Khai phá luật kết hợp mờ dựa trên đại số gia tử

chúng tôi trình bày việc giải bài toán trích xuất luật kết hợp mờ theo cách tiếp cận của Đại số gia tử, ở đó các giá trị độ thuộc mờ sẽ nhận được thông qua các giá trị định lượng ngữ ngh

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

LÊ THỊ BÍCH THẢO

KHAI PHÁ LUẬT KẾT HỢP MỜ DỰA

TRÊN ĐẠI SỐ GIA TỬ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

Thái Nguyên - 2013

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

LÊ THỊ BÍCH THẢO

KHAI PHÁ LUẬT KẾT HỢP MỜ DỰA

TRÊN ĐẠI SỐ GIA TỬ

Chuyên ngành: Khoa học máy tính

LỜI CAM ĐOAN

Tên tôi là : Lê Thị Bích Thảo

Sinh ngày 02 tháng 7 năm 1983

Học viên cao học lớp: K9B- trường Đại học CNTT&TT Thái Nguyên

Xin cam đoan : Đề tài luận văn“Khai phá luật kết hợp mờ dựa trên

đại số gia tử” do TS.Trần Thái Sơn hướng dẫn là công trình nghiên cứu của

riêng tôi Tất cả tài liệu tham khảo đều có nguồn gốc, xuất xứ rõ ràng

Tôi xin cam đoan tất cả những nội dung trong luận văn đúng như nội dung trong đề cương và yêu cầu của thầy giáo hướng dẫn Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước Hội đồng khoa học và trước pháp luật

Thái Nguyên, tháng 01 năm 2013

Người cam đoan

Lê Thị Bích Thảo

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình làm luận văn vừa qua, dưới sự giúp đỡ và chỉ bảo nhiệt tình của TS Trần Thái Sơn – Viện Công nghệ thông tin – Viện khoa học Việt Nam, luận văn của tôi đã được hoàn thành Mặc dù đã cố gắng không ngừng cùng với sự tận tâm của thầy hướng dẫn nhưng do thời gian và khả năng vẫn còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót

Để hoàn thành luận văn này, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Trần Thái Sơn – Người thầy đã tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình làm luận văn

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến ban lãnh đạo và các thầy giáo, cô giáo trong Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin & Truyền Thông Đại Học Thái Nguyên đã giúp đỡ, tạo điều kiện tốt nhất cho em học tập và thực hiện luận văn này

Thái Nguyên, tháng 01 năm 2013

Tác giả

Lê Thị Bích Thảo

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN iii

LỜI CẢM ƠN iv

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT iii

DANH MỤC CÁC HÌNH ẢNH iv

PHẦN MỞ ĐẦU 1

Chương 1: LÝ THUYẾT CHUNG VỀ TẬP MỜ VÀ LÝ THUYẾT 4

ĐẠI SỐ GIA TỬ 4

1.1 Lý thuyết chung về tập mờ 4

1.2 Lôgic mờ 9

1.3 Biến ngôn ngữ 14

1.4 Một số khái niệm cơ bản về Đại số gia tử 15

1.4.1 Đại số gia tử 17

1.4.2 Định nghĩa đại số gia tử 18

Chương 2: LUẬT KẾT HỢP TRONG KHAI PHÁ DỮ LIỆU 33

2.1 Bài toán kinh điển dẫn đến việc khai phá luật kết hợp 33

2.2 Khai phá luật kết hợp mờ: 39

Chương 3: ỨNG DỤNG ĐẠI SỐ GIA TỬ GIẢI BÀI TOÁN KHAI PHÁ DỮ LIỆU 41

3.1 Ứng dụng đại số gia tử trong khai phá dữ liệu 41

3.1.1.Tiếp cận Đại số gia tử trong khai phá dữ liệu: 41

3.1.2.Thuật toán trích xuất luật kết hợp từ cơ sở dữ liệu: 43

3.1.3.Thuật toán giải bài toán khai phá luật kết hợp mờ dựa trên đại số gia

tử 51

3.2 Bài toán 51

3.3 Xác định đầu vào, đầu ra của bài toán 52

3.3.1 Thuật toán giải 52

3.3.2.Chương trình thử nghiệm 52

3.3.3 Cài đặt chương trình 52

3.3.4.Giao diện của chương trình 53

KẾT LUẬN 55

TÀI LIÊU THAM KHẢO 56

PHẦN PHỤ LỤC 58

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

Các kí hiệu,

ĐSGT Đại số gia tử

α Tổng độ đo tính mờ của các gia tử âm

β Tổng độ đó tính mờ của các gia tử dương

AX, AT Đại số gia tử

AX Đại số gia tử tuyến tính đầy đủ

W Phần tử trung hòa trong đại số gia tử

DANH MỤC CÁC HÌNH ẢNH

Hình 1 Đồ thị biểu diễn hàm thuộc của tập mờ già (old) Hình 2 Biểu diễn bộ 2

Hình 3 Độ đo tính mờ của biến TRUTH

Hình 4 Giao diện của chương trình

Hình 5 Kết quả thực hiện chương trình thử nghiệm

PHẦN MỞ ĐẦU

Trong những năm gần đây, việc nắm bắt được thông tin được coi là cơ

sở của mọi hoạt động sản xuất, kinh doanh Cá nhân hoặc tổ chức nào thu thập và hiểu được thông tin, và hành động dựa trên các thông tin được kết xuất từ các thông tin đã có sẽ đạt được thành công trong mọi hoạt động Chính vì lý do đó, việc tạo ra thông tin, tổ chức lưu trữ và khai thác ngày càng trở nên quan trọng và gia tăng không ngừng

Sự tăng trưởng vượt bậc của các cơ sở dữ liệu (CSDL) trong cuộc sống như: thương mại, quản lý và khoa học đã làm nảy sinh và thúc đẩy sự phát triển của kỹ thuật thu thập, lưu trữ, phân tích và khai phá dữ liệu… không chỉ bằng các phép toán đơn giản thông thường như: phép đếm, thống kê… mà đòi hỏi cách xử lý thông minh hơn, hiệu quả hơn Từ đó các nhà quản lý có được thông tin có ích để tác động lại quá trình sản xuất, kinh doanh của mình… đó

là tri thức Các kỹ thuật cho phép ta khai thác được tri thức hữu dụng từ CSDL (lớn) được gọi là các kỹ thuật khai phá dữ liệu (DM – Data Mining) Khai phá luật kết hợp là một nội dung quan trọng trong khai phá dữ liệu

Luận văn trình bày một số vấn đề về phát hiện tri thức, khai phá dữ liệu, tập trung vào vấn đề khai phá luật kết hợp và ứng dụng lý thuyết Đại số gia tử trong khai phá luật kết hợp trên CSDL

