Phương pháp RBF FD giải phương trình POISSON trong không gian hai chiều

Các loại phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính .... Phương pháp Jacobi giải hệ phương trình đại số tuyến tính .... Còn trong đại đa số trường hợp khác, đặc biệt là đối với c

TS Oanh

Thái Nguyên, ngày 15 tháng 9 năm 2013

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Minh Thùy

i

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT iv

v

vii

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2

1.1 Điều kiện vật lý dẫn đến phương trình Poisson 2

1.1.1 Bài toán truyền nhiệt trong thanh vật chất 2

1.1.2 Bài toán truyền nhiệt trong môi trường phẳng 5

1.2 Một số định nghĩa 6

1.2.1 Nội suy dữ liệu phân tán 7

1.2.2 Ma trận xác định dương và hàm xác định dương 7

1.2.3 Hàm bán kính 8

1.2.4 Hàm xác định dương 8

1.2.5 Hàm bán kính xác định dương 8

1.3 Nội suy dữ liệu phân tán với hàm xác định dương 10

12

1.4.1 Hệ phương trình đại số tuyến tính 12

1.4.2 Các loại phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính 14

1.4.3 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính 14

1.4.4 Phương pháp Jacobi giải hệ phương trình đại số tuyến tính 17

1.4.5 Phương pháp truy đuổi 3 đường chéo giải hệ phương trình đại số tuyến tính 19

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP RBF-FD GIẢI BÀI TOÁN DIRICHLET VỚI PHƯƠNG TRÌNH POISSON 22

2.1 Phương pháp FD giải phương trình Poisson trong miền chữ nhật 22

2.1.1 Phát biểu bài toán 22

2.1.2 Rời rạc hóa bài toán Dirichlet 22

2.1.3 Lược đồ sai phân hữu hạn giải bài toán Dirichlet với phương trình Poisson 23

2.2 Lược đồ RBF-FD giải bài toán Dirichlet với phương trình Poisson 23

23

2.2.2 Lược đồ RBF-FD dựa trên hàm RBF 25

2.2.3 Ưu nhược điểm của phương pháp RBF-FD 25

2.3 Thuật toán chọn tâm 26

CHƯƠNG 3 THỬ NGHIỆM SỐ 30

30

- 37

45

46

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

Hình 1.1: Thanh vật chất đặt trên trục Ox từ x a đến x a L b 2

Hình 1.2: Bản mỏng vật chất có đường biên là một đường cong khép kín 5

h 30

(Adaptive) trong pdetoolbox 31

32

- -FD [0,1]2 32

(Adaptive) trong pdetoolbox 32

33 - -FD tr [0,1]2 34 (Adaptive) trong pdetoolbox 34

35

- -[0,1]2 35

(Adaptive) trong pdetoolbox 36

-FD 36

- -FD [0,1]2 37

(Adaptive) trong pdetoolbox 37

3.14 38

3.16: B (Adaptive) trong pdetoolbox 38

3.16 39

(Adaptive) trong pdetoolbox 40

3.18 40

(Adaptive) trong pdetoolbox 41

3.20 41

(Adative) trong pdetoolbox 42

3.22 42

(Adaptive) trong pdetoolbox 43

3.24 43

(Adaptive) trong pdetoolbox 44

3.26 44

(Adaptive) trong pdetoolbox 45

3.28 45

Bảng 1.1: Một số hàm cơ sở bán kính dùng trong báo cáo, trong đó

k

r x x 9Bảng 1.2: Một số hàm cơ sở bán kính với tham số hình dạng >0 9

MỞ ĐẦU

Nhiều hiện tượng khoa học và kỹ thuật dẫn đến các bài toán biên của phương trình vật lý toán Giải các bài toán đó đến đáp số bằng số là một yêu cầu quan trọng của thực tiễn Trong một số ít trường hợp thật đơn giản, việc

