dò tìm cộng hưởng electron-phonon bằng quang học trong dây lượng tử với thế giam giữ dạng bán parabol

dò tìm cộng hưởng electron-phonon bằng quang học trong dây lượng tử với thế giam giữ dạng bán parabol

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

-TRẦN THỊ THU HẰNG

DÒ TÌM CỘNG HƯỞNG ELECTRON-PHONON BẰNG QUANG HỌC TRONG DÂY LƯỢNG TỬ VỚI THẾ GIAM GIỮ DẠNG BÁN PARABOL

Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các sốliệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, được các đồngtác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một côngtrình nghiên cứu nào khác

Tác giả luận văn

Trần Thị Thu Hằng

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến Tiến sĩ LêĐình, người thầy với sự quan tâm thường xuyên và tận tụy, với tấm lòngnhiệt thành, đã giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu, hướngdẫn tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô ở khoa Vật Lý và phòngSau Đại Học - trường Đại Học Sư Phạm Huế, Ban giám hiệu trường Trunghọc phổ thông Hương Trà đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi hoànthành khóa học và luận văn

Xin gởi lời cảm ơn đến các anh chị học viên cao học chuyênngành Vật lý lý thuyết và vật lý toán khóa XVIII, gia đình, bạn bè vàđồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập vàthực hiện luận văn

Trần Thị Thu Hằng

MỤC LỤC

Trang

Trang phụ bìa i

Lời cam đoan ii

Lời cảm ơn iii

Mục lục 1

Danh sách các hình vẽ 3

MỞ ĐẦU 4

Chương 1 TỔNG QUAN VỀ MÔ HÌNH KHẢO SÁT VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 12

1.1 Tổng quan về dây lượng tử thế bán parabol 12

1.1.1 Tổng quan về dây lượng tử 12

1.1.2 Phổ năng lượng và hàm sóng điện tử của điện tử trong dây lượng với giam giữ dạng bán parabol 13

1.1.3 Biểu thức của thừa số dạng đối với tương tác electron-phonon trong dây lượng tử với thế giam giữ dạng bán parabol 16

1.1.4 Hamiltonian của hệ electron - phonon trong dây lượng tử với thế giam giữ bán parabol khi có mặt điện trường ngoài 18

1.2 Tổng quan về phương pháp nghiên cứu 20

1.2.1 Lý thuyết phản ứng tuyến tính 20

1.2.2 Phương pháp chiếu toán tử độc lập trạng thái 24

Chương 2 KẾT QUẢ GIẢI TÍCH 26

2.1 Biểu thức của tenxơ độ dẫn tuyến tính 26

2.1.1 Biểu thức tường minh của tenxơ độ dẫn tuyến tính 26 2.1.2 Biểu thức của hàm dạng phổ 29

2.2 Biểu thức của công suất hấp thụ 37

2.2.1 Biểu thức của phần tử ma trận của mật độ dòng điện 38 2.2.2 Tốc độ hồi phục của electron trong dây lượng tử thế bán parabol 40

Chương 3 KẾT QUẢ TÍNH SỐ VÀ THẢO LUẬN 50

3.1 Điều kiện cộng hưởng electron-phonon trong dây lượng tử thế bán parabol 50

3.2 Kết quả tính số và thảo luận 51

3.2.1 Khảo sát sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào tần số của photon 52

3.2.2 Khảo sát sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào tần số đặc trưng của dây lượng tử 53

3.2.3 Khảo sát sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào nhiệt độ 55

KẾT LUẬN 57

TÀI LIỆU THAM KHẢO 59

PHỤ LỤC 64

DANH SÁCH CÁC HÌNH VẼ

3.1 Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào tần số của trường

ngoài ứng với với nhiệt độ 150K (đường màu xanh), 200K

(đường màu đỏ), 250K (đường màu đen) . 523.2 Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào tần số của trường

ngoài với nhiệt độ 97K và ω x = 0, 4ω LO 523.3 Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào tần số của trường

ngoài ứng với T = 98K và tần số photon ω)x = 0.4ω LO

(đường màu xanh), ω x = 0.41ω LO (đường màu đỏ). 543.4 Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào tần số của trường

ngoài ứng với T = 110K (đường màu xanh), T = 100K

(đường màu đỏ) với tần số photon ω = 31.5 × 1.6 × 10−22/~ 543.5 Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào tần số của trường

ngoài ứng với ω = 31.5 × 1.6 × 10−22/~ (đường màu đỏ), ω =

40×1.6×10−22/~ (đường màu xanh), ω = 50.5×1.6×10−22/~

(đường màu đen) ở nhiệt độ 100K. 553.6 Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào nhiệt độ 55

