giáo trình giải tích chương tập hợp và ánh xạ

Khái niệm Tập hợp là một ý niệm nguyên thủy của toán học, không định nghĩa.. Ta mô tả: một số vật thể hợp thành tập hợp; mỗi vật thể là một phần tử.. Ví dụ: Tất cả học sinh của trường Đ

Chương 0 TẬP HỢP VÀ ÁNH XẠ

A TẬP HỢP

I Khái niệm

Tập hợp là một ý niệm nguyên thủy của toán học, không định nghĩa

Ta mô tả: một số vật thể hợp thành tập hợp; mỗi vật thể là một phần tử

+ Cho một tập hợp A và phần tử x Nếu x là phần tử của A

ta viết x A∈

Ngược lại, ta viết x A∈ hay x A∉ (x không thuộc A)

Ví dụ: Tất cả học sinh của trường Đại học Kinh tế là một tập hợp, mỗi học sinh là một phần tử

+ Hộp phấn là một tập hợp, mỗi viên phấn là một phần tử

II Cách diễn tả

Có nhiều cách:

1) Liệt kê: liệt kê tất cả các phần tử trong 2 dấu {}

Ví dụ: Tập hợp các nguyên âm A = {a, e, i, u, o, y}

Ví dụ: T = {bàn, ghế, con mèo, con gái, ô mai}

2) Trưng tính : (nêu tính chất đặc trưng)

Nếu mọi phần tử x của tập A đều có tính chất b , ta viết:

A = {x x có tính chất b}

Ví dụ: M = {x x là số nguyên dương nhỏ hơn 5}

→ M = {1, 2, 3, 4}

3) Giản đồ Venn

a∈A

b∈A, 2 A∈

, 3,5

c − ∈A

III Vài tập hợp thông dụng

1) ℕ = {0, 1, 2, 3, …}; ℕ∗ = ℕ \ { }

2) ℤ = {0, ± 1, ± 2, …}

X a

X b X 2

X 5 X -3

3) {x m m ,n *}

n

ℚ Z Z là tập các số hữu tỷ

4) ℝ là tập các số thực

( )a b, = ∈{x ℝa< <x b}

[ ]a b, = ∈{x ℝ a≤ ≤x b}

(− 2,15= ∈ −{x ℝ 2< ≤x 15}

IV Chính số, tập trống, tập hữu hạn, tập vô hạn

1 Tập hữu hạn: là tập hợp có số phần tử hữu hạn

2 Chính số: Giả sử A có số phần tử hữu hạn Số phần tử của

tập A còn được gọi là chính số của A (hay card A )

Ký hiệu: ch.s A hay card A hay A

Ví dụ: A= −{ 3,5, , }a b → card A = 4

3.Tập trống: là tập hợp không có phần tử nào cả

Ký hiệu: ∅ hay {}

Ghi chú: { }∅ ≠ ∅

{0}≠ ∅

4.Tập vô hạn: tập không hữu hạn được gọi là tập vô hạn

Ví dụ: ℕ , ℤ , ℚ , ℝ , ( )0,1 là những tập hợp vô hạn

V Tập hợp con, tập hợp bằng nhau

1 Tập hợp con: A là tập hợp con của B nếu mọi phần tử của

A đều là phần tử của B

Ký hiệu: A⊂B ( A chứa trong B )

A⊂ ⇔ ∀B " ,x x∈A⇒x B∈ "

Ví dụ: A = {1, -5, 0}; B = {2, 3, 1, 8, 0, -5};

C = {1, -5, 0, 7, 3}

A⊂B và C B⊄ ( 7 C∈ và 7 B∉ )

Nhận xét: ∀A, ta có ∅ ⊂A và A A⊂

2 Tập hợp bằng nhau: A B= ⇔ ⊂A B và B A⊂

⇔ " ,∀x x∈ ⇔ ∈A x B"

3 Tập hợp tất cả tập hợp con của E gọi là tập hợp các phần của E

Ký hiệu: P E( ) {= A A⊂E}

Ví dụ: E={ , , }a b c

( ) { ,{ },{ },{ },{ , },{ , },{ , },{ , , }}

P E = ∅ a b c a b b c c a a b c

Hệ quả:

Nếu card E n= → card P E( ) 2= n (chứng minh bằng truy chứng)