đó có thể làm được nhờ vào nghiệm tường minh của bài toán dưới dạng các công thức sơ cấp, các tích phân hoặc các chuỗi hàm Còn trong đại đa số trường hợp khác, đặc biệt là đối với các bài toán có hệ số biến thiên, các bài toán phi tuyến, các bài toán trên miền bất kỳ thì nghiệm tường minh của bài toán không có, hoặc có nhưng rất phức tạp Trong những trường hợp đó việc tính nghiệm phải dựa vào các phương pháp giải gần đúng

Tuy nhiê

Muốn sử dụng các phương pháp trên ta cần một lưới các điểm Vì vậy cần chi phí cho sinh lưới, duy trì lưới và cập nhật lưới Hơn nữa trong trường hợp miền có hình học phức tạp thì việc sinh lưới, duy trì lưới và cập nhật lưới gặp khó khăn và thậm chí nghiệm xấp xỉ thu được khác xa nghiệm chính xác

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Điều kiện vật lý dẫn đến phương trình Poisson

1.1.1 Bài toán truyền nhiệt trong thanh vật chất

Xét một thanh vật chất đồng chất, dài L cm , có thiết diện thẳng nhỏ

Nhiệt truyền từ nơi có nhiệt độ cao tới nơi có nhiệt độ thấp hơn [9]

Sự lan truyền nhiệt diễn ra dọc theo thanh vật chất tức là theo phương x, và tuân theo định luật truyền nhiệt thực nghiệm của Fourier:

Do có định luật bảo toàn nhiệt lượng nên có sự cân bằng nhiệt ở mỗi phân tố nhỏ S x của thanh từ x đến x x trong thời gian t Sự cân bằng này diễn đạt bằng công thức:

Nhiệt truyền vào phân tố - Nhiệt ra khỏi phân tố = Nhiệt tích lũy trong phân tố

Nhiệt truyền vào phân tố là q x t S t( , ) ;

Nhiệt ra khỏi phân tố là q x( x t S t, ) ;

Nhiệt tích lũy trong phân tố là S x C u, trong đó ulà biến thiên của nhiệt độ trong thời gian t

Áp dụng định luật Fourier (1.2) ta suy ra:

Chú ý 2: Khi k const thì phương trình (1.3) có dạng:

1.1.2 Bài toán truyền nhiệt trong môi trường phẳng

Nay ta thay thanh vật chất bằng 1 “bản mỏng” vật chất có đường biên là một đường cong khép kín , đặt trong mặt phẳng Oxy(hình 1.2).[9]

Hình 1.2: Bản mỏng vật chất có đường biên là một đường cong khép kín

Phương trình truyền nhiệt dừng

Nếu đến một lúc nào đó phân bố nhiệt độ trên thanh vật chất, bản mỏng vật chất đã ổn định không thay đổi theo thời gian nữa thì ta nói hiện tượng truyền nhiệt đã dừng.[9]

Từ lúc đó nhiệt độ không thay đổi theo thời gian nên u 0

Phương trình (1.15) còn có tên là phương trình Laplace hai chiều

Khi vế phải của (1.15) khác 0 ta có phương trình :

Cho miền trong không gian Ơcơlit d

R với biên Ta sẽ dùng thuật

ngữ “Tâm” nhƣ là một điểm thuộc miền

1.2.1 Nội suy dữ liệu phân tán

j c A c

1 1

Với c = (c1 , ,c n ) T Ma trận A được gọi là xác định dương khi và chỉ khi c = (0, ,0)T

Tính chất quan trọng của ma trận xác định dương là nó có tất cả các giá trị riêng đều dương và không suy biến

R liên tục, được gọi là xác định dương

một X = x x1, 2, ,x n R d , n N và mọi véc tơ c = c c1, 2, ,c n R n thì dạng toàn phương

Hàm :R d R được gọi là hàm bán kính nếu tồn tại hàm một biến

2 Để bài toán nội suy có nghiệm duy nhất, ta cần chọn hàm Φ phù hợp sao cho det A ≠ 0

