Tốc độ hội tụ trong hiệu chỉnh phương trình với toán tử J đơn điệu trong không gian Banach

Trường Đại Học Khoa HọcTrần Xuân Thiện TỐC ĐỘ HỘI TỤ TRONG HIỆU CHỈNH PHƯƠNG TRÌNH VỚI TOÁN TỬ J-ĐƠN ĐIỆU TRONG KHÔNG GIAN BANACH Chuyên Nghành: TOÁN ỨNG DỤNG MÃ SỐ: 60.46.01.12 LUẬN VĂN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN – NĂM 2013

Trường Đại Học Khoa Học

Trần Xuân Thiện

TỐC ĐỘ HỘI TỤ TRONG HIỆU CHỈNH

PHƯƠNG TRÌNH VỚI TOÁN TỬ J-ĐƠN ĐIỆU

TRONG KHÔNG GIAN BANACH

Chuyên Nghành: TOÁN ỨNG DỤNG

MÃ SỐ: 60.46.01.12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Nguyễn Bường

Thái Nguyên - 2013

Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên

Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Nguyễn Bường

Phản biện 1: PGS TS Đỗ Văn Lưu

Mục lục

Mở đầu 3

Chương 1 Một số vấn đề cơ bản 5 1.1 Không gian Banach 5

1.1.1 Định nghĩa 5

1.1.2 Sự hội tụ trong không gian Banach 5

1.1.3 Không gian phản xạ 6

1.1.4 Đạo hàm Fréchet 7

1.1.5 Không gian Hilbert 7

1.1.6 Không gian lồi chặt 8

1.1.7 Không gian E-S(Ephimov Stechkin) 8

1.1.8 Ánh xạ J-đơn điệu 8

1.2 Bài toán đặt không chỉnh 9

1.2.1 Khái niệm về bài toán đặt không chỉnh 9

1.2.2 Bài toán đặt không chỉnh với toán tử J-đơn điệu 10 Chương 2 Tốc độ hội tụ trong hiệu chỉnh phương trình với toán tử J-đơn điệu trong không gian Banach 15 2.1 Giới thiệu sơ bộ 15

2.2 Kết quả chính 18

Kết luận 24

Tài liệu tham khảo 25

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại Học Khoa học, Đạihọc Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của Giáo sư NguyễnBường Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tạo Khoahọc và Quan hệ Quốc tế, Khoa Toán-Tin Trường Đại học Khoa học,Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thờigian học tập tại Trường

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới giađình, bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốtquá trình học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp

Thái Nguyên, ngày 20 tháng 08 năm 2013

Học viên

Trần Xuân Thiện

Mở đầu

Rất nhiều bài toán nảy sinh trong thực tiễn, khoa học, công nghệ

là các bài toán đặt không chỉnh (ill-posed), khi đó nghiệm không phụthuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu Do tính không ổn định này của bàitoán đặt không chỉnh nên việc giải số bài toán đó gặp khó khăn Lý do

là một sai số nhỏ trong dữ kiện của bài toán có thể dẫn đến một sai sốbất kì trong lời giải bài toán Vì thế nảy sinh vấn đề tìm các phươngpháp giải ổn định cho các bài toán đặt không chỉnh sao cho khi sai sốcủa dữ kiện ban đầu vào càng nhỏ thì nghiệm xấp xỉ tìm được càng gầnvới nghiệm đúng của bài toán ban đầu Một trong các phương pháphiệu quả là phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov

Mục đích của đề tài này là: chỉ ra sự hội tụ mạnh của thuật toán củaphương pháp hiệu chỉnh Tikhonov trong không gian Banach lồi chặt vớimột chuẩn khả vi Gâteaux đều và đưa ra đánh giá tốc độ hội tụ tối ưucho nghiệm hiệu chỉnh

Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo nội dungcủa luận văn gồm hai chương

Trong chương 1 chúng tôi trình bày một số vấn đề cơ bản của khônggian Banach và lý thuyết của bài toán đặt không chỉnh với toán tửJ-đơn điệu và một số định lí, bổ đề quan trọng có liên quan đến nộidung nghiên cứu của đề tài

Trong chương 2 chúng tôi trình bày chứng minh sự hội tụ mạnh củathuật toán của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov trong không gianBanach lồi chặt với một chuẩn khả vi Gâteaux đều và đưa ra đánh giátốc độ hội tụ tối ưu cho nghiệm hiệu chỉnh