VI Các phép toán trên tập hợp

1 Phép giao

{

A∩ =B x x∈A và x B∈ }

Ví dụ: A = {-3, 5, - 2}

B = {0, -3, 8, - 2}

C = {1, 2, 3}

→ A B∩ = {-3, - 2} và A C∩ = ∅{ }

Tính chất: A∩∅ = ∅ ∩ = ∅A

A∩ =A A

A∩ = ∩B B A

(A∩B)∩ = ∩C A (B C∩ )

A∩ ⊂B A ; A B B∩ ⊂

2 Phép hội

{

A∪ =B x x∈A hay x B∈ }

Ví dụ: A={ , , , }a b c d ; B={ , , , }a c e f

→ A∪ =B { , , , , , }a b c d e f

Tính chất : A B B A∪ = ∪

(A∪B)∪ = ∪C A (B C∪ )

A∪ =A A ; A A B⊂ ∪ ; B A B⊂ ∪ Tính phân bố của phép giao và phép hội

A∩ B∪C = A∩ ∪B A C∩

A∪ B∩C = A∪ ∩B A C∪

3 Phép hiệu: A B\ ={x x∈A và x B∉ }

Ví dụ: A={ , , , }a b c d ; B={5, , , , 3}a c f − ; C={ , ,7, }a f d

\ { , }

A B= b d ; \B A={5, , 3}f − ( \ ) \A B C={ }b ≠ A\ ( \ ) { , , }B C = a b d Tính chất: Nếu A B≠ thì \A B≠B A\

Thông thường ( \ ) \A B C≠A\ ( \ )B C

\

A ∅ =A; \A A= ∅; \A B⊂ A Bài tập : Chứng minh \ (A B∪C) ( \ ) ( \ )= A B ∩ A C

\ ( ) ( \ ) ( \ )

A B∩C = A B ∪ A C

4 Phần bù: Cho A E⊂ , phần bù của A đối với E là:

\ {

c

E

A = =A C A=E A= x x E∈ và x∉A}

Tính chất :

E

C ∅ =E; C E E = ∅; C A E ∪ =A E

E

E E

C C A =A (A=A)

C A∪B =C A C B∩

C A∩B =C A C B∪

Ví dụ: E={ , , , , , }a b c d e f ; A={ , }a d ; B={ , , }a e f

{ , , , }

E

C A= b c e f ; C B={b,c,d}E

E

C (A B)={b,c}∪ ; C (AE ∩B)={b,c,d,e,f}

5 Tập hợp tích: A B× ={ ,( )x y x∈A và y B∈ }

Ví dụ: A={1,2,3}; B={ , }a b

→ A B× ={(1, ),(1, ),(2, ),(2, ),(3, ),(3, )}a b a b a b

và B A× ={( ,1),( ,1),( ,2),( ,2),( ,3),( ,3)}a b a b a b

Ghi chú: Nếu A B≠ và A , B≠ ∅ thì A B B A× ≠ ×

Ví dụ: (1, 4) ≠ (4, 1)

- Nếu A , B hữu hạn, ta có Card (A B× ) = Card A Card B Nếu A B= ta viết: A B× = × =A A A2

Ví dụ: Mặt phẳng tọa độ là ℝ2 = × =ℝ ℝ { ,( )x y x y, ∈ℝ}

A E

Tương tự ta có :

1 2 n {( , , , )1 2 n i i, 1, }

{( , , , )x x x n x A x, A , ,x n A n}

n {( , , , ) , 1, }

n i

n lần

Ví dụ: n {( , , , )1 2 , 1, }

n i

(-5, 2, 7 , -8) ∈ 4

ℝ (-2, 1, 0, 3, 7) ∈ ℤ5 ⊂ℚ5 ⊂ℝ5

B ÁNH XẠ

I Định nghĩa: Cho 2 tập hợp X , Y khác trống, một phép

liên kết f tương ứng mỗi phần tử x X∈ với duy nhất

phần tử y Y∈ được gọi là một ánh xạ từ X vào Y

Ký hiệu: :f X→Y

x֏y= f x( ) Khi đó, X: tập hợp nguồn (miền xác định)

Y : tập hợp đích (miền ảnh)

Nhận xét: :f X→Y là một ánh xạ nếu mọi phần tử của X đều có ảnh duy nhất ( Y∈ )

Ánh xạ :f X→ℝ với X⊂ℝ được gọi là một hàm số thực với biến số thực

Ví dụ : f :ℝ→ℝ

2

( ) 5 3

f x = x − x là một ánh xạ và là một hàm số thực với biến số thực

II Nghịch ảnh: (ảnh ngược, tiền ảnh)

