Giả thuyết giá trị trung bình Smale luận án thạc sĩ

Nếu z không phải là điểm tới hạn của Bài toán Tìm hệ số K d nhỏ nhất không phụ thuộc vào p mà chỉ phụ thuộc vào bậc d của p sao cho Giả thuyết giá trị trung bình Smale Giả sử p z

NGUYỄN HỒNG NHUNG

GIẢ THUYẾT GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH SMALE

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 3

Chương 1 TỔNG QUAN VỀ GIẢ THUYẾT GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH SMALE 5 1.1 Phát biểu Giả thuyết giá trị trung bình Smale……… 5

1.2 Một số công thức đánh giá ……… 9

1.3 Đa thức đã được chuẩn hóa……… 13

1.4 Giả thuyết Smale cho các lớp đa thức đặc biệt……… 17

1.4.1 Đa thức với tất cả các hệ số là những số thực……… 17

1.4.2 Các đa thức có tất cả các không điểm là những số thực………… 19

1.4.3 Các đa thức có tất cả các điểm tới hạn là những số thực………… 20

1.4.4 Các đa thức có các điểm tới hạn nằm trên các tia……… 21

1.4.5 Các đa thức có tất cả các không điểm có môđun bằng nhau……… 30

1.4.6 Các đa thức có tất cả các điểm tới hạn có môđun bằng nhau hoặc tất cả các giá trị tới hạn có mô đun bằng nhau………

33 Chương 2 MỘT SỐ GIẢ THUYẾT MỞ RỘNG HOẶC LIÊN QUAN ĐẾN GIẢ THUYẾT SMALE 34 2.1 Phương pháp lặp Newton, Giả thuyết Smale và động học của đa thức 34

2.1.1 Phương pháp lặp Newton……… 34

2.1.2 Bất đẳng thức Smale và tính hiệu quả của phương pháp Newton 36

2.1.3 Động học của đa thức ……… 39 2.2 Dạng mạnh của giả thuyết Smale……… 41 2.3 Bài toán đối ngẫu của Giả thuyết Smale……… 56 2.4 Chứng minh giả thuyết 1 cho các đa thức bậc d 4 …….………… 60 2.5 Tổng quát Giả thuyết Smale ……… 64 2.6 Phát biểu Giả thuyết giá trị trung bình của Smale dưới dạng bài toán

LỜI NÓI ĐẦU

Khi nghiên cứu độ phức tạp tính toán và tính hiệu quả của thuật toán Newton giải phương trình đa thức, S Smale đã chứng minh

Bất đẳng thức Smale (Smale, 1981) Giả sử p z là một đa thức phức bậc ( ) d 2

với các điểm tới hạn là z j, j 1, 2, ,d 1. Nếu z không phải là điểm tới hạn của

Bài toán Tìm hệ số K d nhỏ nhất (không phụ thuộc vào ( ) p mà chỉ phụ thuộc vào

bậc d của p ) sao cho

Giả thuyết giá trị trung bình Smale Giả sử p z là ( )

một đa thức bậc d 2 với các điểm tới hạn là z j. Nếu z không phải là điểm tới

Mở rộng Giả thuyết Smale, Quan hệ giữa Giả thuyết Smale với động học phức và tập Julia, Quan hệ giữa Giả thuyết Smale với các vấn đề của toán học tính toán,… Mục đích của luận văn này là trình bày tổng quan các kết quả đã đạt được trong Giả thuyết Smale Luận văn gồm hai Chương

Chương 1 phát biểu các dạng khác nhau của Giả thuyết Smale, chứng minh chi tiết các công thức đánh giá và các định lí chứng minh Giả thuyết Smale cho các lớp đa thức thỏa mãn một số tính chất nào đó

Chương 2 trình bày quan hệ giữa Giả thuyết Smale với một số vấn đề khác: Giải tích số, Động học phức và các mở rộng của Giả thuyết Smale

