Một phương pháp lai ghép tìm nghiệm chung của bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC -TRẦN THỊ HÀ GIANG MỘT PHƯƠNG PHÁP LAI GHÉP TÌM NGHIỆM CHUNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

-TRẦN THỊ HÀ GIANG

MỘT PHƯƠNG PHÁP LAI GHÉP TÌM NGHIỆM CHUNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2014

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

-TRẦN THỊ HÀ GIANG

MỘT PHƯƠNG PHÁP LAI GHÉP TÌM NGHIỆM CHUNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG

Mã số: 60.46.01.12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS NGUYỄN THỊ THU THỦY

THÁI NGUYÊN - 2014

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

-TRẦN THỊ HÀ GIANG

MỘT PHƯƠNG PHÁP LAI GHÉP TÌM NGHIỆM CHUNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG

Mã số: 60.46.01.12

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2014

Công trình được hoàn thành tại:

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

Người hướng dẫn khoa học:TS.Nguyễn Thị Thu Thủy

Phản biện 1: Phản biện 2: .

Luận văn sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại:

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

Vào hồi giờ ngày tháng năm 2014

Có thể tìm hiểu luận văn tại trung tâm học liệu Đại học Thái Nguyên

Và thư viện Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên.

Mục lục

Mở đầu ii

Bảng ký hiệu iv

1 Giới thiệu về bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động 1 1.1 Không gian Hilbert thực 1

1.1.1 Định nghĩa không gian Hilbert thực 1

1.1.2 Một số tính chất 3

1.2 Bài toán điểm bất động 5

1.2.1 Ánh xạ đơn điệu Ánh xạ không giãn 5

1.2.2 Phép chiếu mêtric 7

1.2.3 Bài toán điểm bất động 8

1.2.4 Một số phương pháp xấp xỉ điểm bất động 11

1.3 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert 15

1.3.1 Bất đẳng thức biến phân 15

1.3.2 Nghiệm chung của bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động 17

2 Tìm nghiệm chung của bất đẳng thức biến phân và bài

2.1 Một số kết quả bổ trợ 20

2.2 Phương pháp lặp 21

2.2.1 Mô tả phương pháp 21

2.2.2 Sự hội tụ mạnh 24

MỞ ĐẦU

Bất đẳng thức biến phân được Stampacchia và các cộng sự đưa ranghiên cứu vào những năm đầu của thập kỷ 60 trong khi nghiên cứubài toán biên của phương trình đạo hàm riêng Từ đó phương phápbất đẳng thức biến phân được quan tâm nghiên cứu rộng rãi và trởthành một công cụ hữu hiệu trong việc xây dựng các kỹ thuật để giải

số các bài toán cân bằng trong kinh tế tài chính, bài toán vận tải, lýthuyết trò chơi và nhiều bài toán thuộc lĩnh vực vật lý và kỹ thuật.Nhiều bài toán trong toán học được phát biểu dưới dạng bất đẳngthức biến phân như bài toán bù phi tuyến, bài toán tối ưu, bài toánđiểm bất động

Một trong những phương pháp giải bất đẳng thức biến phân là dựatrên cách tiếp cận thông qua điểm bất động Nội dung của phươngpháp này là đưa bất đẳng thức biến phân về bài toán tìm điểm bấtđộng của một ánh xạ nghiệm thích hợp Phương pháp chiếu gradient

là một kết quả theo hướng tiếp cận này bằng cách sử dụng phép chiếumêtric PC để xây dựng một dãy lặp hội tụ mạnh đến nghiệm của bấtđẳng thức biến phân

Mục đích của đề tài luận văn là đọc hiểu và trình bày lại một kếtquả công bố năm 2013 trong [8] cho bài toán tìm nghiệm chung củabất đẳng thức biến phân và tập điểm bất động chung của một họ vôhạn các ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert

Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương:

Chương 1 trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản về không

gian Hilbert, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm bấtđộng và một số phương pháp lặp giải các bài toán này.