Tuy nhiên do sự hiểu biết của bản thân và khuôn khổ của luận vănthạc sĩ, nên trong quá trình nghiên cứu không tránh khỏi những thiếusót, tôi rất mong được sự chỉ dạy và đóng góp ý kiến của các Thầy Cô

và độc giả quan tâm tới luận văn này

Thái Nguyên, ngày 20 tháng 08 năm 2013

Tác giả

Trần Xuân Thiện

Chương 1

Một số vấn đề cơ bản

Trong chương này chúng tôi nhắc lại một số kiến thức cơ bản củagiải tích hàm có liên quan đến nội dung nghiên cứu của đề tài Các kháiniệm này được tham khảo trong các tài liệu [1] và [2]

Định nghĩa 1.1.1 Không gian định chuẩn là không gian tuyến tính Xtrong đó ứng với mỗi phần tử x ∈ X có một số ||x|| gọi là chuẩn của x,thỏa mãn các điều kiện sau:

1 ||x|| > 0, ∀x 6= 0, ||x|| = 0 ⇔ x = 0;

2 ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||, ∀x, y ∈ X (Bất đẳng thức tam giác)

3 ||αx|| = |α|.||x||, ∀x ∈ X, α ∈ R

Không gian định chuẩn đầy đủ gọi là không gian Banach

Ví dụ 1.1.1 Không gian Lp[a, b] với 1 ≤ p < ∞ là không gian Banachvới chuẩn

!1p, ϕ ∈ Lp[a, b]

Dãy các phần tử xn trong không gian Banach X được gọi là hội tụđến phần tử xo ∈ X khi n → ∞, nếu ||xn− x0|| → 0 khi n → ∞, kí hiệu

là xn → x0 Sự hội tụ theo chuẩn được gọi là hội tụ mạnh

Dãy {xn} ⊂ X được gọi là hội tụ yếu đến x0 ∈ X, kí hiệu xn * x0, nếuvới ∀f ∈ X∗-không gian liên hợp của X, ta có f (xn) → f (x0) khi n → ∞

Tính chất 1.1.1 Từ định nghĩa trên ta có các tính chất sau

1 Từ sự hội tụ mạnh của một dãy xn suy ra sự hội tụ yếu của dãy đó

2 Giới hạn yếu nếu có của một dãy là duy nhất

1 X là không gian hữu hạn chiều

2 {xn} ⊂ M với M là một tập compact trong X

Giả sử X là không gian định chuẩn trên R, X∗ là không gian liên hợpcủa X, X∗∗ = L(X∗, R) là không gian liên hợp thứ hai của X Ta chotương ứng với mỗi x ∈ X một phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗∗ trên

X∗∗ nhờ hệ thức

hx∗∗, f i = hf, xi , ∀f ∈ X∗∗,

ở đây hx∗∗, f i là kí hiệu giá trị phiếm hàm tuyến tính liên tục f ∈ X∗tại x ∈ X Ta có ||x|| = ||x∗∗|| Đặt h(x) = x∗∗, nếu h : X → X∗∗ là toànánh thì không gian X được gọi là không gian phản xạ

Ví dụ 1.1.2 Không gian Lp[0, 1], p > 1 là không gian phản xạ Mọikhông gian định chuẩn hữu hạn chiều đều phản xạ

Định lý 1.1.1 (xem[2]) Nếu X là không gian Banach thì các khẳngđịnh sau là tương đương:

1 X phản xạ

2 Mọi dãy giới nội là Compact yếu, tức là ∀ {xn} ⊂ X : kxnk ≤ K ⇒

∃ {xnk} , xnk * x ∈ X

3 Hình cầu đơn vị đóng trong X là compact yếu

4 Mỗi tập bị chặn đóng yếu trong X là compact yếu

5 Mỗi tập lồi đóng bị chặn trong X là compact yếu

1.1.4 Đạo hàm Fréchet

Giả sử f : X → Y là một toán tử từ không gian Banach X vào khônggian Banach Y Toán tử f được gọi là khả vi Fréchet tại x ∈ X nếu tồntại A ∈ L(X, Y ) sao cho

limh→0

kf (x + h) − f (x) − A (x) hkY

Toán tử A được gọi là đạo hàm Fréchet của f tại x và được ký hiệu là

A = f0(x), f được gọi là khả vi Fréchet nếu nó khả vi Fréchet tại mọiđiểm x ∈ X

Cho X là một không gian tuyến tính trên R Một tích vô hướng trong

X là một ánh xạ h., i : X × X → R thỏa mãn các điều kiện sau:

Ví dụ 1.1.3 Các không gian Rn, L2[a, b] là các không gian Hilbert vớitích vô hướng được xác định tương ứng là

hx, yi =

nX

i=1

ξiηi, x = (ξ1, ξ1, , ξn) , y = (η1, η1, , ηn) ∈ Rn

hϕ, ψi =

bZ

aϕ(x)ψ(x)dx, ϕ, ψ ∈ L2[a, b]

1.1.6 Không gian lồi chặt

Không gian Banach X được gọi là không gian lồi chặt nếu mặt cầuđơn vị S = S(x) = {x ∈ X : kxk = 1} của X là lồi chặt tức là từ x, y ∈ Skéo theo kx + yk < 2 Do đó mọi mặt cầu khác cũng lồi chặt

Ví dụ 1.1.4 Không gian Lp[a, b] là không gian lồi chặt

Không gian Banach X được gọi là Không gian Ephimov Stechkin (haykhông gian có tính chất E-S) nếu X phản xạ và trong X sự hội tụ yếucác phần tử (xn * x) và sự hội tụ chuẩn (kxnk → kxk) luôn kéo theo sựhội tụ mạnh (kxn − xk → 0)

Ví dụ 1.1.5 Không gian Hilbert có tính chất E − S

Cho E là không gian Banach thực và E∗ là không gian đối ngẫu

Để cho đơn giản, chuẩn của E và E∗ được ký hiệu là ||.||

Ký hiệu hx, x∗i là giá trị của x∗ ∈ E∗ với x ∈ E

Ánh xạ J : E 7−→ E∗ đươc gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E nếuthỏa mãn điều kiện sau:

hx, J(x)i = ||x||2, ||J (x)|| = ||x||, ∀x ∈ E

∗ Toán tử A : E 7−→ 2E gọi là m-J-đơn điệu nếu A là toán tử đơn điệu

và <(A + λI) = E với mọi λ > 0

∗ Cho A là ánh xạ đơn trị m-J-đơn điệu trên E

Khi đó ánh xạ A : E 7−→ E có các tính chất:

(i) hA(x) − A(y), j(x − y)i ≥ 0, ∀x, y ∈ E ở đây j(x − y) ∈ J (x − y) và(ii)<(A + λI) = E với mọi λ > 0 trong đó <(A) là miền ảnh của A và I

là toán tử đơn vị của E

Nếu tồn tại hằng số α > 0 sao cho:

hA(x) − A(y), j(x − y)i ≥ α||x − y||2 ∀x, y ∈ Ethì A gọi là J-đơn điệu mạnh với hằng số α Khi α = 0 thì A gọi làJ-đơn điệu

1.2 Bài toán đặt không chỉnh

Chúng tôi trình bày khái niệm về bài toán đặt không chỉnh trên cơ

sở xét một bài toán ở dạng phương trình toán tử

ở đây A : X → Y là một toán tử từ không gian Banach X vào khônggian Banach Y , f là phần tử thuộc Y Sau đây là một định nghĩa củaHadamard ( Xem [1] )

Định nghĩa 1.2.1 Cho A là một toán tử từ không gian X vào khônggian Y Bài toán (1.1) được gọi là bài toán đặt chỉnh nếu

1 Phương trình A(x) = f có nghiệm với mọi f ∈ Y

2 Nghiệm này là duy nhất

3 Và nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu

Nếu ít nhất một trong các điều kiện trên không thỏa mãn thì bàitoán (1.1) được gọi là bài toán đặt không chỉnh Đối với các bài toánphi tuyến thì điều kiện 2 hầu như không thỏa mãn Do vậy hầu hết bàitoán phi tuyến đều là bài toán đặt không chỉnh Hơn nữa điều kiện cuốicùng cũng khó thực hiện

Chú ý 1.2.1 Một bài toán có thể đặt chỉnh trên cặp không gian nàynhưng lại đặt không chỉnh trên cặp không gian khác

Trong nhiều ứng dụng thì vế phải của (1.1) thường được cho bởi đođạc, nghĩa là thay cho giá trị chính xác của f , ta chỉ biết xấp xỉ fδ của

nó thỏa mãn kfδ − f k ≤ δ

Chú ý 1.2.2 Giả sử xδ là nghiệm của (1.1) với f thay bởi fδ (giả thiết

không chỉnh thì xδ nói chung không hội tụ đến x

1.2.2 Bài toán đặt không chỉnh với toán tử J-đơn điệu

Định nghĩa 1.2.2 Toán tử A được gọi là

1 Đơn điệu nếu

hA(x) − A(y), x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A);

