cơ sở groebner và một áp dụng cho phân tích nguyên sơ

Phân tích nguyên sơ của các iđêan trong K[x, y] theo cơ sở Groebner.. Một năm sau, năm 1965, Buchberger đã địnhnghĩa độc lập một khái niệm tương tự cho iđêan các đa thức mà ông gọi làcơ

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là hoàntoàn trung thực và không trùng lặp với đề tài khác Nguồn tài liệu sử dụngcho việc hoàn thành luận văn đã được sự đồng ý của cá nhân và tổ chức Cácthông tin, tài liệu trong luận văn này đã được ghi rõ nguồn gốc

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn tận tình của TS.Trần Nguyên An Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn và giải đáp cácthắc mắc cho tôi trong suốt quá trình làm luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc đến thầy

Tôi xin gửi tới các thầy cô Khoa Toán, Khoa Sau đại học Trường Đại họcSư phạm - Đại học Thái Nguyên cũng như các thầy cô đã tham gia giảng dạykhóa học 2011-2013, lời cảm ơn sâu sắc nhất về công lao dạy dỗ trong suốtquá trình giáo dục, đào tạo của nhà trường

Tôi xin cảm ơn Trường Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông

-Đại học Thái Nguyên, nơi tôi đang công tác, đã tạo điều kiện cho tôi hoànthành khóa học này

Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và người thân đã quan tâm, tạo điều kiện,

động viên, cổ vũ để tôi có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình

Thái Nguyên, tháng 9 năm 2013

Học viênNguyễn Thùy Trang

Mục lục

Trang

Lời cam đoan i

Lời cảm ơn ii

Mục lục iii

Mở đầu 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 2

1.1 Phân tích nguyên sơ 2

1.2 Chiều và độ cao 5

Chương 2 Cơ sở Groebner 7

2.1 Thứ tự từ 7

2.2 Cơ sở Groebner 9

2.3 Thuật toán Buchberger 20

Chương 3 Phân tích nguyên sơ của các iđêan trong K[x, y] theo cơ sở Groebner 27

3.1 Cơ sở Groebner của vành K[x, y] 27

3.2 Tính toán các thành phần nguyên sơ 33

Kết luận 43

Tài liệu tham khảo 44

Mở đầu

Năm 1964, Hironaka đã giới thiệu khái niệm cơ sở chuẩn tắc cho iđêancác chuỗi lũy thừa hình thức Một năm sau, năm 1965, Buchberger đã địnhnghĩa độc lập một khái niệm tương tự cho iđêan các đa thức mà ông gọi làcơ sở Groebner, tên người thầy hướng dẫn của Buchberger, hơn nữa ông còn

đưa ra một thuật toán tính cơ sở Groebner, là thuật toán Buchberger Cơ sởGroebner nhanh chóng trở thành trung tâm của Đại số máy tính (ComputerAlgebra) và là công cụ hữu hiệu trong rất nhiều bài toán của Đại số giaohoán và Hình học đại số

Trong luận văn này, chúng tôi trình bày về cơ sở Groebner và một ápdụng của cơ sở Groebner để phân tích nguyên sơ một iđêan trong vành đathức K[x, y], với K là một trường, theo bài báo "Ideal bases and primarydecomposition: case of two variables" của Lazard [3] Cũng cần phải nóithêm rằng, phân tích nguyên sơ của một iđêan là một bài toán quan trọngtrong Đại số giao hoán và Hình học Đại số, đặc biệt là phân tích nguyên sơcủa iđêan trong vành đa thức với hệ số trên một trường

Luận văn bao gồm ba chương Chương một trình bày một số kiến thứcchuẩn bị của luận văn như phân tích nguyên sơ của iđêan trên vành giaohoán, chiều của vành, độ cao của iđêan Chương hai trình bày chi tiết về cơ

sở Groebner và thuật toán Buchberger để tìm cơ sở Groebner theo thuật ngữcủa Robbiano [5] Chương ba trình bày một thuật toán của Lazard về một ápdụng của cơ sở Groebner trong việc tìm phân tích nguyên sơ của một iđêantrong vành đa thức hai biến K[x, y] với K là một trường

(i) Q là iđêan thật sự của A;

