một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số hoặc biểu thức

khó khăn khi gặp các dạng toán này .Trong chuyên đề này tôi xin cung cấp cho học sinh cũng như giáo viên một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số hoặc biểu

TRƯỜNG PT CẤP II – III VÕ THỊ SÁU

TỔ TOÁN - TIN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI :

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ HOẶC BIỂU THỨC

Người viết : ĐOÀN NGỌC LAN

Đơn vị : TRƯỜNG CẤP II – III VÕ THỊ SÁU

Tuy an tháng 03 năm 2008

A PHẦN MỞ ĐẦU 1/

Lý do chọn đề tài:

Bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là một dạng toán rất quan trọng Chúng ta thường thấy xuất hiện khá nhiều kì thi như tuyển sinh vào lớp 10 , tuyển sinh đại học và cao đẳng ,các kì thi học sinh giỏi Học sinh gặp không ít

khó khăn khi gặp các dạng toán này Trong chuyên đề này tôi xin cung cấp cho học sinh cũng như giáo viên một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số hoặc biểu thức.Nhằm góp phần cho việc dạy và học ngày càng tốt hơn

2/Mục đích nghiên cứu :

Tôi muốn đưa ra một số phương pháp cơ bản nhất Nhằm làm tư liệu cho việc dạy và học ngày càng được nâng cao hơn Góp phần đưa chất lượng giáo dục nước ta đáp ứng với xu hướng phát triển của đất nước

3/Đối tượng ,phạm vi nghiên cứu :

Cùng trao đổi kinh nghiệm với các đồng nghiệp đang giảng dạy toán chương trình phân ban lớp 10 ,lớp 11 chương trình không phân ban của lớp 12 hiện nay, cũng như những học sinh muốn nâng cao, mở rộng vốn kiến thức toán học của mình

4 / Nhiệm vụ nghiên cứu :

Tìm ra một phương pháp cơ bản nhất để khắc phục những khó khăn lúng túng của học sinh cũng như giáo viên Trong quá trình học tập và giảng dạy môn toán , làm tư liệu tham khảo cho tổ toán của trường Võ Thị Sáu và những ai quan tâm đến đề tài này

5/phương pháp nghiên cứu

Trao đổi với đồng nghiệp đang giảng dạy toán thấy sự cần thiết của vấn đề Vấn đề được đưa ra thảo luận trước tổ Toán- Tin của trường cấp II - III Võ Thị Sáu ,cùng những học sinh quan tâm Làm sao cho học sinh cũng như giáo viên thấy được sự quan trọng và hấp dẫn của nó Từ đó người viết tổng hợp và đưa

ra các phương pháp cơ bản nhất , những điều trọng tâm nhất của vấn đề

6 /Nội dung sáng kiến kinh nghiệm :

Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số hoặc biểu thức

I Phần mở đầu

II Nội dung đề tài

- Chương 1: Cơ sở lý luận liên quan đến đề tài nghiên cứu

- Chương 2: Thực trạng của đề tài nghiên cứu

- Chương 3: Biện pháp giải pháp chủ yếu để thực hiện đềtài

III Kết luận và kiến nghị

B/NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Chương I: Cơ sở lý luận liên quan đến sáng kiến kinh nghiệm

1/

Cơ sở pháp lý :

Dựa trên nội dung vàchương trình phân ban và không phân ban của BGD &

ĐT Dựa trên sự xuất hiện của dạng toán này qua những kì thi trong các năm qua

2/Cơ sở lý luận :

Trên cơ sở nội dung sách giáo khoa toán lớp 10 đã trình bày Trước sự phát

cận được với những tri thức một cách cơ bản , những hiểu biết về khoa học cơ bản một cách chắc chắn họ sẽ nhanh chóng trở nên lạc hậu với thời cuộc và bị đào thải Xã hội hiện đại đòi hỏi con người phải nhạy bén với cái mới, nhanh chóng tiếp cận và nắm bắt các thành tựu khoa học- công nghệ hiện đại.Tuy nhiên khoa học cơ bản vẫn là nền tản cho mọi vấn đề do vậy việc nghiên cứu tìm hiểu chắc chắn một vấn đề là cần thiết