Khai phá dữ liệu, cụ thể là trích xuất các luật kết hợp từ cơ sở dữ liệu,

có xuất phát điểm từ bài toán nghiên cứu số liệu bán hàng trong siêu thị Ở bài toán này, số liệu được biểu diễn dưới dạng bảng hai chiều, trong đó các cột thể hiện các loại mặt hàng (item), các hàng thể hiện các giao dịch (transactions) đã được tiến hành, số 1 cho thấy mặt hàng được mua, số 0 chỉ điều ngược lại Từ bảng dữ liệu rất lớn này, người ta mong muốn rút ra được các quy luật giúp cho quản lý, kiểu như "Nếu một người đã mua bánh mỳ và

bơ, khả năng người đó cũng mua giăm bông là rất cao" Luật có dạng như vậy gọi là luật kết hợp và là hướng nghiên cứu quan trọng trong lĩnh vực khai phá

dữ liệu Về sau, người ta thấy sẽ là rất không đầy đủ nếu chỉ xem xét các cơ

sở dữ liệu chỉ bao gồm các phần tử 0 và 1 Chẳng hạn, trong CSDL nhân sự của một cơ quan có các mục như tuổi, thu nhập có giá trị trong miền số thực rất rộng Để trích xuất ra các luật kết hợp, một phương pháp thường được sử dụng là chuyển số liệu trong CSDL đã cho về CSDL chỉ chứa các giá trị 0, 1

và áp dụng các kết quả đã có Thí dụ, trong mục "tuổi", có thể chia ra các miền "trẻ", "trung niên" và "già" với các miền giá trị tương ứng là [0,35], [36,55], [56,80] và nếu một giá trị của CSDL ban đầu rơi vào miền giá trị nào thì ta ghi 1 cho vị trí tương ứng trong CSDL chuyển đổi, ngược lại gán giá trị

0 Phương pháp này đơn giản về mặt thực thi nhưng có thể gây băn khoăn do ranh giới cứng mà người ta đưa ra khi tiến hành chuyển đổi Chẳng hạn hai người tuổi 35 và 36 tuy rất gần nhau về mặt tuổi tác nhưng lại thuộc hai lớp khác nhau là "trẻ" và "trung niên", dẫn tới việc đưa ra những luật kết hợp có thể thiếu tính chính xác Và người ta sử dụng cách tiếp cận mờ để khắc phục điều này, theo đó, một giá trị bất kỳ của CSDL ban đầu không chuyển đổi về giá trị 0 hoặc 1 như trên mà sẽ chuyển về một tập giá trị thực thuộc đoạn [0,1], là độ thuộc của giá trị đã cho vào các tập mờ được xác định trước Thí

dụ, người tuổi 35 trong ví dụ trên, ở CSDL đã chuyển đổi sẽ nhận tập giá trị (trẻ, 0,8), (trung niên, 0,6), (già, 0,1) Phương pháp này, tuy dẫn tới việc xử lý phức tạp hơn nhưng dễ chấp nhận hơn về mặt trực quan và hiện đang được nhiều nhà nghiên cứu quan tâm Mặc dù vậy, theo ý chúng tôi, phương pháp trích xuất luật kết hợp mờ vẫn có một số điểm yếu cần khắc phục Đó là sự phụ thuộc chủ quan rất lớn vào việc lựa chọn các hàm thuộc cho các tập mờ dẫn đến việc xử lý vừa phức tạp vừa có thể thiếu chính xác Trong bài báo này

chúng tôi trình bày việc giải bài toán trích xuất luật kết hợp mờ theo cách tiếp cận của Đại số gia tử, ở đó các giá trị độ thuộc mờ sẽ nhận được thông qua các giá trị định lượng ngữ nghĩa, được xác định dựa trên các kết quả nghiên cứu lý thuyết về ĐSGT đã có từ trước

Luận văn có bố cục như sau:

Chương 1: Lý thuyết chung về tập mờ và lý thuyết đại số gia tử

Trong chương này trình bày những kiến thức cơ bản về lý thuyết tập

mờ, và một số khái niệm cơ bản về đại số gia tử

Chương 2: Khai phá luật kết hợp mờ dựa trên đại số gia tử

Trong chương này trình bày luật kết hợp mờ , thuật toán khai phá luật kết hợp mờ dựa trên đại số gia tử

Chương 3 : Ứng dụng ĐSGT giải bài toán khai phá dữ liệu

Trong chương này trình bày bài toán, thuật toán và cách giải bài toán khái phá luật kết hợp mờ dựa trên đại số gia tử bằng cách sử dụng giá trị định lượng ngữ nghĩa của các hạng từ trong đại số gia tử

Chương 1

LÝ THUYẾT CHUNG VỀ TẬP MỜ VÀ LÝ THUYẾT

ĐẠI SỐ GIA TỬ

1.1 Lý thuyết chung về tập mờ

Là người khởi xướng cho lý thuyết tập mờ, L A Zadeh đã có rất nhiều nghiên cứu mở đường cho sự phát triển và ứng dụng [14] Ý tưởng nổi bật của Zadeh là từ những khái niệm trừu tượng về ngữ nghĩa của thông tin mờ,

không chắc chắn như trẻ-già, nhanh-chậm, cao-thấp,… ông đã tìm cách biểu

diễn chúng bằng một khái niệm toán học, được gọi là tập mờ và được định nghĩa như sau

Định nghĩa 1 [14] Cho một tập vũ trụ U với các phần tử ký hiệu bởi x,

U={x} Một tập mờ A trên U là tập được đặc trưng bởi một hàm A (x) mà nó

liên kết mỗi phần tử xU với một số thực trong đoạn [0,1] Giá trị hàm A (x)

biểu diễn mức độ thuộc của x trong A A (x) là một ánh xạ từ U vào [0,1] và

được gọi là hàm thuộc của tập mờ A

Như vậy, giá trị hàm A (x) càng gần tới 1 thì mức độ thuộc của x trong A

càng cao Khi A là một tập hợp kinh điển, hàm thuộc của nó, A (x), chỉ nhận 2

giá trị 1 hoặc 0, tương ứng với x có nằm trong A hay không Rõ ràng, tập mờ

là sự mở rộng của khái niệm tập hợp kinh điển Các khái niệm, phép toán trong lý thuyết tập kinh điển cũng được mở rộng cho các tập mờ

Họ tất cả các tập mờ trên miền cơ sở U là không gian các hàm từ U vào

đoạn [0,1], tức là F ( ,[0,1]) U = {A : U[0,1]}, một không gian tương đối giàu về cấu trúc tính toán mà nhiều nhà nghiên cứu đã sử dụng cho việc mô phỏng các phương pháp suy luận của con người

Chúng ta có thể biểu diễn tập mờ bằng các cách sau, tùy theo tập U là

- Trường hợp U hữu hạn, U={u i : 1 i  n}, ta có thể viết

A = A (u 1 )/u 1 + A (u 2 )/u 2 + … + A (u n )/u n = 1  i  nA (u i )/u i

- Trường hợp U vô hạn đếm được, U={u i : i=1,2,… }, ta viết

A = 1  i <A (u i )/u i

- Trường hợp U vô hạn liên tục, U=[a,b], ta viết

A = ( ) /

b A a





Sau đây ta định nghĩa một số khái niệm đặc trưng liên quan đến tập mờ

Định nghĩa 2 [1] Cho một tập mờ A trên tập vũ trụ U và [0,1] Tập lát cắt  của A là một tập kinh điển, ký hiệu A, được xác định như sau :

