Một số bài toán tối ưu phi tuyến quy được về bài toán quy hoạch tuyến tính

Đó là bài toán tìm cực tiểu hay cực đại của một hàm tuyếntính với các ràng buộc đẳng thức hay bất đẳng thức tuyến tính.. Chẳng hạn, bài toán có hàm mục tiêu là tổng với hệ số dương giá t

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

Vũ Trọng Hiền

MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƯU PHI TUYẾN

QUY ĐƯỢC VỀ BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2013

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

Vũ Trọng Hiền

MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƯU PHI TUYẾN

QUY ĐƯỢC VỀ BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG

Mã số: 60.46.01.12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS TS Trần Vũ Thiệu

Thái Nguyên - 2013

Mục lục

Lời nói đầu 2

1 Kiến thức cơ sở về qui hoạch tuyến tính 4 1.1 Bài toán qui hoạch tuyến tính và tính chất 4

1.1.1 Nội dung bài toán qui hoạch tuyến tính 4

1.1.2 Tính chất bài toán qui hoạch tuyến tính 6

1.2 Qui hoạch tuyến tính đối ngẫu 7

1.2.1 Cặp bài toán đối ngẫu 7

1.2.2 Các quan hệ đối ngẫu 10

1.3 Phương pháp đơn hình 11

1.3.1 Cơ sở của phương pháp 11

1.3.2 Thuật toán đơn hình 14

2 Bài toán tối ưu không lồi dạng đặc biệt 17 2.1 Nội dung bài toán và ý nghĩa 17

2.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính tương đương 18

2.3 Thuật toán nới lỏng 23

2.4 Ví dụ minh họa 26

3 Bài toán mở rộng 29 3.1 Nội dung bài toán 29

3.2 Bài toán tuyến tính tương đương 30

3.3 Một số trường hợp riêng 42

LỜI NÓI ĐẦU

Qui hoạch tuyến tính (Linear Programming) là bài toán tối ưu đơngiản nhất Đó là bài toán tìm cực tiểu (hay cực đại) của một hàm tuyếntính với các ràng buộc đẳng thức hay bất đẳng thức tuyến tính Quihoạch tuyến tính có nhiều ứng dụng rộng rãi trong lý thuyết và thựctiễn Phương pháp đơn hình (do G B Dantzig đề xuất năm 1947) làphương pháp quen thuộc, có hiệu quả để giải bài toán qui hoạch tuyếntính và các bài toán đưa được về qui hoạch tuyến tính

Một số bài toán tối ưu phi tuyến, nói riêng là bài toán tối ưu lồi, cóthể quy được về bài toán qui hoạch tuyến tính, nhờ đó việc giải bài toánđược dễ dàng hơn Chẳng hạn, bài toán có hàm mục tiêu là tổng (với hệ

số dương) giá trị tuyệt đối của các biến (hàm mục tiêu lồi) có thể đưađược về bài toán với hàm mục tiêu tuyến tính, bằng cách thêm vào bàitoán ban đầu các biến phụ

Luận văn này nhằm mục đích tìm hiểu và trình bày một số bài toán tối

ưu phi tuyến không lồi dạng đặc biệt có thể giải được bằng các phươngpháp của qui hoạch tuyến tính Phát biểu nội dung bài toán và nêu cáchđưa bài toán về qui hoạch tuyến tính, từ đó có thể áp dụng phương phápđơn hình Dantzig để giải bài toán được xét

Luận văn gồm lời nói đầu, ba chương, kết luận và danh mục các tàiliệu tham khảo

Chương 1 với tiêu đề "Kiến thức cơ sở về qui hoạch tuyến tính" trìnhbày nội dung và các tính chất cơ bản của bài toán qui hoạch tuyến tính,khái niệm bài toán đối ngẫu và các quan hệ đối ngẫu trong qui hoạchtuyến tính Phương pháp đơn hình Dantzig giải bài toán qui hoạch tuyếntính được nhắc lại ở chương này, với đầy đủ cơ sở lý luận và ví dụ bằng

tương đương, nêu thuật toán nới lỏng giải bài toán ban đầu và cuối cùngđưa ra ví dụ số minh họa cho thuật toán giải.

