Tính ổn định của phổ các số mũ đặc trưng của nghiệm phương trình vi phân tuyến tính

Mët trong nhúng häi quan trång trong lþ thuy¸t sè m tr÷ng l t½nh ên ành phê sè m tr÷ng... Ng÷íi hi»n Nguy¹n Thà Hçng Nhung... Vªy n¶n Lt l matrªn Lyapunov... Izobov hùngminh xem[7℄.

Mð u 3

Ch÷ìng 1 T½nh ên ành sè m tr÷ng Lyapunov ho h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh 5

1.1 Sè m tr÷ng Lyapunov ành ngh¾a v  t½nh h§t b£n 5 1.1.1 Sè m tr÷ng h m sè 5

1.1.2 Sè m tr÷ng ma trªn h m sè 9

1.1.3 Phê mët h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh 10

1.1.4 H» b£n hu©n B§t ¯ng Lyapunov ho têng sè m tr÷ng mët sð 11

1.2 h» kh£ quy 14

1.3 T½nh ên ành sè m tr÷ng i·u ki»n v  õ ho t½nh ên ành sè m tr÷ng 15

1.3.1 T½nh ên ành sè m tr÷ng 15

1.3.2 T h ÷ñ h ph¥n 21

1.3.3 i·u ki»n v  õ ho t½nh ên ành sè m tr÷ng 23 Ch÷ìng 2 T½nh ênành v tr÷ng ho h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh 35

2.1 V tr÷ng ành ngh¾a v  t½nh h§t b£n 35

2.1.1 V tr÷ng h m sè 35

2.1.2 V tr÷ng ma trªn h m sè 39

2.1.3 V tr÷ng h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh 40

2.2 T½nh ên ành v tr÷ng i·u ki»n v  õ ho t½nh ên

ành v tr÷ng 44

2.2.1.T½nh ên ành v tr÷ng.T½nh h÷ñ m v  t½nhnhà ph¥n y¸u m 442.2.2 i·u ki»n v  õ ho t½nh ên ành v tr÷ng 49

K¸t luªn 54

T i li»u tham kh£o 55

N«m 1892, A M Lyapunov ¢ ÷a ra v  sû döng kh¡i ni»m sè m

tr÷ng º nghi¶n t½nh ên ành nghi»m h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n

tuy¸n t½nh

Kh¡i ni»m sè m tr÷ng Lyapunov ¢ ÷ñ Ho ng Húu ÷íng mð

rëng th nh kh¡i ni»m ve tr÷ng (sè m v tr÷ng) º nghi¶n

t½nh ên ành nghi»m h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh trong

tr÷íng hñp tîi h¤n (khi sè m tr÷ng h÷a õ º hùng minh t½nh ên

ành nghi»m) v o nhúng n«m 1965 - 1982

Mët trong nhúng häi quan trång trong lþ thuy¸t sè m tr÷ng

l  t½nh ên ành phê sè m tr÷ng C¥u häi n y li¶n quan ¸n

nhi·u v§n · th½ dö, khi x¥y düng thuªt to¡n t½nh sè m tr÷ng,

th÷íng ph£i gi£ thi¸t sè m tr÷ng l  ph¥n bi»t v  ên ành (xem,

th½ dö, [8℄, [10℄) N«m 1969, B F Bylov v N A Izobov (xem [6℄, [7℄) ¢

÷ara i·uki»n v õ º phê sè m tr÷ng h» ph÷ìng tr¼nh

vi ph¥n tuy¸n t½nh l ên ành d÷îi sü £nh h÷ðng nhi¹u ëng tuy¸n

t½nhõ nhä.Ti¶u hu©n ên ành phê v tr÷ng ¢ ÷ñ

Ho ng Húu ÷íng hùng minh (xem [1℄)

Trong luªn v«n n y, hóng tæi tr¼nh b y v· sè m Lyapunov, v

tr÷ng Ho ng Húu ÷íng, v  t½nh ên ành hóng; tr¼nh b y thº, rã

r ng v  hùng minh hi ti¸t hìn trong t i li»u tham kh£o

Luªn v«n gçm phn Mð u, 2 h÷ìng, phn K¸t luªn v  T i li»u

÷ñ h ph¥n, kh¡i ni»m ên ành phê sè m tr÷ng; hùng

minh mët h hi ti¸t v têng qu¡t ành lþ v· t½nh ên ành phê

sè m tr÷ng ph¥n bi»t nghi»m h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n

t½nh n− hi·u

Ch÷ìng 2 hóng tæi tr¼nh b y kh¡i ni»m v  t½nh h§t v

tr÷ng m ho h m sè, ho ma trªn h m sè v  ho nghi»m h»ph÷ìngtr¼nh vi ph¥ntuy¸n t½nh;tr¼nhb y kh¡i ni»m h ÷ñ m, nhàph¥n y¸u m v  kh¡i ni»m ên ành m v tr÷ng m; d¨ntîii·u ki»n v õ ho t½nhên ành m v tr÷ng

