Về điều kiện tối ưu cấp cao luận án thạc sĩ

Novo [7], 2008 đã thiết lập các điều kiệntối ưu cấp cao cho cực tiểu địa phương chặt cấp cao của bài toán tối ưukhông trơn với ràng buộc nón và ràng buộc tập dưới ngôn ngữ các đạohàm Stu

Đặng Thị Khuyên

VỀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP CAO

Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2013

Đặng Thị Khuyên

VỀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP CAO

Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS ĐỖ VĂN LƯU

Thái Nguyên - Năm 2013

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kếtquả nghiên cứu nêu trong Luận văn này là hoàn toàn trung thực, chưatừng được công bố trong bất kỳ một công trình của tác giả nào khác.

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2013

Tác giả

Đặng Thị Khuyên

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm - Đại họcThái Nguyên Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy PGS.TS

Đỗ Văn Lưu, thầy đã trực tiếp hướng dẫn tận tình và động viên tôi trongsuốt thời gian học tập nghiên cứu vừa qua

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sau đại học, Banchủ nhiệm Khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyêncùng các quý thầy giáo, cô giáo đã trực tiếp giảng dạy lớp Cao học ToánK19, các bạn học viên đã tạo điều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡ tôitrong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người thânluôn khuyến khích động viên tôi trong suốt quá trình học cao học vàviết luận văn này

Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếusót và hạn chế Tôi mong nhận được những ý kiến đóng góp của quýthầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2013

Tác giả

Đặng Thị Khuyên

Mục lục

Mục lục i

MỞ ĐẦU 1

1 ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ CHO CỰC TIỂU ĐỊA PHƯƠNG CHẶT CẤP CAO 4 1.1 Các định nghĩa và khái niệm 4

1.2 Điều kiện cần tối ưu cấp cao 7

1.3 Điều kiện đủ tối ưu cấp cao 11

2 ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP CAO CHO NGHIỆM HỮU HIỆU CHẶT CẤP CAO CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU LỒI 20 2.1 Các kết quả bổ trợ 20

2.2 Phân hoạch tập chỉ số của hàm mục tiêu 22

2.3 Tiêu chuẩn tối ưu 28

2.4 Tiêu chuẩn điểm yên ngựa 35

KẾT LUẬN 41

TÀI LIỆU THAM KHẢO 42

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Lý thuyết các điều kiện tối ưu nói chung và các điều kiện tối ưu cấpcao nói riêng là các bộ phận quan trọng của lý thuyết các bài toán tối ưu.Khái niệm cực tiểu chặt cấp cao đã được M R Hestenes nghiên cứu từnăm 1966 trong [5] và sau đó phát triển bởi L Cromme, A Auslender,

M Studniarski, B Jiménez, V Novo,

Mới đây, B Jiménez và V Novo ([7], 2008) đã thiết lập các điều kiệntối ưu cấp cao cho cực tiểu địa phương chặt cấp cao của bài toán tối ưukhông trơn với ràng buộc nón và ràng buộc tập dưới ngôn ngữ các đạohàm Studniarski trên và dưới A Gupta, A Mehra và D Bhatia ([3],2011) đã thiết lập các điều kiện cần và đủ tối ưu cấp cao cho nghiệmhữu hiệu địa phương chặt cấp m của bài toán tối ưu đa mục tiêu lồi vớiràng buộc bất đẳng thức bằng cách phân hoạch tập chỉ số của hàm mụctiêu, lập các bài toán con và thiết lập mối quan hệ của nghiệm hữu hiệuđịa phương chặt cấp m của bài toán gốc với nghiệm của một trong cácbài toán con

Lý thuyết các điều kiện tối ưu cấp cao đã và đang được nhiều tác giảquan tâm nghiên cứu Chính vì thế tôi chọn đề tài: "Về điều kiện tối ưucấp cao" Đây là đề tài có tính thời sự

