Đa chập đối với các phép biến đổi tích phân Hartley, Fourier và ứng dụng

151.3.2 Các tính chất của phép biến đổi Fourier sine 161.3.3 Ứng dụng phép biến đổi tích phân Fourier sine và giải phương trình vi phân đạo hàm riêng.. 18 2 Đa chập đối với các phép biến

Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

cosine 111.2.2 Các tính chất của phép biến đổi Fourier cosine 121.3 Phép biến đổi tích phân Fourier sine 151.3.1 Định nghĩa phép biến đổi tích phân Fourier

sine 151.3.2 Các tính chất của phép biến đổi Fourier sine 161.3.3 Ứng dụng phép biến đổi tích phân Fourier sine

và giải phương trình vi phân đạo hàm riêng 18

2 Đa chập đối với các phép biến đổi tích phân Hartley,

2.1 Định nghĩa đa chập 21

2.2 Các tính chất của đa chập 21

2.2.1 Tính chất 1 21

2.2.2 Tính chất 2 24

2.2.3 Tính chất 3 25

2.3 Ứng dụng giải phương trình, hệ phương trình tích phân kiểu đa chập 30

2.3.1 Phương trình tích phân kiểu đa chập 30

2.3.2 Hệ phương trình tích phân dạng đa chập 33

Một số ký hiệu dùng trong luận

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới TSNguyễn Minh Khoa, người đã tận tình chỉ bảo, tạo điều kiện và giúp

đỡ tác giả có thêm nhiều kiến thức, khả năng nghiên cứu, tổng hợptài liệu để hoàn thành luận văn

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè và các đồngnghiệp đã động viên, giúp đỡ tác giả quá trình học tập của mình

Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên luận văn không tránhkhỏi những thiếu sót Tác giả rất mong nhận được sự góp ý của cácthầy cô để luận văn được hoàn thiện hơn

Tác giả xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, ngày 05 tháng 08 năm 2013

Tác giả

Trần Văn Hưng

Lời mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Trong bài báo [5], Kakichev đưa ra khái niệm đa chập, như là

sự mở rộng tổng quát hơn nữa của tích chập suy rộng Kakichev đãđưa ra phương pháp kiến thiết đa chập của n + 1 phép biến đổi tíchphân K, K1, K2, , Kn với hàm trọng γ(x) của n hàm f1, f2, , fn

mà đối với nó có đẳng thức nhân tử hóa then chốt sau

K[γ(f1, f2, , fn)](y) = γ(y).(K1f1)(y) (Knfn)(y) (1)

Trên cơ sở của bài báo này đa chập đầu tiên đối với các phép biếnđổi tích phân Hilbert, Stieltjes và Fousier cosine đã được công bốbởi tác giả Nguyễn Xuân Thảo năm 1999 Trong vài năm trở lại đâytác giả Nguyễn Minh Khoa cũng đã công bố một số đa chập đốivới chùm 3 phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine và Fouriercosine Sự mở rộng tích chập, tích chập suy rộng sang đa chập là mộtbước phát triển mới, nó mở rộng không chỉ phạm vi của lý thuyếtcác phép biến đổi tích phân mà còn mở rộng sự ứng dụng cho lớpcác phương trình, hệ phương trình vi tích phân mới phức tạp hơn.Chính vì lẽ đó đề tài về đa chập của các phép biến đổi tích phânluôn lôi cuốn và có tính khoa học cao Vì vậy tôi đã chọn hướngnghiên cứu của luận văn là Đa chập đối với các phép biến đổitích phân Hartley, Fourier cosine và Fourier sine

Các tích chập đã biết dùng trong luận văn

Tích chập của hai hàm f, g ∈ L1(R) đối với phép biến đổi tích

F (f ∗ g)

F

(y) = (F f )(y).(F g)(y), ∀y ∈ R (3)

Tích chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine [8] Fc củahai hàm f và g được xác định như sau

f (y)[g(|x + y|) + g(x + y)]dy, x > 0 (4)

và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa

Fc(f ∗ g)

F c(y) = (Fcf )(y).(Fcg)(y), ∀y > 0 (5)

Năm 1951 Sneddon đã xây dựng được tích chập suy rộng đầu tiênđối với hai phép biến đổi tích phân Fourier sine, Fourier cosine [8]cho hai hàm f , g ∈ L(R)

(y) = (Fsf )(y).(Fcg)(y), ∀y > 0 (7)

