giải bài toán bằng cách lập phuơng trình

Lời nói đầuDạng toán “Giải bài toán bằng cách lập phơng trình” ở chơng trình đại số các lớp 8 và 9 ở trờng trung học cơ sở là một dạng toán tơng đối khó đối với học sinh.. Hầu hết các b

Lời nói đầu

Dạng toán “Giải bài toán bằng cách lập phơng trình” ở chơng trình đại

số các lớp 8 và 9 ở trờng trung học cơ sở là một dạng toán tơng đối khó đối với học sinh Do đặc trng của loại này thờng là loại toán có đề bài bằng lời văn và thờng đợc xen trộn nhièu dạng ngôn ngữ (ngôn ngữ thông thờng, ngôn ngữ toán học, vật lý).

Hầu hết các bài toán có các dự kiện ràng buộc nhau, ẩn ý dới dạng lời văn, buộc học sinh phải có suy luận tốt mới tìm đợc sự liên quan giữa các đại l- ợng dẫn đến việc lập phơng trình hoặc hệ phơng trình mà thực chất các vấn đề khoa học giải toán là giải phơng trình.

Trong phân phối chơng trình toán ở trờng trung học cơ sở thì đến lớp 8 học sinh mới đợc học về khái niệm phơng trình và các phép biến đổi tơng đ- ơng các phơng trình Nhng việc giải phơng trình đã có trong chơng trình toán từ lớp 1 với mức độ và yêu cầu tuỳ theo từng đối tợng học sinh.

Ở lớp 1, 2 phơng trình đợc cho dới dạng: Điền số thích hợp vào ô trống:

giữa các dữ liệu trong bài toán, dẫn đến lúng túng trong việc giải loại toán này.

Chính vì vậy, muốn giải bài toán bằng các lập phơng trình hay hệ phơng trình thì điều quan trọng là phải biết diễn đạt những mối liên hệ cho trong bài thành những quan hệ toán học Do vậy, nhiệm vụ của ngời thầy giáo không phải

là giải bài tập cho học sinh mà vấn đề đặt ra là ngời thầy phải dạy cho học sinh cách giải bài tập Do đó khi hớng dẫn cho học sinh giải loại toán dựa vào quá trình biến thiên của các đại lợng (tăng, giảm, thêm, bớt ) làm sáng tỏ mối quan

hệ giữa các đại lợng, dẫn đến lập đợc phơng trình dễ dàng Đây là bớc quan trọng và khó khăn đối với học sinh.

Trong thời gian giảng dạy ở trờng trung học cơ sở, qua học hỏi kinh nghiệm của các thầy giáo lớp trớc và các đồng nghiệp trong nhóm là đề tài này Đợc sự hớng dẫn tận tình của thầy giáo Trịnh Khang Thành, tôi mạnh dạn viết

đề tài này với mong muốn đợc trao đổi cùng với đồng nghiệp những kinh

nghiệm trong quá trình giảng dạy về dạng toán “Giải bài toán bằng cách lập phơng trình”.

NỘI DUNG CHÍNH CỦA ĐỀ TÀI GỒM:

Thái Bình, ngày … tháng …năm 200…

TÁC GIẢ

CHƠNG I PHƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU VÀ YÊU CẦU GIẢI MỘT BÀI TOÁN

I PHƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

Dựa vào phân phối chơng trình chung của Bộ giáo dụ - đào tạo ban hành

về chơng trình toán bậc THCS ở lớp 8 có tất cả 25 tiết nghiên cứu về phơng trình bậc nhất một ẩn và giải bài toán bằng cách lập phơng trình Ở lớp 9 có 36 tiết nghiên cứu về phơng trình bậc hai một ẩn Trong chơng trình sách giáo khoa

ở cả hai lớp trên có 74 bài tập

Một trong các phơng pháp hớng dẫn học sinh giải loại toán trên là dựa vào quy tắc chung: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình Nội dung quy tắc gồm các bớc:

Bớc 1: Lập phơng trình (gồm các công việc)

- Chọn ẩn số, chú ý ghi rõ đơn vị và đặt điều kiện cho ẩn

- Dùng ẩn số và các số đã biết, đã cho trong bài toán để biểu thị số liệu khác nhau có liên quan, diễn giải các bộ phận hình thành phơng trình (hệ phơng trình)

Bớc 2: Giải phơng trình (hệ phơng trình)

Tuỳ thuộc vào từng dạng phơng trình mà chọn cách giải cho thích hợp và ngắn gọn

Bớc 3: Nhận định kết quả, thử lại và trả lời

- Chú ý so sánh với điều kiện đặt ra cho ẩn xem có thích hợp không? sau

đó trả lời kết quả (có kèm theo đơn vị)

Mặc dù đã có quy tắc trên xong ngời giáo viên trong quá trình hớng dẫn giải loại toán này cần cho học sinh vận dùng theo sát yêu cầu về giải một bài toán nói chung

II YấU CẦU VỀ GIẢI MỘT BÀI TOÁN.

