nạp

Buớc1: Đặt X0

= {a}

Bước i+1: Nếu có một phụ thuộc mạnh Aj Bj S

sao cho Aj X(i) và Bj

Rõ ràng tồn tại một số nguyên nhỏ nhất kđể

{a} =X(0) X(1) … X(k) X(k+1)… Khi đó đặt : {a}+

=X(k)

Mệnh đề 2.3.3.[15] Với mỗi a Uthuật toán 2.3.2 tính đúng bao đóng{a}+

Có thế thấy rằng độ phức tạp của thuật toán 2.3.2 là thời gian đa thức theo |U| và |S| Từ đây, rõ ràng tồn tại một thuật toán thời gian đa thức để giải bài toán thành viên(nghĩa là cho một sơ đồ mạnh G = (U, S) và một phụ thuộc mạnh X Y kiểm tra xem X Y có thuộc S+

hay không)

Mệnh đề 2.3.4 [15] Giả sử G =(U, S)là một sơ đồ mạnh và X Y là một phụ

thuộc mạnh, Khi đó có một thuật toán thời gian đa thức xác định xem

X S+ hay không

Đối với quan hệ R trên U ta đặt ={a U| X {a} SR} Khi đó được gọi bao đóng của tập thuộc tính X trên R Trường hợp SR là rõ ràng, nếu không sợ nhầm lẫn chúng ta sẽ viết thay cho

Rõ ràng = (Nhận xét 2.6.5) Do vậy, để tính bao đóng của một tập thuộc tính trên quan hệ, trước hết ta cần phải tính bao đóng của mọi thuộc tính nằm trong tập thuộc tính đó Thuật toán tính bao đóng của một thuộc tính được đề xuất trong phần 2.7(thuật toán 2.7.2)và đã được chứng minh có độ phức tạp thời gian đa thức Từ đó, rõ ràng bao đóng của tập thuộc tính trên quan hệ cũng được tính trong thời gian đa thức

Lưu ý rằng, khi bàn về phụ thuộc mạnh thì quan hệ R được xét là quan

hệ của một sơ đồ mạnh G=(U, S) nào đó, nghĩa là tập thuộc tính của R là U và

R thoả mọi phụ thuộc mạnh của S

2.4 Khoá tối tiểu của sơ đồ mạnh và quan hệ

Chúng ta đã biết khái niệm khoá được đưa ra với ý nghĩa xác định duy nhất một đối tượng Cho G =(U, S) là sơ đồ mạnh, R là một quan hệ trên U vàK={ai, , ap} là một tập con thuộc tính của U Khi đó K được gọi là một

khoácủa G(tương ứng của R) nếu:

=U (tương ứng =U )

Tập thuộc tính K được gọi là một khoá tối tiểu của G(tương ứng của R)

nếu K thoả các điều kiện sau:

1 K là một khoá của G(tương ứng của R),

2 Bất kỳ một tập con thực sự nào của K không là khoá của G(tương ứng củaR)

Ký pháp KG(tương ứng KR) là tập tất cả khoá tối tiểu của G(tương ứng R) Trong [1] Nguyễn Kim Anh đã đưa ra thuật toán tìm một khoá tối tiểu của một sơ đồ mạnh với độ phức tạp thời gian là đa thức Hơn nữa, tác giả đã chứng minh một kết quả rất thú vị, đó là đối với sơ đồ mạnh mọi khoá tối tiểu đều có lực lượng như nhau Ngoài ra, tác giả cũng chứng minh được rằng bài toán tìm tập tất cả khóa tối tiểu KG của G được giải quyết bằng một thuật toán

có độ phức tạp thời gian là đa thức nếu lực lượng của KG là đa thức

2.5 Các dạng tương đương của họ phụ thuộc mạnh

Ánh xạ F : P(U) P(U)được gọi là hàm mạnh trên U nếu với mọi

a, b Uvà X P(U):

1 a F({a})

2.b F({a}) kéo theo F({b}) F({a})

để chúng ta có thể nghiên cứu phong phú hơn nữa cấu trúc lôgic của họ các phụ thuộc mạnh