(ii) Với a, b bất kỳ thuộc A mà ab ∈ Q; a 6∈ Q, tồn tại n ∈ N sao cho

bn ∈ Q

1.1.2 Ví dụ (i) Mọi iđêan nguyên tố là iđêan nguyên sơ

(ii) Trong Z, iđêan 4Z là nguyên sơ nhưng không là iđêan nguyên tố.1.1.3 Bổ đề Cho Q là iđêan nguyên sơ của A Khi đó, P = √Q là iđêannguyên tố của A và ta nói rằng Q là P - nguyên sơ Hơn nữa, P là iđêannguyên tố nhỏ nhất của A chứa Q

1.1.4 Bổ đề Cho P là iđêan nguyên tố của A; Q1, Q2, , Qn (n ≥ 1) là cáciđêan P - nguyên sơ của A Khi đó, ∩n

i=1Qi cũng là P - nguyên sơ

1.1.5 Mệnh đề Cho Q là một iđêan của A sao cho √Q = m là một iđêantối đại của A Khi đó, Q là iđêan nguyên sơ hay iđêan m - nguyên sơ của A

1.1.6 Định nghĩa Cho I là iđêan thực sự của A Một phân tích nguyên sơcủa I là một biểu diễn của I như là giao của hữu hạn các iđêan nguyên sơcủa A Một phân tích nguyên sơ

I = Q1 ∩ Q2 ∩ ∩ Qn,với√Qi = Pi hay Qi là Pi - nguyên sơ, i = 1, 2, , n được gọi là phân tíchnguyên sơ tối tiểu của I nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:

(i) P1, P2, , Pn là n iđêan nguyên tố đôi một khác nhau của A,

(ii) ∀j = 1, , n ta có Qj +

n

∩

i=1 i6=j

1.1.10 Định lý (Định lý duy nhất thứ hai) Cho I là một iđêan phân tích

được của A, Ass(I) = {P1, , Pn} Giả sử

I = Q1 ∩ Q2 ∩ ∩ Qnvới √Qi = Pi; i = 1, 2, , n và

I = Q01 ∩ Q02 ∩ ∩ Q0nvới pQ0

i = Pi; i = 1, 2, , n0 là hai phân tích nguyên sơ tối tiểu của I Khi

đó, với mỗi i mà Pi là iđêan nguyên tố tối tiểu của I thì Qi = Q0i hay thànhphần nguyên sơ ứng với iđêan nguyên tố cô lập của I là xác định duy nhấtbởi I, không phụ thuộc vào cách chọn phân tích nguyên sơ tối tiểu

1.1.11 Định lý Mọi iđêan thực sự trong vành Noether đều có phân tíchnguyên sơ, do đó có phân tích nguyên sơ tối tiểu

1.1.12 Định lý (Định lý cơ sở Hilbert) Giả sử A là vành Noether Khi đó,vành đa thức A[x1, , xn] cũng là vành Noether

1.1.13 Ví dụ Giả sử K là một trường và A = K[x, y] là vành đa thức củacác biến x, y Ta có:

2 = hx, yi2

∩ hyi = 2 ∩ hyi

2 Lại có, qhx, yi2 =phx, y2i = hx, yi nên Ass(I) = {hyi , hx, yi}, trong đó hyi là iđêan nguyên

tố cô lập (tối tiểu) của I và hx, yi là iđêan nguyên tố nhúng của I

Mệnh đề sau đưa ra mối liên hệ giữa iđêan nguyên sơ với địa phương hóa.Chú ý, với S = A \ P là tập đóng nhân của A, I là iđêan của A, ta ký hiệu

1.2 Chiều và độ cao

1.2.1 Định nghĩa (Chiều Krull) Một dãy giảm thực sự các iđêan nguyên tố

P0 ⊃ P1 ⊃ P2 ⊃ ⊃ Pn của vành A được gọi là một xích nguyên tố có độdài là n Cận trên của độ dài tất cả các xích nguyên tố trong A được gọi làchiều Krull của A, hay chiều của vành A Kí hiệu là dim A

1.2.2 Định nghĩa Giả sử P là một iđêan nguyên tố của A Chiều của iđêan

P là chiều của vành A/P , ký hiệu dim P Giả sử I là một iđêan bất kỳcủa A thì dim I = sup {dimP | P ∈ V (I)} , trong đó V (I) là tập các iđêannguyên tố của A chứa I