A = {u  U : A (u)}

Tập A còn gọi là tập mức  của A

Định nghĩa 3 [1] Cho một tập mờ A trên tập vũ trụ U,

i) Giá của tập mờ A, ký hiệu support(A), là tập con của U trên đó

A (u)0, tức là support(A) = {u  U : A (u)0}

ii) Độ cao của tập mờ A, ký hiệu high(A), là cận trên đúng của hàm

thuộc A (u) trên U, tức là high(A) = sup{A (u) : uU}

iii) A được gọi là tập mờ chuẩn nếu high(A)=1 Ngược lại gọi là tập

mờ dưới chuẩn

iv) Lõi của tập mờ A, ký hiệu core(A), là một tập con của U được

xác định như sau:

core(A) = {uU : A (u) = high(A)}

Định nghĩa 4 [1] Cho một tập mờ A trên tập vũ trụ U,

i) Lực lượng vô hướng hay bản số của tập mờ A, ký hiệu count(A),

được xác định là:

u 

= UA (u)du, nếu U là vô hạn liên tục

ii) Lực lượng mờ hay bản số mờ của tập mờ A, ký hiệu card(A), là

một tập mờ trên tập các số nguyên không âm N, được xác định như sau:

card(A) = Ncard(A) (n)dn , trong đó, card(A) (n) được xác

định theo công thức sau, với |A| là lực lượng tập mức A,

card(A) (n) = sup{t[0,1] : |A| = n}

Ví dụ 1 Cho tập vũ trụ chỉ tuổi tính chẵn năm U={u : 0 u 120}, A là

một tập mờ chỉ tuổi già (old) được xác định bởi hàm thuộc sau (hình 1):

2 1 60 6

( ) (1 ( ) ) [61,120]

u u

support(A) = {u : 61 u 120} ; high(A) = 1.01-1; core(A) = {120}

Hình 1 Đồ thị biểu diễn hàm thuộc của tập mờ già (old)

Tiếp theo chúng ta định nghĩa một số phép toán cơ bản trên tập mờ, các phép này làm cơ sở cho việc phát triển lôgíc mờ sau này

Định nghĩa 5 [1,14] Cho hai tập mờ A và B trên tập nền U có hàm

thuộc tương ứng là A và B, ba phép toán cơ bản là hợp, giao của hai tập mờ

và lấy phần bù của tập mờ A là một tập mờ C, được viết là

C = A  B, hoặc C = A  B, hoặc C = A ~ với hàm thuộc được xác định như sau:

AB (u) = max(A (u), B (u)), u  U,

AB (u) = min(A (u), B (u)), u  U,

A~ (u) = 1- A (u), u  U

Hay viết ở dạng thu gọn là

AB (u) = A (u) B (u)),

AB (u) = A (u) B (u))

Ví dụ 2 [1] Xét tập nền U = {1,2,3,4,5,6,8,9,10,11} là tập các giá trị

trong thang điểm 10 đánh giá kết quả học tập của học sinh Hai tập mờ G và K

tương ứng là hai khái niệm mờ về năng lực học giỏi và học kém, với hàm thuộc được cho dưới dạng bảng như sau:

ta định nghĩa quan hệ mờ như sau

Định nghĩa 6 [1] Cho U là tích Đề-Các của n miền cơ sở U i , i=1, ,…, n

Khi đó mỗi một tập mờ trên U được gọi là một quan hệ mờ n-ngôi và được kí

hiệu là R, gọi là tên của quan hệ đó, và nó được biểu thị bằng công thức sau:

1 1 1 1 ( , , ) / ( , , )

Quan hệ mờ cũng có các phép tính cơ bản như trên tập mờ vì bản thân

nó cũng là tập mờ Ngoài ra, quan hệ mờ có những phép tính đặc thù riêng mà trên tập mờ không có, đó là phép hợp thành dưới đây

Định nghĩa 7 [1] Cho R là một quan hệ mờ trên UV và S là quan hệ

mờ trên VW Khi đó, phép hợp thành của hai quan hệ này là một quan hệ

trên UW, được ký hiệu là RS và được định nghĩa như sau:

RS = vV [R (u,v)S (v,w)]/(u,w)

Trong đó  là một phép tính 2 ngôi trong [0,1] có tính giao hoán, kết hợp

và phân phối đối với phép max  Nếu  là phép min , thì ta có phép hợp

thành max-min, nếu  là phép nhân số học thì ta có phép hợp thành

max-product

Ví dụ 3 Cho U = {u 1 , u 2 , u 3 }, V = {v 1 , v 2 } và W = {w 1 , w 2}, với quan hệ

mờ R trên UV và S trên VW được cho hàm thuộc dưới dạng ma trận

1 2 3

0.4 1

1 0.3 0.7 0.8

2

0.2 0.8 0.7 0.1

v S v

0.7 1 0.3 0.8 0.7 0.7

0.8 0.32 0.21 0.8 0.56 0.56

Phép hợp thành các quan hệ mờ đóng vai trò quan trọng trong quá trình lập luận xấp xỉ sau này

Trong hầu hết các ứng dụng, tri thức được biểu diễn dưới dạng luật then” và mỗi luật được xem như một quan hệ mờ

“if-Chúng ta thấy rằng lý thuyết tập mờ với mục tiêu mô hình hóa toán học ngữ nghĩa của các khái niệm mờ và, hơn nữa, mô hình hóa cách lập luận của con người Tuy nhiên, những vấn đề này thuộc loại có cấu trúc yếu, khó có thể có một cấu trúc toán duy nhất mô hình hóa trọn vẹn những vấn đề đó

1.2 Lôgic mờ

Cùng với khái niệm biến ngôn ngữ, L A Zadeh đã phát triển lôgic mờ

mà các giá trị chân lý nhận trong T(Truth) = {true, very true, more false,

possible false, very very false,…}, tập các giá trị của biến ngôn ngữ Truth

Khi đó, một mệnh đề dạng “X is A”, với A là một khái niệm mờ, sẽ có giá trị

chân lý thuộc T(Truth) và được biểu thị bởi một tập mờ có hàm thuộc A trên

không gian tham chiếu U

Lý thuyết tập mờ là cơ sở toán học cho việc phát triển các phương pháp

mô phỏng lập luận của con người Về nguyên tắc, vấn đề tư duy, lập luận của con người rất phức tạp và do đó không thể sử dụng một cấu trúc toán học duy nhất để mô phỏng Vì vậy, mục tiêu của chúng ta là càng xây dựng được nhiều cấu trúc đại số các tập mờ càng tốt để linh hoạt trong tiếp cận các vần

đề ứng dụng Ở đây, chúng ta sẽ định nghĩa một họ các cặp đối ngẫu t-norm

và t-conorm cùng với phép phủ định làm cơ sở cho lôgic mờ và lập luận xấp

xỉ

Định nghĩa 8 [1] Một hàm 2-biến T : [0,1][0,1]  [0,1] được gọi là

phép t-norm nếu nó thỏa các tính chất sau với a,a’,b,c [0,1]:

i) Tính chất điều kiện biên: T(a,1) = a

ii) Tính giao hoán: T(a,b) = T(b,a) iii) Tính đơn điệu: a  a’  T(a,b)  T(a’,b) iv) Tính kết hợp: T(a,T(b,c)) = T(T(a,b),c)

Ngoài ra, một số tính chất khác cần đòi hỏi phải có trong nhiều ứng dụng

đối với phép t-norm bao gồm:

v) Tính liên tục: T là hàm hai biến liên tục vi) Tính lũy đẳng dưới: T(a,b) < a

vii) Tính đơn điệu chặt: a  a’ và b  b’  T(a,a’) <

T(b,b’)