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Ngày nay, việc nghiên cứu cấu trúc với khí điện tử thấp chiều trởthành một mũi nhọn của vật lý và có quan hệ rất chặt chẽ với sự phát triểnmạnh mẽ, sâu rộng của các lĩnh vực công nghệ Với sự phát triển cao của

kỹ thuật trong nuôi tinh thể như epitaxy chùm phân tử (MBE: MoleculesBeam Epitaxy) và kết tủa hơi kim loại hữu cơ (MOCVD: Metal - OrganicChemical Vapor Deposition) [11], người ta đã tạo ra rất nhiều hệ bán dẫnvới kích thước nằm trong khoảng từ 0,1 đến 100nm Ngành khoa học vàcông nghệ nghiên cứu, chế tạo ra các cấu trúc này được gọi là ngành côngnghệ nano Sự phát triển của ngành khoa học, công nghệ này là một tiênlượng tốt đẹp cho sự phát triển của các lĩnh vực khoa học, công nghệ ở thế

kỉ 21

Có thể kể đến một số cấu trúc thấp chiều: cấu trúc phẳng hai chiềunhư siêu mạng hay giếng lượng tử (quantum wells), cấu trúc một chiều-dây lượng tử (quamtum wires) và cấu trúc không chiều-chấm lượng tử(quantum dots) Trong các cấu trúc có kích thước nhỏ và thấp chiều nhưtrên, các qui luật lượng tử bắt đầu có hiệu lực, trước hết thông qua sự biếnđổi đặc trưng phổ năng lượng Phổ năng lượng của các hệ điện tử trở nêngián đoạn dọc theo phương giam giữ của điện tử Ngày nay, việc nghiêncứu hiện tượng chuyển tải electron trong trường điện từ mạnh, nghiên cứutính chất quang trong hệ điện tử thấp chiều, đang tiếp tục được hoànthiện

Trên phương diện nghiên cứu lý thuyết, những vấn đề trên được giảiquyết theo quan điểm lượng tử bằng cách sử dụng nhiều phương pháp khácnhau như lý thuyết nhiễu loạn, phương pháp phương trình động lượng tử,

lý thuyết hàm Green hoặc phương pháp chiếu toán tử Vì mỗi phươngpháp đều có ưu điểm cũng như nhược điểm riêng của nó nên việc sử dụngphương pháp nào tốt hơn chỉ có thể đánh giá tuỳ vào bài toán cụ thể.Một trong những thành tựu đáng kể trong việc nghiên cúu lý thuyết vàthực nghiệm trong những năm gần đây là nghiên cứu dịch chuyển electrontrong điện trường mạnh Có nhiều lý thuyết liên quan đến vấn đề này, mộttrong những lý thuyết sớm nhất nghiên cứu sự chuyển tải trong trường điện

từ mạnh là lý thuyết chuyển tải của Boltzmann Tuy nhiên, do phương phápcòn mang tính bán cổ điển nên kết quả tìm được chưa thỏa đáng Lý docủa điều này là do trường mạnh đã làm thay đổi trạng thái lượng tử vànăng lượng của hạt tải

Trong quá trình tiếp tục nghiên cứu để hoàn thiện kết quả, một vài lýthuyết mới đã ra đời Baker, khi nghiên cứu về phương trình Boltzmanncho trường mạnh, đã dự đoán sự tồn tại của hai ảnh hưởng lượng tử như là

hệ quả của sự mở rộng do hiệu ứng hồi phục và hiệu ứng gia tốc của trườngkhi va chạm Đã có nhiều phương pháp khác nhau được đề xuất như: gầnđúng tích phân đường của Feymann, gần đúng cân bằng lực, gần đúng hàmGreen, gần đúng phương trình Langevin lượng tử tổng quát, phương pháp

mô phỏng Monte - Carlo, phương pháp chiếu toán tử, Trong số nhữngphương pháp này, phương pháp dựa trên lý thuyết phản ứng tuyến tínhcủa Kubo, phương pháp sử dụng phương pháp chiếu toán tử đã thu đượcnhững kết quả đáng chú ý Sử dụng các kỹ thuật chiếu toán tử, các nhómnghiên cứu đã giải quyết thành công khá nhiều các bài toán Tuy vậy, cáckhảo sát này đa phần dừng lại ở vật liệu khối và phương pháp sử dụng chủyếu là kỹ thuật chiếu phụ thuộc trạng thái và kỹ thuật chiếu cô lập.Năm 2000, nhóm nghiên cứu của Kang N L., Lee Y J và Choi S D

đã giới thiệu một kỹ thuật chiếu mới, gọi là kỹ thuật chiếu độc lập trạngthái Bằng việc sử dụng kỹ thuật này, nhóm của Kang N L đã biểu diễnđược tenxơ độ dẫn của một hệ điện tử tương tác với phonon trong gầnđúng phản ứng tuyến tính và độ rộng phổ cộng hưởng cyclotron trong bándẫn khối Ge [21] Chúng tôi hy vọng sẽ khai thác được tường minh các kếtquả và áp dụng kỹ thuật này vào khảo sát hệ điện tử trong mô hình bándẫn dây lượng tử với thế giam giữ dạng bán parabol.