1.2.3 Định nghĩa Giả sử P là một iđêan nguyên tố của A Chiều dài lớn nhấtcủa mọi dãy giảm thực sự các iđêan nguyên tố P = P0 ⊃ P1 ⊃ P2 ⊃ ⊃ Prxuất phát từ P , được gọi là độ cao của P , kí hiệu là ht P Giả sử I là mộtiđêan của A Độ cao của iđêan I, kí hiệu ht I, được cho bởi công thức

ht I = inf {ht P | P ∈ V (I)}

Mệnh đề sau nhắc lại một số tính chất của chiều và độ cao

1.2.4 Mệnh đề (i) Giả sử K là một trường Khi đó, dim K[x1, , xn] = n

và nếu m là iđêan tối đại của K[x1, , xn] thì ht m = n

(ii) Nếu (A, m) là một vành địa phương thì dim A = ht m

(iii) Cho P là một iđêan nguyên tố của vành A, khi đó dim AP = ht P AP =

ht P

(iv) Trong miền phân tích duy nhất D, mọi iđêan nguyên tố có độ cao 1

là iđêan chính

1.2.5 Định lý (Định lý iđêan chính của Krull) Giả sử A là một vành Noether,

I là iđêan thực sự của A sinh bởi n phần tử Khi đó ht(I) ≤ n

1.2.6 Định nghĩa Cho Q ⊂ P là các iđêan nguyên tố của A Một dãy cáciđêan nguyên tố Q = P0 ⊂ P1 ⊂ Pn = P sao cho Pi 6= Pi+1, ∀i, đượcgọi là một dãy nguyên tố bão hoà giữa Q và P nếu với mọi i, không tồn tạimột iđêan nguyên tố chèn giữa Pi và Pi+1

Ta nói rằng vành A là catenary nếu với mọi iđêan nguyên tố Q ⊂ P của

A luôn tồn tại một dãy nguyên tố bão hoà giữa Q và P và mọi dãy nguyên

tố bão hoà giữa Q và P đều có chung độ dài

Nếu A là một vành catenary và P ∈ Spec(A) thì ta có dim A = dim A/P +

ht P Ví dụ, vành K[x1, , xn] là một vành catenary Đặc biệt, K[x, y] làvành catenary nên nếu P ∈ Spec(K[x, y]) là iđêan nguyên tố chiều 1 thì

ht P = 1 Do đó, theo Mệnh đề 1.2.4(iv) thì P là iđêan chính Từ đó, tachứng minh được kết quả sau

1.2.7 Mệnh đề Giả sử 0 6= I = hf0, , fki 6= K[x, y], với f0, , fk ∈K[x, y], K là một trường Khi đó, UCLN {fi} = 1 nếu và chỉ nếu dim I =0

Chứng minh (⇒) Vì I 6= 0 nên dim I = 1 hoặc dim I = 0 Nếu dim I = 1thì tồn tại iđêan nguyên tố P sao cho I ⊆ P và dim P = 1 Vì K[x, y] làmiền phân tích duy nhất nên P là iđêan chính Do đó P = hqi, q ∈ K[x, y]

Do đó q|fi với mọi i = 0, , k Điều này vô lý với giả thiết UCLN {fi} = 1.Vì vậy dim I = 0

(⇐) Giả sử UCLN {fi} 6= 1 Khi đó tồn tại đa thức bất khả quy d ∈K[x, y] thỏa mãn d|fi với mọi i = 0, , k Điều này kéo theo I ⊆ hdi Vì

d bất khả quy nên hdi là iđêan nguyên tố Mặt khác dim I = 0 nên hdi làiđêan tối đại Do đó ht hdi = 2 Vô lý với Định lý iđêan chính của Krull Do

đó UCLN {fi} = 1

Giả sử I là iđêan chiều 0 của A Nhận xét rằng, chỉ có iđêan tối đại làiđêan nguyên tố chứa I Do đó, nếu A là vành Noether thì I chỉ có iđêannguyên tố liên kết là các iđêan tối đại và không có iđêan nguyên tố nhúng.Hay nói cách khác, I biểu diễn duy nhất thành giao của các iđêan nguyênsơ Đặc biệt, một iđêan của vành K[x, y] có phân tích nguyên sơ duy nhấtnếu các đa thức trong tập sinh của nó nguyên tố cùng nhau