m nghi»m h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh n− hi·u khi t§t

v tr÷ng m − 1 h» ang x²t tròng nhau

º ho n th nh luªn v«n n y, tr÷î nh§t gi£ xin ÷ñ gûi líi ìn

s¥u tîi PGS.TS T¤ Duy Ph÷ñng, ng÷íi ¢ d nh thíi gian h÷îng d¨n,

tªn t¼nh h¿ b£o, t¤o i·u ki»n v  gióp ï tæi th¶m nhi·u ki¸n kh£

n«ng nghi¶n v  têng hñp t i li»u º ho n th nh luªn v«n

T gi£ xin gûi líi ìn h¥n th nh tîi Ban gi¡m hi»u, Pháng

Sau ¤i hå Pháng  o t¤o, Khoa To¡n - Tin Tr÷íng ¤i hå Khoa Hå

¤i hå Th¡i Nguy¶n ¢ t¤o i·u ki»n thuªn lñi trong suèt qu¡ tr¼nh hå

tªp t¤i tr÷íng

Cuèi gi£ xin gûi líi ìn bi»t ¸n nhúng ng÷íi th¥n v 

nhúng ng÷íi b¤n ¢ t¤o måi i·u ki»n thuªn lñi, ëng vi¶n, gióp ï tæi

trong suèt qu¡ tr¼nh hå tªp v  ho n thi»n luªn v«n

Th¡i Nguy¶n, th¡ng 08 n«m 2013

Ng÷íi hi»n

Nguy¹n Thà Hçng Nhung

tuy¸n t½nh.Sau â ph¡t biºu i·u ki»n v  õ ho t½nhên ành phê

sè m tr÷ng ti¶u hu©n n y ¢ ÷ñ B F Bylov v  N A

Izobov bè trong b i b¡o tr¶n t¤p h½ Differential Equations v o

n«m 1969 (xem [6℄, [7℄)

1.1 Sè m tr÷ng Lyapunov ành ngh¾a v  t½nh

1.1.1 Sè m tr÷ng h m sè

X²t h m sè m e αt, trongâ α l  sè N¸u α > 0 th¼ e αt → +∞ khi

t → +∞; n¸u α = 0 th¼ e αt = 1 l  h¬ng sè vîi måi t ≥ t 0; n¸u α < 0 th¼

e αt → 0 khi t → +∞; l  thøa sè α tr÷ng ho t«ng h m

e αt Khi â sè α ÷ñ gåi l  sè m tr÷ng h m e αt

Tø nay v· sau hóng ta h¿ l m vîi t → +∞, n¶n º ho ng­n gån,

ta vi¸t t → ∞ thay ho t → +∞ v  ∞ thay ho +∞

Têng qu¡t hìn, ta x²t h m sè gi¡ trà f (t) ành trong kho£ng

[t0, ∞), ð ¥y t0 l  mët sè kþ hi»u −∞ Ta thº vi¸t |f (t)| = eα(t).t,

Sè m tr÷ng mëth m sè thº húu h¤n væ h¤n Sau n y,

ta h¿x²t tr÷ínghñp húuh¤n,trøχ [0] = −∞(vîiquy ÷î ln 0 = −∞).V½ dö 1.1 p döng (1.1) ta

9) χ[e −te sin t ] = −e −1 Do

χ[e −te sin t ] = lim

Ngo i ra, n¸u èi vîimët sè α n o â m  vîi måi ε > 0 ¯ng (1.2)

÷ñ thäa m¢n th¼ χ [f ] ≤ α; n¸u (1.3) thäa m¢n th¼ χ [f ] ≥ α

Nh÷ vªy, n¸u h m f (t) sè m tr÷ng α 6= ±∞ th¼ h m |f (t)| s³t«ng hªmhìn b§t ký h m m e (α+ε)t khi t → ∞, v  theomët d¢y t k → ∞

n o â nâ s³ t«ng nhanh hìn h m e(α−ε)t

Sau ¥y, hóng ta l¤i mët sè t½nh h§t b£n sè m tr÷ng

h m sè (xem [4℄, tr 26 - 28)

Gi£ sûf1(.), f2(.), , fn(.) l  h msè nhªngi¡ trà ành tr¶nkho£ng [t0, ∞) Khi â

Gi£ sû F (t) l  mët h ph¥n Lyapunov, khi â χ [F ] ≤ χ[f ] (xem [4℄,

tr 30)

1.1.2 Sè m tr÷ng ma trªn h m sè

X²t ma trªn h m

F (t) = [f ij (t)], vîi måi i = 1, , n, j = 1, , m, m ≤ n,

trongâ phntû f ij (t)l  h msè ànhtr¶nkho£ng [t 0 , ∞)