Định nghĩa 9 [1] Một hàm 2-biến S : [0,1][0,1]  [0,1] được gọi là

phép t-conorm nếu nó thỏa các tính chất sau với a,a’,b,c [0,1]:

i) Tính giới nội: S(a,0) = a ii) Tính giao hoán: S(a,b) = S(b,a) iii) Tính đơn điệu: a  a’  S(a,b)  S(a’,b) iv) Tính kết hợp: S(a,S(b,c)) = S(S(a,b),c)

Như vậy, chỉ có hai tính chất điều kiện biên và giới nội làm nên sự khác

biệt giữa hai họ phép tính t-norm và t-conorm

Chúng ta cũng có thể mở rộng định nghĩa cho phép t-norm và t-conorm này đối với trường hợp nhiều biến vào, tức là T ex : [0,1]n  [0,1] và S ex : [0,1]n  [0,1], bằng cách áp dụng liến tiếp các phép t-norm và t-conorm ở

trên

Định nghĩa 10 [1] Hàm N : [0,1]  [0,1] được gọi là phép phủ định

(negation) nếu nó thỏa các tính chất sau với a,a’ [0,1]:

i) Tính đơn điệu giảm: a  a’  N(a)  N(a’)

iv) Tính lũy đẳng: N(N(a)) = a

Ví dụ 4: Các phép t-norm, t-conorm và phép phủ định hay được sử dụng

Định nghĩa 11 [1] Ba phép tính t-norm T, t-conorm S và phép phủ định

N được gọi là một hệ đối ngẫu (T,S,N) nếu chúng thỏa điều kiện sau:

N(S(a,b)) = T(N(a),N(b)), a,b[0,1]

Việc áp dụng các phép t-norm, t-conorm và phép phủ định cho việc tính

toán các toán tử hội, tuyển và phủ định trong lôgic mờ làm tăng tính mềm dẻo

trong ứng dụng Thực vậy, khi hai mệnh đề “X is A” và “X is B” có giá trị

chân lý được biểu thị bởi hai hàm thuộc tương ứng A và B trên không gian

tham chiếu U và V thì mệnh đề mờ “X is A and B” có hàm thuộc biểu thị giá

trị chân lý là AB = T(A ,B ), với T là một t-norm nào đó Tương tự, mệnh đề

“X is A or B” có hàm thuộc là AB = S(A ,B ) và mệnh đề “X is not A” có

hàm thuộc là ~A = N(A ), ở đây S là một t-conorm và N là một phép phủ định

được chọn nào đó

Các mệnh đề mờ cùng với giá trị chân lý của chúng là những đối tượng nghiên cứu chính của lôgíc mờ Trong đó, một dạng mệnh đề mờ thường biểu diễn cho tri thức dạng luật trong lập luận xấp xỉ và ứng dụng, đó là mệnh đề

mờ có điều kiện dạng “If X is A then Y is B” và được biểu diễn bằng toán tử

I(1,x) = x v) Tính đồng nhất

I(x,x) = x vi) Tính chất hoán đổi

I(x,I(y,z)) = I(y,I(x,z)) vii) Tính chất về điều kiện giới nội

I(x,y) = 1 nếu và chỉ nếu x  y

viii) Tính chất khái quát hóa của phép kéo theo kinh điển

I(x,y) = I(N(y),N(x)), trong đó N là phép phủ định ix) I là hàm liên tục theo cả hai biến

Rõ ràng mệnh đề điều kiện ở dạng “If X is A then Y is B” thể hiện mối

quan hệ giữa hai khái niệm mờ A và B Vì vậy, chúng cảm sinh một quan hệ

mờ R thể hiện bởi một tập mờ trên không gian tích Đề-Các UV được xác

định bởi hàm thuộc thông qua một phép kéo theo được chọn

Ví dụ 5 Một số dạng phép kéo theo thường dùng

Mamdani

I(x,y) = min{x,y}

Dạng khái quát từ phép kéo theo kinh điển

I(x,y) = S(N(x),y), hoặc

I(x,y) = S(N(x),T(x,y)), hoặc

I(x,y) = S(T(N(x),N(y)),y), với T, S và N là các phép

t-norm, t-conorm và phép phủ định

Reichenbach

I(x,y) = 1-x+x.y

Lukasiewicz

I(x,y) = min{1, 1-x+y}

Định lý sau đây cho chúng ta xem xét liệu phép kéo theo như thế nào sẽ thỏa mãn tất cả các tính chất trong định nghĩa 12

Định lý 1 [1] Một hàm 2-biến I : [0,1]2  [0,1] thỏa các tính chất từ i) đến ix) trong định nghĩa 12 nếu và chỉ nếu có tồn tại một hàm liên tục đơn điệu tăng thực sự f : [0,1]  [0,+) sao cho f(0) = 0 và

I(x,y) = f -1 (f(1)-f(x)+f(y)), với x,y  [0,1], và

N(x) = f -1 (f(1)-f(x)), với x [0,1]

Tuy nhiên, bản chất ngữ nghĩa của phép kéo theo mờ trong lập luận của con người rất phức tạp, khó có một hệ tiên đề chung cho mọi tình huống Vì vậy, các tính chất ở định nghĩa 12 không bắt buộc mọi phép kéo theo mờ đều

phải thỏa mãn Hơn nữa, cũng không có quyền đặt ra các yêu cầu về một tính chất nào đó khác mà một phép kéo theo cần phải có Chỉ có ứng dụng thực tiễn là tiêu chuẩn cuối cùng chứng minh tính phù hợp của một định nghĩa phép kéo theo mờ

1.3 Biến ngôn ngữ

Trong [14], L A Zadeh đã viết “Khi thiếu hụt tính chính xác bề ngoài

của những vấn đề phức tạp cố hữu, một cách tự nhiên là tìm cách sử dụng các biến ngôn ngữ, đó là các biến mà giá trị của chúng không phải là số mà là các từ hoặc các câu trong ngôn ngữ tự nhiên hoặc nhân tạo Động lực cho việc sử dụng các từ, các câu hơn các số là ở chỗ đặc trưng ngôn ngữ của các

từ và các câu thường ít xác định cụ thể hơn của các số” và ông đã đưa ra một

lớp khái niệm rộng hơn có thể mô hình qua các tập mờ, đó là biến ngôn ngữ

Định nghĩa 13 [14] Biến ngôn ngữ là một bộ năm (X,T(X),U,R,M),

trong đó X là tên biến, T(X) là tập các giá trị ngôn ngữ của biến X, U là không gian tham chiếu hay còn gọi là miền cơ sở của biến X, R là một quy tắc ký pháp sinh các giá trị ngôn ngữ cho T(X), M là quy tắc gán ngữ nghĩa biểu thị bằng tập mờ trên U cho các từ ngôn ngữ trong T(X)

Ví dụ 6 Cho X là biến ngôn ngữ có tên AGE, miền tham chiếu của X là

U=[0,120] Tập các giá trị ngôn ngữ T(AGE)={very old, old, possible old, less

old, less young, quite young, more young,…} Chẳng hạn với giá trị ngôn ngữ old, quy tắc gán ngữ nghĩa M cho old bằng tập mờ cho bởi ví dụ 1