Hiện tượng cộng hưởng electron-phonon (EPR-electrophonon nance) liên quan đến tính kỳ dị của mật độ trạng thái trong hệ một chiều.Khi hiệu số hai mức năng lượng của electron bằng năng lượng phonon cùngvới điều kiện thế đặt vào đủ lớn thì sẽ xảy ra sự cộng hưởng EPR [33][36].Nếu quá trình hấp thụ LO-phonon có sự hấp thụ hoặc phát xạ photon thì

reso-ta sẽ có hiệu ứng cộng hưởng electron-phonon dò tìm quang học (Opticallydetected electron-phonon resonance-ODEPR)[36] Hiện tượng EPR đượcbắt đầu nghiên cứu kể từ năm 1972 bởi Bryskin và Firsov cho trường hợpbán dẫn không suy biến đặt trong điện trường mạnh Cho đến nay đã cómột số công trình nghiên cứu vấn đề này, chẳng hạn nhóm của Sang ChilLee và đồng nghiệp [33]; nhóm Se Gi Yu [44]

Việc nghiên cứu hiệu ứng EPR/ODEPR trong các thiết bị lượng tửhiện đại đóng vai trò rất quan trọng trong việc hiểu biết tính chất chuyển tảilượng tử của hạt tải điện trong bán dẫn Hiện tượng EPR/ODEPR tươngđương với hiện tượng cộng hưởng từ (MPR/ODMPR - magnetophonon res-onance/optically detected magnetophonon resonance) được quan sát trựctiếp qua việc nghiên cứu độ rộng vạch phổ và khối lượng hiệu dụng trongcộng hưởng electron - cyclotron trong bán dẫn khối GaAs [20] và trongbán dẫn hai chiều GaAs/AlxGa1-xAs Hiện tượng này cho phép đo được

cường độ tán xạ đối với các mức Landau cụ thể, từ đó cung cấp thông tin

về bản chất của tương tác electron-phonon trong bán dẫn Vì vậy, nghiêncứu hiệu ứng EPR/ODEPR cũng sẽ cho ta thu được các thông tin của hạttải và phonon

Việc nghiên cứu hiệu ứng EPR/ODEPR trong bán dẫn dây lượng tửđang là vấn đề thời sự nóng hổi hiện nay, vì nó sẽ góp phần làm sáng tỏ cáctính chất mới của khí electron chuẩn 1 chiều dưới tác dụng trường ngoài,

từ đó cung cấp thông tin về tinh thể và tính chất quang của dây lượng

tử bán dẫn cho công nghệ chế tạo các linh kiện quang điện tử và quang

tử Chính vì những lí do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu "Dò tìm cộng hưởng electron-phonon bằng quang học trong dây lượng tử với thế giam giữ dạng bán parabol" làm đề tài cho luận văn này.

2 Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu của đề tài là khảo sát hiện tượng cộng hưởng phonon (EPR) và cộng hưởng dò tìm quang học electron-phonon (ODEPR)trong dây lượng tử với thế giam giữ dạng bán parabol khi chịu tác dụngcủa trường ngoài

electron-3 Nội dung nghiên cứu

- Thành lập biểu giải tích của tenxơ độ dẫn tuyến tính trong bándẫn khi có mặt trường ngoài và giải thích ý nghĩa vật lý của hiện tượngdịch chuyển electron giữa các mức năng lượng

- Áp dụng cho mô hình bán dẫn dây lượng tử với thế giam giữ dạngbán parabol để đưa ra biểu thức tường minh của công suất hấp thụ

- Khảo sát số và vẽ đồ thị sự phụ thuộc công suất hấp thụ vào: tần

số trường ngoài, nhiệt độ và biện luận các điều kiện cộng hưởng phonon và cộng hưởng dò tìm quang học electron-phonon

electron-4 Lịch sử nghiên cứu của đề tài

Ở nước ta, từ trước năm 2000 việc nghiên cứu các bán dẫn có cấutrúc nano chủ yếu là về phương diện lý thuyết của một số nhóm tác giảtại Viện Vật lý và Khoa Vật lý, Trường ĐHKH Tự nhiên thuộc ĐHQG HàNội Các nghiên cứu thực nghiệm chủ yếu bắt đầu từ 2001 tại một số trungtâm lớn như Viện Khoa học vật liệu, Viện Vật lý kỹ thuật thuộc ĐH Báchkhoa Hà Nội Các nghiên cứu lý thuyết về các bán dẫn thấp chiều trong đó

có dây lượng tử bán dẫn ở nước ta ra đời sau 1995, với các nhóm nghiêncứu của các tác giả như GS Trần Thoại Duy Bảo (TP HCM), GS ĐoànNhật Quang, PGS Nguyễn Như Đạt, GS Nguyễn Văn Liễn (Viện Vật lý),

GS Nguyễn Quang Báu (ĐHKHTN ĐHQG Hà Nội) Các nhóm nghiên cứukhác nhau quan tâm, đi sâu nghiên cứu các vấn đề khác nhau Trong đó

có thể kể ra một số nghiên cứu trong trong nước gần đây như:

+ Năm 2008 có:

- ThS Trương Hồng Nhung với đề tài "Áp dụng kĩ thuật chiếu cô lập

để nghiên cứu cộng hưởng cyclotron trong bán dẫn hố lượng tử với thếparabol và bán parabol" Trong đó, đề tài sử dụng kỹ thuật chiếu cô lậptính công suất hấp thụ cộng hưởng cyclotron trong bán dẫn hố lượng tửthế parabol và bán parabol Cuối cùng là tích số và so sánh với các nghiêncứu lý thuyết khác và với kết quả thực nghiệm [12]

- ThS Trần Thị Phú với đề tài "Nghiên cứu lý thuyết để phát hiện cộnghưởng electron-phonon trong hố lượng tử sâu vô hạn bằng quang học" Sử

dụng toán tử chiếu để tìm biểu thức hàm độ rộng phổ, từ đó tìm điều kiệnxảy ra và khảo sát các đặc điểm của cộng hưởng electron - phonon (EPR)cho bán dẫn hố lượng tử sâu vô hạn Tính số cho bán dẫn thực, khảo sátđặc tính hiệu ứng ODEPR theo nhiệt độ, độ rộng hố lượng tử và theo tần

số của điện trường ngoài [13]

+ Năm 2009 có:

- ThS Lê Văn Hưng với đề tài "Nghiên cứu lý thuyết về cộng hưởngelectron-phonon trong dây lượng tử hình trụ với thế vô hạn" Trong luậnvăn này sử dụng phưng pháp toán tử chiếu độc lập trạng thái để tìm biểuthức tenxơ độ dẫn và công suất hấp thụ trong dây lượng tử hình trụ thế

vô hạn do tương tác electron-phonon, xác định điều kiện có cộng hưởngelectron-phonon và các phương pháp để phát hiện hiệu ứng này [10]

- ThS Nguyễn Ngọc Hoàn với đề tài "Nghiên cứu lý thuyết cộng hưởngelectron-phonon trong dây lượng tử hình trụ thế parabol" Luận văn đã sửdụng phương pháp toán tử chiếu cô lập tìm biểu thức tenxơ độ dẫn và côngsuất hấp thụ từ đó tìm điều kiện xảy ra hiện tượng cộng hưởng electron-phonon khảo sát độ rộng phổ và đường cộng hưởng electron-phonon trongdây lượng tử hình trụ thế parabol theo nhiệt độ, kích thước dây và tần sốcủa điện trường ngoài [8]

- ThS Nguyễn Đình Hiên với đề tài "Nghiên cứu lý thuyết về cộnghưởng electron-phonon trong dây lượng tử hình chữ nhật" đã sử dụngphương pháp toán tử chiếu phụ thuộc trạng thái loại II để nghiên cứucộng hưởng electron-phonon trong dây lượng tử hình chữ nhật và dò tìmquang học hiện tượng này [7]

Tuy nhiên, chưa có nhóm nghiên cứu nào đề cập đến vấn đề dò tìmquang học cộng hưởng electron-phonon trong dây lượng tử thế giam giữ

dạng bán parabol mà đề tài dự tiến hành.

Ở nước ngoài, trong những năm gần đây, hiệu ứng cộng hưởng phonon và dò tìm quang học cộng hưởng electron-phonon trong hệ bán dẫnthấp chiều đang được quan tâm nghiên cứu do tính thiết thực của vấn đề

electron-Từ những kết quả của nghiên cứu, ta có thể thu được những thông tinhữu ích liên quan đến tính chất dịch chuyển của bán dẫn như: cơ chế tán

xạ của các hạt tải, khối lượng hiệu dụng, tương tác electron-phonon và sựkhác nhau về năng lượng của các electron giữa các mức kề nhau trong nộivùng Ta có thể kể ra một số nhóm tác giả nghiên cứu vấn đề kể trên:+ Sang Chil Lee, Dò tìm quang học hiệu ứng cộng hưởng electron-phonon trong dây lượng tử [37]

+ Sang Chil Lee, Jeong Woo Kang, Hyung Soo Ahn, Min Yang, NamLyong Kang, Suck Whan Ki (2005): Dò tìm quang học hiệu ứng cộng hưởngelectron-phonon trong giếng lượng tử [36]

+ Se Gi Yu, Pevzner V B và Kim K W (1998): Nghiên cứu cộnghưởng electron-phonon trong dây lượng tử hình trụ, tập trung vào nghiêncứu sự khác nhau về quy tắc lọc lựa để khảo sát khả năng phát hiện sựgiam giữ electron trong dây lượng tử [45]

+ W Xu, F M Peeters and J T Devreese: Cộng hưởng phonon trong hệ điện tử chuẩn hai chiều [20]

electron-+ Yu Se Gi, PevznerV B., and Kim K W., Stroscio M A.: Cộnghưởng electron-phonon trong dây lượng tử hình trụ [44]

5 Phạm vi nghiên cứu

- Sử dụng các phương pháp lý thuyết phản ứng tuyến tính và phươngpháp chiếu toán tử độc lập trạng thái

- Sử dụng chương trình Mathematica để tính số và vẽ đồ thị

6 Giới hạn luận văn

- Chỉ xét đến tương tác electron-phonon, bỏ qua các tương tác cùngloại (electron-electron, phonon-phonon)

Chương 1 TỔNG QUAN VỀ MÔ HÌNH KHẢO SÁT VÀ

PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Chương này trình bày tổng quan về bán dẫn dây lượng tử, tonian của hệ electron-phonon khi có mặt trường ngoài, thừa số dạng của tương tác electron-phonon trong dây lượng tử thế bán parabol, lý thuyết phản ứng tuyến tính và phương pháp chiếu toán

Hamil-tử độc lập trạng thái.