Bảng 1.1: Một số hàm cơ sở bán kính dùng trong báo cáo, trong đó

W33 w33 r 1 r 8 32 ( r)3 25 ( r ) 8 r 12Giả sử ( )x là hàm xác định dương và được xác định theo công thức (1.25) Khi đó mà trận A của bài toán nội suy theo hàm ( )x có dạng

1.3 Nội suy dữ liệu phân tán với hàm xác định dương

Nội suy dựa trên hàm cơ sở bán kính với độ chính xác đa thức có nghĩa

1 ! dim

1 ! !

d d m m m

m d là số chiều của không gian các

đa thức có bậc ≤ m – 1 của d biến và p p1, 2, , p M là cơ sở của không gian đó

Theo điều kiện nội suy nên ta có P f(xi) = yi, i = 1, 2,…., n, dẫn đến hệ

n phương trình với n + M ẩn c k và d Để được sự “chính xác” về nội suy về các tâm, ta thêm các điều kiện

Định nghĩa (Hàm xác định dương có điều kiện)

( )x được gọi là xác định dương có điều kiện bậc  nếu với mọi bộ tâm phân biệt từng đôi một x x1, 2, ,x n R d,n N, mọi véctơ

Nếu một hàm là xác định dương có điều kiện bậc  trong không gian

Rd thì nó sẽ là xác định dương có điều kiện với mọi bậc lớn hơn  Cụ thể là nếu một hàm là xác định dương  0 thì sẽ là xác định dương với mọi bậc 1

Ma trận A với các phần tử A j k, x j x k tương đương với hàm chẵn, liên tục và xác định dương có điều kiện bậc , có thể được xem như là hàm xác định dương trên không gian véc tơ c sao cho

c p x

Trong đó p là đa thức bậc nhỏ hơn 

1.4 phương pháp số trong đại số tuyến tính

1.4.1 Hệ phương trình đại số tuyến tính

Xét một hệ phương trình gồm n phương trình tuyến tính với n ẩn số

n

n

nn

a a

a

, x =

1

2

n

x x

x

, b =

1

2

n

b b

b

Nếu det A ≠ 0 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất và nghiệm của

nó có thể tính theo công Cramer

xj = det

det

j A A

trong đó Aj là ma trận nhận được từ ma trân A bằng cách thay cột thứ j bởi cột b

Một số dạng đặc biệt của ma trận

Ma trận đường chéo: Ma trận vuông cấp n mà mọi phần tử nằm ngoài đường chéo chính bằng 0, tức là aij = aji = 0 với i ≠ j, được gọi là ma trận đường chéo

Nếu mà trận đường chéo có aii = 1 (i = 1,…,n) thì ta gọi A là ma trận

1 0 0

0 1 0

0 0 1 Ma trận tam giác trên: Ma trận vuông A được gọi là ma trận tam giác trên, nếu A có dạng 11 0 0 a A

12 22 0 a a

1 2 n n nn a a a tức là aij = 0 nếu i > j Ma trận tam giác dưới: Tương tự, ma trận vuông A được gọi là ma trận tam giác dưới, nếu A có dạng 11 21 1 n a a A a 22

2 0 n a a

0 0 nn a tức là aij = 0 nếu i < j Ma trận thưa: Ma trận thưa là ma trận có rất nhiều phần tử bằng 0 Trong trường hợp, nếu aij = 0 khi i j m và m<<n thì ma trận có tên gọi là ma trận băng Nếu m = 1 thì ma trận băng có dạng ba đường chéo 11 21

0 0 a a A ………

12 22

0 0 a a …

23 0

0

0

a … , 1 0 0

n n a

1,

0 0

n n

nn

a a

Ma trận đối xứng: Ma trận A được gọi là đối xứng nếu *

,

A A tức là aij

= aji (i, j = 1,…, n)

Ma trận xác định dương: Ma trận A được gọi là xác định dương nếu tích vô hướng (Ax, x) > 0 với mọi x ≠ 0