M(old) = {(u,old (u)) : u[0,120]}

Chúng ta thấy rằng một biến ngôn ngữ được cấu trúc theo hướng mà trong đó có hai quy tắc cơ bản Thứ nhất là quy tắc cú pháp, qui định cách thức để sinh các giá trị ngôn ngữ Thứ hai là quy tắc ngữ nghĩa, qui định thủ tục tính toán ngữ nghĩa của các giá trị ngôn ngữ Ngoài các giá trị sinh nguyên

thủy, các giá trị ngôn ngữ có thể gồm các từ liên kết như and, or, not,… và các gia tử ngôn ngữ như very, possible, less, quite, more,….Zadeh cũng nêu ra

một vài thí dụ về cách sinh ra các hàm thuộc từ các hàm thuộc đã có như nếu

A là nhãn ngôn ngữ mờ có hàm thuộc là μA thì veryA có hàm thuộc là (μA)2

còn lessA có hàm thuộc là căn bặc hai của μA

Trong thực tế có nhiều biến ngôn ngữ khác nhau về giá trị sinh nguyên thủy, tuy nhiên cấu trúc miền giá trị của chúng tồn tại một “đẳng cấu” sai khác nhau bởi giá trị sinh nguyên thủy này Đây gọi là tính phổ quát của biến ngôn ngữ

Khác với giá trị nguyên thủy của các biến ngôn ngữ phụ thuộc vào ngữ cảnh, ngữ nghĩa của các gia tử và các từ liên kết hoàn toàn độc lập với ngữ cảnh Đây là tính độc lập ngữ cảnh của gia tử và liên kết

Chúng ta thấy rằng lý thuyết tập mờ với mục tiêu mô hình hóa toán học ngữ nghĩa của các khái niệm mờ và hơn nữa mô hình hóa cách lập luận của con người Tuy nhiên, những vấn đề này thuộc loại có cấu trúc yếu, khó có thể có một cấu trúc toán duy nhất mô hình hóa trọn vẹn những vấn đề đó

1.4 Một số khái niệm cơ bản về Đại số gia tử

Để xây dựng phương pháp luận tính toán nhằm giải quyết vấn đề mô phỏng các quá trình tư duy, suy luận của con người chúng ta phải thiết lập ánh xạ: gán mỗi khái niệm mờ một tập mờ trong không gian tất cả các hàm F(U, [0, 1]) Nghĩa là ta mượn cấu trúc tính toán rất phong phú của tập để mô phỏng phương pháp lập luận của con người thường vẫn được thực hiện trên nền ngôn ngữ tự nhiên

Vậy một vấn đề đặt ra là liệu bản thân ngôn ngữ có cấu trúc tính toán không? Nếu có thì các phương pháp lập luận xây dựng trên đó đem lại những lợi ích gì? Thông qua lý thuyết về đại số gia tử ta có thể thấy rằng tập các giá trị của

một biến ngôn ngữ (biến mà giá trị của nó đƣợc lấy trong miền ngôn ngữ) là một cấu trúc đại số đủ mạnh để tính toán

Lý thuyết đại số gia tử đã cố gắng nhúng tập ngôn ngữ vào một cấu trúc đại

số thích hợp và tìm cách xem chúng nhƣ là một đại số để tiên đề hóa sao cho cấu trúc thu đƣợc mô phỏng tốt ngữ nghĩa ngôn ngữ

Khi đó miền ngôn ngữ T = dom (TRUTH) có thể biểu thị như là một cấu trúc đại số AT = (T, G, H, ≤), trong đó:

- T: Là tập cơ sở của AT

- G: Là tập các từ nguyên thủy (tập các phần tử sinh: true, false)

- H: Là tập các toán tử một ngôi, gọi là các gia tử (các trạng từ nhấn)

- ≤: Là biểu thị quan hệ thứ tự trên các từ (các khái niệm mờ), nó được

“cảm sinh” từ ngữ nghĩa tự nhiên Ví dụ: dựa trên ngữ nghĩa, các quan hệ thứ

tự sau là đúng: false≤ true, more true ≤ very true, very false ≤ more false, possible true ≤ true, false ≤ possible false, …

Ta luôn giả thiết rằng các gia tử trong H là các toán tử thứ tự, nghĩa là (∀h ∈ H, h: T → T), (∀x ∈ T) {hx ≤ x hoặc hx ≥ x} Hai gia tử h, k ∈ H được gọi là ngược nhau nếu (∀x ∈ T) {hx ≤ x khi và chỉ khi kx ≥ x} và chúng được gọi là tương thích nhau nếu (∀x ∈ T) {hx ≤ x khi và chỉ khi kx ≤ x}

Ta ký hiệu h ≥ k nếu h, k tương thích nhau và (∀x ∈ T) {hx ≤ kx ≤ x hoặc hx ≥ kx ≥ x}

Ngoài ra, tập H còn có thể được phân hoạch thành hai tập H+ và H- với các gia tử trong tập H+ hay H- là tương thích nhau, mỗi phần tử trong H+ cũng ngược với bất kỳ phần tử nào trong H- và ngược lại

Giả sử trong tập H+ có phần tử V (ngầm định là very – rất) và trong tập H- có phần tử L (ngầm định là less – ít) là phần tử lớn nhất thì phần tử sinh g

∈ G là dương nếu g ≤ Vg và là âm nếu g ≥ Vg (hoặc g ∈ G là âm nếu g ≥ Lg

và là âm nếu g ≤ Lg)

Một gia tử h dương (hoặc âm) đối với một gia tử k nếu (∀x ∈ T) {hkx ≤

kx ≤ x hoặc hkx ≥ kx ≥ x} (hoặc (∀x ∈ T) { kx ≤ hkx ≤ x hoặc kx ≥ hkx ≥ x})

T được sinh ra từ G bởi các gia tử trong H Như vậy mỗi phần tử của T

sẽ có dạng biểu diễn là x = h

nhn-1h…h

1u, u ∈ G

Tập tất cả các phần tử được sinh ra từ phần tử x có dạng biểu diễn là H(x) Nếu G chỉ có đúng 2 từ nguyên thủy mờ, thì một được gọi là phần tử sinh dương ký hiệu là t, một được gọi là phần tử sinh âm ký hiệu là f và ta có

f < t (Trong ví dụ trên, t tương ứng với true là dương, còn f tương ứng với false là âm)

1.4.2 Định nghĩa đại số gia tử

Một cấu trúc đại số AT = (T, G, H, ≤) với H được phân hoạch thành

H+ và H- các gia tử ngược nhau được gọi là một đại số gia tử nếu nó thỏa

(3) Nếu x ≠ hx thì x∉H(hx) và nếu h ≠ k và hx ≤ kx thì h’hx ≤ k’kx, với mọi gia tử h, k, h’ và k’ Hơn nữa nếu hx ≠ kx thì hx và kx là độc lập

(4) Nếu u∉H(v) và u ≤ v (hoặc u ≥ v) thì u ≤ hv (hoặc u ≥ hv) đối với mọi gia tử h

Xét đại số gia tử AT có đúng 3 phần tử sinh: dương, âm và một phần

tử trung hòa w nằm giữa hai phần tử sinh kia và có tính chất hw = w, với mọi h∈H Một phần tử y được gọi là phần tử đối nghịch của phần tử x nếu

có tồn tại một biểu diễn của x có dạng x = h

n…h

1g, w ≠ g ∉ G, sao cho y = h

n…h

1g’, với w ≠ g’∈G và g’ ≠ g (nói cách khác: hai phần tử của đại số

gia tử được gọi là đối nghịch nhau nếu chúng có dạng biểu diễn với cùng một dãy các gia tử nhưng phần tử sinh của chúng khác nhau, một cái là dương và một cái là âm)