1.1 Tổng quan về dây lượng tử thế bán parabol

1.1.1 Tổng quan về dây lượng tử

Dây lượng tử là một cấu trúc vật liệu trong đó chuyển động của điện

tử bị giới hạn theo hai chiều kích cỡ nanô mét ( thường chọn là hướng x

và y) , chỉ chuyển động tự do theo một chiều còn lại (hướng z), vì thế hệ

điện tử còn được gọi là khí điện tử một chiều

Vì dây lượng tử là cấu trúc một chiều nên các hiệu ứng lượng tử thểhiện rõ hơn trong cấu trúc lượng tử hai chiều Các khảo sát lý thuyết chủyếu dựa trên hàm sóng, phổ năng lượng thu được nhờ giải phương trìnhSch¨odinger với các mô hình thế giam giữ khác nhau Các mô hình được

sử dụng là dây lượng tử thế cao vô hạn, thế parabol, thế bán parabol, thếtam giác Trong giới hạn của đề tài này, ta sẽ xét đến mô hình dây bándẫn lượng tử thế bán parabol

1.1.2 Phổ năng lượng và hàm sóng điện tử của điện tử trong

dây lượng với giam giữ dạng bán parabol

Theo cơ học lượng tử, chuyển động của điện tử trong các cấu trúcbán dẫn thấp chiều nói chung và cấu trúc dây lượng tử nói riêng đều bịlượng tử hóa

Một cách tổng quát, năng lượng và hàm sóng của electron trong dâylượng tử thu được bằng cách giải phương trình Sch¨odinger cho electron

∆ψ(~ r) + 2m e

~2 [E − U (~ r)]ψ(~ r) = 0, (1.1)

trong đó, U (~ r) là thế năng tương tác Coulomb giữa electron và trường

mạng tinh thể, m e là khối lượng hiệu dụng của điện tử Trong luận văn

này chúng ta giả sử electron chuyển động tự do theo phương z và bị giam giữ trong mặt phẳng (x,y) Từ đó, thế năng U được phân thành hai thành

trong đó ψ(z) và ε z lần lượt là hàm sóng và năng lượng của electron theo

phương z; ψ(x, y), ε x,y lần lượt là hàm sóng và năng lượng của electron

trong mặt phẳng (x, y).

Theo cơ học lượng tử, phương trình (1.2) có nghiệm:

Trong trường hợp bài toán của chúng ta, điện tử chỉ chuyển động theomột phương (ta chọn là phương z) và bị giới hạn theo hai phương còn lại(ta chọn là phương x,y) bởi thế năng giam giữ bán parabol có dạng:

Vậy phổ năng lượng và hàm sóng của điện tử chuyển động trong dây lượng

tử với thế giam giữ dạng bán parabol có dạng:

1.1.3 Biểu thức của thừa số dạng đối với tương tác

electron-phonon trong dây lượng tử với thế giam giữ dạng bán parabol

Khi nghiên cứu các tính chất động, tốc độ tán xạ electron-phonon, của các cấu trúc bán dẫn thấp chiều, thừa số dạng G là đại lượng rất quantrọng Trong các công trình nghiên cứu trước đây, để đơn giản cho tínhtoán, người ta cho thừa số dạng là một hằng số không thay đổi Tuy nhiên,các nghiên cứu gần đây cho thấy rằng thừa số dạng là một đại lượng phứctạp Đối với mỗi loại vật liệu, hình dạng vật liệu hoặc đối với các phononkhác nhau sẽ có thừa số dạng khác nhau Cho nên, đối với các bài toántán xạ, ta cần phải thiết lập được biểu thức tổng quát rồi sau đó áp dụng

để tính đối với từng trường hợp cụ thể

Để xác định biểu thức của thừa số dạng, ta đưa ra tích phân bao phủ

G được cho bởi công thức sau:

G = hβ | e i~ q~ r | αi, trong đó, | βi = ψ β (x, y, z) và | αi = ψ α (x, y, z) là các hàm sóng có dạng

như ở (1.16) Thay biểu thức của hàm sóng ở (1.16) vào G ta thu được kếtquả

trong đó L m n (u) là đa thức Laguerre và n xα ≤ n xβ , n yα ≤ n yβ.

