Quan hệ giữa tập nghiệm của đa thức và tập nghiệm của đa thức đạo hàm

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMCAO DUY HÙNG QUAN HỆ GIỮA TẬP NGHIỆM CỦA ĐA THỨC VÀ TẬP NGHIỆM CỦA ĐA THỨC ĐẠO HÀM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Mã số : 60 46 0102 Giáo viên hướng d

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

CAO DUY HÙNG

QUAN HỆ GIỮA TẬP NGHIỆM

CỦA ĐA THỨC VÀ TẬP NGHIỆM CỦA ĐA THỨC

ĐẠO HÀM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2013

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

CAO DUY HÙNG

QUAN HỆ GIỮA TẬP NGHIỆM

CỦA ĐA THỨC VÀ TẬP NGHIỆM CỦA ĐA THỨC

ĐẠO HÀM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Mã số : 60 46 0102

Giáo viên hướng dẫn:

PGS TS TẠ DUY PHƯỢNG

THÁI NGUYÊN, 2013

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư Đại học Thái Nguyên Qua đây tôi xin chân thành cảm ơn các thầy côgiáo Khoa Toán, Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo nhà trường đã trang bịkiến thức cơ bản và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong quá trình học tập

phạm-và nghiên cứu

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS TS Tạ Duy Phượng,người đã tận tình chỉ bảo, tạo điều kiện và giúp đỡ tôi có thêm nhiều kiếnthức, khả năng nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè và các đồng nghiệp

đã động viên, giúp đỡ tôi quá trình học tập của mình

Do thời gian và trình độ còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏinhững thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô

và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Mục lục

1.1 Phát biểu giả thuyết Sendov 3

1.1.1 Định lý Gaus-Lucas 3

1.1.2 Giả thuyết Sendov 11

1.2 Tổng quan về giả thuyết Sendov 13

1.2.1 Lịch sử giả thuyết Sendov 13

1.2.2 Các giả thuyết liên quan đến giả thuyết Sendov 15

2 Một số giả thuyết trong hình học đa thức liên quan đến giả thuyết Sendov 17 2.1 Các khái niệm cơ bản và các giả thuyết liên quan đến giả thuyết Sendov 17

2.1.1 Các khái niệm cơ bản 17

2.1.2 Các giả thuyết mở rộng hoặc liên quan đến giả thuyết Sendov 21

2.2 Các kết quả của giả thuyết Sendov trong hình học đa thức 24 2.2.1 Độ lệch giữa các tập hợp khi biết một nghiệm đặc biệt 24

2.2.2 Đánh giá độ lệch của A (P ) với A P(s)
28

2.3 Một số trường hợp khác 36

2.3.1 Chứng minh giả thuyết Sendov cho các đa thức có bậc 3 và 4 36

2.3.2 Chứng minh giả thuyết Sendov cho tất cả các đa thức với số nghiệm không lớn hơn 4 39 2.3.3 Chứng minh giả thuyết Sendov cho đa thức bậc n ≤ 5 41

Tài liệu tham khảo 45

MỞ ĐẦU

Ta đã biết Định lí Gauss-Lucas về quan hệ giữa nghiệm của đa thức và

đa thức đạo hàm sau đây

Định lí Gauss-Lucas: Giả sử P (z) là một đa thức với các hệ số phức.Khi ấy mọi nghiệm của đa thức đạo hàm P0(z) đều nằm trong bao lồi củatập các điểm nghiệm của đa thức

Không hạn chế tổng quát, có thể coi tất cả các nghiệm của đa thứcP (z)

nằm trong hình tròn đơn vị đóngD (0, 1) Khi ấy theo Định lí Gauss-Lucas,mọi nghiệm của đa thức đạo hàm P0(z) cũng nằm trong hình tròn đóng

D (0, 1) Do vậy, khoảng cách lớn nhất giữa một điểm nghiệm của đa thức

và một điểm nghiệm của đa thức đạo hàm không vượt quá 2

Năm 1958, nhà toán học Bugaria Blagovest Sendov đã phát biểu giảthuyết sau

Giả thuyết Sendov: Giả sử tất cả các nghiệm zi, i = 1, , n của đathức P (z) nằm bên trong hình tròn đơn vị đóng D (0, 1) trong mặt phẳngphức Khi ấy mỗi hình tròn đóng có bán kính bằng 1, tâm tại điểm nghiệm

zi đều chứa một điểm nghiệm của đa thức đạo hàm

Giả thuyết Sendov được sự quan tâm của rất nhiều nhà toán học trênthế giới Sau 50 năm, đã có hơn 100 bài báo viết về giả thuyết này xem [2].Năm 1999, giả thuyết Sendov đã được J E Brown và học trò của Ông, G.Xiang chứng minh cho các đa thức bậc không vượt quá 8 Cho đến nay, kỉlục này vẫn được giữ