Đặc biệt phần đối nghịch của w được định nghĩa chính là w Phần tử đối nghịch của x được ký hiệu là –x với chỉ số nếu cần thiết Nhìn chung một phần tử có thể có nhiều phần tử đối nghịch

Nếu mỗi phần tử của T chỉ có duy nhất một phần tử đối nghịch thì

AT được gọi là đại số gia tử đối xứng

1.4.2.1 Một số tính chất của đại số gia tử

Định lý sau cho thấy tính thứ tự ngữ nghĩa của các hạng từ trong ĐSGT

(2) Nếu X đƣợc sinh từ G bởi các gia tử và G là tập sắp thứ tự tuyến tính thì X cũng là tập sắp thứ tự tuyến tính Hơn nữa nếu u < v, và u, v là độc lập

với nhau, tức là u  H(v) và v  H(u), thì H(u)  H(v)

Định lý tiếp theo xem xét sự so sánh của hai hạng từ trong miền ngôn ngữ của biến X

Định lý 3 Cho x = h n …h1u và y = k m …k1u là hai biểu diễn chính tắc của

x và y đối với u Khi đó tồn tại chỉ số j ≤ min{n, m} + 1 sao cho h j' = k j' với

mọi j' < j (ở đây nếu j = min {n, m} + 1 thì hoặc h j là toán tử đơn vị I, h j = I, j

Định lý 4 Một đại số gia tử AT là đối xứng nếu với mọi x, x là điểm dừng

khi và chỉ khi –x cũng là điểm dừng

Định lý trên chứng tỏ rằng đại số gia tử đối xứng, dù chỉ dựa trên các tính chất tự nhiên của khái niệm ngôn ngữ cũng có những tính chất rất quan trọng và đủ phong phú để xây dựng và phát triển một cơ sở logic cho lập luận xấp xỉ Rõ ràng nó sẽ là một logic không kinh điển (non-classical logic) Ngoài ra có thể thấy rằng tập G là đại số gia tử đối xứng con của AT và nó thỏa mãn các tính chất của đại số cho logic 3-trị Với những lý do đó có thể xem mỗi một đại số gia tử đối xứng là một cơ sở đại số cho một logic các giá trị ngôn ngữ Định lý tiếp theo nói về mối quan hệ với miền [0, 1]

Định lý 5 Nếu tập các toán tử (gia tử) H+ và H- có quan hệ thứ tự sắp

xếp tuyến tính thì có tồn tại một đẳng cấu 𝝋 từ đại số gia tử đối xứng AT = (T, G, H, -, ∪, ∩, ⇒, ≤) vào cấu trúc logic đa trị tựa trên đoạn [0, 1] sao cho:

(1) Bảo toàn quan hệ thứ tự

(2) (u ∪ v) = max{ 𝝋 (u), 𝝋 (u ∪ v)} = min{ 𝝋 (u), 𝝋 (v)}

(3) 𝝋 (u ⇒ v) = max{1- 𝝋 (u), 𝝋 (v)} và 𝝋 (-u) = 1- 𝝋 (u) Cần lưu

ý rằng cấu trúc logic đa trị tựa trên đoạn [0, 1] là cơ sở để xây dựng và phát triển logic mờ và lập luận mờ Vì vậy sự “tương đồng” dựa trên định

lý trên chứng tỏ thêm giá trị của cách tiếp cận đại số này

Các kết quả mở rộng đối với các toán tử sup, inf, gọi là đại số gia tử mở rộng đối xứng, đồng thời mịn hoá đại số gia tử, đưa thêm các toán tử hoặc, và

liên kết các gia tử tạo thành các gia tử mới Nhưng vấn đề tiếp tục này được quan tâm ở đây là trong các ví dụ trên thường đề cập đến biến chân lý, có miền giá trị được sắp xếp thứ tự khá rõ, trong khi với các khái niệm ngôn ngữ

mà con người tiếp xúc hàng ngày thì không được như vậy Hoặc bản thân một

số gia tử như có thể, ít nhiều, xấp xỉ cũng không sánh được với nhau, trong khi suy luận rất cần sự sắp xếp đó

1.4.2.2 Các đại lượng đo trên đại số gia tử

Theo định lý 5 tồn tại một đẳng cấu giữa một đại số gia tử mở rộng đối

xứng và cấu trúc logic đa trị tựa trên miền [0, 1] Chính điều này cho phép ta thiết lập một hàm đo trên đại số gia tử chuyển một giá trị của đại số gia tử mở rộng đối xứng (lớp các đại số gia tử được quan tâm ở luận văn này) thành một giá trị trong miền [0, 1] Để xây dựng hàm đo, ta giả thiết các hạng từ cơ sở

hx đều có thể sánh được với nhau Nếu chúng không sánh được ta coi là đồng

nghĩa và chỉ còn một đại diện trong đại số gia tử Giả thiết này biến đại số gia

tử thành một tập sắp xếp thứ tự tuyến tính

1.4.2.3 Các hàm đo

Định nghĩa 1.1.2.3.1 (Hàm đo trên đại số gia tử):

Cho đại số gia tử mở rộng đối xứng (T, G, H, ≤), f: T→[0, 1] là một hàm đo trên T nếu thoả mãn:

(1)∀t∈T: f(t) ∈ [0, 1], f(g+) = 1, f(g-) = 0; trong đó: g+, g- ∈ G, là các phần tử sinh dương và âm

(2)∀x, y ∈ T, nếu x<y thì f(x)<f(y)

Định nghĩa 1.4.2.3.2 (Hàm ngược của hàm đo):

Cho đại số gia tử (T, G, H, ≤), f là một hàm đo trên T, f-1: [0, 1] → T

là hàm ngược của hàm đo f nếu thoả mãn:

∀a ∈ [0, 1], f-1(a) ∈ T sao cho |f(f-1(a)) - a| ≤ |(f(t) - a| ∀t ∈ T

Với các định nghĩa trên, ta có định lý sau:

Định lý 6.: Cho một đại số gia tử mở rộng đối xứng (T, G, H, ≤), f là một

hàm đo trên T, f-1 là hàm ngược của hàm đo f, ta có:

(1)∀t ∈ T, f-1 (f (t)) = t

(2)∀a, b ∈ [0, 1], nếu a≤b thì f-1(a)≤f-1(b)

Mỗi đại số gia tử đối xứng đều định nghĩa được hàm đo và hàm ngược của nó vì sự đồng cấu giữa đại số gia tử với miền [0, 1] Việc giả thiết các gia tử trong tập H đều sánh được với nhau giúp cho định nghĩa hàm đo dễ dàng hơn Thông qua hàm đo ta có thể phần nào so sánh được mức độ ngữ nghĩa giữa các phần tử của các đại số gia tử khác nhau Ví dụ,

từ hai đại số gia tử chiều_cao và cân_nặng thì mức độ chênh lệch giữa

“rất cao” và “không cao lắm” phần nào tương ứng với “rất nặng” và

“không nặng lắm” Với hàm đo, ta đã có thể định lượng được các phần tử

trong cùng một đại số gia tử mở rộng đối xứng, để trên cơ sở đó định nghĩa khoảng cách biểu thị mức độ khác biệt giữa hai giá trị này