1 Yêu cầu 1:

Lời giải không phạm sai lầm và không có sai sót mặc dù nhỏ

Muốn cho học sinh không mắc sai phạm này giáo viên phải làm cho học sinh hiểu đề toán và trong quá trình giải không sai sót về kiến thức, phơng pháp suy luận, kỹ năng tính toán, ký hiệu, điều kiện của ẩn Phải rèn cho học sinh có thói quen đặt điều kiện cho ẩn số và xem xét đối chiếu kết quả với

điều kiện của ẩn đã hợp lý cha

Ví dụ 1: (Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 1995 – 1996)

Tỷ số giữa tuổi em và tuổi anh bằng 0,5 Sau 3 năm nữa tỷ số sẽ tăng thêm 0,1 Hỏi tuổi anh và em hiện nay?

Nếu gọi tuổi em là x(x > 0, x ∈ N) Nếu tuổi em là x thì tuổi anh là 2x (phân tích)

Theo bài ra ta có phơng trình: 0 , 5 0 , 1 0 , 6

3 2

+

+

x x

<=> x + 3 = 0,6 (2x + 3)

<=> x = 6 (thoả mãn điều kiện đã đặt)

=> Tuổi em hiện nay là 6, tuổi anh là 12

2 Yêu cầu 2:

Lời giải bài toán lập luận phải có căn cứ chính xác Trong quá trình thực hiện từng bớc có logic chặt chẽ với nhau, có cơ sở lý luận chặt chẽ, đặc biệt phải chú ý đến việc thoả mãn điều kiện nêu trong giả thiết Xác định ẩn khéo léo, mối quan hệ giữa ẩn và dữ kiện đã cho làm nổi bật đợc ý phải tìm Nhờ mối tơng quan giữa các đại lợng trong bài toán thiết lập đợc phơng trình (hệ phơng trình) từ đó tìm đợc giá trị của ẩn số Muốn vậy giáo viên cần làm cho học sinh hiểu đợc đâu là ẩn số? đâu là dữ kiện? đâu là điều kiện? điều kiện có đủ để xác định đợc ẩn không? Từ đó mà xác định đợc hớng đi, xây

Hớng dẫn: Ở đây bài toán hỏi chu vi của hình chữ nhật, học sinh thờng

có xu thế bài toán hỏi gì thứ gọi đó là ẩn số Nếu gọi chu vi của hình chữ nhật

là ẩn số thì bài toán đi vào bế tắc khó có lời giải Giáo viên cần hớng dẫn học sinh phát triển sâu trong khả năng suy diễn để từ đó đặt vấn đề Muốn tính chu vi hình chữ nhật ta cần gì? => (cạnh hình chữ nhật) Từ đó gọi chiều rộng khu đất hình chữ nhật là x (x> 0) Từ đó ta có phơng trình

x(x + 4) = 1200 <=> x2 + 4x + 1200 = 0

Giải phơng trình ta có: x1 = 30

x2 = -34Giáo viên giúp học sinh từ điều kiện để loại nghiệm x2 chỉ lấy x1 = 30

=> chiều dài là 30 + 4 = 34 và chu vi là: 2(30 + 34) = 128m

(ở bài toán này nghiệm x2 = - 34 có giá trị tuyệt đối bằng chiều dài hình chữ nhật, học sinh dễ mắc sai sót coi đó cũng là kết quả của bài toán

3 Yêu cầu 3:

Lời giải phải đầy đủ và mang tính toàn diện Hớng dẫn học sinh không đợc bỏ sót khả năng chi tiết nào, không thừa nhng cũng không thiếu Rèn cho học sinh cách kiểm tra lại lời giải đã đầy đủ cha? Kết quả của bài toán đã là đại diện phù hợp với mọi cái nói chung Nếu thay đổii điều kiện bài toán rơi vào trờng hợp đặc biệt thì kết quả vẫn luôn luôn đúng

Ví dụ 3: (Bài ôn luyện toán 9 – NXB Hà Nội)

Một tam giác có chiều cao bằng ắ cạnh đáy Nếu chiều cao tăng thêm

3dm và cạnh đáy giảm đi 2 dm thì diện tích của nó tăng thêm 12 dm2 Tính chiều cao và cạnh đáy.