Nhằm chứng minh giả thuyết Sendov, nhiều nhà toán học đã sử dụngnhiều công cụ và kĩ thuật chứng minh khác nhau Nhiều giả thuyết mớiliên quan đến giả thuyết Sendov được phát biểu

Hình học của đa thức tỏ ra khá hữu hiệu trong cố gắng chứng minh

giả thuyết Sendov Thực chất của giả thuyết Sendov là đánh giá khoảngcách Hausdorff giữa tập nghiệm của đa thức và tập nghiệm của đa thứcđạo hàm Nói cách khác, giả thuyết Sendov được chứng minh nếu khoảngcách Hausdorff giữa tập nghiệm của đa thức và tập nghiệm của đa thứcđạo hàm không vượt quá 1.

Ngoài ra, nhờ sử dụng khoảng cách Hausdorff giữa các tập hợp, ta cóthể mở rộng giả thuyết Sendov khi xét khoảng cách Hausdorff giữa các tậpkhác nhau, thí dụ, khoảng cách Hausdorff giữa tập nghiệm của đa thức

và tập nghiệm của đa thức đạo hàm bậc k, hoặc khoảng cách giữa bao lồicủa tập nghiệm đa thức và bao lồi của tập nghiệm đa thức đạo hàm.Theo chúng tôi, đây là một giả thuyết thú vị, có quan hệ mật thiết giữatoán sơ cấp và toán cao cấp Vì vậy tôi chọn đề tài này làm đề tài luậnvăn cao học

Luận văn gồm hai Chương Chương 1 giới thiệu tổng quan về lịch sửGiả thuyết Sendov và các kết quả đạt được trong nghiên cứu giả thuyếtnày Chương 2 trình bày cách tiếp cận hình học của đa thức trong nghiêncứu giả thuyết Sendov, chủ yếu dựa theo tài liệu [27] và [22] Nhiều giảthuyết mới cũng được trình bày

Luận văn cũng trình bày các chứng minh giả thuyết Sendov cho các đathức bậc thấp (bậc không vượt quá 5) Mặc dù còn sơ lược và chưa đầy

đủ, chúng tôi hy vọng luận văn trình bày được những nội dung cơ bản củagiả thuyết Sendov và thu hút sự quan tâm đến giả thuyết này

Thái Nguyên, ngày 10 tháng 04 năm 2013

Người thực hiệnCao Duy Hùng

Chương 1

Giới thiệu giả thuyết Sendov

Ta đã biết Định lý Rolle quen thuộc và quan trọng sau đây

Định lý 1.1 (Rolle, 1691) Giả sử f : R →R là hàm số khả vi trên đoạn[a; b] ⊂ R và f (a) = f (b) Khi ấy tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) saocho f0(c) = 0

Từ định lý Rolle ta có hệ quả sau

Hệ quả 1.1 Cho đa thức P (x) = a0xn+ a1xn−1+ + an−1x + an có tất

cả m nghiệm thực x1 < x2 < < xm Khi ấy đa thức đạo hàm

P0(x) = nanxn−1 + (n − 1) an−1xn−2 + + 2a2x + a1

có không ít hơn m − 1 nghiệm thực, trong đó u1 < u2 < < um−1

sao cho

x1 < u1 < x2 < u2 < x3 < u3 < < xm−1 < um−1 < xm

Chú ý 1.1 Trong số các nghiệm thực xi có thể có các nghiệm bội tức là

đồ thị hàm số y = P (x) cắt hoặc tiếp xúc với trục hoành tại một số điểm

xj, j ∈ {1, , m}

Hình 1.1 Minh họa cho Hệ quả 1.1

Hình 1.1:

Ta thấy rằng, khoảng cách nhỏ nhất từ nghiệm ui, i = 1, , m − 1của

đa thức đạo hàm P0(x) để hai nghiệm gần nó nhất của đa thức P (x) baogiờ cũng nhỏ hơn một nửa khoảng cách giữa hai nghiệm ấy, tức là

min {ui − xi; xi+1 − ui} ≤ xi+1 − xi

2 , i = 1, m − 1.