Định nghĩa 1.4.2.3.3.Cho đại số gia tử mở rộng đối xứng (T, G, H,

≤), f là một hàm đo trên T, thì khoảng cách giữa hai giá trị của đại số gia tử được định nghĩa bằng:

D(x, y) = |f(x) - f(y)|

Hàm tương tự ngược với khoảng cách, nói về mức độ giống nhau giữa các giá trị trong đại số gia tử Ta có thể quy ước, giá trị hàm tương tự của một giá trị khác unknow so với unknow là 0.5, bởi vì khi đó không có thông tin gì về độ giống nhau giữa hai giá trị đó

Hàm tương tự ngược với khoảng cách, nói về mức độ giống nhau giữa các giá trị trong đại số gia tử Ta có thể quy ước, giá trị hàm tương tự của một giá trị khác unknow so với unknow là 0.5, bởi vì khi đó không có thông tin gì về độ giống nhau giữa hai giá trị đó

Định nghĩa 1.4.2.3.4.Cho đại số gia tử mở rộng đối xứng (T, G, H,

≤), w là một giá trị của T, D là hàm khoảng cách giữa hai phần tử của T thì γ

w: T → [0, 1] là một hàm tương tự w, nếu thoả mãn:

(1)Nếu w ≠ unknow thì γ

w(w) = 1 (2)γ

w(unknow) = 0 (3)Nếu D(x, w) ≤ D(y, w) thì γ

w(x) ≥ γ

w(y) Lưu ý rằng, có thể thay các giá trị của hàm khoảng cách hoặc hàm tương tự bằng các giá trị mờ hay giá trị ngôn ngữ của một đại số gia tử mở rộng đối xứng với các phần tử sinh {gần, xa}, bằng cách sử dụng hàm ngược của hàm đo Mức độ tương tự giữa một giá trị ngôn ngữ với unknow bằng 0.5 (hay bằng unknow) là phù hợp vì thực tế là không thể có thông

1.4.2.4 Vấn đề định lượng ngữ nghĩa trong đại số gia tử

Trong phần này ta xem xét ba vấn đề cơ bản đó là độ đo tính mờ của các giá trị ngôn ngữ (hạng từ), phương pháp định lượng ngữ nghĩa và khoảng tính

mờ của các khái niệm mờ

Tính mờ của các giá trị ngôn ngữ xuất phát từ thực tế rằng một giá trị ngôn ngữ mang ý nghĩa mô tả cho nhiều sự vật và hiện tượng trong thế giới thực, với lý do tập hữu hạn các giá trị ngôn ngữ không đủ để phản ánh thế giới vô hạn các sự vật hiện tượng Như vậy khái niệm tính mờ và độ đo tính

mờ của một giá trị ngôn ngữ được hình thành và nó là một khái niệm rất khó xác định, đặc biệt trong lý thuyết tập mờ Tuy nhiên, trong ĐSGT các tác giả

đã cho thấy độ đo tính mờ được xác định một cách hợp lý: “tính mờ của một

hạng từ x được hiểu như là ngữ nghĩa của nó vẫn có thể được thay đổi khi tác động vào nó bằng các gia tử” Do đó, tập các hạng từ sinh từ x bằng các gia

tử sẽ thể hiện cho tính mờ của x và do đó H(x) có thể sử dụng như là một mô hình biểu thị tính mờ của x và kích thước tập H(x) được xem như độ đo tính

mờ của x Ta có định nghĩa sau về độ đo tính mờ

Định nghĩa 1.4.2.4.1 Cho AX = (X, G, H, , , ) là một ĐSGT tuyến

tính đầy đủ Ánh xạ fm : X  [0,1] được gọi là một đo tính mờ của các hạng

(3) x,y  X, h  H,

) (

) ( )

(

) (

y fm

hy fm x

fm

hx fm

 , tỷ số này không phụ thuộc vào x

và y, vì vậy nó được gọi là độ đo tính mờ của các gia tử và được ký hiệu bởi

(h)

Trong đó, điều kiện (1) thể hiện tính đầy đủ của các phần tử sinh và các gia tử cho việc biểu diễn ngữ nghĩa của miền thực đối với các biến (2) thể hiện tính rõ của các hạng từ và (3) có thể được chấp nhận vì chúng ta đã chấp nhận giả thiết rằng các gia tử là độc lập ngữ cảnh, do vậy khi áp dụng một gia

tử h lên các hạng từ thì hiệu quả tác động tương đối làm thay đổi ngữ nghĩa

của các hạng từ đó là như nhau Hình vẽ sau (hình 1.1) minh họa rõ hơn cho khái niệm độ đo tính mờ của biến ngôn ngữ TRUTH

Các tính chất của độ đo tính mờ của các hạng từ và gia tử đƣợc thể hiện

(5) Cho fm(c - ), fm(c +) và (h) với hH, khi đó với x = h n h1c,  

{-,+}, dễ dàng tính đƣợc độ đo tính mờ của x nhƣ sau:

Little True

Poss

True

More True

fm(MVTr) fm(PVTr)

fm(LVTr)

Thông thường, ngữ nghĩa của các hạng từ thuần túy mang tính định tính Tuy nhiên, trong nhiều ứng dụng, chúng ta cần giá trị định lượng của các hạng từ này cho việc tính toán và xử lý Theo tiếp cận của tập mờ, việc định lượng hóa các khái niệm mờ được thực hiện qua các phương pháp khử mờ

(defuzzification) Đối với ĐSGT, giá trị định lượng của các hạng từ được định

nghĩa dựa trên cấu trúc thứ tự ngữ nghĩa của miền giá trị của các biến ngôn ngữ, cụ thể là độ đo tính mờ của các hạng từ và gia tử Tuy có nhiều phương pháp xác định giá trị định lượng của các hạng từ dựa trên các tham số này nhưng phải thỏa mãn một số ràng buộc nhất định và được thể hiện trong định nghĩa sau

Định nghĩa 1.4.2.4.2.Cho AX = (X, G, H, , , ) là một ĐSGT tuyến tính đầy đủ Ánh xạ  : X  [0,1] được gọi là một hàm định lượng ngữ nghĩa

Điều kiện (1) là bắt buộc tối thiểu đối với bất kỳ phương pháp định

lượng nào, còn điều kiện (2) đảm bảo tính trù mật của H(G) trong X Dựa trên

những ràng buộc này, các tác giả trong [ ] đã xây dựng một phương pháp định lượng ngữ nghĩa của các hạng từ trong ĐSGT

Trước hết chúng ta xét định nghĩa về dấu của các hạng từ như sau

Định nghĩa 1.4.2.4.3.Một hàm dấu Sign : X  {-1,0,1} là một ánh xạ

được định nghĩa đệ qui như sau, trong đó h, h'  H và c  {c - , c +}:

(1) Sign(c - ) = -1, Sign(c +) = 1;

(2) Sign(hc) = -Sign(c) nếu h âm đối với c; Sign(hc) = Sign(c) nếu h dương đối với c;

(3) Sign(h'hx) = -Sign(hx), nếu h'hx  hx và h' âm đối với h; Sign(h'hx) =

Sign(hx), nếu h'hx  hx và h' dương đối với h;