Việc đổi mới phương pháp dạy học môn Toán học hiện nay ở trường THPT là gì? Là tổ chức cho học sinh được học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo

Tích cực nhận thức là biểu thị sự nỗ lực, chủ động của học sinh trong quá trình học tập và nghiên cứu, là sự biểu hiện mức độ huy động cao các chức năng tâm

lý nhằm giải quyết nhiệm vụ nhận thức, góp phần làm cho nhân cách tri thức của chủ thể phát triển.Trên cơ sở đó phát huy hoạt động tích cực của học sinh bằng cách cung cấp những tài liệu cần thiết, phù hợp với nội dung và chương trình đang giảng dạy làm cho học sinh có một cách nhìn tổng quát hơn về vấn đề mình đang học Từ đó làm cho việc học tập môn toán thêm hấp dẫn lôi cuốn hơn , gặt hái được nhiều thành công hơn

3/Cơ sở thực tiễn:

Như chúng ta đã biết: Do lượng thông tin ngày nay tăng nhanh nên giáo dục phải tiếp cận với những thành tựu mới nhất của khoa học – công nghệ bằng cách chọn lọc nội dung, đổi mới phương pháp dạy học và ứng dụng các phương tiện dạy học hiện đại thì mới có thể giải quyết được mâu thuẫn giữa sự bùng nổ thông tin với thời gian học, trình độ, sức lực của người học hiện nay, mới có thể giải quyết được vấn đề quá tải trong việc học của người học.Với sự ra đời và phổ cập của nhiều thế hệ máy tính điện tử, tính chất của lao động đang dần dần thay đổi Trong các lĩnh vực của đời sống xã hội, máy tính đã đóng một vai trò rất quan trọng trong việc nâng cao hiệu quả, chất lượng của công việc và quản lí Chính vì qua nhiều năm giảng dạy, nghiên cứu các phương pháp dạy học của các bạn đồng nghiệp ở những tiết dạy tôi nhận thấy học sinh học tập ít sôi nỗi, ít tích cực hoạt động và còn tiếp thu kiến thức một cách thụ động Do vậy trong nhà trường hiện nay, việc sử dụng các phương tiện kỹ thuật hiện đại, nhất là máy vi tính để phát huy hoạt động tích cực của học sinh trong dạy học nhằm nâng cao hiệu quả và chất lượng dạy học là vấn đề cấp bách và cần thiết phải thực hiện Bên cạnh giáo viên cầng cung cấp cho học sinh những tư liệu cần thiết , tổ chức các buổi học ngoại khoá về các chuyên đề

Chương 2: Thực trạng của đề tài.

1 Khái quát phạm vi:

Trong phạm vi nghiên cứu ở trường, tôi nhận thấy đa số giáo viên trung học phổ thông là giáo viên trẻ và việc giảng dạy của giáo viên còn thiếu kinh nghiệm

Về phía học sinh sinh sống ở nông thôn, bố mẹ chủ yếu làm nghề nông, nghề biển Ngoài việc đi học đa số học sinh về nhà còn lo phụ giúp gia đình việc đồng án, đi biển và có học sinh chưa có động cơ học tập đúng đắng nên việc tự học, tự nghiên cứu của học sinh chưa cao.Một phần học sinh còn thiếu tư liệu phục vụ cho việc học tập của mình ,ngoài sách giáo khoa

2 Thực trạng của đề tài nghiên cứu:

Trước tình hình thực tế của trường hiện nay việc đa số các bài học không thể thực hiện một cách đầy đủ các nội mà giáo viên cần truyền đat, giáo viên còn sử dụng phương pháp thiết trình hoặc đàm thoại nên ít thu hút sự chú ý của học sinh, học sinh ít hứng thú học tập Còn học sinh thì chưa biết cách tự học, tự nghiên cứu, tự tìm tòi học hỏi, vẫn còn thói quen với cách học cũ tiếp thu kiến thức một cách thụ động