Chương 3 với tiêu đề "Bài toán mở rộng" xét một dạng mở rộng củabài toán tối ưu phi tuyến không lồi đã đề cập tới ở Chương 2 Nghiêncứu một số tính chất nghiệm của bài toán và trình bày cách đưa bài toán

về bài toán qui hoạch tuyến tính tương đương Cuối chương nêu một sốtrường hợp riêng của bài toán

Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên chắc chắn luận văn còn cónhững thiếu sót nhất định, kính mong quý thầy cô và các bạn đóng góp

ý kiến để tác giả tiếp tục hoàn thiện luận văn này

Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướngdẫn GS TS Trần Vũ Thiệu đã tận tình giúp đỡ trong suốt quá trìnhlàm Luận văn

Tác giả trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo Trường Đại học Khoa học– Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học – Viện Hàn lâm Khoa học vàCông nghệ Việt Nam, đã giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi trongquá trình tác giả học tập và nghiên cứu

Tác giả cũng xin trân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, tổ Khoa học Tựnhiên trường THPT Kim Ngọc – Bắc Quang – Hà Giang và tập thể bạn

bè đồng nghiệp cùng gia đình đã quan tâm giúp đỡ, động viên tác giảhoàn thành tốt Luận văn này

Thái Nguyên, tháng 3 năm 2013

Tác giả

Vũ Trọng Hiền

sẽ cần đến ở chương sau Nội dung của chương được tham khảo chủ yếu

từ các tài liệu [1], [2] và [4]

1.1 Bài toán qui hoạch tuyến tính và tính chất

1.1.1 Nội dung bài toán qui hoạch tuyến tínha) Bài toán tổng quát

Bài toán này có dạng: Tìm các biến số x1, x2, , xn thỏa mãn điềukiện

n

P

j=1

cjxj đạt cực tiểu Ở đây aij, bi, cj là các hằng sốthực cho trước

Trong bài toán trên, f gọi là hàm mục tiêu, mỗi hệ thức ở (1.1) - (1.4)gọi là một ràng buộc Mỗi ràng buộc (1.1) - (1.3) gọi là một ràng buộcchính (dạng đẳng thức hay bất đẳng thức), mỗi ràng buộc xj ≥ 0 hay

xj ≤ 0 gọi là một ràng buộc về dấu

Điểm x = (x1, x2, , xn) ∈ Rn thỏa mãn mọi ràng buộc gọi là mộtđiểm chấp nhận được hay một phương án Tập hợp tất cả các phương

án, ký hiệu là D, gọi là miền ràng buộc hay miền chấp nhận được Mộtphương án đạt cực tiểu của hàm mục tiêu gọi là một phương án tối ưuhay một lời giải của bài toán đã cho

Bài toán có ít nhất một phương án tối ưu gọi là bài toán có lời giải.Bài toán không có phương án (miền ràng buộc rỗng D = Ø) hoặc cóphương án nhưng không có phương án tối ưu, do hàm mục tiêu giảm vôhạn (bài toán tìm min) hoặc tăng vô hạn (bài toán tìm max), gọi là bàitoán không có lời giải

b) Dạng chính tắc và dạng chuẩn tắcNgười ta thường xét bài toán qui hoạch tuyến tính ở hai dạng sauđây

• Dạng chuẩn hay chuẩn tắc

Để viết bài toán gọn hơn, ta dùng các ký hiệu véctơ và ma trận sau:

(A là ma trận m × n gồm các hệ số ở vế trái ràng buộc chính, Aj làvéctơ cột thứ j của ma trận A tương ứng với biến xj, b là véctơ các hệ

số ở vế phải ràng buộc chính, c là véctơ các hệ số ở hàm mục tiêu, x làvéctơ các ẩn số, 0 là véctơ không Tất cả các véctơ này đều là các véctơcột)

Với các ký hiệu trên, bài toán qui hoạch tuyến tính chính tắc có dạng(với b ≥ 0):

min {f (x) = hc, xi : Ax = b, x ≥ 0} haymax {f (x) = hc, xi : Ax = b, x ≥ 0}

(hc, xi là tích vô hướng của hai véctơ c và x)

Bài toán qui hoạch tuyến tính chuẩn tắc có dạng (không đòi hỏi

b ≥ 0):

min {f (x) = hc, xi : Ax ≥ b, x ≥ 0} haymax {f (x) = hc, xi : Ax ≤ b, x ≥ 0} 1.1.2 Tính chất bài toán qui hoạch tuyến tínhĐịnh lý 1.1 Tập hợp D các phương án của bài toán qui hoạch tuyếntính (dạng bất kỳ) là một tập hợp lồi Hơn nữa, đó là một tập hợp lồi đadiện (khúc lồi)

Định lý 1.2 Nếu một qui hoạch tuyến tính có ít nhất một phương

án và hàm mục tiêu bị chặn dưới trong miền ràng buộc (đối với bài toán

min) thì bài toán chắc chắn có phương án tối ưu.