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

2.1 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của luận văn này là trình bày các điều kiện cần

và các điều kiện đủ tối ưu cấp cao cho cực tiểu địa phương chặt cấp cao,bao gồm: các điều kiện tối ưu cấp cao của B Jiménez và V Novo [7]cho bài toán tối ưu đơn mục tiêu với ràng buộc nón và ràng buộc tập,

và các điều kiện tối ưu cấp cao của A Gupta, A Mehra và D Bhatia[3] cho bài toán tối ưu đa mục tiêu lồi với ràng buộc bất đẳng thức

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây:

- Đọc, dịch tài liệu từ hai bài báo tiếng Anh của B Jiménez - V Novo

và A Gupta - A Mehra - D Bhatia

- Sử dụng các kết quả của hai bài báo đó để viết luận văn

3 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng công cụ giải tích hàm, giải tích lồi và các kiến thức của lýthuyết tối ưu

cho cực tiểu địa phương chặt cấp cao của bài toán tối ưu với ràng buộcnón và ràng buộc tập dưới ngôn ngữ đạo hàm Studniarski trên và dưới.Chương 1 cũng trình bày các điều kiện đủ tối ưu cấp cao dưới ngôn ngữđạo hàm Studniarski trong trường hợp hữu hạn chiều.

Chương 2 Điều kiện tối ưu cấp cao cho nghiệm hữu hiệu chặt cấpcao của bài toán tối ưu đa mục tiêu lồi

Trình bày các kết quả của Gupta - Mehra - Bhatia [3] về điều kiệntối ưu cấp cao cho nghiệm hữu hiệu địa phương chặt cấp cao của bàitoán tối ưu đa mục tiêu lồi có ràng buộc bất đẳng thức bằng cách phânhoạch tập chỉ số của hàm mục tiêu, lập các bài toán con và thiết lập mốiquan hệ của nghiệm hữu hiệu địa phương chặt cấp m của bài toán gốcvới một trong các bài toán con, các tính chất đặc trưng điểm yên ngựacho nghiệm hữu hiệu địa phương chặt cũng được trình bày trong chươngnày

Chương 1

ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ CHO

CỰC TIỂU ĐỊA PHƯƠNG CHẶT CẤP CAO

Chương 1 trình bày các điều kiện cần tối ưu cấp cao cho cực tiểu địaphương chặt cấp cao của bài toán tối ưu với ràng buộc nón và ràng buộctập dưới ngôn ngữ đạo hàm Studniarski trên và dưới Các điều kiện đủtối ưu cấp cao dưới ngôn ngữ đạo hàm Studniarski dưới trong trườnghợp hữu hạn chiều cũng được trình bày trong chương này Các kết quảđược trình bày trong chương này là của B Jiménez và V Novo [7].1.1 Các định nghĩa và khái niệm

Giả sử X là không gian định chuẩn, f : X → R và M ⊂ X Xét bàitoán tối ưu

min {f (x) : x ∈ M }

Ta nhắc lại khái niệm cơ bản sau:

tại lân cận U của x0 sao cho f (x) > f (x0), ∀x ∈ U ∩ M Nếu bất đẳngthức này chặt với ∀x 6= x0 (x ∈ U ∩ M ) thì x0 được gọi là cực tiểu địaphương chặt

Định nghĩa 1.1 Điểm x0 ∈ M được gọi là cực tiểu địa phương chặt cấp

k (k > 1, k là số nguyên), kí hiệu x0 ∈ Strl(k, f, M ) nếu tồn tại α > 0

f (x) > f (x0) + αkx − x0kk, ∀x ∈ M ∩ U \{x0}Khái niệm này đã được nghiên cứu bởi Hestenes [5] cho k = 1 đểchứng minh các điều kiện đủ tối ưu

Ta nhắc lại các khái niệm cơ bản sau:

Tập K ⊆ X được gọi là tập lồi, nếu K chứa mọi đoạn thẳng đi quahai điểm bất kỳ của nó Điều này có nghĩa là, K lồi khi và chỉ khi

Với M là một tập con của X, ta kí hiệu intM, clM, coneM lần lượt là

cầu mở có tâm tại x0, bán kính ε

Định nghĩa 1.3 Giả sử f : X → R ∪ {+∞} có giá trị hữu hạn tại

Khi đó, tập chấp nhận được của bài toán (1.1) là M = G ∩ Q Bàitoán (1.1) bao gồm các bài toán tối ưu với các ràng buộc bất đẳng thức