Chính vì thế cần phải có giải pháp khắc phục tình trạng nêu trên Đó là sử dụng các phương tiện kỹ thuật hiện đại Tổ toán cần cung cấp những tư liệu cần thiết ,tổ chức những buổi ngoại khoá về các vấn đề mà học sinh gặp khó khăn trong quá trình học toán, để phát huy hoạt động tích cực của học sinh trong dạy học

3 Nguyên nhân của thực trạng

Nguyên nhân chính ở đây kinh nghiệm giảng dạy,khảûnăng truyền đạt của một

số giáo viên còn thấp Việc soạn giáo án chưa thật sự đi vào trọng tâm chính của vấn đề chưa có sự mở rộng và nâng cao những kiến thức liên quan dẫn đến việc học sinh chưa tìm thấy những vấn đề mới, chưa khơi gợi sự tò mò , hiểu và tiếp thu kiến thức ở một số bài bị hạn chế

Chương 3: Biện pháp, giải pháp chủ yếu để thực hiện sáng kiến kinh nghiệm.

1 Cơ sở đề xuất các giải pháp:

Chúng ta đã biết nội dung giáo dục ở THPT có những đặc điểm:

- Bảo đảm củng cố, phát triển những nội dung đã học ở trung học cơ sở, hoàn chỉnh và nâng cao trình độ giáo dục phổ thông, bảo đảm kiến thức phổ thông cơ bản, toàn diện và hướng nghiệp cho học sinh

- Chú trọng nâng cao tính khoa học hiện đại, tính tư tưởng, phù hợp với thực tiễn của đất nước và xu thế phát triển giáo dục của thế giới, phát triển năng lực, phẩm chất của người học, đáp ứng nhu cầu, hứng thú, nguyện vọng của học sinh, vừa chuẩn bị cho học sinh học lên bậc học cao hơn học tập suốt đời, học nghề và giúp cho học sinh có thể bước vào cuộc sống lao động

- Bao gồm cả phần thực hành, rèn luyện trong và ngoài giờ lên lớp, trong và ngoài nhà trường.Quan tâm đến việc hình thành cách học chủ động, tìm tòi của học sinh, thay đổi phương pháp dạy học của giáo viên theo hướng tập trung vào hoạt động của người học và việc học Dạy học hướng tới phát huy tính tích cực, vai trò chủ động , tính sáng tạo của học sinh là xu thế chung của đổi mới giáo dục trung học phổ thông ở các nước Đồng thời, để nâng cao hiệu quả của phương pháp dạy học cần mở rộng việc áp dụng các phương tiện kỹ thuật hiện đại vào quá trình dạy học, cải thiện điều kiện môi trường giáo dục

Trên cơ sở đó, để thực hiện dáng kiến có hiệu quả cần có các giải pháp chủ yếu sau

2 Các giải pháp chủ yếu:

- Cần trang bị cho học sinh một phương pháp học tập đúng đắn ,có niềm say mê yêu thích môn học đặc biệt là môn toán , phù hợp với phương pháp dạy học mới

- Mở lớp bồi dưỡng chuyên đề cho cho giáo viên Nhằm giúp cho giáo viên biết soạn giáo án một cách chính xác đi vào trọng tâm của bài mở rộng nâng cao cho học sinh một cách phù hợp và giảng dạy một cách nhịp nhàng dễ hiểu

- Với học sinh, cần hướng dẫn các em chuyển dần từ cách học cũ tiếp nhận kiến thức thụ động sang kiểu học mới tự nghiên cứu, tự thể hiện, tự tìm tòi, quan sát,

mô tả, giải thích, phát hiện, định hướng giải quyết vấn đề

3 Tổ chức, triển khai thực hiện:

Thực tế thì việc học sinh tự tìm thấy chân lí, hiểu và tiếp thu kiến thức một cách chính xác và đầy đủ là rất khó khăn nếu thiếu tư liệu và sự hướng dẫn Cụ thể với nội dung :

Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số hoặc biểu thức.