ành ngh¾a 1.4 (Xem [4℄, tr 31) Sè kþ hi»u −∞, ∞) ànhbði

(Chu©n

Sè m tr÷ng ma trªn h msè mëtsè t½nh h§tt÷ìng

tü sè m tr÷ng h m sè

Gi£ sû F 1 (t), , F n (t) l  ma trªn p × q vîi phn tû ànhtr¶n kho£ng [t 0 , ∞) Khi â

3) χ

 n P

trong â, x(t) ∈ Rn v  A(t) ∈ C[t 0 ,∞) l  ma trªn n × n l phn tû ma trªn A(t) l  h m sè li¶n tr¶n kho£ng [t0, ∞))

h» (1.4) ·u ÷ñ biºu di¹n qua tê hñp tuy¸n t½nh

ành ngh¾a 1.6 Phê mët h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh thun

nh§t ÷ñ gåi l  y õ n¸u sè sè m tr÷ng b¬ng nhau l  b¬ng sè

bëi sè m n y

Hiºn nhi¶n phê y õ hùa n phn tû

1.1.4 H» b£n hu©n B§t ¯ng Lyapunov ho têng

Gi£ sû trong khænggian n− hi·u R n ho h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n

t½nh (1.4), trong â A (t) ∈ C [t 0 ,∞) , sup

t

||A(t)|| ≤ M v  phê h» hùa

m ≤ n phn tû ÷ñ x¸p theo thù tü t«ng dn, l  −∞ < α 1 ≤ α 2 ≤ ≤ α m < ∞ Nh÷ ¢ bi¸t, tªp hñp t§t nghi»m h» (1.4) lªp

th nh mët khæng gian tuy¸n t½nh n− hi·u (khæng gian nghi»m) Gi£ sû h»nghi»m b£n

V¼ phê h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh l  húu h¤n v  sè

nghi»m ë lªp tuy¸n t½nh b¬ng n, n¶n gi¡ trà σ X ¤t tiºu tr¶n tªph» nghi»m b£n X (t)

ành ngh¾a 1.7 H» b£n X (t) ÷ñ gåi l  n¸u têng sèm tr÷ng nâ l  nhä nh§t so vîi h» b£n

º t½nh tr÷ng h» b£n hu©n ÷ñ y õ hìn, Lyapunov

¢ ÷a ra kh¡i ni»m t½nh khæng n²n ÷ñ

B§t ¯ng (1.5)÷ñ gåi l  b§t ¯ng Lyapunov vîi têng sè

m tr÷ng mët h» b£n N¸u b§t¯ng Lyapunov ành th¼

sð l  hu©n (xem [4℄, tr 40)

Ti¸p theo hóng tæi tr¼nh b y kh¡i ni»m ph²p bi¸n êi Lyapunov

t½nh h§t nâ, kh¡i ni»m h» kh£ quy v  t½nh kh£ quy mët h»

ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh v· mët d¤ng tam (xem [4℄, tr 43

-57) kh¡i ni»m v t½nh h§t n y nh¬m ph vö ho phn ti¸p theo

luªn v«n

ành ngh¾a 1.12 H» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh (1.4) ÷ñ gåi l 

kh£ quy v· h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh ˙y = B(t)y n¸u tçn t¤i mëtph²p bi¸n êi Lyapunov x = L(t)y sao ho

B (t) = L −1 (t) A(t) L(t) − L −1 (t) ˙L(t).

T½nh kh£ quy t½nh h§t sau (xem [4℄, tr 45)

1) T½nh N¸u h» ˙x = A(t)x l  kh£ quy v· h» ˙y = B(t)y v  h»

˙y = B(t)y l  kh£ quy v· h» ˙z = C(t)z th¼ h» ˙x = A(t)x l  kh£ quy v· h»

˙z = C(t)z

2) T½nh èi xùng N¸u h» ˙x = A(t)x l  kh£ quy v· h» ˙y = B(t)y th¼ h»

˙y = B(t)y l  kh£ quy v· h» ˙x = A(t)x

3) N¸u h» ˙x = A(t)x l  kh£ quy v· h» ˙y = B(t)y b¬ng ph²p bi¸n êi

x = L(t)y th¼ h» ˙x = −A ∗ (t)x l  kh£ quy v· h» ˙y = −B ∗ (t)y b¬ng ph²pbi¸n êi x = [L −1 (t)] ∗ y

ành l½ 1.5 i·u ki»n n v  õ º h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh

x 1 x 1 x 1 x 2 · · · x 1 x n

· · · ·

x n x 1 x n x 2 · · · x n x n

Z

t 0a(τ ) dτ.

Z

t 0 [a(τ ) + q(τ )] dτ.