(ii) Nếu v /∈ T (Q, x0) thì dk(f + IQ) (x0, v) = +∞ với mọi k > 1

Chứng minh Phần (i) xem bổ đề 3.4 của Jiménez [6] Phần (ii) chỉ cần

sử dụng công thức T (Q, x0)c = IT (Qc, x0) và áp dụng định nghĩa, trong

đó T (Q, x0)c nghĩa là phần bù đại số của tập T (Q, x0)

1.2 Điều kiện cần tối ưu cấp cao

Trong mục này, chúng ta trình bày các điều kiện cần tối ưu cho bàitoán (1.1) Định lý 1.1 trình bày các điều kiện cần dưới ngôn ngữ đạohàm trên Studniarski Định lý 1.2 trình bày các điều kiện cần dưới ngônngữ đạo hàm dưới

Định lý 1.1 Cho k > 1 Nếu x0 ∈ Strl (k, f, G ∩ Q) thì

dkf (x0, v) > 0 (∀v ∈ C0(G, x0) ∩ T (Q, x0) \ {0}),trong đó C0(G, x0) = {v ∈ X : dg (x0, v) ∈ int cone (−K − g (x0))} Chứng minh Giả sử

dkf (x0, v) 6 0với v nào đó thuộc C0(G, x0) ∩ T (Q, x0) \ {0} Khi đó, tồn tại tn → 0+

và xn ∈ Q sao cho vn := xn −x0

một dãy con nếu cần), ta có thể giả sử rằng

limn→∞

f (x0 + tnvn) − f (x0)

tk n

6 0bởi vì dkf (x0, v) 6 0 Do đó, với mỗi j ∈ N, ∃nj ∈ N sao cho

Lấy giới hạn khi j → ∞ ta được kvk = lim

v 6= 0

Bây giờ ta chứng minh bao hàm thức (1.3) Lấy v ∈ C0(G, x0) Khi đó,

dg (x0, v) ∈ int cone (−K − g (x0))

Theo mệnh đề 2.3(ii) của Jiménez và Novo [9],

Theo tính chất của cận dưới đúng, với mỗi n ∈ N, ∃tn ∈ 0, 1n
và

vn ∈ B v,n1
sao cho

f (x0 + tnvn) + IQ(x0 + tnvn) − f (x0)

tk n

< 1

n.

Từ đó ta có xn := x0 + tnvn ∈ Q, tn → 0+ và vn → v Bởi vì

v ∈ C0(G, x0) ⊂ IT (G, x0)(xem (1.3)) ta có x0 + tnvn ∈ G, ∀n đủ lớn Ta suy ra điều phải chứngminh như chứng minh định lý 1.1

Nhận xét 1.2

(1) Chú ý rằng ta có thể thay trong giả thiết C0(G, x0) bằng IT (G, x0)

và chứng minh vẫn đúng

(2) Nếu Q = X ta được hệ quả 2.3(a) trong Ward [12]

(3) Nếu G = X ta được định lý 2.1(i) trong Studniarski [10]

(4) Định lý 1.2 không thay đổi nếu ta đưa vào phần kết luận ∀v ∈

C0(G, x0) \ {0} (thay cho C0(G, x0) ∩ T (Q, x0) \ {0}) vì khi v /∈

T (Q, x0) ta có

dk(f + IQ) (x0, v) = +∞

(bổ đề 1.1(ii))

(5) Định lý 1.2 áp dụng đơn giản cho tập Q được xác định bởi các đẳng

1.3 Điều kiện đủ tối ưu cấp cao

Trong mục này, chúng tôi trình bày các điều kiện đủ tối ưu cấp caocho điểm cực tiểu địa phương chặt cấp k của bài toán (1.1)

