Lập phương trình mặt phẳng pháp diện của C tại ñiểm P2, 0, 1.. là ñường cong phẳng.. Ghi Chú : Sinh viên không ñược dùng tài liệu trong giờ làm bài... Câu IV : 3ñ Trong R 3 chứng minh r
Trang 1MỘT SỐ ðỀ THI HỌC PHẦN HÌNH HỌC VI PHÂN THAM KHẢO
ðỀ THI SỐ 1
(Thời gian làm bài 90 phút)
_
Câu I : (3ñ)
Trong không gian R 3 cho ñường cong (C) xác ñịnh bởi phép tham số hóa
C(t)= (2t,lnt,t2); t ∈ (0,+∞) a) Chứng minh rằng (C) là ñường song chính quy Lập phương trình mặt phẳng pháp diện của (C) tại ñiểm P(2, 0, 1)
b) Tính ñộ cong và ñộ xoắn của (C) tại một ñiểm tuỳ ý
Câu II (2ñ)
Tính ñộ dài của ñường cong (D) trong R 3 xác ñịnh bởi phép tham số hóa
D(t) = (3cost, 3sint, 4t) ; t ∈ [0, 2π]
Câu III (2.5 ñ)
Chứng minh rằng ñường cong (E) trong R 3 xác ñịnh bởi phép tham số hóa
E(t) = ( t2 + 2t -1, -t2 + t +2, 3t2 + 4t + 5 ) ; t ∈ R
là ñường cong phẳng
Câu IV : (2.5ñ)
Trong không gian R 3 cho ñường cong (C) xác ñịnh bởi phép tham số hóa
C(t) = (et, e−t, t 2); t ∈ R Chứng minh rằng (C) là ñường song chính quy Lập phương trình mặt phẳng trực ñạc của (C) tại ñiểm P(1, 1, 0)
Ghi Chú : Sinh viên không ñược dùng tài liệu trong giờ làm bài
Trang 2ðỀ THI SỐ 2
(Thời gian làm bài 90 phút)
_
Câu I : (3ñ)
Trong R 3 cho cung (Γ) có tham số hóa :
ρ(t) = (cost, sint, f(t))
với f : R →→→ R là hàm số có ñạo hàm mọi cấp
a) Tính ñộ xoắn của (Γ) tại 1 ñiểm tùy ý
b) Với ñiều kiện nào của hàm f(t) ñể (Γ) là 1 cung phẳng?
Câu II (2ñ)
Trong R 3 cho cung (Γ) có tham số hóa: ρ(t) = (t2, t −1, t3)
Viết phương trình của pháp tuyến chính, trùng pháp tuyến của (Γ) tại ñiểm
M = ρ(1)
Câu III (2 ñ)
Trong R 3 cho cung (Γ) có tham số hóa :
ρ(t) = (acost, asint, bt) với a, b ∈ R và a ≠ 0) Tìm các véctơ T, N, B trong tam diện Frenet tại một ñiểm tùy ý của (Γ)
Câu IV : (3ñ)
Trong R 3 chứng minh rằng :
a) Nếu các tiếp tuyến của cung chính quy (Γ) cùng song song với một mặt phẳng cố ñịnh thì (Γ) là một cung phẳng
b) Nếu các pháp diện của cung chính quy (Γ) cùng ñi qua 1 ñiểm cố ñịnh thì (Γ) nằm trên một mặt cầu (Pháp diện của cung (Γ) tại ñiểm M = ρ(t) là mặt phẳng ñi qua M và vuông góc với ρ’(t))
Trang 3ðỀ THI SỐ 3
(Thời gian làm bài 90 phút)
_
Câu I : (4ñ)
Trong R3 cho cung (Γ) có tham số hóa :
ρ(t) = (et, e−t, t 2) a) Tính ñộ cong, ñộ xoắn của (Γ) tại 1 ñiểm tùy ý
b) Viết phương trình mặt phẳng mật tiếp, trùng pháp tuyến của (Γ) tại ñiểm M = ρ(0)
c) Tìm một tham số hóa tự nhiên của cung (Γ)
Câu II (2ñ)
Trong R 3 cho cung (Γ) có tham số hóa :
ρ(t) = (at2 − 2t2 + 1, t2 + 2t + 2, bt3 + 4t + 5) với a, b là các số thực vào ñó
Tìm ñiều kiện của a và b ñể (Γ) là 1 cung phẳng
Câu III (2 ñ)
Chứng minh rằng nếu các tiếp tuyến của một cung chính quy (γ) trong R 3
cùng song song với một ñường thẳng cố ñịnh thì (γ) là một cung thẳng
Câu IV : (2ñ)
Ánh xạ sau f :ℝ 2 → ℝ 2, ( , )u v ֏(x=u− +v 1,y= − +u 2v+4)
có phải là một vi phôi không?