Chương 2

Cơ sở Groebner

Trong chương này, ta nghiên cứu cơ sở Groebner giới hạn trong vành đa thức

A = K[x1, x2, , xn] = K[x], trong đó K là một trường Các iđêan trong A

có thể được biểu diễn bởi một tập sinh gồm hữu hạn các đa thức, gọi là cơ

sở Ta có thể chỉ ra rằng, với bất kỳ một tập sinh hữu hạn nào của một iđêan

I trong A đều có thể dùng thuật toán để biến đổi thành một cơ sở Groebnercủa I

2.1 Thứ tự từ

2.1.1 Định nghĩa Giả sử ≤ là một thứ tự toàn phần trên tập T tất cả các đơnthức của K[x] Thứ tự ≤ được gọi là thứ tự từ nếu nó thỏa mãn các tính chấtsau:

(i) Với mọi m ∈ T, 1 ≤ m,

(ii) Nếu m1, m2, m ∈ T mà m1 ≤ m2 thì mm1 ≤ mm2

2.1.2 Bổ đề Một thứ tự toàn phần ≤ trên T là thứ tự tốt khi và chỉ khi mọidãy đơn thức thực sự giảm:

m1 > m2 > m3 >

đều dừng (sau hữu hạn phần tử)

Chứng minh Nếu ≤ không là thứ tự tốt thì tồn tại tập con B ⊆ T sao cho Bkhông có phần tử nhỏ nhất Lấy m1 là phần tử tùy ý thuộc B Vì B không có

phần tử nhỏ nhất nên tồn tại m2 < m1 trong B Tiếp tục như vậy, sau khi tìm

được n đơn thức m1 > m2 > > mn trong B, ta lại tìm được mn+1 ∈ Bsao cho mn > mn+1 Bằng quy nạp, ta xây dựng được một dãy vô hạn các

đơn thức thực sự giảm Ngược lại, nếu có một dãy vô hạn các đơn thức thực

sự giảm thì dãy đó không có phần tử nhỏ nhất Vậy thứ tự đã cho không phải

hm1, , mni Vì ≤ là thứ tự toàn phần nên có thể giả thiết m1 ≤ mi,với mọi i ≤ n Ta chứng tỏ m1 là phần tử nhỏ nhất của B Cho m ∈ Btùy ý Vì I = hm1, , mni nên ta tìm được i ≤ n sao cho m = m0mi,với m0 là đơn thức nào đó Vì 1 ≤ m0 nên theo Định nghĩa 2.1.1(ii) thì

x1 > x2 > > xn

2.1.4 Định nghĩa Thứ tự từ điển là thứ tự ≤lex xác định như sau:

0 ≤ i < n sao cho α1 = β1, , αi = βi nhưng αi+1 < βi+1

2.1.5 Định nghĩa Thứ tự từ điển phân bậc là thứ tự ≤glex xác định như sau:

1 xαn

n ) = deg(xβ1

1 xβn

n ) và thành phần đầu tiên khác 0 kể từ bêntrái của véctơ (α1−β1, , αn−βn)là một số âm Nói cách khác, xα 1

1 xαn

n ) = deg(xβ1

1 xβn

n ) và thành phần đầu tiên khác 0 kể từ bênphải của véctơ (α1 − β1, , αn − βn) là một số dương Nói cách khác,

(ii) lt(f) ∈ T kí hiệu đơn thức khởi đầu của f, là đơn thức lớn nhất của

f theo quan hệ thứ tự <T

(iii) lc(f) ∈ K kí hiệu hệ số khởi đầu của f, tức là hệ số của lt(f).(iv) lm(f) = lc(f).lt(f) là từ khởi đầu của f theo quan hệ <T

(v) coef(f, T ) ∈ K kí hiệu hệ số của đơn thức T trong f

(vi) lt(I) ký hiệu iđêan khởi đầu của I theo quan hệ thứ tự <T, là iđêansinh bởi {lt (f) |f ∈ I\ {0}}

