tuyển tập đề thi vào 10 trường thpt nguyễn trãi

Phạm Minh Hoàng- Cựu học sinh Trường THCS Phong Châu- Phù Ninh- Phú Thọ Câu 2: Giả sử x x k.. Phạm Minh Hoàng- Cựu học sinh Trường THCS Phong Châu- Phù Ninh- Phú Thọ Gọi D là trung điểm

Trang 1

Phạm Minh Hoàng- Cựu học sinh Trường THCS Phong Châu- Phù Ninh- Phú Thọ

Đề 54:Thi chuyên Nguyễn Trãi(1997-1998) Câu 1:

Trang 2

1 4 1 2 1

Quá trình lập luận cứ tiếp diễn ta sẽ có:

2 ,n 2 , 2n n

x# y# z # trong đó n là số tự nhiên lớn tùy ý⇒ = = =x y z 0

Thử lại, thấy x= = =y z 0 thỏa mãn phương trình đã cho

Vậy x= = =y z 0 là nghiệm duy nhất

Câu 2

1/ Xem đề 26- câu 1.a

Trang 3

2 4

1

81

Trang 4

Cộng các BĐT (*), (**), (***) theo vế ta được:

AA 1 + BB 1 + CC 1 > AB +AC +BC (đpcm)

Câu 4:

1 2

1

KNI

BCO=BCD+DCO=CMN+CNM +DCO= CMN+DCO=CON+DCO=DNO

Xét ΔDNO&ΔBCO có:

Trang 5

2/ Gọi I là giao điểm của AC và BD

( )1

Δ = Δ ⇒ = ⇒ ⊥ ⇒ OI là trung trực của đoạn BD

OI là đường thẳng nối tâm đường tròn (CMN) và đường tròn (CBD)

Từ (*) suy ra DB là phân giác góc ADK

⇒ AK vuông góc DB mà DB KC& ⇒AK ⊥KC⇒nAKC=90 0

a b c

Trang 6

Đề 55:Thi chuyên Nguyễn Trãi (1998–1999)

Câu 1: Giải hệ phương trình :

222

22

12

21

y x

Trang 7

1

x

x x

1

x

x x

Trang 8

( )

( ) ( )

Vì I là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC⇒IL=IK

Vì ΔABC không cân nên L∈[ ]AD K; ∈[ ]BE L( ≠ A L; ≠D K; ≠B K; ≠E) hoặc

Trang 9

+) Nếu L∈[ ]CD K; ∈[ ]AE : Tương tự trên

Trang 10

Dấu ‘’=’’ xảy ra⇔ = = ⇔a b c a2 =b2 =c2 ⇔ M là trọng tâm ΔABC

Chú ý: Ở bài này đã sử dụng liên tiếp BĐT :

Trang 11

Đề 56:Thi chuyên Nguyễn Trãi(1999-2000)

x x k− x m− x n− + phân tích thành tích của hai đa thức với hệ số nguyên 1

Câu 3: Cho đường tròn tâm O và một điểm M nằm ngoài hình tròn Qua M kẻ cát tuyến cắt

đường tròn tại B và C (MC > MB) và tiếp tuyến MA ( A là tiếp điểm)

1/ Gọi E và F là chân đường cao của ABCΔ kẻ tử B, C Chứng minh rằng EF luôn song song với

một đường thẳng cố định khi cát tuyến MBC thay đổi

2/ Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên MO Chứng minh rằng tứ giác BHOC là tứ giác nội

tiếp

3/ Tìm quỹ tích trọng tâm G của ΔABC khi cát tuyến MBC thay đổi

Câu 4: Cho đa giác lồi A1A2A3A4A5A6A7A8 có các góc ở đỉnh bằng nhau và độ dài các cạnh là những số nguyên Người ta tô mỗi cạnh bằng một trong hai màu xanh hoặc đỏ Chứng minh rằng bao giờ cũng tồn tại cách tô màu sao cho tổng độ dài các cạnh màu xanh bằng tổng độ dài các cạnh màu đỏ

Câu 5: Chứng minh:

2

12

Trang 12

Câu 2: Giả sử x x k.( − ) ( x m− ) ( x n− + =) 1 g x h x( ) ( ) ; trong đó g(x); h(x) là các đa thức hệ số

Không giảm tính tổng quát giả sử (1) có nghiệm là 0 và k; (2) có nghiệm là m và n (Chú ý: 0 là

nghiệm của (1) nhưng không phải là nghiệm của (2), nên ta được phép giả sử như trên)

Trang 13

Như vậy ta có hai đáp số thỏa mãn yêu cầu bài toán ( ) ( )

Khi đó chúng ta có:

2 2

1/ Tứ giác BCEF nội tiếp

nAFE nACB MABn EF MA dpcm( )

Gọi N là trọng tâm MOAΔ (N cố định)

I là trung điểm của MO ( I cố định )

Trang 14

Gọi D là trung điểm của BC

*Giới hạn: Do D∈q', 'AA A là giao điểm của (I IO; ) với ( ) (O , A'≠ A) nên G A ( G là giao điểm của đường tròn tâm N với đường thẳng IA’ )

q0

Suy ra: Tứ giác MNPQ, ABCD là các hình chữ nhật và các tam giác MA8A1,BA1A2,NA2A3,

CA3A4, PA4A5, DA5A6, QA7A6, AA8A7 là các tam giác vuông cân Ta có:

Trang 15

Trang 16

Đề 57:Thi chuyên Nguyễn Trãi(2000-2001)

Câu 1: Tính giá trị biểu thức: A= 1995.1996.1997.1999.2000.2001 36+

c> được không?

Câu 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, hai đường chéo AC và BD cắt nhau

tại I Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABI, là tâm đường tròn ngoại tiếp

tam giác CDI

Trang 17

Dấu “=” xảy ra

( ) ( ) ( ) ( )

Trang 18

Trang 19

Trang 20

Q

Trang 21

Đề 58:Thi Chuyên Nguyễn Trãi(2001- 2002)

Câu 1: Chứng minh rằng biểu thức:

Câu 1: Điều kiện: xy≥0

+) Nếu x+ <y 0, vì xy≥0 nên x và y cùng dấu ⇒ x y, ≤0

+) Nếu x+ ≥y 0, vì xy≥0 nên x và y cùng dấu ⇒ x y, ≥0

Lập luận tương tự trên ta có:

Trang 22

1) Dễ thấy x= − không phải là nghiệm 1

Chia hai vế của phương trình cho ( )2

⎣+) Nếu t= −6 ta có ( )2

1

61

x x

−

= −+ ( vô nghiệm) +) Nếu t=2 ta có ( )2

121

x x

−

=+ ⇔ = ±x 2 5Phuơng trình đã cho có nghiệm x∈ +{2 5; 2− 5}

3

m

m x

Trang 23

Với 1 phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

Có: nCAI =n nAIE−ACI =IAEn n−ABE=IAEn n−BAE=IABn

Suy ra tia AI là tia phân giác CABn Từ ( )* ta suy ra tia CI là phân giác góc nACB

Vậy I là tâm đường tròn nội tiếp ABCΔ

Trang 24

Vậy ta có điều phải chứng minh

Câu 4: Theo bài ra ta có:

+) n có thể biểu diễn khôgn ít hơn hai cách là tổng của hai số chính phương, suy ra n>2Giả sử 2 2 2 2 (

+) Ta có n lẻ Vì vậy ta có thể giải sử a,d chẵn; b,c lẻ

Không giảm tính tổng quát, giả sử a d> ⇒ <b c

Trang 25

Trang 26

Đề 59: Thi Chuyên Nguyễn Trãi (2002-2003) Câu 1:

Cho đa thức f x( ) có bậc 2000 thỏa mã điều kiện f n( ) 1

n

= với n=1, 2,3, , 2000, 2001 Tính f (2002)

2) Cho ABCΔ đều và một đường tròn có bán kính bằng cạnh của tam giác đều đó

đồng thời đi qua các đỉnh B và C sao cho đỉnh A nằm ngoài đường tròn; M là

điểm nằm trên đường tròn (M ≠B M, ≠C)

CMR: MA,MB,MC là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông

Tìm các số hạng của dãy số là số chính phương

2) Lấy các số nguyên từ 1 đến 9 xếp vào các ô vuông nhỏ của một hình vuông 3x3 ô ( mỗi số chỉ lấy một lần) sao cho tổng mỗi hàng, mỗi cột, mỗi đường chéo đều là bội của 9 CMR: Chữ số nằm ở ô trung tâm hình vuông là bội của 3

Hãy chỉ ra một cách sắp xếp có số ở ô trung tâm là 6

Trang 27

Trang 28

+) Nếu AB=AC ⇒ ABCΔ đều⇒H ≡ ⇒O đpcm

+) Giả sử AC> AB , trên cạnh AC lấy T: AT = AB

Trang 29

Từ (*), (3), (4) ⇒ tứ giác OTCH là hình thang cân ⇒OH =TC= AC−AB

+) Trong trường hợp AB〉AC, tương tự ta có: OH =AB−AC

Tóm lại ta có: OH = AB−AC (đpcm)

2)

+) Nếu M nằm trong ΔABC

Dễ thấy BMCn=1500

Dựng tam giác đều NBM

( N và M ở hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là AB)

