Ước lượng các tham số của ĐLNN và kiểm định giả thiết thống kê

NHÓM 4Ước lượng các tham số của ĐLNN và kiểm định giả thiết thống kê... Ước lượng điểm: • Giả sử cần ước lượng tham số.. Thông thường người taxây dưng * bằng các phương pháp hàm ước lượn

NHÓM 4

Ước lượng các tham số của ĐLNN và

kiểm định giả thiết thống kê

Lý thuyết toán

5.1 Ước lượng điểm:

• Giả sử cần ước lượng tham số Từ đám đông lấy mẫuW= (X1, X2, …, Xn) từ mẫu này ta xây dựng 1 thống kê *=f(X1, X2, …, Xn) thích hợp Để có ước lượng điểm, ta chỉviệc điều tra 1 mẫu cụ thể w= (x1, x2, …, xn) với kích

thước người lao động đủ lớn, rồi lấy *= f(x1, x2, …, xn)

• Có nhiều cách chọn thống kê * Thông thường người taxây dưng * bằng các phương pháp hàm ước lượng, tức làchon * là các đặc trưng mẫu tương ứng Chẳng hạn lấytrung bình mẫu để ước lượng trung bình đám đông µ=

E(X), lấy phương sai mẫu điều chỉnh S’2 để ước lượngphương sai của đám đông S’2=Var(X), lấy tần suất mẫu f

để ước lượng tỉ lệ của đám đông p Sau đây là các tiêuchuẩn phản ánh bản chất tốt của ước lượng

Lý thuyết toán

5.1.1 Ước lượng không chệch.

Thống kê * được gọi là ước lượng không chệch của  nếu E(*)= Nếu

E(*) thì * được gọi là ước lượng chệnh của .

5.1.2 Ước lượng vững

Thống kê * được gọi là ước lượng vững của  nếu với mọi >0, nhỏ tùy ý ta luôn có:

1)

*(



n

5.1.3 Ước lượng hiệu quả

Thống kê * được gọi là ước lượng hiệu quả của tham số  của ĐLNN gốc X nếu nó là ước lượng không chệch và có phương sai nhỏ nhất so với mọi ước lượng không chệch khác được xây dựng trên cùng mẫu đó.

Lý thuyết toán

5.2 Khái niệm về ước lượng bằng khoảng tin cậy.

Để ước lượng tam số  của ĐLNN X trước hết từ đám đông ta lấy ra mẫu ngẫu

nhiên W= (X 1 , X 2 , …, X n ).

Tiếp đến ta xây dựng thống kê G= f(X 1 , X 2 , …, X n,), sao cho quy luật phân phối

xác suất của G hoàn toàn xác định Với xác suất  = 1-  cho trước ta xác định cặp giá trị 1 , 2 thỏa mãn các điều kiện 1  0, 2  0 và 1 +2 = Vì quy

luật phân phối xác suất của G đã biết, ta tìm được phân vị g 1-1 và g2 sao cho: P(G> g 1-1 ) = 1- 1 và P(G> g2 ) = 2

Khi đó P(g1-1 <G< g2 ) = 1- 1 - 2 = 1- =

Cuối cùng bằng biến đổi tương đương, ta có:

P(1 * << 2 *) = 1- = 

  = 1- : độ tin cậy

 (1, 2 ) : khoảng tin cậy

 I= (2 *- 1 *) : độ dài của khoảng tin cậy

Người ta thường chọn 1 =2 =

2



Nếu chọn 1 =0 và 2 =  hoặc chọn 2 =0

Lý thuyết toán

Lý thuyết toán

Lý thuyết toán

Lý thuyết toán

Lý thuyết toán

Lý thuyết toán

Lý thuyết toán

Lý thuyết toán

Lý thuyết toán

5.4 Ước lượng tỷ lệ ( Ước lượng tham số p trong phân phối A(p))

Xét một đám đông kích thước N phần tử mang dấu hiệu A Kí hiệu tỉ lệphần tử mang dấu hiệu A trên đám đông là p =

N

M

Để ước lượng p từ đámđông ta lấy ra mẫu kích thước n Kí hiệu nA là số phần tử mang dấu hiệu A

có trong n phần tử lấy ra.Khi đó f =

f  

là sai số ước lượng Nếu p chua biết, n khá lớn để tính  ta lấy p  f , khi đó:

Khoảng tin cậy đối xứng của p là (f –  ; f + ).