Định lý 1.3 Nếu x0 là một phương án tối ưu của bài toán qui hoạchtuyến tính (dạng bất kỳ) và nếu x1, x2 (x1 6= x2) là phương án thỏa mãn

x0 = λx1+ (1 − λ)x2, 0 < λ < 1, thì x1, x2 cũng là các phương án tối ưu

Định nghĩa 1.1 Một lời giải chấp nhận được x ∈ D mà đồng thời

là một đỉnh của D gọi là một phương án cực biên hay một lời giải cơ

sở, nghĩa là x không thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp lồi của bất kỳ haiphương án (lời giải chấp nhận được) khác của D

Định lý 1.5 Nếu bài toán qui hoạch tuyến tính dạng chính tắc có

ít nhất một phương án thì nó cũng có phương án cực biên (miền ràngbuộc D có đỉnh)

Định lý 1.6 Nếu bài toán qui hoạch tuyến tính dạng chính tắc cóphương án tối ưu thì cũng có phương án cực biên tối ưu

1.2 Qui hoạch tuyến tính đối ngẫu

1.2.1 Cặp bài toán đối ngẫuCho một qui hoạch tuyến tính, ký hiệu (P ), dưới dạng chuẩn

(P ) f (x) = c1x1 + c2x2 + + cnxn → min,

ai1x1 + ai2x2 + + ainxn ≥ bi, i = 1, 2, , m,

xj ≥ 0, j = 1, 2, , n,

trong đó aij, bi, cj là các hệ số cho trước; x = (x1, x2, , xn) ∈ Rn là véctơbiến cần tìm.

Ta gọi đối ngẫu của (P ) là qui hoạch tuyến tính, ký hiệu (Q), có dạng:

(Q) g(y) = b1y1 + b2y2 + + bmym → max,

a1jy1 + a2jy2 + + amjym ≤ cj, j = 1, 2, , n,

yi ≥ 0, i = 1, 2, , m,

ở đây y = (y1, y2, , ym) ∈ Rm là véctơ biến cần tìm

Dùng ký hiệu véctơ và ma trận, ta có thể viết

Bài toán gốc: Bài toán đối ngẫu:

f (x) = hc, xi → min, g(y) = hb, yi → max,

Bài toán gốc: Bài toán đối ngẫu:

f (x) = hc, xi → min, g(y) = hb, yi → max,

1.2.2 Các quan hệ đối ngẫuĐịnh lý 1.7.(Đối ngẫu yếu) Nếu x là một phương án bất kỳ của bàitoán gốc (P ) và y là một phương án bất kỳ của bài toán đối ngẫu (Q) thì

c) Nếu hàm mục tiêu của bài toán đối ngẫu không bị chặn trên trongmiền ràng buộc của nó thì bài toán gốc không có bất kỳ một phương ánnào

d) Nếu x∗ là một phương án của bài toán gốc, y∗ là một phương áncủa bài toán đối ngẫu và f (x∗) = g(y∗) thì x∗ là phương án tối ưu củabài toán gốc và y∗ là phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu

Định lý 1.8.(Đối ngẫu mạnh).Nếu một qui hoạch có phương án tối

ưu thì qui hoạch đối ngẫu của nó cũng có phương án tối ưu và giá trịtối ưu của chúng là bằng nhau

Định lý 1.9.(Định lý tồn tại) Đối với mỗi cặp qui hoạch đối ngẫunhau chỉ có thể xảy ra một trong ba khả năng loại trừ nhau sau đây

a) Cả hai qui hoạch đều không có phương án

b) Cả hai qui hoạch đều có phương án Khi đó, cả hai qui hoạch đều

có phương án tối ưu và giá trị tối ưu của các hàm mục tiêu là bàng nhau.c) Một qui hoạch có phương án và qui hoạch kia không có phương án.Khi đó, qui hoạch có phương án sẽ không có phương án tối ưu và hàmmục tiêu của nó không giới nội trong miền ràng buộc

Định lý 1.10.(Định lý yếu về độ lệch bù) Một cặp phương án x, ycủa hai qui hoạch đối ngẫu (P) và (Q) là những phương án tối ưu khi vàchỉ khi chúng nghiệm đúng các hệ thức:

Bây giờ ta giả thiết thêm rằng:

• Bài toán (1.5) - (1.7) không suy biến

• Biết trước một phương án cực biên x0 của bài toán

Ở cuối bài sẽ nêu cách giải quyết những bài toán không có các giảthiết này.