Coi khoảng cách lớn nhất giữa hai nghiệm liên tiếp của đa thức khôngvượt quá 2, thì giữa hai nghiệm liên tiếp luôn tồn tại ít nhất một nghiệmcủa đạo hàm có khoảng cách tới ít nhất một nghiệm của đa thức khôngvượt quá 1

Nhận xét 1.1 Điều kiện số nghiệm m ≥ 2 của đa thức P (x) là quantrọng

có ba nghiệm x1 = 0 và x2 = −2 và x3 = 2 trong khoảng (−3; 3)

Hình 1.3 Minh họa cho Nhận xét 1.2

Hình 1.3:

Nhận xét 1.3 Định lý Rolle chỉ đúng khif (x)xác định trên tập số thực,nhận giá trị thực và không còn đúng trong trường số phức.

Ví dụ, hàm số

f (z) = eiπz − 1 = (cosπz + isinπz) − 1

có hai nghiệm z = 0 và z = 2, nhưng đạo hàm của nó

f0(z) = iπeiπz

không có nghiệm, do đó cũng không có nghiệm trong khoảng (0; 2)

Tuy nhiên, ta vẫn có thể đặt câu hỏi sau đây

Từ Hệ quả 1.1 ta đã thấy: Giữa hai nghiệm thực phân biệt của đa thứcvới hệ số thực của biến số thực bao giờ cũng có ít nhất một nghiệm củađạo hàm

Câu hỏi đặt ra là: Nếu ta xét tất cả các nghiệm phức thì kết quả trênđược mở rộng như thế nào?

Năm 1836, Gauss đã nhận xét rằng, mọi nghiệm của đa thức đạo hàm

P0(x) có thể được coi như là điểm cân bằng của một trường lực được tạo

ra bởi các hạt đồng chất đặt tại mỗi điểm nghiệm zi của đa thức (k hạtnếu zi là nghiệm bội k), nếu mỗi hạt sinh ra một lực hút tỉ lệ nghịch vớikhoảng cách các hạt

Chính vì lẽ đó, nghiệm ξj của đa thức đạo hàm P0(z) = 0 thường đượcgọi là điểm cân bằng, điểm tới hạn hoặc điểm dừng P (z) = 0

Từ nhận xét trên của Gauss, năm 1874, F Lucas, một kỹ sư người Pháp

đã phát biểu và chứng minh Định lý 1.2 dưới đây, sau này được gọi là định

lý Gauss - Lucas

Định lý 1.2 (Gauss - Lucas) Giả sử P (x) là một đa thức với các hệ sốphức Nếu mọi nghiệm của đa thức P (x) nằm trong nửa mặt phẳng phứcđóng thì mọi nghiệm của đa thức đạo hàm P0(x) cũng nằm trong nửa mặtphẳng đóng ấy

Dưới đây chúng tôi trình bầy chứng minh định lý Gauss - Lucas theo

B Gadner năm 2011 (với các giải thích tỉ mỉ hơn)

Ta biết rằng, phương trình tham số của đường thẳng trên mặt phẳng điqua điểm a (a1; a2) với véc tơ chỉ phương −→

Im



z − ab

= 0 ⇔ b2x − b1y − a1b2 + a2b1 = 0

Như vậy, có thể coi (1.3) là phương trình đường thẳng trong R2

Sử dụng biểu diễn phương trình đường thẳng dưới dạng (1.3) kết hợpvới công thức tính đạo hàm của hàm logarit phức, chúng ta có thể chứngminh dễ dàng định lý Gauss-Lucas

Chứng minh Theo Định lý cơ bản của đại số, đa thức P (z) có đúng n

nghiệm phức và được phân tích thành nhân tử:

P (z) = a0(z − z1) (z − z2) (z − zn)

Vì vậy:

log P (z) = log a0 + log (z − z1) + log (z − z2) + + log (z − zn)

Lấy đạo hàm hai vế ta được:

Giả sử nửa mặt phẳng đóng H chứa tất cả các nghiệmzi của đa thức P (z)