Khi sắp xếp các kết quả, chúng tôi cố gắng làm rõ bức tranh Giả thuyết Smale, chứng minh các định lí được giải mã và làm sáng tỏ hơn Thí dụ, chứng minh Định

lí 1.11 được tách thành hai trường hợp, d 3 và d 4 Nhiều tính toán trong chứng minh được trình bày chi tiết hơn là trong các tài liệu gốc

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình và nghiêm túc của PGS TS

Tạ Duy Phượng Xin được bày tỏ lòng biết ơn tới người Thày, đã không chỉ hướng dẫn khoa học, mà còn động viên và khích lệ tác giả say mê học tập và nghiên cứu Xin bày tỏ lòng biết ơn Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, đã trang

bị cho tôi những kiến thức toán học trong thời gian học Cao học

Xin được cám ơn Trường Trung học Phổ thông Hoàng Su Phì, Hà Giang, nơi tôi công tác, đã tạo mọi điều kiện để tôi hoàn thành nhiệm vụ

Xin được cám ơn Gia đình, bạn bè đã động viên, giúp đỡ, hi sinh và tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khóa học Cao học và viết Luận văn

Thái Nguyên, tháng 06 năm 2013

Tác giả Nguyễn Hồng Nhung

Chương 1

GIẢ THUYẾT GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH SMALE 1.1 Phát biểu Giả thuyết giá trị trung bình Smale

Cho p z là một đa thức bậc ( ) d với các hệ số phức Nếu p z( )0  thì 0 z được gọi 0

là nghiệm hoặc không điểm của p z Nếu ( )  là nghiệm của đa thức đạo hàm, tức

là p( ) 0, thì điểm  được gọi là điểm tới hạn hay điểm dừng của đa thức ( ) p z

Giá trị   p  với  là điểm tới hạn được gọi là giá trị tới hạn Đa thức bậc

nhất p z( )az với b a 0 có p z( )a nên ( )0 p z az không có điểm tới bhạn Vì vậy, từ nay về sau ta luôn giả thiết p z là đa thức có bậc ( ) d với d 2 Giả thuyết giá trị trung bình của S Smale xuất phát từ định lí sau

Định lí 1.1 (Smale, 1981, [35]) Giả sử p z là một đa thức bậc ( ) d 2 với các điểm tới hạn là z j, j 1, 2, ,d1. Nếu z không phải là điểm tới hạn của p z thì ( )

Bất đẳng thức (1.1) thường được gọi là Bất đẳng thức Smale

Bất đẳng thức (1.1) cho đánh giá của đạo hàm p z( ) của đa thức p z tại điểm ( ) z

thông qua “cát tuyến” nối hai điểm z p z, ( ) và z p z j, ( )j  trên đồ thị của ( ).p z

Vì vậy, theo một nghĩa nào đó, bất đẳng thức (1.1) là một phát biểu tương tự của Định lí giá trị trung bình Lagrange Tuy nhiên, cũng cần lưu ý là, Định lí Giá trị

thức 18 bài toán của Mathematical Problems for the Next Century, nhưng Bài toán

1 là một trong ba bài toán được S Smale liệt kê thêm ngoài danh sách chính thức

và được S Smale coi là “ don’t seem important enough to merit a place on our

main list, but it would still be nice to solve them.” (xem [36])

Bài toán 1 được S Smale phát biểu thành giả thuyết (sau này được gọi là Giả

thuyết giá trị trung bình Smale hay Giả thuyết Smale) dưới đây

Giả thuyết 1 (Giả thuyết giá trị trung bình của Smale) Giả sử p z là một đa thức ( )

bậc d 2 với các điểm tới hạn là z j. Nếu z không phải là điểm tới hạn của p z ( )

Nhận xét 1.2 Bằng phép biến đổi tuyến tính, không hạn chế tổng quát, ta chỉ cần

chứng minh bất đẳng thức (1.3) cho các đa thức p z với (0)( ) p 0, p(0) (hoặc 0thậm chí p(0) 1 ) và chọn z 0

Thật vậy, với mỗi  i  mà p( ) i 0, đặt   ( )

Suy ra g(0) 1.

