tính chính quy của nghiệm yếu của hệ phương trình navier-stokes

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMVŨ THỊ THÙY DƯƠNG TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM YẾU CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER - STOKES LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, 2014... ĐẠI HỌC THÁI

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

VŨ THỊ THÙY DƯƠNG

TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM YẾU CỦA

HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER - STOKES

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN, 2014

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

VŨ THỊ THÙY DƯƠNG

TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM YẾU CỦA HỆ

PHƯƠNG TRÌNH NAVIER - STOKES

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS TSKH NGUYỄN MINH TRÍ

Thái Nguyên - Năm 2014

Lời cam đoan

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi Các kết quả nêutrong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳcông trình nào khác

Thái Nguyên, tháng 6 năm 2014

Tác giả

Vũ Thị Thùy Dương

Một số ký hiệu

• C( ¯U ) = {u ∈ C(U ) | uliên tục đều}

• Ck(U ) = {u : U → R | ulà liên tục khả vi k lần}

• Ck( ¯U ) = {u ∈ Ck(U ) | Dαulà liên tục đều với mọi |α| ≤ k}

Do đó: nếu u ∈ Ck( ¯U )thì Dαuthác triển liên tục tới U¯với mọi đa chỉ

Mục lục

1.1 Không gian Holder 3

1.2 Không gian Sobolev 4

1.2.1 Đạo hàm yếu 4

1.2.2 Không gian Sobolev 4

1.2.3 Không gian H−1 5

1.2.4 Không gian phụ thuộc thời gian 6

1.3 Một số bất đẳng thức cơ bản 8

1.3.1 Bất đẳng thức Cauchy với ε 8

1.3.2 Bất đẳng thức Holder 8

1.3.3 Bất đẳng thức nội suy đối với chuẩn Lp 8

1.3.4 Bất đẳng thức Gronwall 8

1.3.5 Bất đẳng thức Sobolev 9

1.3.6 Bất đẳng thức Hardy - Littlewood 9

2 Nghiệm yếu của hệ phương trình Navier-Stokes 10 2.1 Phương trình Stokes 10

2.1.1 Định nghĩa 10

2.1.2 Tính chất 11

2.2 Toán tử Stokes 11

2.2.1 Định nghĩa 11

2.2.2 Tính chất 11

2.3 Nghiệm yếu của hệ phương trình Navier-Stokes 13

2.3.1 Định nghĩa 13

2.3.2 Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu của hệ Navier - Stokes 14

3 Tính chính quy của nghiệm yếu của hệ phương trình Navier - Stokes 17 3.1 Nghiệm yếu chính quy 17

3.2 Điều kiện chính quy của nghiệm yếu thông qua tiêu chuẩn năng lượng 19

Kết luận 29

Mở đầu

Hệ phương trình Navier-Stokes lần đầu tiên được nghiên cứu vào năm

1822, cho đến nay đã có rất nhiều công trình nghiên cứu viết về phươngtrình này tuy nhiên những hiểu biết của ta về phương trình này còn quákhiêm tốn Muốn hiểu được hiện tượng sóng dập sau đuôi con tàu chạytrên mặt nước hay hiện tượng hỗn loạn của không khí sau đuôi máy baykhi bay trên bầu trời, chúng ta đều phải tìm cách giải hệ phương trìnhNavier-Stokes Do nhu cầu của Khoa học và Công nghệ mà việc nghiêncứu hệ phương trình Navier-Stokes ngày càng trở nên thời sự và cấp thiết

Hệ phương trình Navier-Stokes mô tả sự chuyển động của chất lỏngtrong Rn (n = 2 hoặc n = 3) Ta giả thiết rằng chất lỏng không nénđược lấp đầy Rn Ta tìm một hàm vector vận tốc u(t, x) = (ui(t, x)), i =

1, 2, , n và hàm áp suất p(t, x), xác định tại vị trí x ∈ Rn và thời gian

t > 0, thỏa mãn hệ phương trình Navier-Stokes như sau:

Ở đây, hàm vector u0(x) là hàm khả vi vô hạn với div u0 = 0, fi(t, x)

là những hàm đã biết biểu thị các lực tác động bên ngoài, ν là một hệ sốdương

Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận và tài liệu tham khảo

Cụ thể như sau:

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị.