Tích chập suy rộng đối với phép biến đổi tích phân Fourier sine,Fourier cosine

Fc(f ∗

2 g)(y) = (Fsf )(y).(Fsg)(y), ∀y > 0 (9)

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về các phép biến đổi tích phân Hartley, Fourier sine,Fourier cosine Xây dựng và nghiên cứu đa chập suy rộng với hàmtrọng đối với các phép biến đổi tích phân Hartley, Fourier sine đồngthời đưa ra úng dụng giải phương trình và hệ phương trình tích phândạng đa chập

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu tích chập có hàm trọng đối với các phép biến đổitích phân Hartley, Fourier sine, Fourier cosine và ứng dụng vào giảiphương trình tích phân, hệ phương trình tích phân đa chập

4 Phương pháp nghiên cứu

• Sử dụng các phép biến đổi tích phân, lý thuyết phương trìnhtích phân và các kết quả của giải tích, giải tích hàm

• Sử dụng phương pháp kiến thiết tích chập có hàm trọng củaV.A Kakichev, Nguyễn Xuân Thảo và kỹ thuật trong các bàibáo của Nguyễn Minh Khoa để xây dựng và nghiên cứu đa chập

và các ứng dụng của chúng

5 Bố cục luận văn

Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, luận văn gồm hai chương:

Chương 1: Các phép biến đổi tích phân Hartley, Fouriercosine và Fourier sine

Nhắc lại định nghĩa và các tính chất cơ bản của các phép biếnđổi tích phân Hartley, Fourier cosine, Fourier sine và đưa ra một số

Chương 1

Các phép biến đổi tích phân

Hartley,Fourier cosine, Fourier

sine

1.1.1 Định nghĩa các phép biến đổi Hartley

Định nghĩa 1.1 Các phép biến đổi tích phân Hartley của hàm fđược ký hiệu là (H1f ), (H2f ) và được xác định tương ứng bởi

(H1f )(x) = √1

2πZ

R

f (y) cas(xy)dy, (1.1)

(H2f )(x) = √1

2πZ

0, x < 0,

|cas(xy)| ≤ √2,nên

|(Hif )(x)| ≤ kf k1, (∀f ∈ L(R), ∀x ∈ R) (1.3)Mặt khác, do S trù mật trong L(R) nên với mỗi f ∈ L(R) tồn tạidãy fn ∈ S sao cho kfn− f k1 → 0

Từ (Hifn) ∈ S ⊂ C0(R) và (1.3) suy ra (Hifn) hội tụ đều đến(Hif ) trên R Ta được điều phải chứng minh

Tính chất 1.2 (Định lý ngược) Bencewelr

Nếu f ∈ L(R), (Hif ) ∈ L(R) (i = 1, 2) và

f1(x) =: √1

2πZ

R

(H1f )(y)cas(xy)dy,

f2(x) := √1

2πZ

R

(H2f )(y)cas(−xy)dy

thì fi(x) = f (x) hầu khắp nơi trên R, (i = 1, 2)

Chứng minh Cho g ∈ S, với giả thiết f, (H1f ) ∈ L(R) khi đó ápdụng đinh lý Fubini cho tích phân bội sau

Do g ∈ S nên áp dụng tính chất (1.3) vào vế phải (1.4) và sử dụngđịnh lý Fubini ta có:

Z

R

f (x).(H1g)(x)dx = √1

2πZ

suy ra f1(x) = f (x) hầu khắp trên R

Chứng minh tương tự cho H2

Tính chất 1.3 (Định lý ngược)

Các phép biến đổi tích phân Hartley là ánh xạ liên tục, tuyến tính,

1 - 1 từ S vào S và phép biến đổi ngược với nó là chính nó, nghĩa là

1.2 Phép biến đổi tích phân Fourier cosine

1.2.1 Định nghĩa phép biến đổi tích phân Fourier cosine

Định nghĩa 1.2 Cho f ∈ L(R+), hàm (Fcf ) xác định bởi

ˆ

f = (Fcf )(y) =

r2π

Z +∞

0

e−αxcos yxdx

= 12

r2π

Z +∞

0

[e−(α−iy)x − e−(α+iy)x]dx

= 12

r2π

α2 + y2



Ví dụ 1.3 Tìm biến đổi Fourier cosin của hàm

Ta có

(Fcf )(y) =

r2

hx

y sin yx

a

0 − 1y

hx

y sin yx

a

0 + 1

y2 cos yx

1.2.2 Các tính chất của phép biến đổi Fourier cosine

Tính chất 1.4 Phép biến đổi Fourier cosine là phép biến đổi tuyếntính

Chứng minh Với mọi f , g ∈ L(R+); ∀α, β ∈ R ta có:

Fc[αf (x) + βg(x)](y) =

r2π

Z +∞

0

g(x) cos yx dx

= α(Fcf )(y) + β(Fcg)(y)

Vậy Fs là toán tử tuyến tính

Tính chất 1.5 Với a > 0 đặt fa(x) = f (ax), khi đó ta có:

(Fcfa)(y) = 1

a(Fcf )

ya



Chứng minh.

(Fcfa)(y) =

r2π

Z +∞

0

f (ax) cos yxdx

= 1a

r2π

= 1a

r2π



Định nghĩa 1.3 Cho f , g ∈ L(R+) Tích chập với phép biến đổiFourier cosine có dạng

Z +∞

0

f (u) cos yudu

r2π

Z +∞

0

1

√2πf (u)[g(u + t) + y(|u − t|)] cos ydtdu

= Fc[f ∗

Fcg](y)

1.3 Phép biến đổi tích phân Fourier sine

1.3.1 Định nghĩa phép biến đổi tích phân Fourier sine

Định nghĩa 1.4 Cho f ∈ L(R+), hàm Fsf được xác định bởi

ˆ

f (y) = (Fsf )(y) =

r2π

Z +∞

0

f (x) sin yx dx, (1.13)

là phép biến đổi Fourier sine của hàm f

Ta có công thức nghịch đảo sau

f (x) = (Fsf )(X) =ˆ

r2π

Z +∞

0

ˆ

f (y) sin yx dy, (1.14)

Ví dụ 1.4 Tìm biến đổi Fourier của hàm

Ta có

(Fsf )(y) =

r2

hx

y cos yx

n[cos kx.u]

πu(0, t) − k

2

r2π

Z +∞

0

u(k, t) sin kx dk

k ∗ (f, g, h)L1(R)k ≤ 2

πkf kL1(R+).kgkL1(R+).khkL1(R+) (2.2)

Bên cạnh đó nó còn thỏa mãn các đẳng thức nhân tử hóa sau

H1[∗(f, g, h)](y) = signy.(Fcf )(|y|).(Fsg)(|y|).(H2h)(y), ∀y ∈ R,

Vậy, ∗(f, g, h)(x) ∈ L1(R) và ta cũng thu được đẳng thức (2.2).

Bây giờ, ta chứng minh tính chất (2.3) Ta có

signy.(Fcf )(|y|).(Fsg)(|y|).(H2h)(y)

π√2π

4{cas[(t + u + v)y] − cas[(t − u − v)y]

− cas[(t + u − v)y] + cas[t − u + v)y]}

Vì vậy

signy(Fcf )(|y|).(Fsg)(|y|).(H2h)(y)

= 2π

π√2π

Z +∞

−∞

 12π

Z +∞

−∞

(∗(f, g, h)(x)).cas(xy)dx

= H1(∗(f, g, h)(x)), ∀y ∈ R

Đến đây ta suy ra (2.3), thay y = -y ta thu được công thức (2.4).Tiếp theo ta chứng minh tính chất Parseval (2.5) và (2.6) Thật vậy,

từ giả thiết h ∈ L2(R) ∩ L1(R) và áp dụng định lý Fubini ta có

H2[signy.(Fc(|y|)).(Fs(|y|)).(H1h(y))]

∗(f, g, h) = −i(f ∗γ

3 g) ∗

Fh,Chứng minh Sử dụng khai triển tích phân Fourier ta thu được

Re[(F f )(y)] = 1

2[H1f + H2f ](y)

Im[F f )(y)] = 1

2[H2f − H1f ](y), ∀y ∈ R

Như vậy, ta có thể biểu diễn phép biến đổi Fourier dưới dạng

(F f )(y) = Re[(F f )(y)] + iIm[(F f )(y)]

Sử dụng biểu diễn (2.7) đối với phép biến đổi Fourier ta thu được

F (∗(f, g, h))(y) = −isigny.(Fcf )(|y|).(Fsg)(|y|).(F h)(y)

Thật vậy từ đẳng thức nhân tử hóa (2.2) ta có

H1[∗(k, l, ∗(f, g, h))](y) = signy(Fck)(|y|).(Fsl)(|y|).H2(∗(f, g, h))(y)