Chương 2 trình bày và làm chi tiết hơn kết quả nghiên cứu trong [8]

về sự hội tụ mạnh của phương pháp tìm nghiệm chung của bất đẳngthức biến phân và tập điểm bất động chung của một họ vô hạn cácánh xạ không giãn trong không gian Hilbert

Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới người Thầy, người hướngdẫn luận văn cao học của mình, TS Nguyễn Thị Thu Thủy - giảngviên trường Đại học Khoa học, đại học Thái Nguyên Người đã dànhnhiều thời gian và tâm huyết để hướng dẫn và giải quyết những thắcmắc cho tôi trong suốt quá trình tôi làm luận văn Tôi cũng xin bày

tỏ lời cảm ơn chân thành tới các Thầy Cô trong hội đồng chấm luậnvăn thạc sĩ, các Thầy Cô giảng dạy lớp Cao học Toán K6B, gia đình,bạn bè, đồng nghiệp đã tạo những điều kiện thuận lợi nhất để tôi cóthể hoàn thiện khóa học cũng như luận văn của mình

Hải Phòng, tháng 5 năm 2014

Học viên

Trần Thị Hà Giang

BẢNG KÝ HIỆU

Rn không gian Euclide n chiều

D(A) miền xác định của toán tử A

R(A) miền giá trị của toán tử A

H không gian Hilbert thực

C tập con lồi đóng của H

PC Phép chiếu mêtrix H lên tập con lồi đóng C của H

xn → x dãy {xn} hội tụ mạnh tới x

xn * x dãy {xn} hội tụ yếu tới x

Chương 1

Giới thiệu về bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả

về không gian Hilbert thực H, bài toán bất đẳng thức biến phân, bàitoán điểm bất động trong không gian Hilbert và một số phương phápxấp xỉ nghiệm của các bài toán này Nội dung của chương này đượcviết dựa trên các tài liệu [1], [2], [5], [6], [8] và một số tài liệu tríchdẫn trong đó

1.1 Không gian Hilbert thực

1.1.1 Định nghĩa không gian Hilbert thực

Định nghĩa 1.1 Cho H là một không gian tuyến tính trên R Mộttích vô hướng trong H là một ánh xạ, ký hiệu h·, ·i : H × H → R thỏamãn các điều kiện sau:

i) hx, xi ≥ 0, ∀x ∈ H; hx, xi = 0 ⇔ x = 0;

ii) hx, yi = hy, xi , ∀x, y ∈ H;

iii) hαx, yi = αhx, yi, ∀x, y ∈ H, ∀α ∈ R;

iv) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi, ∀x, y, z ∈ H.

Không gian tuyến tính H cùng với tích vô hướng h·, ·i được gọi làkhông gian tiền Hilbert

Định nghĩa 1.2 Không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là khônggian Hilbert

Ví dụ 1.1 l2 là một không gian Hilbert với tích vô hướng

hx, yi =

∞ X n=1

ξnηntrong đó x = (ξn), y = (ηn) là hai dãy số thực thuộc l2

Ví dụ 1.2 lnp là không gian Banach hữu hạn chiều nhưng không phải

là không gian Hilbert với p 6= 2 Thật vậy, với x = (1, 1, 0, 0, ) và

Π1 p

= (1p+ 1p)1p = 21p,kyk = (1p+ 1p) = 21p,

kx + yk = (2p)1p = 2,

kx − yk = (2p)1p = 2

Nếu p = 2 thì quy tắc hình bình hành:

kx + yk2 + kx − yk2 = 2kxk2 + 2kyk2thỏa mãn, do đó lpn, p = 2 là không gian Hilbert Nếu p 6= 2 thì quytắc hình bình hành không thỏa mãn, do đó lnp không là không gianHilbert với p 6= 2

Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập con của H.Định nghĩa 1.3 Tập C ⊂ H là một tập lồi nếu với mọi x1, x2 ∈ C

và với mọi số thực λ ∈ [0, 1] ta đều có λx1 + (1 − λ)x2 ∈ C

Từ định nghĩa trên ta thấy tập ∅ là một tập lồi

Định nghĩa 1.4 Hàm f : C → R được gọi là:

(i) lồi trên C nếu với mọi λ ∈ [0, 1], với mọi x, y ∈ C thì

f (λx + (1 − λ) y) ≤ λf (x) + (1 − λ) f (y) ;(ii) lồi chặt trên C nếu với mọi λ ∈ (0, 1), với mọi x, y ∈ C, x 6= ythì

f (λx + (1 − λ) y) < λf (x) + (1 − λ) f (y)

1.1.2 Một số tính chất

Bổ đề 1.1 Cho H là một không gian Hilbert thực Khi đó:

(i) kx + yk2 = kxk2 + kyk2 + 2hx, yi, ∀x, y ∈ H;