Sau đây tôi xin đưa ra một số bài toán và phương pháp giải nhằm tháo gỡ những khó khăn trong quá trình học tập và giảng dạy với nội dung nêu trên

I - ĐẶT VẤN ĐỀ

Trước hết ta cần chú ý định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D⊂R

1 Giá trị M được gọi là GTLN của f trên tập D nếu :

( )

\ ( )

≤ ∀ ∈



 2.Giá trị m được gọi là GTNN của f trên tập D nếu :

( )

\ ( )

f x m x D

≥ ∀ ∈





Ta ký hiệu GTLN và GTNN của hàm số f lần lược là :

max ( )

x D

∈

x D

∈

=

- Đối với hàm hoặc biểu thức nhiều biến ta cũng có định nghĩa tương tự

- Từ định nghĩa trên thông thường để tìm GTLN hoặc GTNN ta tiến hành các bước sau:

Bước1:Xác lập bất đẳng thức dạng ( )f x ≤M hoặc ( )f x ≥mvới

M, m là những hằng số

Bước2:Xét xem dấu đẳng thức sảy ra khi nào

Bước3: kết luận Max hoặc min theo yêu cầu

Sau đây là một số phương pháp tìm GTLN và GTNN

II- PHƯƠNG PHÁP NHÓM - SO SÁNH:

Bài1.Tìm GTNN của biểu thức :P x y( , )=x2 + y2 −2x+2y+7

Giải : Ta có P x y( , ) (= −x 1)2 +(y+1)2 + ≥5 5 ∀x y R, ∈

Dấu “ =” sảy ra khi 1

1

x y

=



 =

 Vậy min P = 5

Bài2:Tìm GT LN của hàm số :

2 2

( )

f x

+ +

= + +

f x

Ta có dấu “ =” Sảy ra khi x = - 1

Vậy maxf(x) = 7 tại x= -1.

Bài3:Cho x > 0 Tìm x để biểu thức 2

( 2000)

x M

x

= + đạt giá trị lớn nhất Giải: Vì x > 0 nên 2

( 2000)

x M

x

= + > 0 do đó 1

M

M

Ta có:

2

=

2

( 2000)

8000

x x

Do đó 1 8000

M ≥ dấu “ = “ sảy ra khi x = 2000 nên min 1 8000

x= 2000

Vậy maxM = 1

8000 đạt được khi x = 2000 Bài4: Cho x2 +y2 +z2 =1.Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:

T =xy yz zx+ + Giải: Ta có (x y z+ + )2 ≥ ⇒0 x2 + y2+ +z2 2(xy yz zx+ + ) 0≥

2

+ ≥ ⇔ ≥ − Dấu bằng sảy ra chẳng hạng khi:

x = y= z= − Vậy min T = -1/2

Ta có :

2

2

x y

z x

 − ≥





 − ≥

 Suy ra 1 T≥ Dấu bằng sảy ra khi 3

3

x y z= = = ±

3

x y z= = = ± III-BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT ĐƯA VỀ VIỆC KHẢO SÁT TAM THỨC BẬC HAI

-Ta cần chú ý PT bậc hai :ax2 +bx c+ =0(a≠0)

Nếu PT có nghiệm thì ∆ ≥0

Nếu ∆ ≤0 thì af x( ) 0≥ ∀x

-Xét bài toán GTLN và GTNN của hàm số

2 2

ax bx c y

mx nx k

+ +

=

+ + với MXĐ là R

Ta chuyển biểu thức của y nêu trên về PT dạng :Ax2+Bx c+ =0.Trong đó Hiển nhiên A , B, C là các giá trị phụ thuộc y.Phương trình này phải có

nghiệm x Từ đó dựa vào điều kiện ∆ ≥0 để tìm GTLN và GTNN

Chú Ý: 1)Ta cần xét A = 0 và so sánh giá trị y ở hai trường hợp ≠ A≠0và A =

0 trước khi kết luận

2)Đồ thị y ax= 2+bx c+ =0(a≠0) là một pẩ bol với đỉnh ( ; )