Cho ánh xạ: :f X→Y

A⊂X , ảnh của tập A là f A( ) { ( )= f x ∈Y x∈A}

Aûnh ngược của B Y⊂ là f−1( ) {B = ∈x X f x( )∈B}

Đặc biệt khi B={ }y ⊂Y ta viết

f−1({ })y = f−1( ) {y = ∈x X f x( )=y}

x∈f−1( )y được gọi là ảnh ngược của y

Ví dụ: :f ℝ→ℝ

f(x) = x2

B = {-5, 2, 4, 9, 0}

f− B = {± 2, ± 2, ± 3, 0}

1(169)

f− = {±13}; f−1( 3)− = ∅

1(2)

f− = {± 2 }; f−1( 5)− = ∅

III Toàn ánh: Cho ánh xạ :f X→Y, ta nói

f là toàn ánh khi và chỉ khi ( )f X =Y Ta có:

f X = ⇔ ∀ ∈ ∃ ∈Y y Y x X f x =y

y Y

⇔ ∀ ∈ , phương trình y= f x( ) có ít nhất 1 nghiệm

⇔ ∀ ∈y Y f, −1( )y ≠ ∅

Ví dụ : i) :f ℝ→ℝ

f x( )=x2 không là toàn ánh vì f−1( 2)− = ∅

(phương trình x2 = −2 vô nghiệm)

ii) f : ℝ→ℝ+

f x( )=x2 là toàn ánh vì y∀ ∈ℝ+, ta có phương trình f x( )= ⇔y x2 =y luôn có nghiệm x = ± y

Nhận xét: Giả sử :f X→Y là toàn ánh và X , Y là tập hợp hữu hạn thì card X ≥ card Y

Ghi chú: Để chứng minh f là toàn ánh ta chứng minh

y Y

∀ ∈ phương trình ( )f x =y có nghiệm

IV Đơn ánh: Cho ánh xạ :f X→Y

f là đơn ánh ⇔ ∀x x1, 2∈X và x1≠x2⇒ f x( )1 ≠ f x( )2 ⇔ ∀x x1, 2∈X và f x( )1 = f x( )2 ⇒x1 =x2

⇔ ∀ ∈y Y, phương trình y= f x( ) có nhiều nhất là một nghiệm

⇔ ∀ ∈y Y f, −1( )Y = ∅ hay f−1( )y có đúng 1 phần tử

Ví dụ:

* f : ℝ → ℝ

( )

f x =x

không là đơn ánh vì ( 2)f − = f(2) 4=

* f : ℝ+ → ℝ hay ℝ− → ℝ

2

( )

f x =x là đơn ánh

* f : ℝ → ℝ

3 5 ( )

7

x

f x = −

là đơn ánh vì ∀x x1, 2∈ℝ và f x( )1 = f x( )2 ⇔ 3 1 5

7

x − = 3 2 5

7

x =x

V Song ánh : Cho ánh xạ :f X→Y

f là song ánh ⇔ f là đơn ánh và f là toàn ánh

⇔∀y Y∈ , phương trình ( )f x =y có duy nhất nghiệm ⇔∀y Y∈ , f−1( )y có duy nhất một phần tử

Ví dụ : f : ℝ → ℝ ; ( ) 3 5

7

x

f x = − là song ánh

Vì y∀ ∈ℝ, phương trình 3 5

7

x

y= − có duy nhất nghiệm

7 5

3

y

x= +

f : ℝ → ℝ , f x( )=x2 không là đơn ánh, không là toàn ánh

f : ℝ+→ ℝ, f x( )=x2 là đơn ánh, không là toàn ánh

f : ℝ → ℝ+, f x( )=x2 không là đơn ánh, là toàn ánh

⇒ không song ánh

f : ℝ+ → ℝ+, f x( )=x2 là song ánh

f : ℝ− → ℝ+, f x( )=x2 là song ánh

VI Ánh xạ ngược: Nếu :f X→Y

x֏ f x( ) là song ánh thì ánh xạï f−1:Y →X

y= f x( ) ֏ x= f−1( )y được gọi là ánh xạ

ngược của f

Ví dụ: f : ℝ+→ ℝ+

2

( )

f x =x (y=x2 ⇔ =x y, ,x y≥0 )