(ii) ktx+(1−t)yk2 = tkxk2+(1−t)kyk2−t(1−t)kx−yk2 ∀t ∈ [0, 1],

Định lý 1.1 Nếu C là một tập hợp lồi đóng trong không gian Hilbert

H thì tồn tại một phần tử duy nhất x0 của C sao cho

n→∞kxnk = d Theo (1.2),với mọi n ta có

n→∞kxnk = d

Hệ quả 1.1 Nếu C là một tập hợp con lồi đóng trong không gianHilbert thực H thì với mỗi phần tử x của H, tồn tại duy nhất mộtphần tử y của C sao cho

kx − yk = dist (x, C) = inf

u∈C

kx − uk

1.2 Bài toán điểm bất động

1.2.1 Ánh xạ đơn điệu Ánh xạ không giãn

Cho H là không gian Hilbert thực, A : H → H là một ánh xạ vớimiền xác định là D(A), miền giá trị là R(A)

Định nghĩa 1.5 Ánh xạ A được gọi ánh xạ đơn điệu nếu

hA(x) − A(y), x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A)

Định nghĩa 1.6 Ánh xạ A được gọi là η-đơn điệu mạnh nếu tồn tạimột hằng số η > 0 sao cho

hA(x) − A(y), x − yi ≥ ηkx − yk2, ∀x, y ∈ D(A)

Định nghĩa 1.7 Ánh xạ A được gọi là k-ngược đơn điệu mạnh nếutồn tại một hằng số k > 0 sao cho

hA(x) − A(y), x − yi ≥ kkA(x) − A(y)k2, ∀x, y ∈ D(A)

Định nghĩa 1.8 Ánh xạ đa trị T : H → 2H là đơn điệu cực đại nếu

T là ánh xạ đơn điệu và đồ thị G(T ) của nó không là tập con thực sựcủa đồ thị của bất cứ một ánh xạ đơn điệu nào khác, trong đó, theođịnh nghĩa G(T ) = {(x, T (x)) : x ∈ H}

Ví dụ 1.3 Xét các ánh xạ Ti : R → 2R (i = 1, 2) cho bởi các côngthức:

Ta thấy T1 và T2 đều là các ánh xạ đơn điệu Tuy nhiên T1 không phải

là ánh xạ đơn điệu cực đại vì G(T1) chứa thực sự trong G(T2)

Mệnh đề 1.1 Giả sử T : H → 2H là ánh xạ đơn điệu Khi đó ánh

xạ T là đơn điệu cực đại khi và chỉ khi với mọi (a, b) ∈ H × H, nếu

hb − u, a − xi ≥ 0 ∀(x, u) ∈ G (T )thì b ∈ T (a)

Mệnh đề 1.2 Ánh xạ đa trị T : H → 2H là đơn điệu cực đại khi vàchỉ khi λT là ánh xạ đơn điệu cực đại với λ > 0

Chứng minh Giả sử T là ánh xạ đơn điệu cực đại và λ > 0 Khi đó

λT là ánh xạ đơn điệu Để chứng minh λT là ánh xạ đơn điệu cực đại

ta giả sử (a, b) ∈ H × H thỏa mãn

hb − u, a − xi ≥ 0 ∀(x, u) ∈ G (λT ) Vì

Định nghĩa 1.9 Cho H là một không gian Hilbert thực và một ánh

xạ T : H → H Ánh xạ T được gọi là liên tục Lipschitz với hằng sốLipschitz L > 0 nếu

kT (x) − T (y)k ≤ L kx − yk với mọi x, y ∈ D(T )

Nếu 0 < L < 1 thì T là ánh xạ co; nếu L = 1 thì T là ánh xạ khônggiãn.

PC từ H lên C thỏa mãn tính chất sau

kPC(x) − PC(y)k2 ≤ kx − yk2 − k(PC(x) − x) − (PC(y) − y)k2.Mệnh đề 1.3 Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của khônggian Hilbert H và PC là phép chiếu mêtric từ H lên C Khi đó nhữngđiều sau thỏa mãn:

(a) PC(PC(x)) = PC(x) với mọi x ∈ H;

(b) PC là ánh xạ đơn điệu mạnh, nghĩa là

hPC(x) − PC (y) , x − yi ≥ kPC(x) − PC(y)k2, ∀x, y ∈ H;(c) PC là ánh xạ không giãn, nghĩa là

kPC(x) − PC(y)k ≤ kx − yk , ∀x, y ∈ H;

(d) PC là ánh xạ đơn điệu, nghĩa là

hy − PC(y) , PC(x) − PC(y)i ≥ 0

Điều đó kéo theo

hx − y, PC(x) − PC(y)i ≥ kPC(x) − PC(y)k2.(c) là hệ quả trực tiếp của (b)

1.2.3 Bài toán điểm bất động

Cho H là không gian Hilbert thực, T : H → H là một ánh xạ phituyến

Định nghĩa 1.11 Phần tử x ∈ D(T ) trong không gian Hilbert Hđược gọi là một điểm bất động của ánh xạ T nếu x = T (x).