Thừa số dạng I được xác định bởi biểu thức

|G|2 = δ k zα +q z ,k zβ × I

= δ k zα +q z ,k zβ

1

1.1.4 Hamiltonian của hệ electron - phonon trong dây lượng

tử với thế giam giữ bán parabol khi có mặt điện trường ngoài

Xét một hệ điện tử không tương tác với nhau mà chỉ tương tác vớiphonon trong một dây lượng tử đặt trong điện trường ngoài biến thiêntheo thời gian có dạng

~ E(t) =

Hamiltonian toàn phần của hệ electron-phonon trong biểu diễn lượng

tử hóa lần thứ hai được xác định bởi biểu thức [24], [28]

phonon tự do có dạng chéo H d và Hamiltonian tương tác electron - phonon

không chéo H e−ph, chúng có dạng [30]

H eq = H d + H e−ph = H e + H ph + H e−ph , (1.21)

~ω ~ q b+~ q b ~ q ,

H e−ph = X

αα0,~ q

C αα0(q)a+α a α0(b q + b+−q ), (1.22)

Trong các biểu thức trên, H e và H ph là các Hamitonian của hệ electron

và hệ phonon tự do; trong đó a+α (a α) là toán tử sinh (hủy) electron ở trạng

thái |αi với năng lượng E α ; b+~ q (b q) là toán tử sinh (hủy) phonon có năng

lượng ~ω q và ~ q là vectơ sóng của phonon; C αα0(q) là yếu tố ma trận tương

tác electron-phonon và có dạng:

C αα0(q) = hα|C q e i~ q~ r |α0i = C q I αα0(~ q), (1.23)

với C q là hằng số tương tác điện tử phụ thuộc vào loại phonon và I αα0(~ q)

là thừa số dạng của electron trong dây lượng tử

Hamiltonian tương tác phụ thuộc vào trường ngoài biến thiên theothời gian được cho bởi [40]

H int (t) = − i

ω

~ E(t) ~ J. (1.24)

Sử dụng giả thiết đoạn nhiệt, nghĩa là tương tác được mắc vào tại thời

điểm t → −∞, biểu thức Hamiltonian tương tác có thêm thừa số e −at, với

1.2 Tổng quan về phương pháp nghiên cứu

1.2.1 Lý thuyết phản ứng tuyến tính

Xét một đại lượng động lực A Giá trị trung bình theo tập hợp thống

kê của A được xác định bởi

trong đó T R A là vết của nhiều hạt của toán tử A và ρ n (t) là toán tử ma

trận mật độ Giả sử rằng ban đầu, khi chưa có điện trường ngoài, hệ ở

trạng thái cân bằng nhiệt động có toán tử mật độ là ρ eq Khi có mặt điệntrường ngoài phụ thuộc thời gian, toán tử mật độ được khai triển thànhhai thành phần

ρ(t) = ρ eq + ρ int (t), (1.27)

trong đó ρ int (t) là toán tử mật độ của hệ khi có nhiễu loạn.

Phương trình Liouville cho toán tử mật độ có dạng:

i~ ∂ρ(t)

∂t = [H(t), ρ(t)] ≡ L(t)ρ(t), (1.28)

với L(t) là toán tử Liouville toàn phần được định nghĩa bởi L(t)X ≡ [H(t), X], với X là toán tử tuyến tính bất kỳ Toán tử Liouville cũng có thể phân thành hai phần L(t) = L eq + L int (t), tương ứng với các thành phần H eq , H int (t) và L eq = L d + L v tương ứng với H d , V Thay H(t) =

H eq + H int (t), ρ(t) ở (1.27) vào (1.28) sau đó khai triển các số hạng với chú

ý rằng toán tử mật độ cân bằng không phụ thuộc thời gian ta thu đượcbiểu thức:

Do toán tử mật độ cân bằng không phụ thuộc thời gian

i~ ∂ρ eq

∂t = 0 = [H eq , ρ eq]

nên phương trình (1.29) trở thành

i~ ∂ρ int (t)

∂t = [H int (t), ρ eq ] + [H eq , ρ int (t)] + [H int (t), ρ int (t)]. (1.30)

Trong biểu diễn Dirac, [29] toán tử mật độ dòng được định nghĩanhư sau:

ρ D int (t) = e~i H eq t ρ int (t)e−~i H eq t (1.31)Tiếp tục lấy đạo hàm hai vế phương trình (1.31) và chú ý đến (1.29)

ta thu được kết quả (xem Phụ lục 3):

~ [H int (t), ρ eq ]e−iHeq t~ + e iHeq t~ [H int (t), ρ int (t)]e−iHeq t~ .(1.32)

Áp dụng tính chất được chứng minh ở Phụ lục 4, một toán tử A không

phụ thuộc thời gian thỏa mãn A0(t)| t=0 = 0 thì:

∂t =e

i

~L eq t L int (t)ρ eq + e~i L eq t L int (t)ρ int (t).

Tích phân hai vế của phương trình trên từ −∞ đến t với điều kiện ρ D int (t)| t→−∞ =0:

Viết lại biểu thức trên đối với ρ int (t − u1):

e−~i L eq u2L int (t − u1− u2)ρ int (t − u1− u2)du2.

Thay ρ int (t − u1) vào biểu thức của ρ int (t), ta được:

Tiếp tục thay biểu thức ρ int (t − u1− u2) cho đến ρ int (t − u1 − u2 − u n)

ta được biểu thức khai triển của ma trận mật độ đến số hạng thứ n

trong đó, ρ (n) (t) chứa n lần toán tử L int (t).