= signy(Fck)(|y|).(Fsl)(|y|)[−signy).(Fcf )(|y|)

b) Sử dụng các đẳng thức nhân tử hóa ta có thể viết

H1(∗(f ∗

F c

k, g, h))(y) = signy.(Fc(f ∗

F ck))(|y|)

= signy.(Fcf )(|y|).(Fck)(|y|).(Fsg)(|y|)

Tiếp sau, ta nghiên cứu đa chập suy rộng với hàm trọng trongkhông gian hàm số Lα,β,γs (R) và nhận được các đánh giá chuẩn củanó

Định lý 2.4 Giả sử f ∈ Lp(R+), g ∈ Lq(R+), h ∈ Lr(R), sao cho

p, q, r > 1 và 1/p + 1/q + 1/r = 2 Khi đó đa chập suy rộng với hàmtrọng (2.1) bị chặn trong Lα,β,γs (R), ở đây S > 1, α > −1, β > 0,

γ > 0, và thỏa mãn bất đẳng thức về chuẩn sau

k ∗ (f, g, h)Lα,β,γ

s (R) ≤ C.kf kLp(R+), kgkLq(R+), khkLr(R), (2.8)

Ở đây C = 21+1/s/πγ1/s.β−(α+1)/γ−s.Γ1/s((α + 1)/γ)

Nếu thêm điều kiện f ∈ L1(R+) ∩ Lp(R+), g ∈ L1(R+) ∩ Lq(R+),

h ∈ L1(R+) ∩ Lr(R) thì (2.1) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa (2.3),(2.4) và thuộc vào không gian C0(R)

Hơn nữa nếu thêm điều kiện cho h, h ∈ L1(R) ∩ L2(R) ∩ Ln(R) thìđẳng thức Parseval (2.5) và (2.6) được thỏa mãn

Chứng minh

Ta chứng minh | ∗ (f, g, h)(x)| ≤ (2/π)kf kLp(R+), kgkLq(R+), khkLr(R)

Thật vậy từ Định nghĩa 2.1 ta có đánh giá sau

Tương tự, ta nhận được

kW kq1

Lq1(R 2 + ) = kf kpL

p (R + ).khkrL

r (R); kW kr1

Lr1(R 2 + ) = kf kpL

p (R + ).kgkqL

q (R + ).(2.10)

Từ giả thiết 1/p + 1/q + 1/r = 2 suy ra 1/p1 + 1/q1 + 1/r1 = 1

Sử dụng bất đẳng thức Holder và (2.10) ta có đánh giá sau

Từ f ∈ L1(R+) ∩ Lp(R+), g ∈ L1(R+) ∩ Lq(R+), h ∈ L1(R+) ∩

Lr(R+) và ba hàm số f, g, h thỏa mãn giả thiết của Định lý 2.1, từ

đó dẫn tới ∗(f, g, h) ∈ C0(R) ∩ Lp(R) và khi đó (2.3), (2.4) Hơn thếnữa, nếu h ∈ L2(R) ∩ L1(R) ∩ Lr(R) thì cũng thỏa mãn các giả thiếtcủa định lý 2.1 và (2.5), (2.6)

Định lý 2.5 Định lý kiểu Tichmarch

Cho f, g ∈ L1(R+, ex), h ∈ L1(R+, |ex|) Khi đó nếu ∗(f, g, h)(x) =

0, ∀x ∈ R thì hoặc f (x) = 0, ∀x ∈ R+ hoặc g(x) = 0, ∀x ∈ R+ hoặch(x) = 0, ∀x ∈ R+

Chứng minh

Từ giả thiết ∗(f, g, h)(x) = 0, ∀x ∈ R suy ra

H1(∗(f, g, h)(y) = 0, ∀y ∈ R Áp dụng định lý 2.1 ta có

Sincef ∈ L1(R+)∩Lp(R+) , g ∈ L1(R+)∩Lq(R+) , h ∈ L1(R)∩Lr(R)suy ra f (x) = 0, ∀x ∈ R+ hoặc g(x) = 0, ∀x ∈ R+ hoặc h(x) = 0,