(1) Trước hết ta trình bày các điều kiện đủ tối ưu cấp cao dưới ngôn

k = 1

(2) Ta trình bày các điều kiện đủ tối ưu cấp cao dưới ngôn ngữ đạohàm của hàm Lagrange

này, ta không cần giả sử intK 6= ∅ Ta ký hiệu

Chứng minh Ta sẽ áp dụng định lý 2.1(i) của Studniarski [10] Để ápdụng được, ta cần chứng minh

dk(f + IM) (x0, v) > 0, ∀v ∈ T (M, x0) ∩ C (f, x0) \ {0} ,

trong đó M = G ∩ Q

Bây giờ nếu v ∈ T (M, x0) theo giả thiết

T (M, x0) = T (G ∩ Q, x0) ⊂ C (G, x0) ∩ T (Q, x0)

(Bổ đề 4.2 của Jiménez và Novo [8] và ta có

dk(f + IQ) (x0, v) 6 dk(f + IM) (x0, v)

Trường hợp k = 1 được trình bày trong định lý dưới đây Định lýnày được chứng minh tương tự như định lý trên, ta chỉ áp dụng định lý2.1(ii) của Studniarski [10] thay cho định lý 2.1(i) của Studniarski [10].Định lý 1.4 Nếu với mọi v ∈ C (G, x0) ∩ T (Q, x0) \ {0} , ta có

d (f + IQ) (x0, v) > 0,thì x0 ∈ Strl (1, f, G ∩ Q)

Chú ý rằng định lý không bị chặt hơn nếu ta giả thiết đúng với mọi

Điều kiện cần của định lý 1.2 không là điều kiện đủ Thật vậy, ta xéttrong R2,

Q = x : x2 > x4

1 , G = {x : g(x) := −x2 6 0} , f (x) = x2 + x22

và x0 = (0, 0), trong đó x = (x1, x2) ∈ R2 Khi đó,

d2(f + IQ) (x0, v) > 0, ∀v ∈ C0(G, x0),nhưng x0 ∈ Strl(2, f, G ∩ Q)./

Bây giờ chúng ta trình bày các điều kiện đủ tối ưu với hàm Lagrange:

Do v ∈ C (G, x0)∩T (Q, x0) \ {0} , từ giả thiết (a) ta suy ra df (x0, v) < 0.

Sử dụng giả thiết (b) suy ra

∃µ ∈ K+ : hµ, g (x0)i = 0 và dLµ(x0, v) > 0

dLµ(x0, u) = df (x0, u) + hµ, dg (x0, u)i , ∀u ∈ X (1.6)Bởi vì

dg (x0, v) ∈ cl cone (−K − g (x0))và

Chứng minh Giả sử x /∈ Strl(k, f, G ∩ Q) Khi đó, tồn tại dãy αn > 0

và xn ∈ G ∩ Q ∩ B (x0, αn) \{x0} sao cho

αn → 0+ và f (xn) − f (x0)

tk n

với tn = kxn − x0k Cũng như chứng minh định lý 1.5, ta giả sử rằng

6 lim infn→∞ αn = 0

Điều này mâu thuẫn

trong đó tn = kxn− x0k Cũng như trong chứng minh định lý 1.6, tagiả sử rằng

vn := xn − x0

tn → v ∈ T (Q, x0) ∩ C(G, x0) ∩ C(f, x0)\ {0} Khi đó xn = x0 + tnvn Theo giả thiết, tồn tại hàm Lagrange Lµ thỏamãn (1.8), (1.9) và hµ, g (x0)i = 0 Bây giờ, theo định nghĩa của Lµ và

f (xn) − f (x0)

t2

n/2 .Kết hợp với (1.10) ta suy ra

d2rLµ(x0, v) 6 lim inf

n→∞ 2αn = 0

Điều này mâu thuẫn với (1.9)