Chương 2: Nghiệm yếu của hệ phương trình Navier-Stokes

Trong chương này trình bày khái niệm phương trình Stokes, toán tửStokes, hệ phương trình Navier - Stokes, sự tồn tại và duy nhất của nghiệmyếu của hệ phương trình Navier - Stokes

Chương 3: Tính chính quy của nghiệm yếu của hệ phương trình Stokes

Navier-Chương này trình bày kết quả chính về tính chính quy của nghiệm yếucủa hệ phương trình Navier - Stokes Một nghiệm yếu u của hệ phươngtrình Navier - Stokes gọi là chính quy nếu động năng hoặc năng lượngphân tán là liên tục Holder trái, như một hàm của t với số mũ Holder 1

2

và nửa chuẩn Holder đủ nhỏ, theo [3]

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc tới thầyPGS TSKH Nguyễn Minh Trí, người đã tận tình hướng dẫn, tạo mọi điềukiện giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này Tôi xin chân thành cảm ơn Banchủ nhiệm Khoa Sau đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán – Trường Đạihọc Sư phạm – Đại học Thái Nguyên cùng các thầy, cô giáo đã giảng dạykhoá học, xin chân thành cảm ơn ThS Đào Quang Khải - Phòng Phươngtrình vi phân đã quan tâm, động viên và giúp đỡ tôi trong suốt thời gianhọc tập và làm luận văn này

Định nghĩa 1.1.1 (i) Hàm số u : U → R được gọi là liên tục Holder

bậc γ nếu tồn tại hằng số C > 0 sao cho

|u(x) − u(y)| ≤ C|x − y|γ, x, y ∈ U

Khi γ = 1, hàm số u được gọi là liên tục Lipschitz

(ii) Nếu u : U → R là bị chặn và liên tục, ta định nghĩa:

Định nghĩa 1.1.2 Không gian Holder Ck,γ( ¯U ) gồm tất cả các hàm số

đúng với mọi hàm thử φ ∈ Cc∞(U ) Ký hiệu Dαu = v

Bổ đề 1.2.1 (Tính duy nhất của đạo hàm yếu) Một đạo hàm yếu cấp α

của u nếu tồn tại thì được xác định một cách duy nhất (sai khác trên tập

có độ đo không)

Định nghĩa 1.2.2 Cố định 1 ≤ p ≤ ∞ và cho k là số nguyên không

âm Không gian Sobolev Wpk(U ) là tập tất cả các hàm khả tổng địa phương

tại và thuộc Lp(U )

Chú ý: Nếu p = 2 ta có Hk(U ) = W2k(U ) (k = 0, 1, 2, ) là khônggian Hilbert Chú ý rằng H0(U ) = L2(U )

Định nghĩa 1.2.3 Nếu u ∈ Wpk(U ), ta định nghĩa chuẩn của nó là

Hk(U ) như là tập các hàm u ∈ Hk(U ) sao cho

Dαu = 0 trên ∂U với mọi |α| ≤ k − 1

Ta ký hiệu |u| = kukL2 (Ω) Chuẩn Dirichlet

(i) Giả thiết f ∈ H−1(U ) Khi đó tồn tại các hàm f0, f1, , fn trong

(ii) Hơn nữa,

kf kH−1 (U ) = inf{

R

f thỏa mãn (i), f0, , fn ∈ L2(U )}

Cho X là không gian Banach thực với chuẩn k · k

Định nghĩa 1.2.7 Không gian

Lp(0, T ; X)

gồm tất cả các hàm đo được u : [0, T ] → X với

kukLp (0,T ;X) =

Z T 0

Định lý 1.2.2 Cho u ∈ Wp1(0, T ; X) với 1 ≤ p ≤ ∞ Khi đó

(i) u ∈ C([0, T ]; X), và

(ii) u(t) = u(s) +Rstu0(τ )dτ với mỗi 0 ≤ s ≤ t ≤ T

0≤t≤T ku(t)k ≤ CkukW1 (0,T ;X), hằng số C chỉ phụ thuộc vàoT

Định lý 1.2.3 Giả sử u ∈ L2(0, T ;

◦

H1(U )), với u0 ∈ L2(0, T ; H−1(U )).(i) Khi đó



với mọi 0 ≤ t ≤ T

n Khi đó tồn tại hằng số C chỉ phụ thuộc

vào p và n sao cho:

B(x,r)f (y)dy = f (x) xảy ra h.k.n theo x ∈ Rn Ở

Định lý 1.3.1 Cho f là một hàm đo được xác định trên Rn

i Nếu f ∈ L(Rn) thì với mọi α > 0

ở đây A là hằng số phụ thuộc vào số chiều n của không gian

ii Nếu f ∈ Lp(Rn); 1 ≤ p ≤ ∞ thì hàm M f hữu hạn h.k.n

iii Nếu f ∈ Lp(Rn); 1 < p ≤ ∞ thì M f ∈ Lp(Rn) và

kM f kp ≤ Apkf kp

ở đây Ap là hằng số chỉ phụ thuộc vào p và số chiều n

2.1 Phương trình Stokes

Ta ký hiệu V = {ϕ ∈ (C0∞(Ω))n | divϕ = 0}

H là bao đóng của V trong L2(Ω)n

V là bao đóng của V trong H01(Ω)n

Định lý 2.1.1 Cho Ω là tập mở, bị chặn Khi đó với mỗi f ∈ L2(Ω)n và

ν > 0 tồn tại duy nhất nghiệm yếu của phương trình Stokes (2.1)-(2.3).Định lý 2.1.2 Cho Ω là tập mở, bị chặn của lớp C2 Khi đó với mỗi

f ∈ L2(Ω)n và ν > 0 tồn tại duy nhất nghiệm u ∈ H2(Ω) ∩ V, p ∈ H1(Ω)

của phương trình Stokes (2.1)-(2.3) Hơn nữa,

Mệnh đề 2.2.1 Toán tử Stokes là đối xứng, tức là

(Au, v) = (u, Av), ∀u, v ∈ D(A)

Chứng minh Trước hết giả sử u, v ∈ (C0∞(Ω))n và div u = div v = 0 Do

P u = u, P v = v nên (Au, v) = (u, Av) và ta có

Vì((u, v))là đối xứng nên mệnh đề được chứng minh Chú ý rằng(Au, v) =((u, v)) đúng với mọi u ∈ D(A), v ∈ V

Định lý 2.2.1 Toán tử Stokes là tự liên hợp

Định lý 2.2.2 Nghịch đảo của toán tử Stokes, A−1, là toán tử compacttrong H

Chứng minh Cho f ∈ H, A−1f = u trong đó u là nghiệm duy nhất thuộc

bị chặn Ta có K = A−1 là đơn ánh, compact và tự liên hợp vì

Định nghĩa 2.2.2 Cho α > 0 là một số thực Chúng ta định nghĩa toán

Cho một miền bị chặn Ω ⊂ Rn và một khoảng [0, T ), 0 < T ≤ ∞ xét

hệ phương trình Navier - Stokes sau đây:

Trong trường hợp bài toán biên Dirichlet ta còn giả thiết thêm

ở đây γ là vector pháp tuyến ngoài của biên∂Ω Điều kiện (2.13) có nghĩa

là u0 thỏa mãn (2.11) và u0 ∈ L2(Ω;Rn), u0 · γ ∈ H−1(∂Ω)

Định nghĩa 2.3.1 Hàm số u được gọi là nghiệm yếu của hệ (2.8) - (2.10)nếu với mọi φ ∈ C∞([0, T ] × Ω;Rn) , divφ = 0,suppφ ⊂⊂ [0, T ) × Ω

H1 bởi H1 Từ Định nghĩa 2.3.1 suy

ra rằng u thỏa mãn (2.8) theo nghĩa các phân bố Schwartz

Z

R2

|u|2dx + ν

Z t 0

hf (s), u(s)iH−1 ×H 1ds

(2.15)

với mọi t ∈ [0, T ]

Định lý 2.3.2 (n ≥ 3, Ω = Rn) Bài toán (2.8) - (2.10) có nghiệm yếu

u và trường áp lực p sao cho hệ (2.8) - (2.10) được thỏa mãn theo nghĩaphân bố và có những tính chất sau:

hf (s), u(s)iH−1 ×H 1ds với mọi t ≥ 0,

Hơn nữa, nếu n = 3 thì tồn tại nghiệm của bài toán (2.8) - (2.10) thỏamãn thêm bất đẳng thức sau:

Để phát biểu các định lý tiếp theo ta cần các ký hiệu sau:

Vp0 = {u ∈ Lp| div u = 0trongΩ, u.γ = 0trên∂Ω};

Vp1 = {u ∈

◦

Wp1| div u = 0trongΩ}

Ở đây, u ∈ C([0, T ]; L2w(Rn)), có nghĩa là u liên tục theot với giá trị trong

L2(Rn) được trang bị tôpô yếu Ta có

˜

D = {φ ∈ Cc∞| divφ = 0, trong Ω}

trù mật trong Vp0 theo chuẩn của Lp và trù mật trong Vp1 theo chuẩn của

Wp1 Ngoài ra ta còn dùng ký hiệu Vq−1 để chỉ không gian đối ngẫu của

Chương 3

Tính chính quy của nghiệm yếu của

hệ phương trình Navier - Stokes

Trong chương này trình bày kết quả về tính chính quy của nghiệm yếucủa hệ phương trình Navier - Stokes thông qua các bất đẳng thức nănglượng

Cho một miền bị chặn Ω ⊂ R3 với biên ∂Ω thuộc lớp C1,1 và cho mộtkhoảng thời gian [0, T ), 0 < T ≤ ∞ Lấy u0 ∈ L2

σ(Ω) là một số giá trịban đầu, f là ngoại lực Trong hình trụ thời gian - không gian [0, T ) × Ω

ta xét nghiệm yếu u của hệ Navier - Stokes

−hu, ωtiΩ,T + νhOu,OωiΩ,T − huu,OωiΩ,T = hu0, ω(0)iΩ− hF,OωiΩ,T

được thỏa mãn với mọi hàm thử ω ∈ C0∞([0, T ); C0,σ∞(Ω))

Như ta đã biết, tồn tại một nghiệm yếu u thỏa mãn bất đẳng thức nănglượng mạnh

theo hướng của hàm suy rộng

Định nghĩa 3.1.2 Một nghiệm yếu u của (3.1) được gọi là chính quytrong khoảng (a, b) ⊆ (0, T ) nếu điều kiện Serrin

u ∈ Lsloc(a, b; Lq(Ω)) với 2 < s < ∞, 3 < q < ∞, 2

3.2 Điều kiện chính quy của nghiệm yếu thông qua

tiêu chuẩn năng lượng

Kết quả dưới đây thể hiện tiêu chuẩn chính quy của nghiệm yếu dựa trênđộng năng 1

2ku(t)k2

2, t ∈ (0, T ) hoặc năng lượng phân tán R0tkOu(τ )k22dτ,theo [5,6]

Định lý 3.2.1 Giả sử Ω ⊂ R3 là một miền bị chặn với biên ∂Ω thuộc lớp

C2,1 Xét một nghiệm yếu u của hệ phương trình Navier - Stokes (3.1) với

Chú ý rằng Định lý 3.2.1 có thể tổng quát hóa trong trường hợp ngoạilực f không triệt tiêu, α = 1

2, 0 < ν 6= 1 Trong trường hợp này ta cần

một điều kiện nhỏ trên nửa chuẩn Holder trái địa phương Thật vậy, nếu

(0, t), t ∈ (0, T ) là khoảng chính quy lớn nhất của nghiệm yếu u thì

kOu(τ )k22dτ ≤ 1

2δ12

ku(t)k22 − ku(t − δ)k22

với hầu hết δ ∈ (0, t) chỉ ra rằng (3.5) với α = 1

2 cũng không suy ra tính

chính quy trong trường hợp tổng quát Vì vậy điều kiện nhỏ (3.7) trongkết quả chính dưới đây là cần thiết

Định lý 3.2.2 Giả sử Ω ⊂ R3 là một miền bị chặn với biên ∂Ω thuộc lớp

C1,1 Xét một nghiệm yếu u ∈ C(0, T ; L2(Ω)) của hệ phương trình Navier

- Stokes (3.1) trên (0, T ) với giá trị ban đầu u0 ∈ L2

σ(Ω) và ngoại lực

f = divF, f ∈ L2 0, T ; L2(Ω)
; F ∈ L4 0, T ; L2(Ω)
thỏa mãn bất đẳngthức năng lượng mạnh (3.2) Khi đó tồn tại một hằng số ε∗ > 0 không phụthuộc ν, u0 và f có các tính chất sau:

(i) Nếu động năng liên tục Holder trái tại thời điểm t ∈ (0, T ) với số

Ta chưa biết có tồn tại hay không khoảng chính quy lớn nhất bất kỳ

(0, t) với 0 < t < T tuy nhiên nếu nó tồn tại thì trong Định lý 3.2.2 cũngkhông thể thay thế “ ≤ ε∗ν52 ” bằng “ < ∞ ” Do đó kết quả trên là tối ưu

Chứng minh Giả sử Ω ⊂ R3 và 0 ≤ a < b ≤ T Phần chứng minh củaĐịnh lý 3.2.2 dựa vào kết quả sự tồn tại địa phương của nghiệm chính quy,được phát triển từ lý thuyết nghiệm yếu Trong phần chứng minh này, ta

sử dụng phép chiếu Helmholtz Pq : Lq(Ω) → Lqσ(Ω), 1 < q < ∞, toán tửStokes

và nửa nhóm Stokes e−tAq : Lqσ(Ω) → Lqσ(Ω), t ≥ 0.

Để chứng minh Định lý 3.2.2 ta cần một số bổ đề sau:

Bổ đề 3.2.1 Giả sử Ω ⊂ R3 là một miền bị chặn với biên thuộc lớp C1,1

và 1 < q < ∞

1 Toán tử Stokes là một song ánh đóng từ D(Aq) ⊂ Lqσ(Ω) vào Lqσ(Ω)

Nếu u ∈ D(Aq) ∩ D(A%) với 1 < % < ∞ thì Aqu = A%u

2 Với 0 ≤ α ≤ 1, Aαq : D(Aαq) ⊂ Lqσ(Ω) → Lqσ(Ω) là hoàn toàn xác định

và là song ánh đóng Đặc biệt, toán tử nghịch đảo A−αq = (Aαq)−1 là bị chặntrên Lqσ(Ω) với hạng R(A−αq ) = D(Aαq) Không gian D(Aαq) được trang bịchuẩn đồ thị kukq+ kAαqukq, tương đương với chuẩn kAα

qukq là một khônggian Banach Hơn nữa, với 1 > α > β > 0, D(Aq) ⊂ D(Aαq) ⊂ D(Aβq) ⊂

Lqσ(Ω) trù mật chặt và (Aαq)∗ = Aαq0 là liên hợp của Aαq

3 Chuẩn kukW2,q và kAqukq là tương đương với u ∈ D(Aq) Tương tự,chuẩnkOukq, kukW1,q vàkA

1 2

qukq là tương đương với u ∈ D(A

1 2

với mọi u ∈ D(Aαγ), c = c(q, γ, Ω) > 0

4 Tồn tại hằng số δ0 = δ0(q, Ω) > 0 và c = c(q, α, Ω) > 0 sao cho

kAαqe−tAqukq ≤ ce−δ0 t

t−αkukq với u ∈ Lqσ(Ω), t > 0 (3.10)

5 Cho f ∈ Ls(0, T ; Lq(Ω)), 1 < s, q < ∞, hệ Stokes không dừng

hoặc phương trình khai triển thu gọn trong Lqσ(Ω)

ut + νAqu = Pqf, u(0) = 0

có nghiệm duy nhất u thỏa mãn phép ước lượng chính quy lớn nhất

kutkLs (0,T ;L q (Ω))+ kνAqukLs (0,T ;L q (Ω)) ≤ ckf kLs (0,T ;L q (Ω)) (3.12)

Hơn nữa, tồn tại một hàm p ∈ Ls(0, T ; W1,q(Ω)) sao cho (u, p) thỏa mãn(3.11) và phép ước lượng

kut,Op, νO2ukLs (0,T ;L q (Ω)) ≤ ckf kLs (0,T ;L q (Ω)) (3.13)trong cả hai ước lượng c = c(q, s, Ω) > 0 không phụ thuộc vào ν, T và f

Bổ đề 3.2.2 Cho một miền bị chặn Ω ⊂ R3 với biên ∂Ω ∈ C1,1 và 0 <

T < ∞ Xétf = divF,F ∈ L2 0, T ; L2(Ω)
∩Lmax(s ∗ ,4) 0, T ; Lmax(%,2)(Ω)

ke−ντ Aq∗u0ks∗

q∗dτ ≤ ε∗νs∗ −1

(3.15)thì hệ Navier - Stokes (3.1) có duy nhất một nghiệm yếu u thỏa mãn điềukiện Serrin u ∈ Ls∗(0, T ; Lq∗(Ω)) và thỏa mãn bất đẳng thức năng lượngmạnh (3.2)