Trung bình theo tập hợp thống kê của thành phần thứ k của toán tử mật độ dòng điện ~ J có dạng:

một electron như sau:

J k =X

α,β

(j k)α,β a+α a β , (1.35)

với (j k)α,β = hα|j k |βi.

Ta tìm số hạng bậc nhất của trung bình dòng điện bằng cách thay

biểu thức (1.35) và biểu thức khai triển của ρ int (t) trong (1.33) vào (1.34).

L int (t − u1)ρ eq = [H int (t − u1), ρ eq]và

Ở đây ta đã áp dụng tính chất hoán vị vòng tròn của vết: T R {A[B, C] =

T R {ABC − ACB} = T R {CAB − CBA} = T R {C[A, B]} (xem Phụ lục 5) Nếu đặt: E(¯ ω) = E0e −i¯ ωt và

Đại lượng σ kl (ω) được gọi là tenxơ độ dẫn tuyến tính ứng với thành phần

hJ k(1)iens của mật độ dòng trung bình

Thay biểu thức của J k ở (1.35) vào ta có biểu thức tổng quát củatenxơ độ dẫn

1.2.2 Phương pháp chiếu toán tử độc lập trạng thái

Phép chiếu toán tử được Mori đưa ra lần đầu tiên năm 1965 [32] vớimục đích áp dụng lý thuyết về hàm tương quan của Kubo [27] để khắcphục một khó khăn cơ bản mà các lý thuyết về quá trình không thuậnnghịch thời đó mắc phải, đó là tính phân kỳ của các số hạng trong khaitriển của các đại lượng động lực khi hệ chịu tác dụng của trường ngoài

Ý tưởng của phương pháp chiếu toán tử mà Mori đưa ra là bất kỳ

một đại lượng động lực A(t) nào cũng có thể viết được dưới dạng

A(t) = Ξ(t).A + A0(t), A0(t) =

Z ∞

0

Ξ(t − s).f (s)ds, (1.41)

trong đó, Ξ(t) được xác định bởi phép biến đổi Laplace, f (t) là hàm ngẫu

nhiên mô tả tính ngẫu nhiên của tương tác Khi đó hình chiếu của một

vectơ G lên trục A được xác định bởi

P G = (G, A∗)(A, A∗)−1A, (1.42)

với A∗ là liên hợp Hermite của A, kí hiệu (A, B) biểu diễn hàm tương quan của hai toán tử A và B Phương trình này xác định một toán tử tuyến tính Hermite P trong không gian Hilbert thỏa mãn điều kiện P (1 − P ) = 0 Từ

đó ta định nghĩa tích vô hướng trong số hạng đầu tiên của (1.41) là hình

chiếu của A(t) lên trục A, và số hạng thứ hai A0(t) là thành phần thẳng

góc với nó, cụ thể là

Ξ(t) = (A(t), A∗)(A, A∗)−1, A0(t) = (1 − P )A(t). (1.43)

Như vậy, Ξ(t) mô tả sự diễn tiến theo thời gian của hình chiếu của đại lượng A(t).

Tiếp theo phương pháp chiếu toán tử của Mori, một loạt kỹ thuậtchiếu đã được giới thiệu để giải quyết nhiều bài toán khác nhau [16], [17],[18], [19], [25], [35], [39] Trong đề tài này, chúng tôi sử dụng kỹ thuật chiếutoán tử độc lập trạng thái [21] mà nhóm Kang N L đã giới thiệu năm

2000 Các toán tử chiếu độc lập trạng thái được định nghĩa như sau:

Chương 2 KẾT QUẢ GIẢI TÍCH

Chương này sẽ trình bày phần tính toán giải tích hàm dạng phổ, phần tử ma trận của mật độ dòng điện theo phương giam giữ của dây lượng tử thế bán parabol để từ đó tính toán giải tích và thu được biểu thức tường minh của công suất hấp thụ.

2.1 Biểu thức của tenxơ độ dẫn tuyến tính

2.1.1 Biểu thức tường minh của tenxơ độ dẫn tuyến tính

Ten xơ độ dẫn tổng quát có dạng:

σ k,l (ω) = i

ω Dlime→0 +T R {ρ eq[(~¯ω − L eq)−1J k , J l]}

= i

ω Dlime→0 +h(~¯ω − L eq)−1J k i, (2.1)với ¯ω = ω + iD e , D e → 0+

Tác dụng (P + ¯ P ) về phía bên phải thành phần (~¯ ω − L eq)−1J k củabiểu thức trên ta thu được

Thay L eq = L d + L v , trong đó L d và L v là hàm Liouville tương ứng với

Hamiltonian H d , H v vào (2.11) ta thu được

Trong biểu thức trên, C k` , D k`(¯ω và E k`(¯ω) được gọi là các thừa số tán xạ.