Lu ý học sinh: Dù có thay đổi chiều cao, cạnh đáy của tam giác thì diện tích (S) của nó luôn đợc tính theo công thức:

S =

2

1

(cạnh đáy chiều cao)

Từ đó gọi chiều dài cạnh đáy (lúc đầu) là x(x > 0, dm) thì chiều cao sẽ

3x

2 ( 2

1

x x

Giải phơng trình ta tóm đợc: x = 20 thoả mãn điều kiện => chiều cao

của tam giác là

4

3

x 20 = 15dm

4 Yêu cầu 4:

Lời giải bài toán phải đơn giản

Bài giải phải đảm bảo đợc 3 yêu cầu trên Không sai sót, có lập luận, mang tính toàn diện và phù hợp kiến thức, trình độ học sinh, đại đa số học sinh hiểu và làm đợc

Ví dụ 4: (Bài toán cổ)

Vừa gà vừa chó

Bó lại cho tròn

Một trăm chân chẵn

Hỏi có mấy gà, mấy chó?

Với bài toán này nếu giải nh sau:

Gọi số gà là x(x>0), x ẻ N) thì số chó là 36x – x

Gà có 2 chân => Số chân gàn là 2x chân

Chó có 4 chân => Số chân chó là 4(36 – x) chân

Theo bài ra ta có phơng trình: 2x + 4(36 – x) = 100

Giải ra ta có: x = 22 => gà = 22 con => số chó có là 36 – 22 = 14 conThì bài toán ngắn gọn dễ hiểu Nhng học sinh giải theo cách dùng 2 ẩn (x, y) hoặc gọi số chân gàn là x => số chân chó là 100 – x

Lời giải phải trình bày khoa học

Đó là lu ý đến mối liên hệ giữa các bớc giải trong bài toán phải logic, chặt chẽ với nhau, các bớc sau đợc suy ra từ các bớc trớc nó, đã đợc kiểm nghiệm, chứng minh là đúng, hoặc những điều đã biết từ trớc

Ví dụ 5: (Toán phát triển đại 9 – Nguyễn Ngọc Đạm – Trơng Công Thành – NXB Giáo dục 1996)

Chiều cao của một tam giác vuông bằng 9,6m và chia cạnh huyền thành 2 đoạn hơn kém nhau 5,6m Tính độ dài cạnh huyền của tam giác

Theo hình vẽ ta có:

Bài toán yêu cầu tìm độ dài BC khi đã biết AH

Trớc khi giải cần kiểm tra kiến thức học sinh để củng cố công thức

h c’

B A

Lời giải bài toán phải rõ ràng đầy đủ (có thể nên thử lại).

Lu ý đến việc giải các bớc lập luận, tiến hành không chồng chéo nhau, phủ định lẫn nhau, kết quả phải đúng Muốn vậy cần rèn cho học sinh có thói quen sau khi giải xong cần thử lại kết quả và tìm hết các nghiệm của bài toán, tránh bỏ sót, nhất là đối với phơng trình bậc 2, hệ phơng trình

Ví dụ 6: (Toán phát triển đại 9 – Nguyễn Ngọc Đạm – Trơng Công Thành – NXB Giáo dục 1996)

Độ dài cạnh huyền của một tam giác vuông là 25, còn tổng độ dài hai cạnh góc vuông là 35 Tìm độ dài mỗi cạnh góc vuông của tam giác?

Hớng dẫn: Gọi độ dài các cạnh góc vuông của tam giác là x, y (x,y > 0)

Ta có hệ phơng trình: x + y = 35 (1)

x2 + y2 = 252 = 625 (2)Rút y từ phơng trình (1) thay vào phơng trình (2) ta có phơng trình: x2- 35x + 330 = 0

Giải phơng trình bậc 2 này ta tìm đợc x1 = 20; x2 = 15

Đến đây học sinh hay hoang mang và ra hái kết quả (thực chất trong bài toán tam giác vuông này là 1) không biết lấy kết quả nào?

Giáo viên cần xây dựng cho học sinh có thói quen đối chiếu kết quả với điều kiện đầu bài nếu đảm bảo thì các nghiệm đều hợp lý Một bài toán không

nhất thiết chỉ có duy nhất một kết quả và đợc kiểm chứng lại bằng việc thử lại tất cả các kết quả đó với yêu cầu của bài toán.