Xét ΔANB và ΔCMBcó:

Trang 30

Trang 31

Lại có:

NMC=NMB+BMC= + = 0

2 2

Tam giác vuông CNM có:

Ta chứng minh : không là số chính phương với n 4 u n ≥

Thật vậy: giả sử ∃ ≥k 4 :u k là số chính phương

Trang 32

Trang 33

Đề 60: Thi Chuyên Nguyễn Trãi (2003 – 2004) Câu 1: Cho hai số dương và Xét tập hợp T bao gồm các số có dạng : a b

T = ax by x+ + =y x> y>

CMR: Các số 2ab

a+b và ab đều thuộc tâph hợp T

Câu 2: Cho tam giác ABC, và D E là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với các cạnh A B AC, Đường phân giác góc B cắt đường thẳng DE tại H

Câu 4: Tìm đa thức f x( ) và g x( ) hệ số nguyên sao cho: ( 2 7)

2

f g

=+ ; rõ ràng 0 ,

=+ ; rõ ràng

Câu 2: Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp ABCΔ

+) Nếu lA=Cl ⇒ ΔBAC cân ở B Có

Trang 34

2

A HDI =EDI =EAI =

3

p c q

Trang 35

Câu 6: Điều kiện a2−4b>0

Theo đinh lý Vi-et ta có: 1 2

- Với n=1 ta có:

2 3 1 4 1 2 3 1 4 1

u u −u u = − ⇔u u =u u −

Trang 36

* Lưu ý: không có nghĩa Vì vậy ở bài toán này khi chưa biết rõ 00 b≠ hay không thì 0

ta chưa thay ngay n=0 để tìm a b, Vì nếu b= ⇒0 x1= (hoặc 0 x2 = ) 0 1n

Trang 37

Đề 61: Thi Chuyên Nguyễn Trãi (2004 – 2005)

Câu 1: Tìm giá trị của a để phương trình a x a4 − 3+ −(1 3) (a2+ +3 3) (a=3 3x− 3)

Trang 38

Trang 39

Có: nATB=nDMC ( góc có cạnh tương ứng song song)

⇒ Tứ giác ABED nội tiếp

Do đó CDEΔ cân ở E, kết hợp với ΔBDE cân ta có:

Trang 40

Câu 1: Cho phương trình x2−5x+ = 03

Gọi hai nghiệm của phương trình là x , 1 x Tính giá trị của biểu thức: 2

x + x + x + x không phụ thuộc vào m

Câu 3: Cho tam giác ABC (nBAC=900) nội tiếp đường tròn tâm O, đường thẳng AB,

AC cắt đường tròn ngoại tiếp tâm I lần lượt tại M, N Gọi J là điểm đối xứng của

+) Nếu 0<x < < 2 x

Trang 41

Rõ ràng x , 1 x , 2 x , 3 x cũng là nghiệm của hệ ( I ) Không giảm tính tổng quát, giả sử 4 x 1

và x là nghiệm của (1); 2 x và 3 x là nghiệm của (2) 4

Theo định lý Viet áp dụng cho (1) và (2) ta có:

6 6

Trang 42

Lại có nOCM =OBAn =OABn (2)

Từ (1) và (2) ⇒nAOM =1800−(OABn n+AMO)=1800−(OCMn n+OMC)=MOCn

2) Gọi H là giao điểm của IJvà MN

⇒ Hlà trung điểm của IJ

MIH = MIN = MCN =MCN =BAC (3)

Mà OI là đường trung trực của đoạn BC

Hạ IK ⊥OC ⇒ K là trung điểm của OC

Ta có n 1 n 1.2n n

IOK = BOC= BAC=BAC (4)

Từ (3) và (4) suy ra nMIH =nIOK

Xét tam giác vuông ΔIOK và ΔMIH có:

Câu 4: Dễ thấy tứ giác AHMD AHBK, nội tiếp

Ta có: nAMH =nADH = nACB

Trang 43

HM =HK ⇒ Phân giác BADn, phân giác nBCD , BD đồng quy

Thật vậy: Dựng AT là phân giác nDAB (T∈DB)

Phân giác BADn, phân giác nBCD , BD đồng quy ⇒HM =HK

Thật vậy: Dựng AT là tia phân giác nDAB (T∈DB)

CT

⇒ là phân giác của nBCD

AT là phân giác của nDAB BT AB

Trang 44

Trang 45

(hoặc là x1 = −2 3, x2 = + 3 ; trường hợp này làm tương tự) 2

+) Bằng quy nạp ta chứng minh được rằng:

Trang 46

Trang 47

Định dạng
Số trang	47
Dung lượng	898,14 KB