Trong trường hợp f là một vi phôi, biểu diễn ảnh bởi f* của các trường vectơ
u
∂
∂ ,
v
∂
∂ qua các trường vectơ
x
∂
∂ ,
y
∂
∂
Ghi Chú : Sinh viên không ñược dùng tài liệu trong giờ làm bài
Trang 4ðỀ THI SỐ 4
(Thời gian làm bài 90 phút)
_
Câu I : (2ñ)
Cho ñường C : t ֏ r(t) = (x(t) ; y(t) ; z(t))
Với
Chứng minh rằng (C ) là ñường cong phẳng
Câu II (3ñ)
Trong R 3 cho cung (Γ) có tham số hóa :
ρ(t) = (etcost, etsint, et) a) Viết phương trình mặt phẳng mật tiếp, pháp tuyến chính, trùng pháp tuyến của (Γ) tại ñiểm M0 = ρ(0)
b) Tính ñộ cong, ñộ xoắn của (Γ) tại ñiểm M0 = ρ(0)
Câu III (3 ñ)
Trong R 3 cho cung chính quy (Γ) có tham số hóa :
ρ : J → R 3
Chứng minh rằng nếu ∀t ∈ J véctơ ρ’(t) luôn song song với 1 véc tơ cố ñịnh khác không thì (Γ) là 1 cung phẳng
Câu IV : (2ñ)
Xét trường mục tiêu song song {E E E1, ,2 3} ứng với mục tiêu afin {O e e e, , ,1 2 3}
của
3
E với toạ ñộ (x,y,z) cho trường vectơ
2 1+x1 3 2 1 3
X =x E x E −x E ,Y =x x x E1 2 3 1+x E3 2, =xϕ 1 2x −x x2 3
Tính [ ],X ϕ D Y D X , Y(ϕX)
Trang 5ðỀ THI SỐ 5
(Thời gian làm bài 90 phút)
_
Câu I : (3ñ)
Trong R 3 cho cung (Γ) có tham số hóa :
ρ(t) = (etcost, etsint, et) a) Viết phương trình mặt phẳng mật tiếp, pháp tuyến chính, trùng pháp tuyến của (Γ) tại ñiểm M0 = ρ(0)
b) Tính ñộ cong, ñộ xoắn của (Γ) tại ñiểm M0 = ρ(0)
Câu II (2ñ)
Trong R3 cho cung (Γ) có tham số hóa :
ρ(t) = (t2 + at − 1, at2 + 2t − 1, 2t2 − t + 2)
với a là 1 số thực nào ñó
a) Xét xem (Γ) có là cung song chính quy hay không?
b) Chứng minh rằng (Γ) là 1 cung phẳng
Câu III (3 ñ)
Xét trường mục tiêu song song {E E E1, ,2 3} ứng với mục tiêu afin {O e e e, , ,1 2 3}
của
3
E với toạ ñộ (x,y,z) cho trường vectơ
2
X =x E + yzE −yE Tính [ + ], X[ ], X[X[ ]], X[ ]X ϕ ψ ϕ ψ ϕ ϕ ψ −ψX[ ]ϕ trong ñó
Câu IV : (2ñ)
Kí hiệu {E E E1, ,2 3} là trường mục tiêu song song ứng với hệ toạ ñộ afin
{O e e e, , ,1 2 3}
của 3
E với toạ ñộ (x,y,z) Cho các trường vectơ trên 3
E
z
xyzE +e E −y zE ; Y =xyE1+xE2
Tính D X(D Y D X ), X(X +xY)
Ghi Chú : Sinh viên không ñược dùng tài liệu trong giờ làm bài