phương pháp tô pô và giải tích trong lý thuyết rẽ nhánh

Lý thuyết rẽ nhánh nghiên cứu những phương trình phụ thuộc tham số, đặc biệt nó tìm những giá trị tham số mà tại đó cấu trúc tập nghiệm bị thay đổi.. Trong lý thuyết rẽ nhánh, người ta t

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn

Thái Nguyên, năm 2013

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướngdẫn của GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn Các số liệu và kết quả nghiên cứunêu trong Luận văn này là hoàn toàn trung thực, chưa từng được công bốtrong bất kỳ một công trình của tác giả nào khác

Thái Nguyên, tháng 04 năm 2013

Tác giả

Nguyễn Thị Hậu

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và nhiệt tình chỉ bảocủa GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn, Viện Toán học Em xin được bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc đến Thầy Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đếnBan giám hiệu, phòng Đào tạo, khoa Toán - Đại học sư phạm, Đại học TháiNguyên đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình học tập tại trường

Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành viêntrong lớp cao học toán K19 đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi trongsuốt thời gian học tập và quá trình làm luận văn

Tuy có nhiều cố gắng, song thời gian và năng lực của bản thân có hạnnên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót Rất mong được sự đóng góp

ý kiến của các thầy cô cùng toàn thể bạn đọc

Thái Nguyên, tháng 04 năm 2013

Tác giả

Nguyễn Thị Hậu

Mục lục

1.1 Các kiến thức cơ bản 8

1.2 Định nghĩa bậc ánh xạ C1 trong Rn 10

1.3 Định nghĩa bậc ánh xạ C trong Rn 18

1.4 Ứng dụng của bậc ánh xạ 22

2 LÝ THUYẾT RẼ NHÁNH 24 2.1 Một số kiến thức cơ bản 25

2.2 Một số kí hiệu và bổ đề 26

2.3 Các kết quả chính 39

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Ngày nay, nhiều hiện tượng tự nhiên và vấn đề khoa học có thể

mô tả bằng ngôn ngữ toán học qua việc giải phương trình phụ thuộctham số, chẳng hạn như hiện tượng thời tiết, quá trình sinh trưởng củađộng vật, sự phát triển của nền kinh tế trong một thời kì, sự phát triểngen của các tế bào sinh vật, các phản ứng hóa học vật lý, Việc nghiêncứu các lĩnh vực này cần nhiều sự hỗ trợ của lý thuyết rẽ nhánh Đây

là vấn đề được nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm nghiên cứu,phát triển mạnh mẽ và ứng dụng trong những bài toán thực tế

Lý thuyết rẽ nhánh nghiên cứu những phương trình phụ thuộc tham

số, đặc biệt nó tìm những giá trị tham số mà tại đó cấu trúc tập nghiệm

bị thay đổi Thời gian gần đây, lý thuyết này được sử dụng nhiều đểgiải quyết những vấn đề nảy sinh trong vật lý học, sinh học và nhữngmôn khoa học tự nhiên khác Nhiều kết quả của lý thuyết rẽ nhánh đã

và đang giải quyết có hiệu quả những vấn đề nảy sinh trong khoa họccũng như thực tế cuộc sống Việc nghiên cứu những nghiệm rẽ nhánhđối với phương trình phi tuyến phụ thuộc tham số đã được nhiều ngườiquan tâm và nghiên cứu trong nhiều đề tài khoa học

Nói một cách ngắn gọn, cho trước một phương trình phụ thuộc tham

số, phương trình này có thể có nghiệm với giá trị nào đó của tham số,khi giá trị tham số thay đổi thì tính duy nhất nghiệm của phương trình

có thể không được đảm bảo Hiện tượng này có mô tả toán học như sau.