được mô tả bởi bất phương trình Im z−ab
≤ 0 Khi ấy i = 1, , n

Im



z1 − ab



≤ 0, Im



z2 − ab



≤ 0, , Im



zn − ab

α2 + β2 − β

α2 + β2i = u

α2 + β2,

trong đó u = α − βi là số phức liên hợp của u

Từ công thức trên ta thấy Imu = β thì Im1u = −α2 +ββ 2 nên Imu và Im1u

luôn trái dấu

Hệ quả 1.2 Đa giác lồi trong mặt phẳng phức chứa tất cả các nghiệmcủa đa thức P (z) cũng chứa tất cả các nghiệm của P0(z)

Thí dụ, nếu đa thức P (z)có 8 nghiệmz1, , z8 được phân bố như Hình1.5 thì đa giác lồi nhỏ nhất chứa tất cả các nghiệm của nó (bao lồi củacác nghiệm) là ngũ giác lồi có các đỉnh là z1, z2, z3, z4, z5 Áp dụng Định lýGaus-Lucas cho nửa mặt phẳng xác định bởi đường thẳng z1z2, ta khẳngđịnh các nghiệm của đa thức đạo hàm phải nằm trong nửa mặt phẳngchứa ngũ giác lồi z1z2z3z4z5

Lần lượt áp dụng Định lý Gaus-Lucas cho các cạnh tiếp theo, ta đi đếnkết luận: Tất cả các nghiệm ε1, ε2, ε3, ε4, ε5, ε6 của đa thức đạo hàm nằmtrong đa giác lồi z1z2z3z4z5 chứa tất cả các nghiệm của đa thức

Hình 1.5 Minh họa cho Hệ quả 1.2

chỉ có nghiệm duy nhất z = 0, tức là tất cả các nghiệm của f (z) = zez2

nằm trong |z| ≤ 1 Tuy nhiên, đạo hàm của nó

có nghiệm z = −2 và nghiệm này nằm ngoài đường tròn đơn vị |z| ≤ 1

Ở trên ta đã lưu ý: Coi khoảng cách lớn nhất giữa hai nghiệm thực liêntiếp của đa thức với hệ số thực không vượt quá 2, thì giữa hai nghiệm liên

tiếp của đa thức luôn tồn tại một nghiệm của đa thức đạo hàm có khoảngcách tới một nghiệm của đa thức không vượt quá 1.

Xuất hiện bài toán tương tự: Đánh giá khoảng cách giữa nghiệm(phức) của đa thức và nghiệm (phức) của đa thức đạo hàm

Từ hệ quả 1.3 của Định lý Gauss-Lucas ta có một hệ quả đơn giản sau

Hệ quả 1.5 Nếu tất cả các nghiệm của đa thức P (z) nằm trong hìnhtròn đóng D (0, r) = {z ∈ C : |z| ≤ r} và z1 là một nghiệm của P (z), thìhình tròn tâm z1 bán kính 2r chứa tất cả các nghiệm của P0(z)

Hệ quả này là hiển nhiên, vì mọi nghiệm của đa thức và mọi nghiệmcủa đa thức đạo hàm đều nằm trong đĩa bán kính r Do đó khoảng cáchgiữa một nghiệm của đa thức tới tất cả các nghiệm của đạo hàm khôngvượt quá đường kính của đường tròn, tức là không vượt quá 2r

Năm 1958, nhà toán học người Bungaria Blagovest Sendov đã đặt racâu hỏi: Nếu thay 2r trong Hệ quả 1.5 bằng r thì khẳng định trên cònđúng không? Và ông đã đi đến giả thuyết (sau này mang tên Sendov) dướiđây

Giả thuyết Sendov được phát biểu một cách khá đơn giản như sauGiả thuyết 1.1 (Giả thuyết Sendov) Giả sử mọi nghiệm của đa thức

Pn(z) = a0zn + a1zn−1 + + an−1z + an nằm trong đĩa đơn vị đóng

D (0, 1) = {z ∈ C : |z| ≤ 1} Khi ấy nếu z1 là một nghiệm của P (z) thìtồn tại một nghiệm ξ của P0(z) nằm trong đĩa đơn vị tâm z1, tức là

ξ ∈ D (z1, 1) = {z ∈ C : |z − z1| ≤ 1}

Giả thuyết Sendov nói rằng: Giao (miền thấu kính) của hình tròn đơn

vị đóng D (0, 1) tâm ở gốc tọa độ và hình tròn bán kính đơn vị D (z1, 1)

tâm ở điểm nghiệm z1 của đa thức phải chứa ít nhất một điểm là nghiệmcủa P0(z)

Hình 1.6 Minh họa cho Giả thuyết 1.1

Giả thuyết Sendov cũng có thể phát biểu dưới dạng sau.