∀x ∈ R+ Định lý được chứng minh

2.3 Ứng dụng giải phương trình, hệ phương

trình tích phân kiểu đa chập

2.3.1 Phương trình tích phân kiểu đa chập

Xét phương trình tích phân sau

Để đơn giản phương trình (2.15), ngoài việc sử dụng đẳng thức nhân

tử hóa của tích chập suy rộng mới đối với các phép biến đổi tích phânFourier và Hrtley ta còn dựa vào các bổ đề sau

Bổ đề 2.1 Giả sử f (x) ∈ L1(R), g(x) ∈ L1(R) Khi đó tích chậpsuy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Hartley, Fourier củahai hàm f và g được ký hiệu (f ∗

H,Fg) thuộc L1(R) và thỏa mãn đẳngthức nhân tử hóa sau

2√2π

Chứng minh Trước hết ta chứng minh (f ∗

H,Fg) L1(R) Thật vậy, tacó

Z +∞

−∞

Z +∞

−∞

f (u)g(v){cas[(u + v)y] + cas[−(u − v)y]

+ icas[−(u + v)y] − icas[(u − v)y]}dudv

Sử dụng các phép thế biến u + v = x; −u + v = x; −(u + v) = x và

u − v = x cho lần lượt 4 tích phân ở bên phải của biểu thức tươngứng, ta nhận được

√2π

ở đây l ∈ L1(R) và được xác định bởi

(H1f )(y) + λsigny(Fcϕ)(|y|).(Fsψ)(|y|).(H2f (−t))(y) = (H1h)(y),

(H1f )(y) + λsigny(Fcϕ)(|y|).(Fsψ)(|y|).(H1f (−t))(y) = (H1h)(y),

Điều này cho ta nhận

f (x) = h(x) − (l ∗

H 1 ,Fh)(x) ∈ L1(R)

Ta chứng minh xong định lý

2.3.2 Hệ phương trình tích phân dạng đa chập

Xét hệ 2 phương trình tích phân được cho dưới dạng

Ở đây l ∈ L1(R) và là hàm thác triển chẵn của hàm bl trên R, được

xác định bởi



Fcˆl

(y) =

Chứng minh Sử dụng định lý 2.6, ∀y > 0 hệ phương trình (2.20)

viết lại được dưới dạng

f (x) + λ1[∗ (ϕ1, ψ1, h)] (x) = p (x) , (2.21)

λ2[∗ (ϕ2, ψ2, f )] (x) + h (x) = q (x) , x ∈ R

Nhờ đẳng thức nhân tử hóa của đa chập (2.20), ta nhận được hệ

phương trình đại số tuyến tính sau

(H1f ) (y) + λ1signy (Fcϕ1) (|y|) (Fsψ1) (|y|) (H2p) (y)

= (H1p) (y) − λ2signy (Fcϕ2) (|y|) (Fsψ2) (|y|) (H1f ) (y) + (H2p) (y)

= (H2q) (y) , ∀y ∈ R

(2.22)Với việc sử dụng các đẳng thức nhân tử hóa (2.21) và (2.22)

định thức ∆ của hệ được xác định như sau

∆ =

1

−λ2sin ny (Fcϕ2) (|y|) (Fsψ2) (|y|)

λ1sin ny (Fcϕ1) (|y|) (Fsψ1) (|y|)1

Theo giả thiết ∆ 6= 0 và hệ (2.20) có nghiệm duy nhất

Ta biểu diễn 1

∆ dưới dạng sau1

Hơn nữa theo định lý Wiener-Levy, tồn tại một hàm bl ∈ L1(R+) saocho:



Fcbl

(y) =

Giả sử l là mở rộng chẵn của bl trên R Vì vậy



Fcbl

(x) = (F l) (x) , ∀x ∈ R

vì vậy ta có ∆1 = 1 − (F l) (y)

Để nhận được nghiệm của hệ(2.20) ta đi tới các định thức sau

∆1 =

... cos yx

1.2.2 Các tính chất phép biến đổi Fourier cosine

Tính chất 1.4 Phép biến đổi Fourier cosine phép biến đổi tuyếntính

Chứng minh Với f , g ∈ L(R+);... tích chập suy rộng phép biến đổi tích phânFourier Hrtley ta cịn dựa vào bổ đề sau

Bổ đề 2.1 Giả sử f (x) ∈ L1(R), g(x) ∈ L1(R) Khi tích chậpsuy rộng phép biến đổi. .. 16

1.3 Phép biến đổi tích phân Fourier sine

1.3.1 Định nghĩa phép biến đổi tích phân Fourier sine

Định nghĩa 1.4 Cho f ∈ L(R+),