Cho hàm số F : Λ × D → Y, trong đó Λ là không gian mêtricvới metric d, D là lân cận của điểm 0 trong không gian định chuẩn

X, và Y là không gian định chuẩn Giả thiết rằng với λ có v(λ) để

nghiệm (λ, 0) được gọi là nghiệm tầm thường của phương trình:

Ta sẽ tìm những nghiệm tầm thường (¯λ, 0) mà tại những lân cận của

nó có tính chất: với δ > 0,  > 0 cho trước, tồn tại nghiệm khôngtầm thường (λ, u) ∈ Λ × ¯D của phương trình trên với d(λ, ¯λ) < δ và

nhánh của phương trình (0.1) và λ¯ được gọi là điểm rẽ nhánh Những

bài toán nghiên cứu nghiệm rẽ nhánh của phương trình được gọi là bàitoán rẽ nhánh

Trong lý thuyết rẽ nhánh, người ta thường đề cập tới những bài toánsau:

1) Sự tồn tại của nghiệm rẽ nhánh;

2) Tồn tại những nhánh nghiệm;

3) Tìm những giá trị tham số tại đó tính duy nhất bị phá vỡ;

4) Nghiên cứu tính ổn định của nghiệm rẽ nhánh;

Mỗi phương pháp được ứng dụng cho một phương trình khác nhau.Dựa vào định lí hàm ẩn, ta dễ dàng thấy rằng mọi điểm rẽ nhánh đều

là giá trị riêng của phần tuyến tính của phương trình Tuy nhiên, khôngphải giá trị riêng nào của phần tuyến tính cũng là điểm rẽ nhánh

Ta dễ dàng thấy phần tuyến tính của hệ này có giá trị riêng bội hai λn

λ

1Z0

Tức là với mỗi n thì λn không phải là điểm rẽ nhánh

Rất nhiều những công trình của các tác giả khác nhau cho các bàitoán 1) - 3) với các phương pháp biến phân, tô pô, giải tích cho nhữngtrường hợp đặc biệt tham số là những số thực có dạng

Trong trường hợp X là không gian Hilbert, T là toán tử đồng nhất,

C là toán tử hoàn toàn liên tục từ X → X với C(0) = 0 và là đạohàm của một hàm liên tục yếu g nào đó, thì Krasnoselski [4] đã chỉra: mỗi giá trị riêng của phần tuyến tính đều là điểm rẽ nhánh Ông

đã sử dụng phương pháp biến phân dựa trên tư tưởng của Lyusternik

- Schnirelman Kết quả này đã được Berger tổng quát hóa trong côngtrình [1]

Cho X là không gian Banach, T = id, C = L + H,trong đó L là toán

tử đạo hàm Fréchet của C tại 0 và H có tính chất

Phương pháp giải tích đối với lý thuyết rẽ nhánh dựa trên tư tưởngcủa Liapunov - Schmidt sử dụng phép chiếu là đưa phương trình nghiêncứu về hai phần: một phần nằm trong không gian hữu hạn chiều với sốchiều là p; phần còn lại nằm trong không gian vô hạn chiều trực giao.Tức là, ta chuyển bài toán về một hệ p + 1 phương trình p ẩn Phầnnằm trong không gian hữu hạn chiều thường được gọi là phương trình

rẽ nhánh Phương trình nằm trong không gian vô hạn chiều thì giảiđược duy nhất nghiệm Nếu phương trình rẽ nhánh giải được thì bàitoán cũng giải được

Trong luận văn này, ta nghiên cứu sự rẽ nhánh bằng phương phápkết hợp giữa phương pháp tô pô và phương pháp giải tích để chỉ ra khinào thì giá trị riêng của phần tuyến tính là nghiệm rẽ nhánh

2 Mục đích nghiên cứu

Trình bày một số vấn đề về lý thuyết bậc ánh xạ, dựa vào phươngpháp tô pô và giải tích để nghiên cứu sự rẽ nhánh của phương trìnhtoán tử và ứng dụng trong thực tế

Trình bày các kiến thức học tập về phương pháp tô pô và giải tíchtrong lý thuyết rẽ nhánh phân dưới dạng một luận văn thạc sĩ với nhữngsáng tạo liên quan đến ứng dụng giải phương trình rẽ nhánh

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Sự tồn tại của nghiệm rẽ nhánh;

- Các nhánh nghiệm;

- Tìm những giá trị tham số tại đó tính duy nhất bị phá vỡ

4 Phương pháp nghiên cứu

Phân tích, sử dụng phương pháp tô pô và giải tích để chỉ ra khi nàothì giá trị riêng của phần tuyến tính là nghiệm rẽ nhánh Vận dụng kiếnthức của bậc ánh xạ và của giải tích hàm, giải tích hiện đại và lý thuyếtphương trình toán tử để xét sự rẽ nhánh của phương trình nghiên cứu