Giả thuyết 1.2 (Giả thuyết Sendov) Giả sử mọi nghiệm z1, , zn của đathức Pn(z) = a0zn+ a1zn−1+ + an−1z + an nằm trong đĩa đơn vị đóng

D (0, 1) = {z ∈ C : |z| ≤ 1} Khi ấy mỗi đĩa đóng D (z1, 1) , , D (zn, 1)

đều chứa ít nhất một nghiệm của P0(z)

Vì theo định lý Gauss-Lucas, mọi nghiệm của đa thức đạo hàm đềunằm trong đĩa đơn vị đóng D (0, 1) nên Giả thuyết Sendov 1.2 nói rằng,trong mỗi miền thấu kínhD (0, 1) ∩ D (zk, 1) , k = 1, , nđều chứa ít nhấtmột nghiệm của đa thức đạo hàm

Hình 1.7 Minh họa cho Giả thuyết 1.1 (lấy từ www.theoremoftheday.org)

Hình 1.7:

1.2.1 Lịch sử giả thuyết Sendov

Tác giả của giả thuyết Sendov, nhà toán học Bungaria BalagovestSendov đã viết trong [28]: Năm 1958, để ý đến đại lượng 2r trong hệquả của Định lý Gaus-Lucas (Hệ quả 1.5), Ông đã đặt câu hỏi: Điều gì

sẽ xẩy ra nếu thay 2r bằng r? Câu hỏi này dẫn Ông đến phát biểu mộtgiả thuyết, mà Ông tin nó là đúng Năm 1959, Bl Sendov đã đề xuất giảthuyết này với N Obreshkhov (là thầy hướng dẫn khoa học của ông) Tuynhiên, có lẽ Giáo sư Obreshkhov đã không để ý, vì vậy Giáo sư Obreshkhovkhông nhắc đến giả thuyết này trong cuốn sách của mình in năm 1963 sauđó

Một thời gian dài giả thuyết Sendov không được biết đến, mặc dù 1962,

Bl Sendov đã thông báo giả thuyết này cho một số đồng nghiệp Giáo

sư M Marden, một chuyên gia về Hình học đa thức, đã viết trong [19]như sau: Giả thuyết 1.1 xứng đáng được mang tên nhà toán học BungariaBalagovest Sendov Ông đã giới thiệu cho tôi, và cả những người khác,

về giả thuyết này năm 1962 tại Hội nghị toán học Quốc tế tổ chức tạiStockholm

Tại Hội nghị Quốc tế về Lý thuyết hàm giải tích, Erevan, 6-13 tháng 9,

1965, nhà toán học Bungaria L Ilieff đã phát biểu (không chính thức) Giảthuyết 1.1 và đề cập đến tên Giáo sư Balagovest Sendov như là tác giả của

giả thuyết này Trong cuốn sách của mình in năm 1967, W K Hayman

đã gọi Giả thuyết Sendov gọi là Giả thuyết Ilieff Vì vậy, cả chục năm sau

đó, Giả thuyết Sendov đã được biết đến rộng rãi như là Giả thuyết Ilieff.Giả thuyết Sendov hiển nhiên đúng cho đa thức bậc hai Thật vậy, vìtam thức bậc hai P (z) = z2 + bz + c có hai nghiệm z1,2 = −b±

|z1 − z2| = |z2 − z1| ≤ 2

và

|ξ − z1| =

z1 + z2

2 − z1

=

≤ n!

=

P(s)(z1) (n − r)!

n!

Với đa thức P (z) có nhiều đa thức liên hợp

Định lý 2.2 (Grace, 1902) Cho P (z) Q (z) hai đa thức liên hợp,thì miền trịn có chứa tất nghiệm P (z) Q (z) chứa nhấtmột nghiệm đa thức liên... ρ (B; A)}

Định nghĩa 2.3 Với đa thức P (z) ta có ký hiệu sau:

1) A (P ) tập tất nghiệm đa thức P (z)

2) A (P0) tất nghiệm đa thức P0(z)

3) H (P... lệch) haitập hợp, tìm đa thức cực trị (đa thức đạt khoảng cách nhỏ nhất) chứngminh giả thuyết Sendov cho đa thức cực trị Dưới trình bầy tổng quan

về hướng nghiên cứu

quan đến