Giả thuyết Smale có thể được phát biểu lại như sau

Giả thuyết 1a Cho p z là một đa thức bậc ( ) d 2 thỏa mãn p(0) và 0

Với Nhận xét 1.2, ta có thể phát biểu lại Giả thuyết 1 dưới dạng sau

Giả thuyết 1b (Giả thuyết đã được chuẩn hóa–the normalized conjecture) Giả sử

Trường hợp d 3 chứng minh không quá khó khăn, trường hợp d 4 đã được chứng minh bởi J.-C Sikorav và được cải tiến bởi Tischler (1989, [38]) và sau này được nhiều tác giả khác chứng minh theo nhiều cách khác nhau

E Crane trong bài Preprint (2004, [8]) và có lẽ cả trong luận án Tiến sĩ (2004, [7]),

đã chứng minh Giả thuyết Smale cho trường hợp d 5 dựa trên kết quả của [9] nhờ phương pháp số chính xác (a rigorous computational method) Tuy nhiên, cho tới nay, sau 10 năm, hình như vẫn chưa có công bố chính thức trên tạp chí

G Schmieder đã trình bày chứng minh Giả thuyết Smale trong một bài báo công bố

trên arXiv:math (2003, [26]), tuy nhiên, hình như chưa có công bố trên tạp chí

chính thức và chứng minh của G Schmieder có vẻ như không được công nhận Như vậy, có thể nói, cho tới nay, Giả thuyết Smale mới chỉ được chứng minh chặt chẽ cho các trường hợp d 2,3, 4 hoặc một số lớp đa thức thỏa mãn một số tính chất nào đó

minh nên một trong các hướng nghiên cứu là làm giảm hệ số K d ( )

Beadon, Minda và Ng (2002, [1]) đã chứng minh, có thể chọn

2 1

d d

Giả thuyết Smale được phát biểu lại như sau

Giả thuyết 1c Với bất kỳ đa thức p z có bậc ( ) d 2 và z   mà p z( )0, tồn tại một số j1, 2, ,p1 sao cho S jp z,   K d( ), trong đó K d  (hoặc ( ) 1

1) Nếu C là bao lồi đóng của tất cả các giá trị tới hạn của p z và ( )( ) p z C thì

( , ) 3.079

S p z 

2) Giả sử D là đĩa (hình tròn) đóng nhỏ nhất chứa tất cả các giá trị tới hạn

của p z với tâm là điểm ( )  và bán kính r Nếu ( ) p z D thì

2 2

Định lí 1.3 (Schmeisser (2002, [25]) Nếu p z là đa thức có bậc ( ) d 2 sao cho

2 ( 1)

( 1)

d d

1) K d4( ) K d2( ) K d3( ) với mọi d 8;

2) K4(7)2.48425 K3(7) K2(7) K1(7);

( )4

d d

K d d d

41.3333

20.6666

1 2

110.9166

1 3

131.3

1 4

191.9

1 5

202.8571

1 6

1.3 Đa thức đã được chuẩn hóa (đa thức chuẩn-normalized polynomial)

Giả sử đa thức p z bậc ( ) d 2 có z z1, 2, ,z d1 là các điểm tới hạn Tương tự Nhận xét 1.2 và Nhận xét 1.3, với a  \ 0 ,  phép biến đổi affine

g  Hơn nữa, ta cũng có thể giả thiết rằng

S p z S g

w

Các phân tích trên dẫn đến

Định nghĩa 1.1 Đa thức p z bậc ( ) d 2 với các điểm tới hạn z z1, 2,,z d1

được gọi là đã được chuẩn hóa nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