5 Bố cục của Luận văn

Luận văn bao gồm: Mở đầu, hai chương nội dung chính, Kết luận vàTài liệu tham khảo

Chương 1 Trình bày lý thuyết bậc ánh xạ với các nội dung sau.Cho D là tập mở giới nội trong Rn với biên ∂D, ta định nghĩa

và liên tục trên D}.¯

Với mỗi D, φ ∈ C(D,Rn), p 6∈ ∂D ta cho tương ứng với một số nguyên

và được gọi là bậc ánh xạ φ tại p trong D như sau:

1) Trường hợp φ−1(p) ∩ Z = ∅, deg(p, φ, D) được định nghĩa

φ(x)=p

2) Trường hợp φ−1(p) ∩ Z 6= ∅, khi ấy tồn tại qm → p(m → ∞),

Chương 2 Trình bày các khái niệm cơ bản về phép chiếu trong khônggian Banach và lược đồ Liapunov - Schmidt để chuyển phương trìnhtoán tử về hệ phương trình gồm hai phần: phần dễ giải thường nằmtrong không gian vô hạn chiều và phần khó giải nằm trong không gianhữu hạn chiều Nhờ lược đồ này, ta nghiên cứu sự rẽ nhánh của phươngtrình phụ thuộc tham số.

Cho X là không gian Banach với tích vô hướng <, > và chuẩn k · k

D là tập mở chứa 0 trong X và Λ là một tập mở của không gian địnhchuẩn, F : Λ × ¯D → X là toán tử phi tuyến Ta xét sự rẽ nhánh củaphương trình

F (λ, v) = T (v) − L(λ, v) − H(λ, v) − K(λ, v),

trong đó T : X → Y là toán tử tuyến tính liên tục, L(λ, ·) : X → Y

là toán tử tuyến tính liên tục với λ ∈ Λ cố định, H : Λ × ¯D → Y

của phương trình F (λ, v) = 0

là nghiệm rẽ nhánh của phương trình F (λ, v) = 0 là:

Tiếp theo, để chỉ ra sự tồn tại của nghiệm rẽ nhánh của phương trình

- Giả thiết 1: αL(¯λ, v) = L(α¯λ, v) ∀v ∈ ¯D, α ∈ [0, 1].

- Giả thiết 2: H và K là các toán tử liên tục Lipchitz trên Λ × ¯D, hơn

với mọi (λ, v), (λ0, v0) ∈ Λ × ¯D,

trong đó PY là phép chiếu từ không gian Banach Y lên không gian

- Giả thiết 3: Giả sử có một điểm x ∈¯ Rp và tồn tại một lân cận U∗

ánh xạ A : Rp → Rp, A = (A1, , Ap) được định nghĩa bởi

pXj=1

pXj=1

Ta chỉ ra rằng với  > 0 cho trước và giả thiết 1-3 thỏa mãn, (¯λ, 0)

là một nghiệm rẽ nhánh của phương trình (0.1) Hơn vậy, δ > 0 thì tồntại một lân cận I3 của 0 ∈ R sao cho với mỗi α ∈ I3, α 6= 0, có thểtìm được x(α) = x1(α), , xp(α)
∈ U∗ và một nghiệm không tầmthường λ(α), v(α)
của phương trình (0.1) với λ(α) =

¯λ

Chương 1

LÝ THUYẾT BẬC ÁNH XẠ

Mục đích của chương này là định nghĩa bậc của ánh xạ liên tục từ tập

¯

D (D mở giới nội) vào Rn và mô tả một số tính chất cơ bản của bậc ánh

xạ Trước hết ta nhắc lại các khái niệm cần dùng

Định nghĩa 1.1 Cho hàm f : (a, b) ⊂ R → R

a) Hàm f được gọi là khả vi hay có đạo hàm tại điểm c ∈ (a, b) nếu tồn tạigiới hạn

phân của hàm f (x) là df (x) Khi đó ta có

Định nghĩa 1.2 Cho hàm số f :

nQi=1

(ai, bi) ⊂ Rn → R và điểm c =

nQi=1

a) Hàm f được gọi là khả vi theo biến thứ i hay có đạo hàm riêng theo biến

lim

t→0

Giới hạn này được ký hiệu bởi ∂f

∂xi(c) và được gọi là đạo hàm riêng theo

biến thứ i của f tại c

b) Nếu hàm số f có đạo hàm riêng ∂f

ma trận Jacobian của f tại x và kí hiệu là Jf(x) hoặc f0(x)