Độ tin cậy của ước lượng là γ = 1 – α.

p f

Lý thuyết toán

5.5 ước lượng phương sai của đại lượng ngẫu nhiên

phân phối chuẩn

Giả sử ta cần nghiên cứu một dấu hiệu X có phân phối chuẩn với Var(X)

=2

chưa biết Để ước lượng 2

, từ đám đông ta lấy ra mẫu W = ( X1,

X2,….Xn) Từ mẫu này ta tìm được S'2.Theo 4.4 ta có :



2 '

2 (n 1 )S

 ~ 2 (n 1 )

2 1



n

) = 1 – α = γ

Thay biểu thức của 2

vào công thức trên và biến đổi, ta có:

2 1

2 ' 2

) 1 ( 2

2

2 '

) 1 ( )

1 (

n n

S

n

1 – α = γ

Ở đây γ = 1 – α là độ tin cậy.

Khoảng tin cậy của 2

2 1

2 ' )

1 ( 2

2

2 '

S

n

Lý thuyết toán

b Khoảng tin cậy phải của 2

( lấy α 1 = 0, α 2 = α dùng để ước lượng giá

trị tối thiểu của 2

Thay biểu thức của 2

từ (5.9) vào công thức trên và biến đổi , ta có:

P (( 21() 1) 2)

2 '

2 '

Lý thuyết toán

c Khoảng tin cậy trái của 2

( lấy α1 = α , α2 = 0 dùng để ước lượng giá trị tối đa của 2

Thay biểu thức của 2

từ (5.9) vào công thức trên và biến đổi , ta có:

1

2 ' 2

1

2 '

Lý thuyết toán

Lý thuyết toán

Lý thuyết toán

Lý thuyết toán

6.2: Kiểm định giả thuyết về kỳ vọng toán của một ĐLNN.

Giả sử ta cần nghiên cứu một dấu hiệu X thể hiện trên một

đám đông Ký hiệu E(X)  , Var(X) 2, trong đó  chưa biết Từmột cơ sở nào đó người ta tìm được   0, nhưng nghi ngờ về điềunày Với mức ý nghĩa  cho trước, ta cần kiểm định giả thuyết

0

X n

1

X

X n

X U

0 0

0 0

0 0

Ta có P-giá trị = P(U u tn).

Lý thuyết toán

2 Kết luận sau khi tìm được P-giá trị

a Cách thứ nhất :

 Nếu P-giá trị ≤ 0,05 : Chưa có cơ sở để bác bỏ H0

 Nếu 0,01 ≤ P-giá trị < 0,05 : Có cơ sở để bác bỏ H0

 Nếu P-giá trị < 0,01 : Có cơ sở chắc chắn để bác bỏ H0

b Cách thứ hai : Quy định trước mức ý nghĩa  Tính P-giá trị rồi

so sánh với  :

 Nếu P-giá trị <  thì bác bỏ H0

 Nếu P-giá trị ≥  chưa có cơ sở để bác bỏ H0

Chú ý : Các công thức tìm P-giá trị trên còn được dùng cho các bài

toán kiểm định giả thuyết thống kê khác, trong đó có dùng tiêu chuẩn

kiểm định U.

Lý thuyết toán

6.2.2 : ĐLNN X trên đám đông có phân phối chuẩn

với 2 chưa biết.

XDTCKĐ :

n S

0 0

P-giá trị = 2P(T  t tn ) , trong đó  1

~T n

T ,

n s

0 0

0 0

P-giá trị = P(T t tn)

Chú ý : Công thức tìm P-giá trị trên còn dùng cho các bài toán kiểm

định khác có dùng tiêu chuẩn kiểm định T.

Sau khi tìm được P-giá trị, việc kết luận được tiến hành như

mục 6.2.1.

Chú ý : Khi ĐLNN có phân phối chuẩn, mặc dù 2 chưa biết, nhưng

Lý thuyết toán

6.2.3 : Chưa biết quy luật phân phối xác suất của



0





Khi đó, nếu giả thuyết H0 đúng thì U sẽ xấp xỉ phân phối chuẩn

N(0,1) Phần còn lại tiến hành như mục 6.2.1 Ta cũng cần nhớ

rằng : nếu  2 chưa biết, nhưng n  30 ta có thể lấy  2  s.

Bài tập thực tế

Yêu cầu : Điều tra chiều cao của nam ở độ tuổi

trưởng thành của VN

1 Ước lượng chiều cao của nam

2 So sánh với kết quả đưa ra trong nghiên cứu

của Tổng cục TDTT năm 1994 là chiều cao

TB của nam là 163cm

Bài tập thực tế

Từ đó ta tính được:

68 ,

169 50

8484 1

x

Bài tập thực tế

Bài tập thực tế

2 Gọi X là chiều cao của sinh viên nam trường ĐHTM

đông

n N

X N

0 0

:

63 , 1 :

Chọn TKTCKĐ:

n

X U

63 1 69