Tenxơ độ dẫn tổng quát thu được từ việc thay (2.13), (2.14) và (2.15) vào (2.12) đồng thời chú ý đến (2.1) có dạng

2.1.2 Biểu thức của hàm dạng phổ

Ta có

hJ k i = T R ρ eq [J k , J l ], (2.21)trong đó

hệ thức giao hoán của toán tử sinh-hủy điện tử (phonon) và các hệ thức

về trị trung bình thống kê như sau:

+ Toán tử sinh-hủy điện tử:

T R = {ρ d a+α a β } = f α δ α,β

T R = {ρ d a β a+α } = T R {ρ d [a β , a+α]+ − a+α a β}

= (1 − f α )δ α,β ,

trong đó f α là hàm phân bố Fermi-Dirac của điện tử ở trạng thái | αi.

+ Toán tử sinh-hủy phonon:

T R = {ρ d b+q0b q } = N q δ qq0

T R = {ρ d b q b+q0} = (1 + N q )δ qq0,

trong đó N q = exp[(~ω q /k B T − 1)]−1 là hàm phân bố Bose-Einstein của

phonon có năng lượng ~ω q Chú ý rằng, phổ của phonon là hàm chẵn đối

xứng qua trục tung nên ω q = ω −q và N q = N −q Vì thế V có tính Hermite

nên C αµ+ (q) = C αµ (−q) Bây giờ ta sẽ đi vào tính các số hạng còn lại.

= 0 (2.28)

Do ta xét quá trình dịch chuyển giữa ba mức α, β và γ nên δ γβ = δ αγ =

δ αβ = 0 Thực hiện tính toán tương tự ta có các số hạng (5), (12) và (15)

hấp thụ phonon Mỗi số hạng trong (2.29) thể hiện một quá trình tương

tác giữa các hạt và sự dịch chuyển electron giữa các mức Chẳng hạn với

số hạng thứ tư, f α (1 − f γ) thể hiện quá trình một electron ở trạng thái

ban đầu γ chuyển lên trạng thái trung gian α Cơ chế này kèm theo hấp thụ một phonon có năng lượng ~ω q và phát xạ một photon phát xạ mộtphonon năng lượng ~¯ω Trong đó, số hạng (1 + N q) xuất hiện như là điềukiện phát xạ phonon Mẫu số thể hiện quá trình chuyển mức tuân theo

định luật bảo toàn năng lượng, nghĩa là E α = E γ + ~ω q+ ~¯ω |C β,γ (q)|2 thể

hiện trạng thái trung gian γ bị nhiễu loạn bởi tương tác với các phonon

[22], [23], [28] Các số hạng còn lại cũng có thể giải thích hoàn toàn tương

tự, nghĩa là các electron hấp thụ hoặc phát xạ một photon có năng lượng

~¯ω rồi dịch chuyển giữa các mức cơ bản α, β và mức trung gian γ kèm theo

hấp thụ hoặc phát xạ một phonon có năng lượng ~ω q Ta có thể lập bảng

và vẽ sơ đồ các quá trình chuyển mức giữa các trạng thái như sau:

SH Chuyển mức Định luật BTNL Phonon ~ω q Photon ~ω

Tiếp theo ta sẽ tính phần ảo của hàm dạng phổ (2.29).

Hàm dạng phổ ở (2.29) phụ thuộc vào ¯ ω = ω + iD e (D e → 0+) nên nó

là một đại lượng phức và ta có thể phân tích thành

Γkl(¯ω) = A(ω) + iB(ω),

với B(ω) = Im(Γ kl(¯ω)) và A(ω) = Re(Γ kl(¯ω)) tương ứng được gọi là hàm

tốc độ dịch chuyển đỉnh cộng hưởng (hàm dịch vạch phổ-lineshift function)

và hàm độ rộng của phổ hấp thụ (hay tốc độ hồi phục-relaxation rate) Để

tìm được dạng cụ thể của A(ω) và B(ω) ta sử dụng đồng nhất thức Dirac

Các số hạng còn lại trong (2.29) được tính tương tự, cuối cùng ta thu

được các biểu thức của hàm tốc độ dịch chuyển đỉnh cộng hưởng:

Biểu thức của tenxơ độ dẫn lúc này là:

Áp dụng gần đúng Lorentz[34], nghĩa là ta giả sử hiệu ứng tán xạ là rất

yếu và chấp nhận gần đúng B αβ (ω) ≈ B βα (E αβ), khi đó sự đóng góp của

A(ω) cho Re[σ kl (ω)] sẽ rất yếu so với (E β − E α) nên có thể bỏ qua Lúc

này, B(ω) được gọi là tốc độ hồi phục và (2.34) được viết lại như sau:

và phương pháp thống kê lượng tử, ta đã xác định được biểu thức tổngquát cho tenxơ độ dẫn tuyến tính khi có mặt điện trường ngoài Trong mụctiếp theo ta xây dựng được biểu thức tường minh của công suất hấp thụelectron trong dây lượng tử thế bán parabol

2.2 Biểu thức của công suất hấp thụ

Khi có sóng điện từ phân cực phân cực tuyến tính với biên độ E l và

tần số ω đặt vào hệ thì giá trị trung bình của công suất hấp thụ được cho

bởi biểu thức:

P (ω) = E

2 0

2 Re[σ kl (ω)], (2.36)