b S

∆

− − 3) Nếu dùng ẩn phụ để đưa về dạng bậc hai thì phải chú ý điieù kiện kèm

theo

Bài1:Tìm GTLN và GTNN của hàm số

2 2

3 2

x y

+

=

− + Giải: Ta có tập xacù định của hàm số là R

2 2

3 2

x y

+

=

− +

2

(y 1)x yx 2y 3 0

⇔ − − + − = (*) + Xét y -1 = 0 ⇔y = 1 ta có x = -1

+ xét y≠1 vì PT (*) có nghiệm x nên ∆ ≥0 hay y2 −4(y−1)(2y− ≥3) 0

2

7y 20y 12 0

⇔ − + − ≥ 6

2

⇔ ≤ ≤

So sánh hai trường hợp trên ta có : maxy = 2 khi x = 1

miny = 6/7 khi x = -3 Bài 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số :y=sin2x−sinx+4

Giải: Đặt t = sinx điều kiện t∈ −[ 1;1] Ta có y = t2 – t + 4 ta có hoành độ đỉnh

1 1;1 2

s

t = ∈ − Suy ra maxy = max { f( 1); (1)− f } = − =f( 1) 6

Giá trị này đạt được khi sin x= -1 và min y = ys = f(1/2) = 15/ 4 Giá trị đạt được khi sinx = 1/2

Bài 3: Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = 3+ +x 6− −x (3+x)(6−x) Giải: Điều kiện ⇔ − ≤ ≤3 x 6 Đặt t = 3+ +x 6− >x 0

Ta có t2 = +9 2 3+x 6− ≥ ⇒ ≥x 9 t 3

Ta lại có : t =1 3+ +x 1 6− ≤x 2 9 3 2=

Do đó

2

2

( ) ( )

t

f x =g t = −t − = − t + +t với 3≤ ≤t 3 2

Cần chú ý g(t) là một parabol lồi với đỉnh S có hoành độ t = 1 Hơn nữa

1 3 3 2< ≤

Nên minf = min g = (3 2) 3 2 9

2

Maxf = max g = g(3) = 3 Bài4:Tìm GTLN và GTNN của hàm số y= −(x 1)(x−2)(x−3)(x−4)

Giải: Ta có y =(x2 −5x+4)(x2−5x+6)

t x= − x+ = −x − Ta có 9

4

t≥ − Khi đó y = f t( )= +t2 2t

Hoành độ đỉnh ts = -1 ≥- 9/4 nên miny =f(-1) = -1

Vì khi x→ +∞ thì y→ +∞ nên không tồn tại giá trị lớn nhất

IV.PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VECTƠ

-Biến đổi 2 2

AB =uuurAB kết hợp qui tắc , các hằng đẳng thức chú ý điểm

chèn

trung điểm , trọng tâm, tâm ngoại tiếp …

-Khoảng cách giữa hai điểm AB= (x B −x A)2−(y B −y A)2

-Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

d M

+ +

∆ =

+ -Để ý bất đẳng thức :AB+BC≥AC dấu “ = “ sảy ra khi A ,B , C thẳng hàng theo thứ tự đó

Bài1:Tìm GTLN và GTNN của hàm số 4 1

2

x

y= x + − Giải:Trong mặt phẳng Oxy chọn OAuuur=(1;2 2);OMuuuur=( x; x−2)

Với 0≤ ≤x 2 Ta có : 1 8

OA

 = +





= + − =



Và OA OM OA OMuuuruuuur = cos(OA OMuuur uuuur, ) Suy ra : y=1 x +2 2( 2−x)=OA OMuuuruuuur =3 2 cosϕ

-Vì M nằm trong hình vuông OIJK cạnh 2 nên 0≤ ≤ϕ ·AOK

1 8

AOK = = ⇒ ≤ ϕ≤

+ Vậy maxy = 3 2 ; min y = 2

4

2

-2

2 2

2

2

K O

M A

Bài: Cho 2x + 2y – z – 9 = 0 Tìm GTNN của P= −(1 x)2+ −(2 y)2 + −(3 z)2

Giải: Trong khơng gian Oxyz ta xét điểm :A(1;2;3) và mặt phẳng

( )α :2x + 2y – z – 9 = 0

Nếu M(x ; y ;z) ( )∈ α thì :