(vii) deg(f) kí hiệu bậc của f, là dãy các số tự nhiên (a1, a2, , an), trong

đó lt (f) = xa 1

1 xan

n Với g ∈ A, ta nói deg(g) > deg(f) nếu lt(g) >T lt(f ).2.2.2 Định nghĩa Cho F = {f1, f2, , ft} ⊆ A\ {0} và I = hf1, f2, , fti

F được gọi là một cơ sở Groebner của I nếu hlt(f1), lt(f2), , lt(ft)i = lt(I)

Bổ đề dưới đây sẽ chỉ ra rằng luôn tồn tại cơ sở Groebner của một iđêan

Đặt Hi = hlt(f1), lt(f2), , lt(fr+i)i với i = 1, 2, Khi đó ta được dãytăng các iđêan của A,

H0 ⊆ H1 ⊆ ⊆ Hi ⊆

không dừng, mâu thuẫn với A là vành Noether

Để xem tập F có là cơ sở Groebner của iđêan I = hF i không, ta cầnxét quan hệ thứ tự toàn phần của các đơn thức trong vành Trong các ví dụsau, ta giả thiết các đơn thức của A được sắp xếp theo quan hệ thứ tự từ điển(x < y) :

1 < x < x2 < < y < xy < x2y < < y2 < xy2 <

2.2.4 Ví dụ Cho F = {x, y} ⊆ A = K[x, y] và cho I = hx, yi Vìlt(I) = hx, yi nên F là cơ sở Groebner của I

Trong ví dụ tới, chúng ta sẽ xét một tập sinh khác của I

2.2.5 Ví dụ Cho H = {y + x, y} ⊆ A = K[x, y] Ta có I = hy + x, yi.lt(H) = lt(y + x) = lt(y) = y và do x ∈ I nên x = lt(x) ∈ lt(I) nhưng

x 6∈ lt(H) Do đó H không phải là cơ sở Groebner của I

Trong ví dụ trên nếu các đơn thức của A được cho bởi thứ tự:

Cho một tập sinh tùy ý các đa thức khác không F = {f1, f2, , ft} của

I, khi đó lt(F ) = hlt(f1), lt(f2), , lt(ft)i ⊆ lt(I) Ta sẽ tìm cách biến

đổi F để được cơ sở Groebner bằng việc thêm vào F một số các đa thức{ft+1, , fs}nào đó thuộc I để đảm bảo rằng lt(I) ⊆ hlt(f1), lt(f2), , lt(fs)i

Để làm được điều này, trước hết ta đưa ra định nghĩa sau

2.2.6 Định nghĩa Cho f, g ∈ K[x1, x2, , xn] và F = {f1, f2, , ft} Tanói f được gọi là dẫn về g theo F , hoặc g là viết lại của f, kí hiệu fRFgnếu tồn tại fi ∈ F và T ∈ T sao cho g = f − c i

lc(f i ).T.fi, trong đó ci =coef (f, T.lt(fi))

Lưu ý rằng khi fRFg, với g 6= f, thì tồn tại fi ∈ F sao cho lt(fi) chiahết một đơn thức nào đó của f và ta chọn T sao cho T.lt(fi) khử từ đócủa f để được g Nhìn chung lt (g) ≤Tlt (f ), tuy nhiên trường hợp đặc biệt

lt (g) <Tlt (f ) khi từ khởi đầu của f là bội của lt(fi) với fi ∈ F và T cố

định sao cho lt(f) = T.lt(fi)

2.2.7 Định nghĩa Cho f, g ∈ K[x1, x2, , xn] Ta viết f→ gF nếu tồn tại{g0, g1, , gr} ⊂ K[x, y] sao cho g0 = f RFg1, g1RFg2, , gr−1RFgr = g.Nhận xét rằng f = h0

F

→ h1→ F → hF r→ F luôn dừng Mặt khác, khicho bất kỳ một đa thức f ∈ A, luôn tồn tại h ∈ A sao cho f → hF mà khôngtồn tại h0 6= h thỏa mãn h→ hF 0 Ta quan tâm tới trường hợp h = 0