1( )

f− y = y ( ,x y≥0) hay f−1( )x = x

f : ℝ− → ℝ+; f x( )=x2

1( )

f− y = − y; f−1( )x = − x

f : ℝ → ℝ+\ 0{ }; ( ) 3f x = x

1

f− : ℝ+\ 0{ }→ ℝ ; 1

3

( ) log

f− x = x

2 2

π π

−

 →[-1, 1]; ( ) sinf x = x

1

f− : [-1, 1]→ ,

2 2

π π

−

  ; f−1( ) arcsinx = x

* f : [ ]0,π →[-1, 1]; f(x) = cosx

1

f− : [-1, 1]→[ ]0,π ; f−1( ) arccosx = x

* f : ,

2 2

π π

−

 → ℝ ; ( ) tgf x = x

1

f− : ℝ → ,

2 2

π π

−

 ; f−1( ) arctgx = x

* f : ( )0,π → ℝ ; ( ) cotgf x = x

1

f− : ℝ →( )0,π ; f−1( )x =arccotgx

* f : ℝ → ℝ ; ( ) 3 7

5

x

f x = +

3 7 5

x

3

y

x= − 1

f− : ℝ → ℝ

3

x

f− x = −

* Cho X ⊂ ℝ , Y ⊂ℝ, xác định X , Y để f là song

ánh

với :f X→Y; ( ) 5 3

2 1

x

f x

x

−

= + ; X= ℝ\

1 2

−

 

 

 

5 3

2 1

x y x

−

+ y x(2 + =1) 5x−3

⇔ 2xy y+ =5x− ⇔3 x y(2 − = − −5) y 3 (*) Phương trình (*) có duy nhất nghiệm ⇔ y≠5

2 Ta có

5 2

y x

y

+

=

−

Vậy với X= ℝ\ 1

2

−

 

 

  và Y =ℝ\ 5

2

 

 

  thì :

f X→Y

5 3 ( )

2 1

x

f x

x

−

= + là một song ánh

và f−1:Y →X

1:

f− ℝ \ 5

2

 

 

  → ℝ \ 1

2

 

−

 

 

f−1( )x = 3

5 2

x x

+

−

Ghi chú:

i) f X: →Y là đơn ánh và X , Y là 2 tập hữu hạn thì card X ≤ card Y

ii) f X: →Y là song ánh và X , Y là hữu hạn thì

X = Y iii) Ánh xạ ngược f−1 của f chỉ tồn tại khi f là song

ánh

VII Ánh xạ hợp: (Ánh xạ tích)

Cho 2 ánh xạ :f X→Y , và :g Y →Z

Ánh xạ :h X →Z được định nghĩa: h x( )=g f x ( ) , x∀ ∈X

Ký hiệu: h g f= được gọi là ánh xạ hợp (ánh xạ tích)

của f và g

Ví dụ 1: f :ℝ→[5,+∞)

2

f x =x +

[ )

: 5,

g +∞ →ℝ−

g x = − x+

g f x =g x +

= - x2 + +5 2 = - x2 +7

Ví du 2ï: f g ℝ, : → ℝ ; f x( ) 3= x2−x; ( ) 2 5

4

x

g x = +

g f x =g x − =x 2(3 2 ) 5 6 2 2 5

x − +x = x − x+

( )

f g x = 2 5

4

x

f + 

=

3

Nhận xét :

i) Thông thường, f g g f≠

ii) ( ) 1

g f − = f−1 g−1 (giả sử f , g là song ánh)

iii) f f−1( )y =y, ∀ y Y∈ ( :f X→Y là song ánh)

f− f x =x, ∀ x∈X ( :f X→Y là song ánh) iv) Giả sử (f g) h tồn tại, ta có (f g) h= f (g h)

VIII Định nghĩa :

1) Một tập A được nói là hữu hạn và có n phần tử nếu tồn

tại một song ánh giữa A và tập con {1,2,3, ,n của ℕ}

Khi đó, ta viết Card A n= hay A =n

2) Nếu tập A không hữu hạn, ta nói A vô hạn

3) Hai tập A và B được nói là đồng lực lượng nếu tồn tại một song ánh từ A vào B

4) Một tập A được nói là đếm được nếu tồn tại một song ánh giữa A và tập con N của ℕ Khi đó, nếu N = ℕ thì ta nói A là tập vô hạn đếm được Nói cách khác, ta nói A là tập vô hạn đếm được nếu tồn tại một song ánh

giữa A và tập ℕ