Không giảm tổng quát, giả sử phương án cực biên x0 có dạng:

Ký hiệu B là ma trận lập nên bởi các véctơ cơ sở đang xét: B ={A1, A2, , Am} Khi đó, B có hạng bằng m và còn tồn tại ma trậnnghịch đảo B−1

Mỗi véctơ cột Ak (k = 1, 2, , n) của A được biểu diễn qua các véctơ

Ak = BZk Từ đó Zk = B−1Ak Mặt khác, ta có

Ax0 = BXB0 = b ⇒ XB0 = B−1b

Giá trị hàm mục tiêu tại x0 bằng

f0 = 0 = CBXB0 = c1x01 + c2x02 + + cmx0m (1.9)Với mỗi k = 1, 2, , n tính số sau đây, gọi là ước lượng của biến xk

∆k = CBZk − ck = CBB−1Ak − ck

= c1z1k + c2z2k + + cmzmk − ck, k = 1, 2, , n (1.10)

Định lý 1.12 (Dấu hiệu tối ưu) Nếu đối với phương án cực biên x0

ta có các hệ thức

∆k ≤ 0, ∀k = 1, 2, , n (1.11)thì x0 là một phương án tối ưu

Chú ý:

• Nếu Ak là một véctơ cơ sở (k ∈ J0) thì trong các hệ số khai triển của

Ak theo các véctơ cơ sở ở (1.8) chỉ có duy nhất một hệ số zkk = 1,tất cả các hệ số khác đều bằng 0, nghĩa là Zk = ek (véctơ đơn vịthứ k trong Rm) Do đó

Định lý 1.14 (Cải tiến phương án hiện có) Nếu tồn tại chỉ số s /∈ J0sao cho ∆s > 0 và zjs > 0 với ít nhất một j ∈ J0 thì tìm được phương

án cực biên mới x1 tốt hơn phương án x0: f (x1) < f (x0)

Với các giả thiết của định lý 1.14, véctơ x1 được xác định như sau:

> 0

Phương án x1 tương ứng với cơ sở J1 = (J \ {r}) ∪ {s} và

f1 = f (x1) = f0− θ0× ∆s < f0 Như vậy, biến xs (biến phi cơ sở đối với

x0) trở thành biến cơ sở đối với x1 và biến xr (biến cơ sở đối với x0) trởthành biến phi cơ sở đối với x1

Định lý 1.15 Nếu bài toán qui hoạch tuyến tính có phương án vàmọi phương án cực biên của bài toán đều không suy biến thì thuật toánđơn hình sẽ có phương án tối ưu (hữu hạn hay vô cực) sau một số hữuhạn lần thay đổi phương án cực biên

1.3.2 Thuật toán đơn hìnhThuật toán đơn hình xuất phát từ một đỉnh của tập ràng buộc D.Tiếp đó kiểm tra xem đỉnh đó đã tối ưu chưa, bằng cách so sánh giátrị mục tiêu tại đỉnh đó với giá trị mục tiêu tại các đỉnh kề với nó Nếuđúng thì dừng tính toán Trái lại, sẽ tìm một đỉnh (kề với đỉnh trước đó)

có giá trị mục tiêu nhỏ hơn Quá trình này lặp lại cho tới khi tìm đượcđỉnh tối ưu hoặc phát hiện bài toán vô nghiệm Thuật toán đơn hìnhgiải qui hoạch tuyến tính gồm các bước sau:

Bước 0 Tìm một phương án cực biên ban đầu x0 với cơ sở J0 và

B = {Aj, j ∈ J0} gồm m véctơ cột độc lập tuyến tính của A Đặt cB ={cj : j ∈ J0} Tính véctơ biến cơ sở xB = B−1b, các véctơ khai triển

Zk = B−1Ak và các ước lượng ∆k = cBZk − ck với mọi k = 1, 2, , n

Bước 1.(Kiểm tra tối ưu) Nếu ∆k < 0 với mọi k /∈ J0 thì x0 làphương án tối ưu (Định lý 1.9): dừng thuật toán Trái lại, chuyển sangBước 2

Bước 2.(Kiểm tra bài toán không có lời giải) Nếu có k /∈ J0 sao cho

∆k > 0 và zik ≤ 0, ∀i ∈ J0 thì hàm mục tiêu của bài toán không bị chặn

dưới trên tập ràng buộc D (Định lý 1.10): dừng thuật toán Trái lại,chuyển sang bước 3.