Trước khi chứng minh Bổ đề 3.2.2 ta đưa ra khái niệm nghiệm rất yếucủa hệ phương trình Navier - Stokes (đã được rút gọn để phù hợp với việc

áp dụng) và nhắc lại định lý về sự tồn tại và tính duy nhất của nó

Định nghĩa 3.2.1 Giả sử Ω ⊂ R3 là một miền bị chặn với biên ∂Ω ∈

C1,1, giả sử f = divF, F ∈ L2 0, T ; L2(Ω)
∩ Ls∗(0, T ; L%(Ω)), 0 < T ≤

∞ vàu0 ∈ Lq∗

σ (Ω), trong đó s∗, q∗, % thỏa mãn (3.14) Khi đó trường vector

u ∈ Ls∗(0, T ; Lq∗(Ω)) được gọi là nghiệm rất yếu của hệ Navier-Stokes(3.1) nếu hệ thức

−hu, ωtiΩ,T − νhu, 4ωiΩ,T − huu,OωiΩ,T = hu0, ω(0)i − hF,OωiΩ,T

được thỏa mãn với mọi hàm thử ω ∈ C01([0, T ); C0,σ2 ( ¯Ω)), ngoài ra

Ở đây C0,σ2 ( ¯Ω) = {ω ∈ C2( ¯Ω); div ω = 0; ω = 0 trên ∂Ω} và ký hiệu

Chú ý rằng u · N = 0 trên (0, T ) × ∂Ω là hoàn toàn xác định theo

Bổ đề 3.2.3 Giả sử Ω ⊂ R3 là một miền bị chặn với biên thuộc lớp

C1,1, f = divF, F ∈ L2 0, T ; L2(Ω)
∩ Ls∗(0, T ; L%(Ω)) , 0 < T ≤ ∞

và u0 ∈ Lq∗

σ(Ω) trong đó s∗, q∗, % thỏa mãn (3.14) Khi đó, tồn tại T0 =

T0(ν, F, u0) ∈ (0, T ]và một nghiệm rất yếu duy nhấtu ∈ Ls∗ 0, T0; Lq∗(Ω)

của hệ Navier - Stokes (3.1) Sự tồn tại của khoảng [0, T0) được xác địnhbởi điều kiện

Aq∗e−ν(t−τ )Aq∗A−1q

và u˜ thỏa mãn

˜u(t) = −

Z t 0

Ở đây, ta sẽ giải thích ý nghĩa của các số hạngA−1q PqdivF vàA−1/2q PqdivF

trong công thức (3.19) và (3.20) Giả sử 0 < α ≤ 1, 1 < q < ∞ và ψ làmột hàm trên C0,σ∞(Ω) thỏa mãn phép ước lượng

|hψ, ϕi| ≤ cψkAαq0ϕkq0 với mọi ϕ ∈ D(Aαq0)

trong đó hằng số cψ ≥ 0 Khi đó tồn tại duy nhất một phần tử trong

Lqσ(Ω) ký hiệu là A−αq Pqψ sao cho

hψ, ϕi = hA−αq Pqψ, Aαq0ϕi với mọi ϕ ∈ D(Aαq0)

và kA−αq Pqψkq ≤ cψ

Chương 3

Tính quy nghiệm yếu của< /h2>

hệ phương trình Navier - Stokes

Trong chương trình bày kết tính quy nghiệm yếucủa hệ phương trình Navier - Stokes thơng... chứng minh Bổ đề 3.2.2 ta đưa khái niệm nghiệm yếucủa hệ phương trình Navier - Stokes (đã rút gọn để phù hợp với việc

áp dụng) nhắc lại định lý tồn tính

Định nghĩa 3.2.1 Giả sử Ω... R3 ≤ a < b ≤ T Phần chứng minh của? ?ịnh lý 3.2.2 dựa vào kết tồn địa phương nghiệm quy, được phát triển từ lý thuyết nghiệm yếu Trong phần chứng minh này, ta

sử dụng phép