Chú ý rằng do tính lồi của tập Q, ta chỉ cần (Q − x0) ∩ B(0, δ) ⊂

T (Q, x0) với δ > 0 nào đó Định lý 1.7 tổng quát hóa định lý 3.1 trong

và K = Rm+ × {0p} Thật vậy, nếu f và g là khả vi Fréchet tại x0 thì

dLµ(x0, u) = ∇Lµ(x0) u, ∀u ∈ Rn,

∇Lµ(x0) = 0 thì d2rLµ(x0, u) = d2Lµ(x0, u) , ∀u ∈ Rn Khi các hàm cótrong bài toán khả vi cấp 2 Fréchet ta có ngay hệ quả sau đây khi sửdụng

d2rLµ(x0, v) = ∇2Lµ(x0) (v, v) , ∀v ∈ X,trong đó ∇2Lµ(x0) là đạo hàm cấp 2 Fréchet của Lµ tại x0

Hệ quả 1.1 Giả sử Q là tập lồi và f, g là khả vi cấp 2 Fréchet tại x0.Nếu

dLµ(x0, u) = (µ2 − 4) u1 + µ1u2 > 0, ∀u = (u1, u2) ∈ T (Q, x0)

v = (0, v2) ∈ C (G, x0) ∩ T (Q, x0) ∩ C (f, x0) \ {0} = {(0, v2) : v2 < 0} ,điều kiện (1.9) thỏa mãn với µ = (0, 4) bởi vì

d2rLµ(x0, v) = d2rf (x0, v) + µ1∇2g1(x0) (v, v) + µ2∇2g2(x0) (v, v)

= 8v22 > 0

do d2rf (x0, v) = 0 Do đó, áp dụng định lý 1.7, ta có x0 là cực tiểu địaphương chặt cấp 2

∀v ∈ C (G, x0) ∩ T (Q, x0) ∩ C (f, x0) \ {0} nếu µ > 0.

Chương 2

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP CAO

CHO NGHIỆM HỮU HIỆU CHẶT CẤP CAO CỦA BÀI TOÁN TỐI

ƯU ĐA MỤC TIÊU LỒI

Chương 2 trình bày các điều kiện tối ưu cấp cao cho nghiệm hữu hiệuđịa phương chặt cấp cao của bài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi có ràngbuộc bất đẳng thức Trước hết phân hoạch tập chỉ số của hàm mục tiêu,rồi lập các bài toán con và mối quan hệ của nghiệm hữu hiệu địa phươngchặt cấp m của bài toán gốc với một trong các bài toán con Trên cơ sở

đó, chúng tôi trình bày các điều kiện cần và đủ tối ưu cho nghiệm hữuhiệu địa phương chặt cấp m cho bài toán gốc lồi, và các đặc trưng điểmyên ngựa cho nghiệm hữu hiệu địa phương chặt cấp m cho bài toán gốclồi Các kết quả trình bày trong chương này của A Gupta, A Mehra và

Kí hiệu F là tập chấp nhận được của bài toán (M OP ):

F = {x ∈ Rn : gj(x) 6 0, j ∈ Q} Các hàm fi(·), i ∈ P = {1, , p}, gj(·), j ∈ Q là các hàm giá trị thực,

P và Q là các tập chỉ số của mục tiêu và ràng buộc Ta nhắc lại các kháiniệm nghiệm hữu hiệu và nghiệm hữu hiệu yếu

của (M OP ) nếu ∃δ > 0 sao cho:

f (x) ∩ (f (x) + Rp+\ {0}) = ∅, ∀x ∈ F ∩ B(x, δ)\ {x} ,

Rp+ là orthant không âm trong Rp

Nhận xét 2.1

Nếu ta thay Rp+\ {0} bởi int(Rp+) trong hệ thức trên ( trong đó "int"

kí hiệu "phần trong") thì x được gọi là nghiệm hữu hiệu địa phương yếucủa (M OP )

nghiệm hữu hiệu địa phương chặt cấp m của bài toán (M OP ), kí hiệu là

x ∈ Strl (m, f, F ), nếu tồn tại hằng số α > 0 và lân cận U của x saocho:

(f (x) + Rp+) ∩ B (f (x) , αkx − xkm) = ∅, ∀x ∈ F ∩ U \ {x}

nghiệm hữu hiệu địa phương chặt cấp m của bài toán (M OP ) nếu và chỉnếu tồn tại α ∈ int (Rp+) , δ > 0 sao cho

trong đó " " được hiểu như sau

x, y ∈ Rp, x  y ⇔ x /∈ y − Rp+\ {0}

Nhận xét 2.2.