Bước 3.(Tìm véctơ đưa vào cơ sở) Đưa vào cơ sở véctơ As (s /∈ J0)với

∆s = max {∆k : k /∈ J0} > 0Bước 4.(Tìm véctơ đưa ra khỏi cơ sở) Loại khỏi cơ sở véctơ thứ rtrong cơ sở B sao cho zr0

Ví dụ Giải bài toán qui hoạch tuyến tính sau đây:

f = −2x1 − 4x2 + x3 − x4 → min,với các điều kiện

Bài toán qui hoạch tuyến tính trên có dạng chính tắc Các vectơ cơ

sở A5, A6, A4 là các vectơ đơn vị, nên A1 chính là vectơ các hệ số khaitriển của nó theo các vectơ cơ sở A5, A6, A4 Cũng vậy đối với A2 và A3.Bảng đơn hình ban đầu có dạng như sau:

Trong dòng mục tiêu còn phần tử dương ở cột x1, x2 nên phương án

x0 ở bảng này chưa tối ưu Biến đưa vào cơ sở x2 (ứng với δ2 = 3 lớnnhất), biến loại khỏi cơ sở là x5 Phần tử quay là z52 = 3 Biến đổi bảng

1 theo các quy tắc đã nêu ta nhận được bảng 2

Trong dòng mục tiêu của bảng 2 còn phần tử dương ở cột x1 nênphương án này cũng chưa tối ưu Biến đưa vào cơ sở x1 (ứng với δ1 = 5

3lớn nhất), biến loại khỏi cơ sở là x6 Phần tử quay là z61 = 5

3 Biến đổibảng 2 theo các quy tắc đã nêu ta nhận được bảng 3

Trong bảng này mọi δk ≤ 0, nên phương án x2 = (1; 1; 0; 2; 0; 0) là tối

ưu với fmin = f (x2) = −8

2.1 Nội dung bài toán và ý nghĩa

Trong mục này ta xét bài toán tối ưu sau đây:

X = {x ∈ Rn : 0 < a ≤ x ≤ A}, Y = {y ∈ Rn : 0 ≤ b ≤ y ≤ B};

a, A, b, B, c, d ∈ Rn là các véctơ cho trước (a ≤ A, b ≤ B); α, β là hai sốthực cho trước (α ≤ β); T là ký hiệu chuyển vị (véctơ hay ma trận)

Có thể giải thích mô hình toán học của bài toán (P) như sau Giả

sử một công ty nông nghiệp cần lập kế hoạch về năng suất và diện tíchcủa n loại cây trồng, trong đó xi và yi lần lượt biểu thị năng suất và

diện tích cây trồng thứ i cần xác định Năng suất cây trồng i biến độngtrong khoảng [ai, Ai] (tức x ∈ X), còn diện tích cây trồng i biến độngtrong khoảng [bi, Bi] (tức y ∈ Y ); di biểu thị hao phí lao động trên mộtđơn vị diện tích cây trồng i; α, β là giới hạn dưới và trên về tổng số laođộng sử dụng (ràng buộc α ≤ dTy ≤ β) zi = xiyi là sản lượng cây trồng

i thu được Tập S biểu thị các ràng buộc về sản lượng cây trồng và ci

là chi phí cho một đơn vị sản lượng cây trồng i (i = 1, 2, , n) Cần lập

kế hoạch về diện tích và năng suất các loại cây trồng sao cho sản lượngcủa chúng đáp ứng các yêu cầu của kế hoạch đề ra và phù hợp với khảnăng vật tư, nguồn vốn hiện có (tức z ∈ S) với tổng chi phí nhỏ nhất(tức cTz đạt cực tiểu)?

Do các ràng buộc zi = xiyi, i = 1, 2, , n nên cấu trúc tuyến tính củabài toán bị phá vỡ và (P) trở thành bài toán tối ưu phi tuyến không lồitheo các biến x, y và z Về thực chất (P) có thể xem như bài toán quihoạch song tuyến tính với các ràng buộc liên kết (z ∈ S) Mặc dù các kỹthuật của tối ưu toàn cục rất đáng được chú ý, nhưng nói chung chúngkhông hiệu quả đối với bài toán (P)

Nhờ khai thác cấu trúc riêng biệt của bài toán (P), trong [5] đã chỉ rarằng (P) tương đương với bài toán qui hoạch tuyến tính theo các biến zvới ràng buộc z ∈ S và nhiều ràng buộc khác nữa đối với z, thay cho cácràng buộc (2.1) - (2.2) Tuy nhiên, để giải qui hoạch tuyến tính tươngđương ta không cần biết trước tất cả các ràng buộc của bài toán mà cóthể xây dựng dần từng ràng buộc, khi cần đến trong quá trình giải