Như vậy, nhờ Định lí phủ Koebe, bất đẳng thức (1.1) được chứng minh

Kí hiệu d N, là tập tất cả các đa thức bậc d 2 đã được chuẩn hóa Đặt

, 1

1( ) : sup

d N p

Từ Định lí 1.4 ta cũng có

Hệ quả 1.1 (Conte, Fujikawa, and Lakic, 2007, [5]) Nếu đa thức p z đã được ( )

chuẩn hóa thỏa mãn điều kiện p(0) thì ( , 0)0 S p 2

Hệ quả 1.2 (Conte, Fujikawa, and Lakic, 2007, [5]) Nếu tất cả các nghiệm của đa

thức p z đã được chuẩn hóa đều nằm trong nửa mặt phẳng phải thì ( ) ( ,0) 4

3

Từ Hệ quả 1.1 ta có

Định lí 1.5 (T W NG, 2003, [21]) Cho p z là một đa thức bậc ( ) d 2 sao cho

Chứng minh Định lí 1.5 có thể suy ra từ Hệ quả 1.1 Tuy nhiên dưới đây ta trình

bày thêm chứng minh trong bài báo gốc của T W NG

Ta có thể giả sử p z  i 0 với mọi i, (vì nếu ngược lại thì bất đẳng thức (1.8) là

hiển nhiên) Do đó min  i  0

p

 Ta có kết quả sau của Lavrenchev

Hàm f z( ) được gọi là hàm chỉnh hình (holomorphic function) trong một miền D của mặt phẳng phức nếu nó khả vi theo biến phức z trong miền đó

Hàm chỉnh hình trong miền D của mặt phẳng phức sao cho với mọi z1 z2 trong D ta có

( ) ( )

f z  f z được gọi là hàm đơn diệp (univalent function) trong D

Bổ đề 1.1 (Lavrenchev, 1984) Giả sử 0 2  Nếu f :D0,1  là một hàm

đơn diệp mà bỏ đi tập A Re 2 j i:1 j n ,

1.4 Giả thuyết Smale cho lớp các đa thức đặc biệt

Vì Giả thuyết Smale chưa được chứng minh, nên một hướng nghiên cứu tự nhiên là

xét các lớp đa thức thỏa mãn điều kiện nào đó Dưới đây trình bày các kết quả chứng tỏ Giả thuyết Smale đúng với các điều kiện phụ (tất cả các không điểm là những số thực, các đa thức với hệ số thực, )

1.4.1 Đa thức với tất cả các hệ số là những số thực

Chưa có chứng minh Giả thuyết Smale ngay cả trong trường hợp ( )p z là đa thức

với tất cả các hệ số là những số thực Tuy nhiên, ta cũng dễ dàng chứng minh Giả thuyết Smale cho một lớp đa thức Cauchy đặc biệt Ta có

Định lí 1.6 (Rahman and Schmeisser, 2002, [24], Theorem 7.2.6, Remark 7.2.10)

2

( )

d k k k

p x a x a x



  như là một đa thức với các hệ số thực, nhận

giá trị thực khi x thay đổi trên tập số thực Xét dấu (sgn) của p x( ). Ta có

1

p  a  Khi x đủ lớn thì sgn p x( )sgn(a n)0 Chứng tỏ đa thức p x( )đổi dấu trên khoảng 0,, tức là tồn tại một số thực  0 là nghiệm của đa thức đạo hàm Do đó ta có

1 1

2

d

k k k

a k

1.4.2 Các đa thức có tất cả các không điểm là những số thực

Trong trường hợp các không điểm của ( )p z đều là những số thực, Palais đã chứng

minh bất đẳng thức (1.1) với K d  (xem [34]) Tischler đã chứng minh bất đẳng ( ) 1

j

p z d S

Chứng minh Nếu cần, có thể sử dụng phép biến đổi tuyến tính, vì vậy, không hạn

chế tổng quát, ta có thể coi các đa thức được chuẩn hóa bởi p 0 0 và bởi

Có hai lí do để sử dụng các chuẩn hóa nêu trên

Lí do thứ nhất là p có 0 d 1 điểm tới hạn z phân biệt mà chúng cũng là điểm cố i

định, tức là p z0 i  z i với mọi i Chú ý rằng ta phải chuẩn hóa sao cho 0 phải là