Ký hiệu tập các điểm bất động của ánh xạ T là Fix(T ) Chú ý rằngtập điểm bất động của ánh xạ không giãn T trong không gian Hilbert,nếu khác rỗng, là một tập con lồi và đóng của H

Bài toán điểm bất động được phát biểu như sau: Cho C là một tậpcon lồi của không gian Hilbert H, T : C → H là một ánh xạ

Hãy tìm phần tử x∗ ∈ C sao cho T (x∗) = x∗ (1.3)Việc tìm nghiệm của bài toán điểm bất động (1.3) tương đương vớiviệc giải phương trình toán tử:

Định lý điểm bất động Banach được đưa ra trong luận án củaBanach vào năm 1922 như sau

Định lý 1.2 Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và T : X → X

là ánh xạ co Khi đó, T có duy nhất điểm bất động q trong X vàvới xấp xỉ ban đầu tùy ý x0 ∈ X, dãy lặp {xn} được định nghĩa bởi

xn+1 = T (xn), với n ≥ 0, hội tụ mạnh tới q

Chứng minh a) Sự tồn tại

Với x0 tùy ý thuộc X, đặt xn+1 = T (xn) với n ≥ 0 Do T là ánh xạ

co trong không gian mêtric X nên tồn tại hằng số k ∈ [0, 1) sao chod(T (x), T (y)) ≤ kd(x, y)

Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ không giãn được trình bàytrong định lý sau

Định lý 1.3 Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập lồiđóng giới nội của H, T : C → C là một ánh xạ không giãn Khi đó T

có ít nhất một điểm bất động trong C

Định nghĩa 1.12 Ánh xạ T : H → H được gọi là d-compact, nếu nóthỏa mãn tính chất với mỗi dãy {xn} bị chặn trong H và {T (xn) − xn}hội tụ mạnh thì tồn tại một dãy con {xnk} của {xn} cũng hội tụ mạnh.Tính chất của tập điểm bất động của ánh xạ không giãn được công

bố trong định lý sau

Định lý 1.4 Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập conlồi đóng và giới nội của H Giả sử T : C → C là một ánh xạ khônggiãn và d-compact Khi đó tập điểm bất động của ánh xạ T là một tậplồi và khác rỗng

(1.5) hội tụ yếu tới một điểm bất động của ánh xạ T , với T : C → H

x0 ∈ C, xn+1 = αnu + (1 − αn)T (xn), n = 0, 1, 2, (1.7)trong đó u, x0 là hai phần tử xác định thuộc C và {αn} ⊂ [0, 1] Ôngchứng minh kết quả sau:

Định lý 1.5 Cho C là một tập lồi đóng bị chặn của không gian Hilbertthực H và T : C → C là một ánh xạ không giãn trên C Khi đó với

u ∈ C và dãy số thực {αn}∞n=0 ⊂ [0, 1] sao cho αn = n−θ, θ ∈ (0, 1),thì dãy lặp {xn}∞n=0 xác định bởi (1.7) hội tụ mạnh tới điểm bất độngcủa T

Năm 1977, Lions đã chứng minh sự hội tụ mạnh của dãy lặp (1.7)đến một điểm bất động của ánh xạ không giãn T trong không gian

Hilbert H, với dãy số {αn}∞n=0 thỏa mãn các điều kiện:

(L1) : limn→∞αn = 0;

(L2) :

∞ X n=0

= 0

Năm 1992, Wittmann cũng có kết quả cho sự hội tụ mạnh của dãy lặp(1.7) đến một điểm bất động của ánh xạ không giãn T trong khônggian Hilbert, với dãy số {αn}∞n=0 thỏa mãn các điều kiện (L1), (L2) và

(L4) :

∞ X n=0

|αn+1− αn| < ∞

Bauschke là người đầu tiên vận dụng phương pháp lặp Halpern đểtìm điểm bất động chung cho một họ hữu hạn các ánh xạ không giãntrong không gian Hilbert, bằng cách thay điều kiện (L4) bằng điềukiện

(L5) :