(4) Sign(h'hx) = 0, nếu h'hx = hx

Dựa trên hàm dấu này, chúng ta có tiêu chuẩn để so sánh hx và x

Mệnh đề 2.2 Với bất kỳ h và x, nếu Sign(hx) = 1 thì hx > x; nếu

Sign(hx) = -1 thì hx < x và nếu hx = x thì hx = x

Định nghĩa 2.9 Cho AX là một ĐSGT tuyến tính đầy đủ và fm là một

độ đo tính mờ trên X Ta nói ánh xạ  : X  [0,1] được cảm sinh bởi độ đo

tính mờ fm nếu được định nghĩa bằng đệ qui như sau:

( )

( )

j Sign

x j h Sign x

x j

(3) (c -) = 0, (c -) =  = (c +), (c + ) = 1, và với mọi j thỏa –q  j

 p, j  0, ta có:

(h j x) = (x) +

2

1)()()

dựng các mô hình ứng dụng về sau đó là khoảng tính mờ (fuzziness interval) của các khái niệm mờ Trong ĐSGT, dựa trên độ đo tính mờ fm, chúng ta sẽ

định nghĩa khoảng tính mờ của các hạng từ Gọi Itv([0,1]) là họ các đoạn con của đoạn [0,1], ký hiệu || là độ dài của đoạn “”

Định nghĩa 2.10 Khoảng tính mờ của các hạng từ x  X, ký hiệu fm (x),

là một đoạn con của [0,1], fm (x)  Itv([0,1]), nếu nó có độ dài bằng độ đo tính mờ, |fm (x)| = fm(x), và được xác định bằng qui nạp theo độ dài của x như

sau:

(1) Với độ dài của x bằng 1 (l(x)=1), tức là x  {c - , c +}, khi đó |fm (c -)| =

fm(c -), |fm (c + )| = fm(c +) và fm (c -) fm (c +);

(2) Giả sử x có độ dài n (l(x)=n) và khoảng tính mờ fm (x) đã được định

nghĩa với|fm (x)| = fm(x) Khi đó tập các khoảng tính mờ {fm (h j x): -q  j  p

và j  0}  Itv([0,1]) được xây dựng sao cho nó là một phân hoạch của fm (x),

và thỏa mãn | (h x)| = fm(h x) và có thứ tự tuyến tính tương ứng với thứ tự

của tập {h -q x, h -q+1 x, , h p x}, tức là nếu h -q x > h -q+1 x > > h p x thì fm (h -q x) >

fm (h -q+1 x) > > fm (h p x) và ngược lại (xem hình 2.2) Dễ dàng thấy rằng hệ

phân hoạch như vậy luôn tồn tại dựa vào tính chất (1) trong Mệnh đề 1.1

Trường hợp độ dài của x bằng k, l(x) = k, ta ký hiệu k (x) thay cho

fm (x), khi đó ta nói khoảng tính mờ của x có độ sâu k (hay khoảng tính mờ mức k) Để thuận tiện về sau, ta ký hiệu:

mờ đóng một vai trò quan trọng trong việc xem xét quan hệ tương tự đối với

dữ liệu trong miền tham chiếu của các biến Ở đây, ta sử dụng khái niệm tựa

Hình 2.2: Khoảng tính mờ của các hạng từ của biến

phân hoạch tức là phân đoạn mà hai tập bất kỳ của nó có nhiều nhất một điểm chung

Mệnh đề 2.3 Cho AX = (X, G, H, , , ) là một ĐSGT tuyến tính đầy đủ:

(1) Nếu Sign(h p x) = 1, thì ta có (h -q x)  (h -q+1 x)   (h-1x) 

(h1x)  (h2x)   (h p x), và nếu Sign(h p x) = -1, thì ta có (h p x) 

(h p-1 x)  (h1x) (h-1x) (h-2x)  (h -q x);

(2) Tập I k = {(x): x  X k} là một tựa phân hoạch của đoạn [0,1];

(3) Cho một số m, tập {(y): y = k m k1x, k m , , k1  H} là một tựa

phân hoạch của khoảng tính mờ (x);

(4) Tập I k = {(x): x  X k } “mịn” hơn tập I k-1 = {(x): x  X k-1}, tức là

bất kỳ một khoảng tính mờ trong I k chắc chắn được chứa bên trong một

khoảng của I k-1;

(5) Với x < y và l(x) = l(y), thì (x) ≤ (y) và (x) (y)

Chứng minh Các tính chất (2) đến (5) đã được chứng minh trong ở đây

ta chứng minh (1) Theo Mệnh đề 1.2, nếu Sign(h p x) = 1 thì ta có x  h p x Vì

các gia tử trong H + là so sánh được và H + và H - là đối ngược nhau, nên h -q x 

h -q+1 x   h-1x  x  h1x  h2x   h p x Từ định nghĩa 1.8 của khoảng tính mờ ta suy ra (h -q x) (h -q+1 x)  (h-1x) (h1x) (h2x)  

(h p x) Chứng minh tương tự với trường hợp Sign(h p x) = -1

Dễ dàng suy ra từ mệnh đề trên trong trường hợp các khoảng tính mờ được xét ở dạng nửa đóng, tức là (x) = (lmp( (x)), rmp((x))], và khoảng

tính mờ của hạng từ bé nhất trong phân hoạch ở dạng đóng thì các tựa phân

hoạch trong (2), (3) trở thành các phân hoạch thực sự Trong đó, lmp và rmp

là điểm mút trái và điểm mút phải của khoảng tính mờ

Để ý rằng dựa trên cấu trúc thứ tự của X, phần tử x nằm ở giữa hai tập

{h -i x: -q  i  -1} và {h j x: 1  j  p}, hơn nữa ta có

i[-q,-1] |(h i x)| = fm(x) i[-q,-1](h i) = .fm(x) = .|(x)|

Điều này cho thấy điểm cuối chung của hai khoảng tính mờ (h-1x) và

(h1x) chính là giá trị định lượng ngữ nghĩa (x) (xem Error! Reference source not found.) của hạng từ x Giá trị này chia đôi khoảng tính mờ (x)

theo tỷ lệ  : nếu Sign(h p x) = 1, hoặc tỷ lệ  : nếu Sign(h p x) = -1 (xem (1)

của mệnh đề 1.3)

Theo định nghĩa 2.9 và 2.10, có một quan hệ đóng giữa ánh xạ định lượng ngữ nghĩa và khoảng tính mờ của của hạng từ trong một ĐSGT, được thể hiện bằng định lý sau

Định lý 2.5 Cho AX = (X, G, H, , , ) là một ĐSGT tuyến tính đầy

đủ và hàm  được định nghĩa trong định nghĩa 1.7 Khi đó  là một ánh xạ định lượng ngữ nghĩa và tập các giá trị của  đối với H(x), viết là (H(x)), trù

mật trong đoạn [(x), (x)], x  X Hơn nữa,

(x) = infimum (H(x)), (x) = supremum (H(x)) và

fm(x) = (x) - (x),

và như vậy fm(x) = d((H(x))), trong đó d(A) là đường kính của A 

[0,1] Kết quả, (H(G)) trù mật trong đoạn [0,1]

Định lý này cũng khẳng định rằng ĐSGT AX cùng với hàm định lượng ngữ nghĩa  có thể ứng dụng trong mọi quá trình thực