điểm cố định nhưng không là điểm tới hạn (với bội bằng 1 vì p 0 1)

Kí hiệu q i, 1 i d  (có thể không phân biệt) là các điểm cố định khác 0 của đa 1

thức với p 0 0,  0

1

d p

d  Do đó với bất kì tương ứng 1–1 nào giữa q và i z , i

với một i nào đó, ta có q i  z i Đối với p có một tương ứng 1–1 tự nhiên giữa 0

i

q và z được cho bởi ánh xạ đồng nhất i

Bây giờ ta sẽ chứng minh Định lí 1.7 bằng phản chứng

Nếu Định lí 1.7 sai thì với mỗi điểm tới hạn ta có p z i  z i Điều này chỉ ra rằng các điểm cố định của ( )p z đều là những số thực Hơn nữa, các điểm cố định này

cùng với các điểm tới hạn đan xen nhau trên trục thực Vì 0 là điểm cố định nên ta

thấy rằng tích của q i lớn hơn thật sự tích của z i Điều này mâu thuẫn với qui ước

chuẩn hóa ở trên Vậy S i 1 1

d

 

Nhận xét 1.4 Định lí 1.7 cũng có thể suy ra được từ Định lí 1.11

1.4.3 Các đa thức có tất cả các điểm tới hạn là những số thực

Khi tất cả các nghiệm của đa thức là những số thực, thì theo Định lí Rolle, tất cả các điểm tới hạn cũng là những số thực Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng Thí

x   của đa thức đạo hàm p x( )4x32x

đều là những số thực Do đó lớp các đa thức có tất cả các điểm tới hạn là những số thực rộng hơn lớp đa thức có tất cả các nghiệm là những số thực

Rahman và Schmeisser có kết quả tốt hơn khi d 3 trong Định lí sau

Định lí 1.9 (Rahman và Schmeisser, 2002, [24], trang 217)) Cho p z là một đa ( )

thức bậc d thỏa mãn điều kiện p(0)0, p(0) 1 và ( ) p z có tất cả các điểm tới hạn là những số thực Khi đó với d 3, ta có đánh giá

1.4.4 Các đa thức có các điểm tới hạn nằm trên các tia

Nhằm cố gắng mở rộng các kết quả khi đa thức p z có tất cả các điểm tới hạn là ( )các số thực cho trường hợp tất cả các điểm tới hạn nằm trên các tia, A Hinkkanen

và I Kayumov đã đưa ra giả thuyết sau

Giả thuyết 2 (Hinkkanen và I Kayumov, 2010, [16]) Cho p z là một đa thức bậc ( )2

d  thỏa mãn p(0)0, p(0) 1 sao cho các điểm tới hạn của ( ) p z nằm trên hợp của k tia 1k d1 xuất phát từ gốc tới vô hạn, khi đó tồn tại một điểm tới hạn  của p z sao cho ( )   1

    đúng cho tất cả các điểm tới hạn  của p z ( )

Tuy nhiên, A Hinkkanen và I Kayumov mới chỉ chứng minh được Giả thuyết này cho hai trường hợp đặc biệt k 1 và k 2 Ta có

Định lí 1.10 (Hinkkanen và I Kayumov, 2010, [16]) Cho p z là một đa thức bậc ( )2

d  thỏa mãn p(0)0, p(0) 1. Giả sử tất cả các điểm tới hạn của p z nằm ( )

trên một tia xuất phát từ gốc, khi đó có một điểm tới hạn  của p z sao cho ( )

Chứng minh Vì p(0) 1 nên tất cả các điểm tới hạn z1, ,z d1 của đa thức p z ( )

đều khác 0 Không giảm tổng quát, ta có thể thay ( )p z bằng p az( )

Bất đẳng thức là chặt nếu d 3 và đẳng thức xảy ra khi d 2.