∞ X n=0

|αn+N − αn| < ∞

Kết quả đó được trình bày trong định lý sau

Định lý 1.6 Cho C là một tập lồi khác rỗng trong không gian Hilbertthực H và {Ti}Ni=1 : C → C là một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn,sao cho F = NT

i=1Fix (Ti) 6= ∅ và thỏa mãn

xn+1 = αn+1u + (1 − αn+1) T[n+1](xn), n ≥ 0 (1.9)trong đó T[n] = Tn mod N hội tụ mạnh tới PFu

Sau này, O’Hara có một kết quả khác bằng việc thay điều kiện (L5)bằng điều kiện

i=1Fix (Ti) 6= ∅ và thỏa mãn điều kiện (1.8) Giả sử rằng{αn}∞n=0 là một dãy các số thực thỏa mãn các điều kiện (L1), (L2) và(L6) Khi đó với u và x0 tùy ý thuộc C, dãy {xn}∞n=0 xác định bởi

xn+1 = αn+1u + (1 − αn+1) T[n+1](xn), (1.10)

ở đây T[n] = Tn mod N hội tụ mạnh tới PFu

Gần đây, Alber đã đề xuất một phương pháp đường dốc:

xn+1 = PC(xn− µn(xn − T (xn))) ∀n ≥ 0, x0 ∈ C, (1.11)

và ông đã chỉ ra rằng nếu µn > 0, P∞n=0µ2n < ∞ và dãy {xn} bị chặn,thì

(i) tồn tại điểm tụ yếu ˜x ∈ C của dãy {xn};

(ii) tất cả các điểm tụ yếu của {xn} thuộc Fix(T );

(iii) Nếu Fix(T ) là tập hợp gồm một phần tử, nghĩa là Fix(T ) = {˜x}thì dãy {xn} hội tụ yếu tới ˜x

1.3 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert

Ký hiệu tập nghiệm của (1.12) là ΩA Nếu A là ánh xạ đơn điệu mạnh

và liên tục Lipschitz trên C, thì bài toán (1.12) có nghiệm duy nhất

Lý thuyết bất đẳng thức biến phân đóng vai trò quan trọng trongnghiên cứu nhiều lĩnh vực khác nhau, chẳng hạn phương trình viphân, điều khiển tối ưu, tối ưu hóa, quy hoạch toán học, cơ học, tàichính, Một trong những phương pháp giải bất đẳng thức biếnphân là dựa trên cách tiếp cận thông qua điểm bất động Nội dungcủa phương pháp này là đưa bất đẳng thức biến phân về bài toántìm điểm bất động của một ánh xạ nghiệm thích hợp Bài toán (1.12)tương đương với

u∗ = PC(u∗ − µA(u∗)), (1.13)trong đó PC là phép chiếu mêtric từ H lên C và µ > 0 là hằng số.Nếu A là ánh xạ đơn điệu mạnh, liên tục Lipschitz trên C và µ > 0

đủ nhỏ, thì ánh xạ được xác định bởi vế phải của (1.13) là ánh xạ co

Do đó, nguyên lý ánh xạ co Banach bảo đảm rằng dãy lặp Picard

xn+1 = PC(xn − µA(xn))

hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất của bài toán (1.12) Phương phápnày được gọi là phương pháp chiếu Phương pháp này có ưu điểm là

dễ lập trình và tốc độ hội tụ nhanh Tuy nhiên với phương pháp nàythì việc tính toán phép chiếu mêtric PC không đơn giản vì sự phức tạpcủa tập con lồi đóng bất kỳ C của H Để khắc phục khó khăn này,Yamada đã đề xuất phương pháp lai đường dốc nhất vào năm 2001

để giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạkhông giãn trong không gian Hilbert Từ đó đến nay đã có nhiều côngtrình mở rộng hướng nghiên cứu của Yamada để giải bất đẳng thứcbiến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn

Phương pháp lai đường dốc (hybrid steepest descent) được Ya mada

đề xuất năm 2001 để tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân cổđiển trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn T trong khônggian Hilbert thực H như sau: Cho H là không gian Hilbert thực và

T : H → H là một ánh xạ không giãn sao cho C = Fix(T ) 6= ∅ Giả

sử A : H → H là một ánh xạ η-đơn điệu mạnh và L-liên tục Lipchitztrên D(A) Cho µ ∈ 0, 2η

L2

!

và {λn}n≥1 ⊂ (0, 1] là một dãy số thựcthỏa mãn điều kiện:

(C1) : lim

n→+∞λn = 0;

(C2) :

∞ X n=1