Tiêu chuẩn Sylvestơ: Một ma trận là xác định dương khi và chỉ khi tất

cả các định thức con góc đều dương

1.4.2 Các loại phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính

Người ta chia các phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính thành 2 loại: các phương pháp trực tiếp và các phương pháp lặp.[10]

Phương pháp trực tiếp là phương pháp cho ta nghiệm đúng của hệ phương trình sau một số hữu hạn các phép tính (với giả thiết không có sai

số làm tròn)

Phương pháp lặp là phương pháp xây dựng một dãy vô hạn các xấp xỉ

x(k), mà giới hạn của nó là nghiệm đúng của hệ

Trong phần này ta nghiên cứu phương pháp trực tiếp sau: phương pháp khử Gauss và một số biến dạng của nó để giải hệ phương trình với ma trận ba đường chéo Phương pháp lặp được xét đến là phương pháp Jacobi

1.4.3 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính

Ý tưởng của phương pháp khử Gauss là khử dần các ẩn để dưa hệ ban đầu về hệ với ma trận tam giác trên bằng các phép biến đổi tương đương như:

Đổi chỗ hai phương trình bất kỳ

Nhân một phương trình bất kỳ với một số khác không

tổ hợp tuyến tính của một số phương trình khác

Như vậy phương pháp Gauss gồm 2 quá trình:

Quá trình thuận: đưa hệ về dạng tam giác trên

Quá trình ngược: giải hệ tam giác trên từ dưới lên trên

Quá trình thuận: Để viết cho gọn ta xét hệ

Như vậy sau bước 1 ta thu được phương trình (1.30) và hệ (1.31)

Bước 2: Dùng phương trình đầu tiên trong (1.31) khử x2 trong các phương trình còn lại tương tự như đã làm trong bước 1

Quá trình được tiếp tục như vậy Kết quả sau bước thứ m ta thu được hệ

Số phép toán để thực hiện quá trình ngƣợc là n (n - 1)

tử trụ Nếu nó bằng 0 thì quá trình không thực hiện được Ngoài ra nó có trị tuyết đối nhỏ thì khi chia cho nó sai số làm tròn sẽ lớn, do đó có thể làm giảm

độ chính xác của nghiệm tìm được Để khắc phục khó khăn trên người ta thường dùng phương pháp Gauss với phần tử trụ có trị tuyết đối lớn nhất trong cột Khi đó thuật giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss có thể tóm tắt như sau:

0

m rm

Trong trường hợp 1

0

m rm

a : nếu r = m thì ta giữ nguyên thứ tự các phương trình, còn nếu khác thì cần đổi chỗ hai phương trình thứ r và m

ij ,

mj

b a theo các công thức (1.33)

Ngược: Tính xn, xn-1,…, x1 theo công thức (1.34)

Nhận xét 2: Trong phương pháp khử Gauss ta sử dụng các phép biến

đổi lên ma trận như chia một hàng cho một số, trừ đi từ hàng một hàng khác nhân với một số và đổi chỗ hai hàng Do đó, định thức của ma trận A có thể tính theo công thức

0 1 1

11 22 detA 1 k a a a nn n ,

Trong đó k là số lần đổi chỗ các hàng

1.4.4 Phương pháp Jacobi giải hệ phương trình đại số tuyến tính

Ta viết hệ phương trình Ax = b trong dạng chi tiết

Ta sẽ chứng tỏ rằng phương pháp này là một trường hợp riêng đơn giản của phương pháp lặp tổng quát Để có điều đó ta ký hiệu