b) f được gọi là khả vi trên D =

nQi=1

(ai, bi) ⊂ Rn nếu f khả vi tại mọi điểm

nPi=1



Định lý 1.5 (Định lý Sard (xem [1])) Giả sử f là hàm thuộc lớp C1 và

Jf(x) là Jacobian của f tại x ∈ D Khi đó, với mỗi tập E bất kì đo được của

D thì f(E) đo được và m(f (E)) ≤

Thật vậy, giả sử có x0 ∈ D, x0 ∈ φ−1(p), thì |Jφ(x0)| 6= 0 Theo định

lý hàm ẩn, tồn tại một lân cận U của x0 và một lân cận V của p sao cho

tập compact, nên φ−1(p)là hữu hạn Do đó, khái niệm này được định nghĩanhư sau

Trong trường hợp này, theo Định lý 1.5 ta có m(φ(Z)) = 0 Từ đây, suy ra

ta thấy giới hạn lim

Do đó, khái niệm này được định nghĩa bởi

Chứng minh Vì φ−1(p) ∩ Z = ∅, nên φ−1(p) là hữu hạn, hay phươngtrình φ(x) = p chỉ có k nghiệm (x1, , xk), và |Jφ(xj)| 6= 0 (i = 1, , k).

Theo định lý hàm ẩn, tồn tại lân cận Ui của xi và Ki của p (Ki =

i=1, ,ki sao cho

Z

∪ k i=1 U i



=

kXi=1Z

U i



tại mọi điểm trong Ui Trong trường hợp này, dấu của |Jφ| trên mỗi Ui làkhông đổi Do đó, có thể áp dụng định lý cổ điển về sự thay đổi biến trongmột tích phân đối với φ : Ui → Ki

 Ta cóZ

D

kXi=1

Đây có thể coi là một cách định nghĩa khác của deg(p, φ, D)trong trường

Tiếp theo, ta xét hàm véc tơ v : Rn → Rn thuộc lớp C1, v(x) =

nPi=1

∂xi thì hàm f : R

được gọi là hàm divergence của v và kí hiệu là div v, (f = div v)

Bổ đề 1.7 Cho hàm véc tơ v : Rn → Rn thuộc lớp C1, v = (v1, , vn),

Rn

f (x)dx = 0

Cho v như trên và φ ∈ C1(D,Rn), ta có

Bổ đề 1.8 Nếu K ∩ φ(∂D) = ∅, thì hàm g(x) = f (φ(x))|Jφ(x)| cũng làdivergence của một hàm u nào đó thuộc lớp C1 với supp u chứa trong D

Chứng minh Vì φ ∈ C1(D,Rn), nên Jφ(x) = (∂φ

i

∂xi) Giả sử a

i,j là định

thức con của |Jφ(x)| bỏ đi thành phần ∂φi

∂xj, khái niệm u được định nghĩa

bởi

j

nằm ngoài D) và có suppu nằm trong D Bây giờ, ta chứng minh divu = g

Bổ đề 1.9 Cho f là hàm liên tục xác định trên Rn với K = supp f ⊂ D

Giả sử x0 ∈ Rn và conv(K ∪ (K − x0)) ⊂ D, khi đó hàm f (x) − f (x + x0)

là divergence của ánh xạ v : Rn → Rn có supp v ⊂ D

Chứng minh Giả sử φ(x) = f (x) − f (x + x0), có supp φ ⊂ con v(K ∪

Φ(x) =

0Z

−∞

t=0

=

 0Z

=

 0Z

= φ(x)

Tức là div v = φ(x) = f (x) − f (x + x0) Như vậy, bổ đề đã được chứngminh

Cho x(s) là đường cong liên tục trong Rn, 0 ≤ s ≤ 1 khái niệm quan

hệ tương đương trên [0, 1] được định nghĩa như sau: s1, s2 ∈ [0, 1], s1 tươngđương với s2 nếu f (x + x(s1)) − f (x + x(s2)) là divergence của một ánh xạ

toàn qua một đường cong liên tục Điều này thể hiện rõ qua hệ quả sau

Hệ quả 1.10 Cho x(s) là đường cong liên tục trong Rn, 0 ≤ s ≤ 1, f :