2.2.8 Mệnh đề Nếu f→ 0F , thì tồn tại pj ∈ F, Tj ∈ T và cj ∈ K với

Chứng minh Để thấy điều này, ta lưu ý rằng f → 0F dẫn đến

f = h0→ hF 1→ F → hF m = 0,trong đó

hj = hj−1 − cj

lc (pj).Tj.pj, (∗)với Tj ∈ T, pj ∈ F, cj = coef (hj−1, Tj.lt(pj)) và hm−1 6= 0 Khi đó Tj và pj

có thể được chọn sao cho sau mỗi bước rút gọn bậc của hj đều giảm Điều

đó có nghĩa là với mọi j = 1, 2, , m, tồn tại Tj ∈ T và pj ∈ F sao cho

Tj.lt(pj) = lt(hj−1) >T lt(hj) = Tj+1.lt(pj+1) Thật vậy, nếu trái lại thì tồntại r < m sao cho với mọi T ∈ T và p ∈ F ; lt(hr) 6= T.lt(p) ta có:

lt(hr) = lt(hr+1) = = lt(hm)

Điều này mâu thuẫn với hm = 0 Thế ngược trở lại các phương trình ở (∗)

ta có điều phải chứng minh

Trong các ví dụ sau đây, các đơn thức của A được sắp xếp theo quan hệthứ tự từ điển (x < y)

2.2.9 Ví dụ Cho F = {f1, f2}trong đó f1 = xvà f2 = y Cho f = xy2+x2.Khi đó f→ xF 2 vì x2 = f − xy.f2 và x2 F→ 0vì 0 = x2− x.f1 Khi đó: f → 0F 2.2.10 Ví dụ Cho H = {h1, h2} trong đó h1 = y + x và h2 = y Cho

f = x.y2 + x2 Khi đó: f → xH 2 vì x2 = f − xy.h2, nhưng x2 H

9 0 vì x2không là bội của lt(h1) hay lt(h2)

Như vậy một tập sinh F là cơ sở Groebner của I khi và chỉ khi mọi đathức trong I đều có thể dẫn về 0 theo F Chúng ta khẳng định điều này trong

định lý sau

2.2.11 Định lý Cho F = {f1, f2, , ft} ⊆ A\ {0} = K[x1, x2, , xn]\ {0},trong đó K là một trường Giả sử I = hf1, f2, , fti Khi đó các mệnh đềsau tương đương:

(i) F là cơ sở Groebner của I;

(ii) Nếu f ∈ I\ {0} thì tồn tại g1, g2, , gt ∈ A sao cho f = Pt

j=1

gjfj,trong đó với mọi j, lt(f) ≥T lt(gj).lt(fj) Điều này kéo theo tồn tại i ≤ tsao cho lt(f) = lt(gi).lt(fi);

(iii) f ∈ I khi và chỉ khi f → 0F

Chứng minh Trước hết ta chứng minh sự kéo theo trong (ii) Giả sử f ∈I\ {0} sao cho tồn tại g1, g2, , gt ∈ A để f = Pt

j=1

gjfj trong đó với mọi j,

lt(f ) ≥T lt(gj).lt(fj) Khi đó,

lt(f ) ≥T lt(gj).lt(fj)

Vì vậy

lt(f ) ≥T max {lt (gj) lt (fj)} Tuy nhiên, ta luôn có

lt(f ) ≤T max {lt (gj) lt (fj)} Suy ra tồn tại i ≤ t sao cho

lt(f ) = lt(gi).lt(fi) = max {lt (gj) lt (fj)}

(i ⇒ ii) Giả sử (ii) không đúng Khi đó tồn tại f ∈ I\ {0} nhỏ nhất saocho (ii) không đúng Theo giả thiết lt(f) ∈ hlt (f1) , lt (f2) , , lt (ft)i Vìvậy tồn tại ci ∈ K và Ti ∈ T sao cho

trong đó lt(f) ≥T lt(gj).lt(fj) với mọi j, mâu thuẫn với giả thiết

(ii ⇒ i) Cho h ∈ lt(I)\ {0}, khi đó

trong đó hi ∈ I\ {0}và pi ∈ A Cố định i ≤ l, khi đó tồn tại g1, g2, , gt ∈ A,sao cho