11 22

Ta cũng có thể thấy ngay các thành phần của ma trận chuyển S từ công thức (1.36) Bây giờ ta đánh giá chuẩn của S Nếu trong không gian Rn

ta sử dụng chuẩn . của véc tơ được xác định bởi

1 i n ax i

ij ij

trong đó x là nghiệm đúng của hệ

1.4.5 Phương pháp truy đuổi 3 đường chéo giải hệ phương trình đại số tuyến tính

Xét hệ phương trình Ax = f, trong đó ma trận A có dạng ba đường chéo sau

Giả sử ci ≠ 0 (i = 1,…, n) Từ phương trình thứ nhất của hệ rút ra

x x vào phương trình thứ i – 1 (i ≥ 2) ta thu được biểu diễn

của xi qua xi+1

1 1

f

Như vậy, theo công thức (1.45), (1.46) ta lần lượt tính được các hệ số

αi, βi (i = 1,…, n - 1) Khi i = n - 1 công thức (1.44) cho ta x n 1 n 1x n n 1 Thế biểu thức này vào phương trình cuối của hệ (1.42) ta tìm được

1 1

n n n n

n n n

x

Đây chính là βn tính theo công thức (1.33)

Bây giờ, sau khi biết xn hệ số αi, βi, theo công thức (1.43) ta sẽ lần lượt tính được xi với i = n – 1, n – 2,…,1

Phương pháp trình bày ở trên để giải hệ phương trình với ma trận ba đường chéo được gọi là phương pháp truy đuổi Phương pháp này có thể tóm lược lại bao gồm hai quá trình sau:

Quá trình truy đuổi xuôi: Tính 1

1 1

b

1 1 ,

f

i i

i i i

b

1 1

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP RBF-FD GIẢI BÀI TOÁN DIRICHLET

VỚI PHƯƠNG TRÌNH POISSON 2.1 Phương pháp FD giải phương trình Poisson trong miền chữ nhật

2.1.1 Phát biểu bài toán

Luận văn sẽ sử dụng bài toán Dirichlet với phương trình Poisson trong

R như bài toán mẫu Bài toán được phát triển như sau: cho :

u f trong Ω (2.1)

u g (2.2)

Lưu ý rằng tất cả các chuẩn . trong luận văn này là chuẩn Ơcơlit . 2

2.1.2 Rời rạc hóa bài toán Dirichlet

Bài toán (2.1) và (2.2) có thể được rời rạc với sự trợ giúp của công thức

i 1

n

i i

Du x x u x như sau:

int := \ Với mỗi int, ta chọn một công thức vi phân tuyến

tính đối với toán tử Laplace ,

 ,

u g (2.5) Nếu hệ phương trình (2.4) – (2.5) không suy bi véc tơ nghiệm xấp xỉ của hệ phương trình này có thể so sánh được với véc tơ u là nghiệm

chính xác của bài toán (2.1) – (2.2)

2.1.3 Lược đồ sai phân hữu hạn giải bài toán Dirichlet với phương trình Poisson

Phương pháp sai phân hữu hạn thông thường thu được từ trên nếu miền

:

, , 1

1 2

, , , ,

n n

i j

T n

2.2: X x x1, 2, ,x n R d, :

2.3 Thuật toán chọn tâm

các điểm 1 , 2 , , k được sắp xếp theo chiều ngược kim đồng hồ đối với Xét hàm chi phí sau:

2

1 2

1 , , , :

được chọn tự do trong R2. Tuy nhiên, các điểm này bị phụ thuộc vào sự phân

bố của các điểm trong tập và vì vậy, khoảng cách i nhỏ nhất có thể

Để đạt được mục đích cân bằng giữa nhỏ và khoảng cách cũng nhỏ, chúng tôi đưa ra giới hạn là i phải được bao quanh bởi m điểm gần nhất với và thuật toán dừng nếu tập , ,1 2, , k thỏa mãn

1, 2, , k u 1, 2, , k



Trong đó m > k và u >1.0 là các tham biến được xác định theo

kinh nghiệm

Thuật toán 1 (Chọn bộ tâm cho hệ số nội suy hàm RBF)

a) Tư tưởng thuật toán: Với mỗi int, chọn tập các tâm địa phương

với i = 1, 2,… , k sao cho thỏa mãn điều kiện thứ nhất là các tia liền kề