AM = −x + − y + −z

4 4 1

d Aα = + − − =

(1−x) + −(2 y) + −(3 z) ≥4 Dấu bằng sảy ra khi M(x;y;z) là chân đường vuơng gĩc hạ từ A đến mặt phẳng ( )α

Vậy GTNN của biểu thức đã cho là 4

V PHƯƠNG PHÁP DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC CƠSI VÀ

BUNHIACƠPXKY-SHWARZ

-Ta cĩ bất đẳng thức cơsi : Với a,b≥0 ta cĩ

2

a b

ab

+ ≥ Dấu đẳng thức sảy ra khi a = b

-Bất đẳng thức Cơsi tổng quát :với a a1; ; ;2 a n ≥0 ta cĩ

1 2

n n

n

a a a n

+ + + ≥ -Bất đẳng thức Bunhiacơpsky – Shwarz: Với hai cặp số thực bất kỳ (a;b)

và (c;d) ta cĩ : ac bd+ ≤ a2 +b2 c2 +d2

Hay (ac bd+ )2 ≤(a2 +b c2)( 2 +d2)

Dấu bằng sảy ra khi ad = bc hay là a c

b = d

Tổng quát :Với hai bộ số thực bất kỳ :(a1;a2;…;an)và (b1;b2;…;bn) Ta cĩ :

(a b +a b + + a b n n) ≤(a +a + + a b n)( + + +b b n)

Dấu bằng sảy ra khi 1 2

n n

b = b = = b Chú ý: Cĩ khi ta phải thêm , bớt , tách nhĩm, chia nhân các số hạng để

đưa về dạng cĩ thể áp dụng được trực tiếp

Bài1:Tìm GTLN của biểu thức :

A

abc

Aùp dụng bất đẳng thức Cơsi

2 2

c

c− ≤ Dấu bằng sảy ra khi c – 2=2 ⇔c =4

Tương tự : 3 1

2 3

a

a− ≤ Dấu bằng sảy ra khi a– 3= 3⇔a = 6

4

2 4

b

b− ≤ = Dấu bằng sảy ra khi b– 4= 4⇔b = 8

4

= + + Khi a = 6 ; b= 8 ; c = 4

Bài2:Tìm GTNN của hàm số y 2x 12

x

= + với x >0

Giải: Ta cĩ y 2x 12

x

Dấu bằng sảy ra khi x 12 x3 1 x 1 0

x

= ⇔ = ⇔ = >

Vậy miny = 3

Bài: Cho x , y , z >0 thỏa điều kiện x +y +z = 1.Tìm GTLN của biểu thức :

Q

Giải : Vĩi a, b ,c >0 ta cĩ bất đẳng thức quen thuộc :

+ + + + ≥ ⇔ + + ≥

+ +

Q

+ − + − + −

+ + + + + Dấu bằng sảy ra khi x = y= z = 1/3

Vậy maxQ = ¾

Bài4: Cho x,y z thỏa điều kiện x2 + y2 +z2 =1 Tìm GTLN và GTNN của biểu

thức P = x+y+z +xy+yz+zx

Giải: Aùp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky – swharz ta cĩ :

x y z+ + ≤ x + y +z = và

xy yz zx+ + ≤ x + y +z x + y +z =x + y +z =

Suy ra P≤ 3 1+ Dấu bằng sảy ra khi x=y=z=1/3

Vậy maxP = 3 1+ Mặt khác ta cĩ

(x y z+ + ) =x + y + +z 2(xy yz zx+ + ) 1 2(= + xy yz zx+ + )

Suy ra

1

P x y z= + + + + + − = + + + − ≥ − Dấu bằng sảy ra chẳng hạng khi x=-1; y= 0 ;z= 0

Vậy minP = -1