Rn →R là hàm liên tục với K = suppf ⊂ D Giả sử

Khi đó f (x + x(0)) − f (x + x(1)) là divergence của ánh xạ v ∈ C1, v :

Chứng minh Lấy s, s0 ∈ [0, 1], định nghĩa x0 = x(s0) − x(s) và K1 =

của một hàm v ∈ C1 và supp v ⊂ D Mặt khác, y ∈ K1 = K + x(s) nênsuy ra y = x + x(s) (x ∈ K) Do đó

là divergence của hàm v ∈ C1 có supp v ⊂ D, tức là s ∼ s0

Cũng theo Bổ đề 1.9, ta kết luận rằng với mọi lớp tương đương là tập mở.Nhưng [0, 1] là tập liên thông, vì vậy chỉ có một lớp tương đương duy nhất,nghĩa là 0 ∼ 1, hay f (x + x(0)) − f (x + x(1)) là divergence của v ∈ C1 có

supp v ⊂ D

Trở lại định nghĩa deg(p, φ, D) ta có mệnh đề sau

Mệnh đề 1.11 Cho φ ∈ C1(D,Rn) Xét 2 điểm p, q ∈ Rn \ φ(∂D) và

thông của tập mở Rn\ φ(∂D), thì deg(p, φ, D) = deg(q, φ, D)

Chứng minh Vì φ−1(p) ∩ Z = ∅ và φ−1(q) ∩ Z = ∅, nên ta định nghĩa

hàm f : Rn → R sao cho K = supp f và R

Dop, qcùng nằm trên một thành phần liên thông nên tồn tạix : [0, 1] → Rn

sao cho: x(0) = 0, x(1) = q − p Khi đó, với hàm f như trên theo Bổ đề

1.9, ta cóf(x) − f(x + q − p)là một divergence của một hàm thuộc lớp C1

Vì thế, theo Bổ đề 1.8 ta suy ra f(φ(x))|Jφ(x)| − f(φ(x) + q − p)|Jφ(x)|

cũng là divergence của một hàm thuộc lớp C1 với support ⊂ D Từ đó

Z

¯ D

Z

¯ D

Từ (1.1) và (1.2) suy ra

deg(p, φ, D) =

Z

¯ D

=

Z

¯ D

= deg(q, φ, D)

Với các tính chất đã xét như ở trên, ta thấy với φ−1(qm) ∩ Z = ∅,lim

Thật vậy, do p ∈ Rn\ φ(∂D), Rn\ φ(∂D) là tập mở nên tồn tại một lâncận U của điểm p, U ⊂ Rn\ φ(∂D).Khi qm → p, với m ≥ N nào đó thì qm

cũng nằm trong U Do đó, với m ≥ N, có thể coi p, qm cùng nằm trong mộtthành phần liên thông Theo Mệnh đề 1.11, thì tồn tại lim deg(qm, φ, D)

Mặt khác, giới hạn này không phụ thuộc vào qm vì giả sử có qm và qm0 cùngthỏa mãn qm → p, qm0 → p khi m → ∞, qm 6∈ φ(Z), qm0 6∈ φ(Z) Tức là,tồn tại N1 sao cho với mọim ≥ N1 có qm, p cùng thuộc một thành phần liênthông; tồn tại N2 sao cho với mọi m ≥ N2 có qm0 , p cùng thuộc một thànhphần liên thông Nếu chọn N = max(N1, N2), thì với mọi m ≥ N có qm, p

cùng thuộc một thành phần liên thông Khi đó, theo mệnh đề trên ta có

Hệ quả 1.12 Cho φ ∈ C1(D,Rn), hai điểm p, q ∈ Rn\ φ(∂D) và φ−1(p) ∩

của tập mở Rn\ φ(∂D), thì deg(p, φ, D) = deg(q, φ, D)

Chứng minh Vì p, q cùng nằm trong một thành phần liên thông nên

một thành phần liên thông Khi đó theo Mệnh đề 1.11, ta có

Mệnh đề 1.13 Giả sử φ ∈ C1(D,Rn), khi đó với mỗi p ∈ φ(∂D) ∪ φ(Z)

tồn tại một lân cận U của φ sao cho với mỗi ψ ∈ U ta có p 6∈ ψ(∂(D)) và

deg(p, φ, D) = deg(q, ψ, D)