(i) Từ nay ta coi hệ thức (2.1) như định nghĩa của nghiệm hữu hiệuđịa phương chặt cấp m của bài toán (M OP )

cấp m của bài toán (M OP ) thì nó là nghiệm hữu hiệu địa phươngcủa (M OP ) Ngược lại nói chung không đúng Ví dụ sau đây minhhọa điều này

x = 0 là một nghiệm hữu hiệu, nhưng không là nghiệm hữu hiệu địa

2.2 Phân hoạch tập chỉ số của hàm mục tiêu

Một câu hỏi đặt ra là "Cần bao nhiêu hàm mục tiêu để một điểmchấp nhận được là nghiệm hữu hiệu địa phương chặt của (M OP ) ?" Ta

sẽ phân hoạch tập chỉ số của hàm mục tiêu để cho tại nghiệm hữu hiệuđịa phương chặt đó, các thành phần không cốt yếu của hàm mục tiêu cóthể bỏ được

phương của bài toán sau:

(M OP )α min (f1(x) − α1kx − xkm, , fp(x) − αpkx − xkm)

x ∈ F

Ta xác định ba tập phân hoạch tập chỉ số P của hàm mục tiêu Cho



Pα,δ< (x∗) , x



phương của (M OP )α thì Sα,δ6 (x∗) 6= ∅, Pα,δ< (x∗) 6= ∅ Do đó đòi hỏi tự

RM OP



Pα,δ< (x∗) , x

được xác định tốt Vì vậy, Pα,δ< (x∗)∪Pα,δ= (x∗) = P

hiệu địa phương chặt của (M OP ) và nghiệm hữu hiệu địa phương của

RM OP



Pα,δ< (x∗) , x

.Định lý 2.1 Cho x là nghiệm hữu hiệu địa phương chặt cấp m của(M OP ) tương ứng với α ∈ int (Rp+) và δ > 0 ( thỏa mãn mệnh đề 2.1 ).Khi đó, x là một nghiệm hữu hiệu địa phương của RM OP



Pα,δ< (x∗) , x

,với bất kỳ x∗ thuộc F không là nghiệm hữu hiệu địa phương của (M OP )α

Chứng minh Giả sử cho x∗ ∈ F không phải là nghiệm hữu hiệu địa

của RM OP



Pα,δ< (x∗) , x

, tức là tồn tại xδ ∈ F0∩ B (x, δ) \ {x} sao cho

Định lý 2.2 Giả sử tồn tại x∗ ∈ F , α ∈ int (Rp+) và δ > 0 sao cho



Pα,δ< (x∗) , x

.Hơn nữa, ta giả sử

Khi đó, x là một nghiệm hữu hiệu địa phương chặt cấp m của (M OP )tương ứng với α và δ

Chứng minh Ta dùng phương pháp phản chứng Thật vậy, nếu x không

là một nghiệm hữu hiệu địa phương chặt cấp m của (M OP ) tương ứngvới α và δ, thì tồn tại xαδ ∈ F ∩ B (x, δ) \ {x} sao cho

fk(xαδ) − αkkxαδ − xkm < fk(x) , với k nào đó thuộc P (2.4)Khi đó, xảy ra hai trường hợp: hoặc k ∈ Pα,δ< (x∗) hoặc k ∈ Pα,δ= (x∗).Trường hợp I Nếu k ∈ Pα,δ< (x∗) , thì (2.3) và (2.4) mâu thuẫn với tínhhữu hiệu địa phương của x của RM OP



Pα,δ< (x∗) , x

.Trường hợp II Nếu k ∈ Pα,δ= (x∗) , thì

fi(xαδ) − αikxαδ − xkm 6 fi(x) , ∀i ∈ Pα,δ= (x∗) ,

fi(xαδ) − αikxαδ − xkm 6 fi(x) , ∀i ∈ Pα,δ< (x∗) ,

fk(xαδ) − αkkxαδ − xkm < fk(x) , với k nào đó thuộc Pα,δ= (x∗)