2.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính tương đương

Trong mục này ta sẽ nêu cách đưa bài toán (P) về bài toán quihoạch tuyến tính tương đương Muốn thế, ta phân chia các hệ số di(i = 1, 2, , n) thành hai tập con rời nhau:

I+ = {i : di ≥ 0} và I− = {i : di < 0} (I+∩ I− = Ø)

Bổ đề sau giải thích ý nghĩa của giả thiết trên.

Bổ đề 2.1 Có điều kiện (2.3) khi và chỉ khi có ít nhất một y ∈ Ythỏa mãn α ≤ dTy ≤ β

Chứng minh Trước hết, giả sử (2.3) đúng Ký hiệu ymin là véctơ cócác thành phần bi (i ∈ I+) và Bi (i ∈ I−) và ymax là véctơ có các thànhphần Bi (i ∈ I+) và bi (i ∈ I−) Rõ ràng ymin ∈ Y, ymax ∈ Y và từ (2.3)

ta nhận được

dTymin ≤ β và dTymax ≥ α

Nếu có thêm dTymin ≥ α hoặc dTymax ≤ β thì y = ymin hoặc y = ymax

sẽ thỏa mãn α ≤ dTy ≤ β Nếu trái lại ta có

dTymin < α ≤ β < dTymax (2.4)Đặt u = d

Tymax− β

dTymax− dTymin và v = d

Tymax − α

dTymax − dTymin Từ (2.4) suy ra

0 ≤ u ≤ v ≤ 1 (xem Hình 2.1) Chọn tùy ý số t ∈ [u, v] ⊂ [0, 1] và đặt

y = tymin+ (1 − t)ymax Do Y là tập lồi và ymin ∈ Y, ymax ∈ Y nên y ∈ Y.Bằng cách tính toán trực tiếp cho thấy α ≤ dTy ≤ β và phần thứ nhấtcủa bổ đề được chứng minh

Ngược lại, nếu có y ∈ Y sao cho α ≤ dTy ≤ β thì (2.3) được suy trựctiếp từ định nghĩa của tập Y và bổ đề được chứng minh 

Bây giờ ta đặt

Z = {z ∈ Rn : aibi ≤ zi ≤ AiBi, i = 1, 2, , n}

và ký hiệu C là họ tất cả các tập chỉ số I ⊂ {1, 2, , n} sao cho di 6= 0với mọi i ∈ I Tập Z sẽ bị chặn nếu Ai < +∞ và Bi < +∞ với mọi

Điều này chứng tỏ z thỏa mãn ràng buộc (2.5) với mọi I ∈ C Bằnglập luận tương tự, có thể chỉ ra rằng z cũng thỏa mãn ràng buộc (2.6)với mọi I ∈ C.

Ngược lại, bây giờ giả sử rằng z ∈ S ∩ Z và z thỏa mãn ràng buộc(2.5) - (2.6) Ta sẽ chỉ ra z thỏa mãn mọi ràng buộc của (P) Muốn thế

dTy1 ≤ β Thật vậy, có hai khả năng:

+ Nếu I1 = I2 = Ø do z thỏa mãn (2.5) với I = Ø nên ta có:

Bằng cách lập luận tương tự, ta có thể tìm được véctơ x2 ∈ X và

y2 ∈ Y sao cho zi = x2iyi2 (i = 1, 2, , n) và dTy2 ≥ α Cụ thể, ta ký hiệu

bi, y

2

i = bi với i ∈ I−\I4 ( i ∈ I−\I4 kéo theo bi > 0)

Bằng lập luận như trong chứng minh Bổ đề 2.1 (với y1 thay cho

ymin, y2 thay cho ymax), có thể chỉ ra rằng tồn tại số t ∈ [0, 1] sao cho

y = ty1 + (1 − t)y2 ∈ Y và α ≤ dTy ≤ β

Để hoàn thành chứng minh bổ đề, ta còn phải chỉ ra rằng với y vừatìm được, có x ∈ X sao cho zi = xiyi với mọi i = 1, 2, , n Để làm điềunày ta nhận xét là aiyik ≤ xk

iyki = zi ≤ Aiyik với k = 1, 2 và i = 1, 2, , n.(do xk ∈ X, yk ≥ 0) Từ đó