Định lí 1.10 được chứng minh hoàn toàn

Định lí 1.11 (Hinkkanen và I Kayumov, 2010, [16]) Cho p z là một đa thức bậc ( )2

d  thỏa mãn p(0)0, p(0) 1. Giả sử tất cả các điểm tới hạn của p z nằm ( )

trên hợp của hai tia xuất phát từ gốc, khi đó có một điểm tới hạn  của p z sao ( )

cho   2

,3

p 

  ngoại trừ trường hợp p z có dạng ( )   3

p z  z cz với một hằng

số phức c 0 nào đó Với các đa thức này thì   2

Trường hợp d  3 Do p z có bậc là 3 nên ( ) p z( ) có bậc là 2 Bằng phép biến đổi tuyến tính, không hạn chế tổng quát, có thể giả thiết z là một số thực dương và 1

Định lí 1.11 chứng minh xong cho trường hợp d 3

Trường hợp d  4 Bằng phép biến đổi tuyến tính nếu cần thiết, có thể giả thiết

rằng z d1  và 1 z  với mọi j 1 j1, ,d 2 Ta có thể đánh số các điểm tới hạn nằm trên tia thứ nhất là z j r e j i , j1, , ,k với 0 2 , và r:r1r2  r k

(nghĩa là tất cả các nghiệm z j, j1, , ,k đều hoặc là các số phức nằm trên cùng

một tia hoặc tất cả các nghiệm là các số thực âm, t  ), các điểm tới hạn còn lại các số thực với z  j 1 với mọi jk 1, ,d 2.

Biểu diễn p z như trong Định lí 1.10, ta có thể viết ( )

 

2 1

và trong quá trình chứng minh

ta sẽ nhận được khi nào xảy ra dấu bằng

Nhận xét rằng tất cả các nhân tử dưới dấu tích phân trong công thức trên đều là số dương khi 0 t 1 Hơn nữa, vì 1xe x với mọi số thực ,x nên

t r

j

t e r

r r

t

e e r

j

t

e r



   j k 1, ,d 2 Do đó

2 1

d j

j j k

t t

z z

t

e e z

1

1

At r

Từ các lí luận ở trên ta thấy rằng có thể giả sử A 0.

Đầu tiên giả sử rằng 0A1 Vì các bất đẳng thức

Các trường hợp xảy ra dấu đẳng thức

ta phải có, với mọi t 0,1 ,

ít nhất một trong hai đánh giá sau phải xảy ra dấu đẳng thức:

Điều này không thể xảy ra d 4.

Định lí 1.11 đã được chứng minh hoàn toàn

Lấy hai tia sao cho chúng tạo nên một đường thẳng (trường hợp riêng: trục thực), lập tức ta thu được hệ quả sau của Định lí 1.11

Hệ quả 1.4 Cho p z là một đa thức có bậc ( ) d 2 thỏa mãn p 0 0 và

  đối với cả hai không điểm  của p z( ).

1.4.5 Các đa thức có tất cả các không điểm có môđun bằng nhau

Khi đa thức ( )p z có các không điểm có môđun bằng nhau, tức là tất cả các không

điểm đều nằm trên cùng một đường tròn, ta có

Định lí 1.12 (Tischler, 1989, [38]) Cho p z là một đa thức bậc ( ) d 2 thỏa mãn

(0) 0,

p  p(0) 1 và ( ) p z có tất cả các không điểm z  có môđun bằng nhau i 0

với mọi i1, 2, , d Khi đó S i d 1

d





Chứng minh Ta nhắc lại và sử dụng định nghĩa kết thức (resultant-Res) của hai đa

thức được đưa ra bởi Van der Waerden (1953)