Tr÷î khi hùng minh ành lþ, ta h¿ ra r¬ng khi nhi¹u h» (1.4) tr¶n

mëtkho£ng thíi gian húu h¤n th¼ phê h» (1.4) khæng thay êi X²t h»

nhi¹u

trong â ma trªn G T (t) ≡ 0 vîi t ≥ T ≥ t 0, l  ta h¿ nhi¹u h» (1.4)tr¶n kho£ng [t 0 , T ) húu h¤n L§y sð X T (t) h» (1.10) thäa m¢n i·uki»n ban u X T (T ) = X(T ) Theo h½nhi·u ki»n ma trªn G T (t),

sð n y tròng nhau khi t ≥ T ≥ t0, l 

Cì sð X (t) l  khæng n²n ÷ñ (v¼ X (t) hu©n suy ra sð X T (t) l khæng n²n ÷ñ n¶n X T (t) hu©n V¼ th¸ X T (t) hi»n phê y õh» (1.10), v  theo i·u ki»n (1.11) phê n y tròng vîi phê h» (1.4).

Ta hùng minh ph¡t biºu ành lþ Ng÷ñ l¤i, gi£ sû phê h»

˙y = [A(t) + R(t)]y

thäa m¢n i·u ki»n (1.9), l 

trong â, c 1 , c 2 l  h¬ng sè b§t ký Khi â

λ 1 = χ[x 1 ] = χ[c 1 e −at ] = χ[e −at ] = −a,

λ 2 = χ[x 2 ] = χ[c 2 e t sin ln t−2at ] = χ[e t sin ln t−2at ]

t→∞ (sin ln t − 2a) = 1 − 2a,

λ′ 1 = χ[y1] = χ[c1e−at] = −a.

Vªy phê sè m tr÷ng h» (1.14) khæng ên ành v  λ 2 6= λ ′ 2.

Bê · 1.2 (Xem [4℄, tr 138) T½nh ên ành sè m tr÷ng

h»ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh l  b§t bi¸nd÷îi ph²p bi¸nêi Lyapunov

hay i·u ki»n h m a i (t), i = 1, , n.

Hìn núa, n¸u ho ||Q(t)|| → 0 khi t → ∞ th¼ sè m tr÷ng h»(1.4) v  (1.8) tròng nhau, l 

λ ′ i = λ i = lim

t→∞

1 t

t

Z

t 0

a i (τ ) dτ, i = 1, , n.

Sau ¥y ta th§y r¬ng,d÷îi i·uki»n (1.16) sè m tr÷ng mët

h» ÷íng h²o l  sü ên ành, v  çng thíi i·u ki»n h ÷íng

h²o ÷ñ thay th¸ bði i·u ki»n h ÷ñ h ph¥n

ành ngh¾a 1.14 (Xem [4℄, tr 147) h m sè li¶n v  bà h°n

Do â, vîi h¬ng sè a = 1, d = 0 th¼ hai h m sin t v  1 l  h ÷ñ hph¥n Nh÷ng hai h m n y l¤i khæng h ÷ñ v¼ vîi t k = π

2 + k2π > 0,

k = 0, 1, th¼

1 − sin t = 0.

ành ngh¾a 1.15 (Xem [4℄, tr.148) Mët h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n

t½nh÷ñ gåil h» ÷ñ ph¥n n¸unâ nghi»mx 1 (t), x 2 (t), ,

xn(t) sao ho vîi h¬ng sè a > 0, d ≥ 1 b§t ¯ng sau l  óng

1.3.3 i·u ki»n v  õ ho t½nh ên ành sè m tr÷ng

Tr÷î ti¶n hóng ta ¸n mët ph²p bi¸n êi bi»t l  H − bi¸n

êi v  kh¡i ni»m §p t«ng mët v - h m

ành ngh¾a 1.16 Gi£ sû h mp(t) li¶n v  bà h°ntr¶n kho£ng [t 0 , ∞).Khi â, h m

÷ñ gåi l  mët H − bi¸n êi

Ph²p bi¸n êi (1.20) l  mët bi¸n êi Lyapunov Thªt vªy, °t

M H

Do â

|B(t) − B(s)| ≤ 1

H

...

phờ số m trững hằ phữỡngtrẳnh vi phƠntuyán tẵnh(1.4)

tiảu huân ny  ữủ B F Bylov v N A Izobov hùngminh (xem[7℄)

ành l½ 1.11 (Xem [7℄) Gi£ sû h» phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán... Đp m (số m v trững m) hm số

x(t)

Nhên xt 2.1 Khi m = 0 thẳ (0)(x(t)) = 0 hẵnh l số m tr÷ngLyapunov... nghắa 1.14 (Xem [4, tr 147) hm số li¶n v  bà h°n

Do â, vợi hơng số a = 1, d = 0 thẳ