(ii ⇒ iii) Cho f ∈ I\ {0} Khi đó f có biểu diễn f = Pt

j=1

gjfj, trong đólt(f ) ≥T lt(gj).lt(fj) với mọi j Cho

max {lt (gj) lt (fj)} = T1.lt(fs1)

trong đó T1 ∈ T Khi đó theo giả thiết (ii), lt(f) = T1.lt(fs1), và tồn tại

ci ∈ K sao cho

h1 = f − c1.T1.fs1,

h1 là viết lại của f với h1 ∈ I và lt(h1) <T lt(f ) Vì vậy f → hF 1 và nếu

h1 6= 0, khi đó giả thiết (ii) đúng với h1 Điều này kéo theo tồn tại s2 ≤ t

Nếu f→ 0F thì f ∈ I vì theo Chú ý 2.2.8 chỉ ra rằng f là tổ hợp tuyếntính của các phần tử của F

(iii ⇒ ii)Giả sử f ∈ I\ {0} Khi đó ta có f → 0F và theo Chú ý 2.2.8 tồntại pj ∈ F ; Tj ∈ T và cj ∈ K sao cho

Phần (ii) của định lý trên đóng vai trò liên kết phần (i) và (iii), cũng làmột phương pháp để chứng minh một sự biểu diễn khác của cơ sở Groebner,

sẽ được giới thiệu sau đây

Tiếp theo ta cần cố định một phân bậc trên A và trên At, với t là một số

tự nhiên Ta có A là Zn - phân bậc tự nhiên với phân bâc như sau:

A(a1,a2, ,an) = {cxa1

1 xan

n |c ∈ K} Lưu ý rằng A - môđun tự do At, có cấu trúc Zn - phân bậc như sau:

At(a

1 ,a 2 , ,a n ) = {(c1T1, , ctTt)|∀i, deg(Ti) + deg(fi) = (a1, , an)} ,trong đó F = {f1, f2, , ft} ⊆ Asắp xếp cố định Ta nói R = (r1, r2, , rt) ∈

At là phần tử thuần nhất có bậc (a1, a2, , an) nếu với mọi i ≤ t, ri = ciTi

là đơn thức với ci ∈ K và Ti ∈ T, và với mọi i, deg(Tifi) = (a1, a2, , an)

cố định Nếu R ∈ At không thuần nhất, ta tập trung chú ý vào phần tử rifivới rifi có bậc lớn nhất

2.2.12 Định nghĩa Cho F = {f1, f2, , ft} ⊆ A\ {0}và R = (r1, r2, , rt) ∈

At Bậc (bội) của R, kí hiệu deg(R), là bậc của rmfm, trong đó lt(rmfm) =max {lt (rifi) |i = 1, , t}

Mặc dù, deg(R), R ∈ At và deg(f), f ∈ A là hai phần tử đều thuộc

Zn nhưng ta cần phân biệt deg(R) được định nghĩa ở trên với deg(f) được

Định nghĩa trong 2.2.1(vii) Để thiết lập một sự tương đương khác của cơ

sở Groebner, ta cần xây dựng định sau nghĩa sau

2.2.13 Định nghĩa Cho F = {f1, f2, , ft} ⊆ A với thứ tự cố định, và

ri = 0 nếu deg(rifi) < deg(R), ri = lm(ri)nếu deg(rifi) = deg(R).Theo định nghĩa trên thì λ và à là hai đồng cấu A- môđun

2.2.14 Mệnh đề (i) Với mọi R ∈ At, theo định nghĩa của M+, ta có: M+(R)

là phần tử thuần nhất có bậc bằng bậc của R

(ii) Nếu R là thuần nhất trong At thì M+(R) = R

Nếu R không thuần nhất, chúng ta xét H ∈ At sao cho M+(R) = H

(i) deg (λ (R)) ≤ deg (R)

(ii) Nếu R ∈ ker (λ) thì mở rộng của R là một phần tử của ker (à)

(iii) Nếu R 6∈ ker(λ) thì deg(λ(R)) < deg(R) khi và chỉ khi mở rộngcủa R là một phần tử của ker(à)

Chứng minh (i) Hiển nhiên theo định nghĩa của λ và bậc (bội)

(ii) Ta cần chứng minh rằng M+(R) ∈ ker(à) với mọi R ∈ ker(λ) Cố

điều này kéo theo trong tổng đó, các số hạng tối đại ri.lm(fi), trong đó

(i) F là cơ sở Groebner của I;