Nếu

f w d  s p z g z w

Khi đó f p w là một đa thức theo w và các hệ số của p Ta có thể viết

 

2 1 0

trong đó b i b a i d2,,a2 là một đa thức của các a i

Chú ý rằng f p w 0 nếu và chỉ nếu p z  và g z w có một nghiệm chung .Trong trường hợp này  

d

d i

Trong phép cộng ta có

Res p g, Res zgg g, Res zg g,

Đẳng thức cuối cùng suy ra từ (1.10) bằng việc đánh giá zg  g theo các nghiệm của g Tương tự ta thu được

Res zg g, Res g g g, 0 Res g g,

Kí hiệu các nghiệm của g là r i, 1 i d  Từ (1.10) ta thấy rằng 1

1.4.6 Các đa thức có tất cả các điểm tới hạn có môđun bằng nhau hoặc tất cả các giá trị tới hạn có mô đun bằng nhau

Khi môđun của tất cả các điểm tới hạn hoặc tất cả các giá trị tới hạn của đa thức có môđun bằng nhau, ta có các định lí sau

Định lí 1.13 (Sheil-Small, 2002, [27], trang 361-362) Cho p z là một đa thức bậc ( )2

d  thỏa mãn p(0)0, p(0) và ( )0 p z có môđun của tất cả các điểm tới hạn hoặc môđun của tất cả các giá trị tới hạn bằng nhau Khi đó S  i 1

Định lí 1.14 (Dubinin, 2006, [12]) Cho p z là một đa thức bậc ( ) d 2 thỏa mãn

Một trong những bài toán quan trọng của lý thuyết các hàm đa thức là bài toán tìm

nghiệm của đa thức Thuật toán quen thuộc để tìm nghiệm của hàm khả vi nói

chung, hàm đa thức nói riêng là Phương pháp Newton

Giả sử p z là đa thức không phải là hằng số Ánh xạ Newton (ánh xạ Newton của ( )

đa thức ( )p z ) là ánh xạ được xác định theo công thức

p z bằng cách lặp ánh xạ Newton của đa thức ( ) p z

Phương pháp Newton thường được áp dụng cho các đa thức thực Dạng mở rộng cho các đa thức phức đã được E Schröder vào các năm 1870-1871 và A Cayley vào năm 1879

Ta thấy rằng, nếu công thức lặp z n1 N p( )z n xác định một dãy  z n hội tụ tới z *,

.

( )lim

( )

n n

lim ( )n ( ) 0,

   hay dãy p z( )n  hội tụ tới 0

Giả sử đa thức p z chỉ có các nghiệm đơn và ( ) z là nghiệm của * p z tức là ( ),

Từ hai đẳng thức N p( )z* z* và Np( )z* 0 ta đi đến kết luận: Mọi không điểm của

đa thức ( ) p z là điểm tới hạn cố định của ánh xạ Newton của đa thức ( ) p z Cụ thể

hơn, ta có

Bổ đề 2.1 Giả sử p z là một đa thức Khi ấy ( )

1) p z( )*  khi và chỉ khi 0 N p( )z*  z*, nghĩa là các nghiệm của đa thức p z ( )

tương ứng với các điểm cố định của ánh xạ Newton của đa thức ( ) p z

2) N p( )z* z* suy ra N p( )z*  tức là, các điểm cố định của ánh xạ Newton cho 1,

đa thức ( ) p z là hút (attracting)

Từ Bổ đề này suy ra, mỗi không điểm z của * p z có một lân cận ( ) U z( ),* trong đó các điểm hội tụ tới (bị hút về) không điểm dưới tác động của phép lặp N p Dãy

p z( )n  hội tụ tới 0 khiến cho dãy  z n bị hút vào một trong các lân cận ấy Cụ thể hơn, nếu ( )p z bậc d có hệ số cả là a và các không điểm là 0 u1, ,u thì tồn tại d,một số  0 sao cho z: zu i U u( ),i i1, 2, , d Với n đủ lớn, ta có