Chứng minh Giả sử yj, j = 1, , k là một phần tử của tập hữu hạn

rj đủ nhỏ thì họ {Bj} là rời nhau Bây giờ, ta phải chứng minh nếu tồn tạimột lân cận U trong C1 sao cho mỗi ψ trong U, thì phương trình ψ(x) = p

có nghiệm duy nhất trong mỗi Bj và không có nghiệm nào khác

Vì giả thiết p 6= φ(Z),nên phép lấy đạo hàm φ0 củaφ0 (ma trận Jacobian)

là nghịch đảo tại mỗi y1.Nếu giảm bán kính rj, thì φ0 là nghịch đảo tại mỗiđiểm của Bj Hơn nữa, ta có

F là compac và p 6= φ(F ) Tiếp theo, nếu α là số dương sao cho

thì ta có thể định nghĩa được lân cận của φ trong C1 để có nghiệm nhưmong muốn Chọn U là một hình cầu trong C1 sao cho với mọi ψ ∈ U tacó

trong đó φ ∈ C xác định bởi bất đẳng thức (1.4) Vì vậy, có thể chọn

Jacobian là một hằng số, U là một hình cầu liên thông, nên với mọi φ trong

U ta có

Tiếp theo, ta chứng minh rằng với bốn tính chất trên thì phương trình

Thật vậy, tính chất 1 cho ta thấy không có nghiệm nào ngoài ∪Bj ( vì

V Điều này nghĩa là mỗi x ∈ Rn sao cho x − ψ(y1) < 1

Trong tô pô C1 có tính chất ∃N > 0 sao cho ∀m > N : p 6∈ φm(∂(D))

Ở mục trên ta đã định nghĩa được deg(p, φm, D) Ta khẳng định giới hạn

lim

Thật vậy, xét φ ∈ C1(D,Rn), {φm} thuộc vào lân cận U chứa φ và

Định nghĩa 1.14 Giả sử φ ∈ C(D,Rn) và p ∈ Rn\ φ(∂D), ta định nghĩabậc của φ trên D đối với điểm p như sau:

Do đó, |Jφ(0, 0)| = −3 6= 0 Vậy deg(0, φ, D) = −1

Định lí sau tổng kết lại các tính chất cơ bản của deg(p, φ, D)

Định lý 1.16 Với mỗi ánh xạ liên tục φ : ¯D →Rn và với mỗi p 6∈ φ(∂D),

tồn tại số nguyên deg(p, φ, D) có những tính chất sau:

1 Tính liên tục Với φ ∈ C(D,Rn) ¯D → Rn và p 6∈ φ(∂D), tồn tại lâncận U của φ trong C(D,Rn) sao cho nếu ψ ∈ U thì p 6∈ ψ(∂D) và

4 Nếu p 6∈ φ( ¯D), thì deg(p, φ, D) = 0 Nếu p và q thuộc vào Rn\ φ(∂D),

cùng nằm trong một thành phần liên thông, thì

trong đó, ψ : ¯D1 × ¯D2 → Rn+m liên tục được xác định bởi ψ(x, y) =

Chứng minh

1 Chọn U = {f ∈ C1(D,Rn), kf − φk1 < } là lân cận của φ trong C1

nên với mọi ψ ∈ U ta có p 6∈ ψ(∂D) và deg(p, φ, D) = deg(q, ψ, D) Vì

tương đương như sau

φ bất kỳ, tồn tại một lân cận U chứa φ sao cho với mọi ψ ∈ U có

Suy ra t ∼ s Vậy [s] = [0, 1],

3 Đặt φt = tφ + (1 − t)ψ Do φ, ψ liên tục, nên φt liên tục và p 6∈ φ(∂D)

7 Lấy φmi ∈ C1(D,Rn) sao cho φmi → φi, i = 1, 2, m → ∞ Khi ấy

Sử dụng Định lí 1.16 ta chứng minh một số kết quả sau:

Định lý 1.17 (Định lí không co rút được) Nếu B ⊂ Rn là một hình cầu

mở, thì không tồn tại ánh xạ liên tục φ : ¯B → ∂B sao cho φ/∂B = id

Chứng minh Giả sử tồn tại φ : ¯B(0, r) → ∂B liên tục, 0 6∈ φ(∂B).