2 Đơn điệu chặt nếu dấu bằng chỉ xảy ra khi x = y;

3 Đơn điệu đều nếu tồn tại một hàm không âm δ(t) không giảm với

t ≤ 0, δ(t) = 0 và hA(x) − A(y), x − yi ≥ δ(kx − yk), ∀x, y ∈ D(A);Nếu δ(t) = cAt2 với cA là một hằng số dương thì toán tử A đượcgọi là đơn điệu mạnh

A = BTB với B là một ma trận vuông cấp M , là một toán tử đơn điệu.Định nghĩa 1.2.3 Toán tử A được gọi là

1 h-liên tục trên X nếu A(x + ty) * Ax khi t → 0 với mọi x, y ∈ X;

2 d-liên tục trên X nếu từ xn → x suy ra Axn * Ax khi n → ∞

Ví dụ 1.2.2 Hàm hai biến ϕ (x; y) = xy2(x2 + y4)−1 không liên tục,nhưng liên tục theo từng biến tại (0; 0) do đó nó h-liên tục tại (0; 0).Định nghĩa 1.2.4 Toán tử A được gọi là toán tử bức (coercive) nếu

limkxk→+∞

Us thường được viết là U và gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của X

Tính đơn trị của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc được cho bởi mệnh đềsau.

Mệnh đề 1.2.1 Giả sử X là một không gian Banach Khi đó:

1 U (x) là tập lồi, U (λx) = λU (x) với mọi λ ∈ R;

2 Nếu X∗ là không gian lồi chặt thì U là ánh xạ đơn trị

Ánh xạ đối ngẫu là một trong những ví dụ về toán tử đơn điệu, nótồn tại trong mọi không gian Banach

Định lý 1.2.1 Nếu X∗ là không gian Banach lồi chặt thì ánh xạ đốingẫu chuẩn tắc U : X → X∗ là toán tử đơn điệu, bức và d-liên tục Hơnnữa, nếu X là không gian Banach lồi chặt thì U là toán tử đơn điệu chặt.Sau đây là một kết quả của lý thuyết toán tử đơn điệu được sử dụngtrong phần sau

toán tử h-liên tục từ X vào X∗ Khi đó nếu

hA(x) − f, x − x0i ≥ 0, ∀x ∈ Xthì A(x0) = f

Nếu A là toán tử đơn điệu trên X thì điều kiện trên tương đương với

hA(x0) − f, x − x0i ≥ 0, ∀x ∈ X

Bổ đề trên có tên là bổ để Minty, tên một nhà toán học Mỹ, người

đã chứng minh kết quả trên trong trường hợp không gian Hilbert và saunày chính ông và Browder đã chứng minh một cách độc lập trong khônggian Banach

Định nghĩa 1.2.6 Hàm F : X → R được gọi là

1 lồi trên X nếu với mọi x, y ∈ X ta có

F (tx + (1 − t)y) ≤ tF (x) + (1 − t)F (y), ∀t ∈ [0, 1] ;

2 lồi chặt trên X nếu bất đẳng thức trên không xảy ra dấu bằng với

3 nửa liên tục dưới trên X nếu

có nghiệm với mọi f ∈ X∗

Cho X là không gian Banach phản xạ thực, X∗ là không gian liên hợpcủa X Với f ∈ X∗ cho trước, phương trình (1.1) là phương trình toán

tử Nếu A : X → X∗ là một toán tử đơn điệu thì phương trình toán tử(1.1) nói chung là bài toán đặt không chỉnh

Ví dụ 1.2.3 Xét phương trình toán tử (1.1) với A là một ma trận vuôngcấp M = 5 được xác định bởi

và f = (5; 5.0001; 5.0001; 5.0001; 5)T ∈ R5 thì phương trình có vô sốnghiệm.

Ta cũng có thể thấy rằng nếu được thì từ f0 ∈ Y ta có phần tử xấp

xỉ tương ứng thuộc X Tức là tồn tại một toán tử nào đó tác động từkhông gian Y vào không gian X

Định nghĩa 1.2.7 Cho A : X → Y là một toán tử từ không gianBanach X vào không gian Banach Y Toán tử T (f, α) phụ thuộc vào

Toán tử hiệu chỉnh T (f, α) trong định nghĩa này nói chung là đa trị.Phần tử xấp xỉ xδα ∈ T (fδ, α (δ, fδ)) được gọi là nghiệm hiệu chỉnh củaphương trình (1.1), còn α = α (δ, fδ) được gọi là tham số hiệu chỉnh.Tham số hiệu chỉnh α = α (δ, fδ) phải được chọn sao cho

limδ→0α (δ, fδ) = 0

Rõ ràng nghiệm hiệu chỉnh ổn định với dữ liệu ban đầu Như vậy việctìm nghiệm xấp xỉ phụ thuộc liên tục vào dữ kiện của phương trình (1.1)gồm các bước:

1) Xây dựng toán tử hiệu chỉnh T (f, α);

2) Chọn giá trị của tham số hiệu chỉnh α dựa vào thông tin của bài toán

về phần tử fδ và mức sai số δ

Chương 2

Tốc độ hội tụ trong hiệu chỉnh

phương trình với toán tử J-đơn điệu trong không gian Banach

Trong chương này trình bày một số vấn đề về tốc độ hội tụ trong hiệuchỉnh phương trình với toán tử J-đơn điệu trong không gian Banach Cáckhái niệm này được tham khảo trong các tài liệu [4]

Chúng tôi quan tâm giải phương trình toán tử sau:

Trong [1], người ta đã chứng minh được hàm số ρ(α) = α||xδα − x+|| làliên tục, đơn điệu không giảm Nếu A liên tục tại x+ thì:

||A(xδ

α(δ)) − f (δ)|| = Kδp và (K − 1)δp/α(δ) ≤ 2||y0 − x+||

Do đó khi 0 < p < 1 ta có δ/α(δ) ≤ 2||y − x+||δ1−p/(K − 1) → 0 khi

δ → 0 Nên J liên tục yếu thì xδα(δ) → y∗ ∈ S ( xem [1], [2])

Rất tiếc lớp không gian Banach thực, vô hạn chiều có J với các tính chấttrên là rất nhỏ ( duy nhất lp) Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là thuậttoán (2.2) có thể áp dụng cho không gian Banach khác được không ?.Trong [1-3] chúng ta biết sự hội tụ mạnh của nghiệm hiệu chỉnh xδα tớinghiệm của (2.1) trong không gian Banach, không có ánh xạ đối ngẫuliên tục yếu J Khi A là liên tục yếu:

||A(x) − A(y∗) − QA0(y∗)∗J (x − y∗)|| ≤ τ ||A(x) − A(y∗)|| ∀y ∈ E (2.4)

Ở đây τ là hằng số dương, A0(x) kí hiệu là đạo hàm Fréchet của A tại

v ∈ E sao cho

Trong luận văn này không yêu cầu tính liên tục yếu của J, chúng tôichứng minh sự hội tụ mạnh của thuật toán (2.2) trong không gian Banachlồi chặt với một chuẩn khả vi Gâteaux đều và đưa ra đánh giá tốc độhội tụ tối ưu cho nghiệm hiệu chỉnh, khi tham số hiệu chỉnh là lựa chọncho trước

Một số kiến thức cần chuẩn bị cho việc chứng minh kết quả

Cho E là không gian tuyến tính định chuẩn thực Cho

S1(0) := {x ∈ E : kxk = 1}

Không gian E gọi có chuẩn khả vi Gâteaux (hoặc trơn) nếu giới hạn

limt→0

||x + ty|| − ||x||

ttồn tại với x, y ∈ S1(0) Không gian E gọi là chuẩn khả vi Gâteauxđều nếu giới hạn trên đều với x ∈ S1(0) Không gian E gọi lồi chặt nếu

x, y ∈ S1(0) với x 6= y ta có:

||(1 − λ)x + λy|| < 1 ∀λ ∈ (0, 1)Chúng ta biết rằng (xem [1-3]) nếu E là trơn thì ánh xạ đối ngẫuchuẩn tắc là đơn trị Nếu chuẩn của E là khả vi Gâteaux đều thì ánh xạđối ngẫu là liên tục yếu đều trên tập hợp giới nội của không gian E.Trong phần tài liệu kí hiệu ánh xạ đối ngẫu tổng quát đơn trị là j.Cho µ là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên l∞ và cho (a1, a2, ) ∈ l∞

Ta viết µk(ak) thay cho µ((a1, a2, )) Gọi µ là giới hạn Banach khi µthỏa mãn ||µ|| = µk(1) = 1 và µk(ak+1) = µk(ak) với mỗi (a1, a2, ) ∈ l∞.Đối với giới hạn Banach µ ta có:

lim infk→∞ak ≤ µk(ak) ≤ lim sup

Với một ánh xạ m-J-đơn điệu A trong E và phần tử cố định bất kỳ

f ∈ E, ta có thể xây dựng một ánh xạ u = Tf(x) bằng