0 n 1 n d ( )n 0 d

a z u z u  p z  a  Từ đây suy ra z n u i  với một i nào 0

đó Do đó  z n bị hút vào trong lân cận

0

( i )

U u và  z n u i

2.1.2 Bất đẳng thức Smale và tính hiệu quả của phương pháp Newton

Ở trên ta đã thấy, điều kiện cần và đủ để dãy  z n hội tụ tới không điểm z của đa *

thức là dãy p z( )n  hội tụ tới 0 Như vậy, để nghiên cứu tính hiệu quả (efficiency) của phương pháp Newton, ta cần so sánh hai phần tử liên tiếp p z( )n và p z( n1) của

Trên thực tế, thường cho trước một độ chính xác (degree of accuracy)  0, cho phép kết thúc quá trình tính toán khi p z( )n  và coi z là nghiệm n   xấp xỉ

Như vậy, một yêu cầu tự nhiên là dãy p z( )n không được phép tăng theo lũy thừa: Tức là ta phải trả lời câu hỏi: Tồn tại hay không hằng số C 1 sao cho

1

( )

n n

Từ Định lí 2.1, ta có Định lí 2.2 dưới đây cho phép đánh giá kết quả của một bước

thực hiện thuật toán Newton, tức là so sánh tỉ số ( ) ,

Định lí 2.2 (Smale, 1981, [35], Theorem 2) Cho đa thức p z có bậc ( ) d và

z   sao cho p z  và ( ) 0 p z( )0. Với K 4, đặt

Giả sử 0hh0. Khi ấy tồn tại một số    ,  1 sao cho

Từ Hệ quả 2.1 ta có thể chứng minh sự hội tụ của phương pháp lặp Newton

Hệ quả 2.2 (Smale, 1981, [35], Corollary B of Theorem 2) Giả sử p z là một đa ( )

thức bậc d, K là số đã cho trong Định lí 2.1 và giả sử

: min ( ) : ( ) 0 0

p

r  p  p   Nếu z không phải là không điểm của p z và thỏa mãn điều kiện ( )

Định lí 2.2 cũng cho thấy, hệ số K càng nhỏ thì giá trị của h càng lớn Do đó tốc 0

độ hội tụ của phương pháp càng cao Hơn nữa, tập các điểm z mà xuất phát từ đó 0

phương pháp Newton hội tụ càng lớn (xem công thức (2.3)) Điều này dẫn tới cố

gắng tìm hệ số K càng nhỏ càng tốt (tất nhiên K phải thỏa mãn điều kiện

2.1.3 Động học của đa thức

Giả sử đa thức p z có ( ) d 1 điểm tới hạn (tính cả bội) 1,, d1 Lặp đi lặp lại tác động của p như là một phép biến đổi, ta sẽ xác định được một hệ động lực trên mặt phẳng phức Hệ động lực này đã được nghiên cứu khá kĩ Gốc tọa độ được gọi

là điểm cố định parabol (parabolic fixed-point) Minor (2006), Miles-Leighton và

Pilgrim (2012, [19]) đã chứng minh sự tồn tại của một điểm tới hạn  của p z ( )hội tụ về gốc dưới phép lặp p Điều này dẫn đến một giả thuyết sau đây, mạnh hơn Giả thuyết Smale

2

d d

Định lí 2.3 (Mile-Leighton, Pilgrim, [19]) Giả thuyết 3 đúng với d 2,3.

Trong [19] cũng phát biểu một phiên bản khác, tinh tế hơn, của Giả thuyết 3,

sử dụng định lí cánh hoa Parabol (Parabolic Flower Theorem), mô tả động

học của p ở gần không điểm