Mặt khác, deg(0, Φ1, B) = 1 vì |Jid(x)| = 1, nên deg(0, Φ0, B) = 1 =

Vậy không tồn tại φ : ¯B → ∂B sao cho φ/∂B = id Vậy định lí đượcchứng minh

Định lý 1.18 (Định lý điểm bất động Brouwer) Cho B là hình cầu trong

Chứng minh Giả sử tồn tại ánh xạ φ : ¯B → ¯B liên tục mà φ(x) 6=

thỏa mãn tính chất 2 của định lí 1.16 Từ đó suy ra deg(0, I − φ, B) = 1

Tức là tồn tại x ∈ B¯ sao cho (I − φ)(¯x) = 0, hay φ(¯x) = ¯x Định lí đượcchứng minh

Kết luận

Chương này giới thiệu định nghĩa bậc của ánh xạ liên lục đối với một tập

và một điểm cho trước Bậc này có bảy tính chất quan trọng được liệt kêtrong Định lý 1.16 và có nhiều ứng dụng trong việc chứng minh nhiều định

lý có điểm trong tô pô và giải tích như Định lý không co rút được và Định

lý điểm bất động của Brouwer

Chương 2

LÝ THUYẾT RẼ NHÁNH

Trong suốt chương này, X, Y luôn được coi là không gian Banach thựcvới đối ngẫu tương ứng là X∗vàY∗ Λ là một tập con mở của không gianđịnh chuẩn Chuẩn và tích vô hướng giữa các phần tử của X, X∗vàY, Y∗

được kí hiệu theo thứ tự là: k.k và <, > Chuẩn của không gian định chuẩnchứa Λ hạn chế trên Λ được kí hiệu là |.|Λ

Gọi D là tập mở chứa 0 trong X Xét toán tử phi tuyến F : Λ × ¯D → Y,với D¯ là bao đóng của D Nếu mỗi λ ∈ Λ, tồn tại v(λ) ∈ ¯D sao cho

trình

Bằng cách tịnh tiến, ta luôn có thể giả thiết v(λ) = 0 với mọi λ ∈ Λ

Tức là (λ, 0) là nghiệm tầm thường của phương trình (2.1) Một nghiệmtầm thường (¯λ, 0) được gọi là nghiệm rẽ nhánh của phương trình (2.1)nếu với mọi δ,  > 0 đều tồn tại một nghiệm không tầm thường (λ, v) ∈

rẽ nhánh nếu

Ta xét sự rẽ nhánh của phương trình (2.1) với F (λ, v) có dạng:

Trong đó:

T : X → Y là toán tử tuyến tính liên tục;

(iii) kx + yk ≤ kxk + kyk với mọi x, y ∈ X,

thì X được gọi là không gian định chuẩn thực (hoặc phức) Dãy {xn} trongkhông gian định chuẩn X được gọi là dãy Cauchy nếu lim

A(αx + βy) = αA(x) + βA(y), ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y, ∀α, β ∈ K

Toán tử liên hợp A∗ : Y∗ → X∗ của A là toán tử tuyến tính, được xácđịnh bởi công thức < A∗y, x >=< y, Ax > (x ∈ X, y ∈ Y∗) A : X → X

là một toán tử tuyến tính, số λ được gọi là một giá trị riêng của A nếu tồntại véc tơ x 6= 0 để Ax = λx và khi đó x được gọi là véc tơ riêng của toán

tử tuyến tính A

c) Xét các không gian con kerA = {x ∈ X/Ax = 0} và kerA∗ = {y ∈

rẽ nhánh

Ta xét rẽ nhánh phương. ..

và điểm cho trước Bậc có bảy tính chất quan trọng liệt k? ?trong Định lý 1.16 có nhiều ứng dụng việc chứng minh nhiều định

lý có điểm tơ pơ giải tích Định lý khơng co rút Định

lý. .. 2

LÝ THUYẾT RẼ NHÁNH

Trong suốt chương này, X, Y coi không gian Banach thựcvới đối ngẫu tương ứng X∗vàY∗ Λ tập mở không gianđịnh chuẩn Chuẩn tích vơ hướng