(ii) Mọi phần tử thuần nhất của ker(à) đều là mở rộng của một phần tửthuộc ker(λ)

Chứng minh (i ⇒ ii) Cho H = (h1, h2, , ht) ∈ At là phần tử thuần nhấtkhác 0 của ker(à) Theo Chú ý 2.2.14, M+(H) = H, khi đó nếu H ∈ ker(λ)thì ta có điều phải chứng minh Nếu 0 6= λ(H) = Pt

i=1

hi.fi ∈ I và F là cơ sởGroebner của I, Định lý 2.2.11(ii) chỉ ra

deg(H) > deg(λ(H)) = deg(G)

(ii ⇒ i) Cho f ∈ I\ {0}, khi đó f = Pt

i=1

gi.fi với gi ∈ A Cho G =(g1, g2, , gt) Khi đó λ(G) = f và theo Bổ đề 2.2.3 ta có deg(f) ≤ deg(G).Nếu deg(f) = deg(G) thì ta có kết luận của Định lý 2.2.11(ii) là đúng.Giả sử deg(f) < deg(G) Khi đó vì f 6= 0 và G 6∈ ker(λ), theo Bổ đề2.2.3(iii) ta được M+(G) ∈ ker(à) Theo giả thiết vì M+(G) là thuần nhấtnên tồn tại K ∈ ker(λ) sao cho M+(K) = M+(G) Cho

G1 = G − K = (g11, g12, , g1t) ∈ At.Khi đó deg(G1) < deg(G) theo định nghĩa của M+ và khi đó M+(K) =

M+(G) Hơn nữa, f = λ(G1) vì K ∈ ker(λ) và λ là đồng cấu Cứ tiếptục quá trình trên, nếu cần thiết, ta được Gr ∈ At sao cho λ(Gr) = f vàdeg(Gr) = deg(F ) Khi đó theo Định lý 2.2.11(ii) thì F là cơ sở Groebnercủa I

Định lý 2.2.11 và 2.2.17 thiết lập được ba điều kiện tương đương với Địnhnghĩa 2.2.1 của cơ sở Groebner Sau đây ta sẽ tìm hiểu thuật toán tìm cơ sởGroebner.

2.3 Thuật toán Buchberger

Trước khi giới thiệu thuật toán tính cơ sở Groebner, ta giới thiệu một số kýhiệu sau

2.3.1 Định nghĩa Cho F = {f1, f2, , fr} ⊆ A = K[x1, x2, , xn] trong

đó K là một trường Cho (e1, e2, , er) là cơ sở chính tắc của Ar

(i) B = {(i, j) : 1 ≤ i < j ≤ r};

(ii) L(i, j) = BCNN(lt(fi), lt(fj)) với (i, j) ∈ B;

(iii) s(i, j) = L(i,j)

lm(f i )ei− lm(fL(i,j)

j )ej.Lưu ý rằng s(i, j) là một phần tử thuộc Ar và bằng 0 tại mọi vị trí trừ vịtrí thứ i và j, và vì vậy λ(s(i, j)) là tổ hợp tuyến tính của fi và fj

2.3.2 Định nghĩa Cho F = {f1, f2, , fr} ⊆ A

S(i, j) = λ(s(i, j)) = L (i, j)

lm (fi)fi − L (i, j)

lm (fj)fj

được gọi là S - đa thức của fi và fj

Ví dụ sau minh họa cho chức năng của S - đa thức trong việc xây dựngcơ sở Groebner Giả sử các đơn thức của A được sắp xếp theo thứ tự từ điển.2.3.3 Ví dụ Cho F = {f1, f2} trong đó f1 = x2y + 2x và f2 = y2 + 3x3.Khi đó, S - đa thức của f1 và f2 là

S(1, 2) = 2xy − 3x5

Ta thấy F trong Ví dụ 2.3.3 ở trên không là cơ sở Groebner của I =

hf1, f2i vì lt(S(1, 2)) ∈ lt(I), nhưng lt(S(1, 2)) = xy 6∈ hlt(f1), lt(f2)i Đểxây dựng cơ sở Groebner từ F , ta cần thêm vào F một đa thức, f3, từ I, saocho lt(S(1, 2)) ∈ hlt(f1), lt(f2), lt(f3)i