CHƠNG II: PHÂN LOẠI BÀI TOÁN GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƠNG TRÌNH VÀ CÁC GIAI ĐOẠN

GIẢI MỘT BÀI TOÁN

I PHÂN LOẠI CÁC BÀI TOÁN GIẢI BẰNG CÁCH LẬP ƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƠNG TRÌNH.

PH-Trong 74 bài tập ở lớp 8 và lớp 9 giải bài toán bằng cách lập phơng trình và hệ phơng trình có thể phân loại nh sau:

1 Loại toán về chuyển động

2 Loại toán có liên quan đến số học

3 Loại toán về năng suất lao động (tỷ số phần trăm)

4 Loại toán về công việc làm chung, làm riêng (toán quy về đơn vị)

5 Loại toán về tỷ lệ chia phần (thêm, bớt, tăng, giảm, tổng, hiệu, tỷ số của chúng)

6 Loại toán có liên quan hình học

7 Loại toán có chứa tham số

8 Loại toán có nội dung vật lý, hoá học

II CÁC GIAI ĐOẠN GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP ƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƠNG TRÌNH.

PH-1 Phần giai đoạn:

- Với bài toán bậc nhất một ẩn số: Là dạng bài toán sau khi xây dựng

phơng trình, biến đổi tơng đơng về dạng.

Trong đó a, b, a’, b’ không đồng thời bằng 0

Để đảm bảo 6 yêu cầu về giải một bài toán và 3 bớc trong quy tắc giải bài toán bằng cách lập phơng trình (hệ phơng trình) nh phần I đã trình bày thì giải bài toán loại này có thể chia thành 7 giai đoạn cụ thể rõ hơn 3 bớc trong quy tắc giải bài toán bằng cách lập phơng trình ( hệ phơng trình)

* Giai đoạn 1: Đọc kỹ đề bài, phân tích hết giả thiết kết luận của bài

toán giúp học sinh hiểu bài toán cho những dữ kiện gì? cần tìm gì? (có thể mô

tả bằng hình vẽ đợc không?)

* Giai đoạn 2: Nêu rõ các vấn đề liên quan để lập phơng trình Tức là

chọn ẩn số thế nào cho phù hợp, điều kiện thế nào của ẩn cho thoả mãn

* Giai đoạn 3: Lập phơng trình, dựa vào các quan hệ giữa ẩn số và các

đại lợng đã biết, đa vào các công thức, tính chất để xây dựng phơng trình, biến đổi tơng đơng để đa phơng trình đã xây dựng về phơng trình ở dạng đã biết, đã giải đợc

* Giai đoạn 4: Giải phơng trình (bớc 2) Vận dụng các kỹ năng giải

ph-ơng trình đã biết để tìm nghiệm của phph-ơng trình

* Giai đoạn 5: Nghiên cứu nghiệm của phơng trình để xác định lời giải

của bài toán, với thực tiễn xem có phù hợp không?

* Giai đoạn 6: Trả lời bài toán, kết luận nghiệm của bài toán xem có

mấy nghiệm, sau khi đã thử lại

* Giai đoạn 7: Phân tích biện luận cách giải Phần này thờng mở rộng

cho học sinh tơng đối khá, giỏi Sau khi giải xong có thể gợi ý cho học sinh biến đổi bài toán đã cho thành bài toán khác, ta có thể:

- Giữ nguyên ẩn số thay đổi các yếu tố khác (dữ kiện và giả thiết)

- Giữ nguyên dữ kiện, thay đổi các yếu tố khác (ẩn số và giả thiết) nhằm phát triển t duy toán học cho học sinh

- Giải bài toán bằng cách khác tìm cách giải hay nhất

2 Ví dụ minh hoạ cho các giai đoạn giải bài toán bằng cách lập ơng trình.

ph-Ví dụ 1: (Đại số lớp 8 – Nguyễn Duy Thuận – NXB Giáo dục 1995)Nhà bác Điền thu hoạch đợc 480 kg cà chua và khoai tay khối lợng khoai gấp 3 lần khối lợng cà chua Tính khối lợng mỗi loại

Cụ thể: Gọi số lợng khoai là x(x > 0kg) thì số lợng cà chua là 480 – x (hoặc số lợng cà chua là y) => x + y = 480

* Giai đoạn 3: Lập phơng trình

Vì số lợng khoai bằng 3 lần số lợng cà chua Do đó mối quan hệ sẽ là

khoai = 3 cà chua Ta có phơng trình:

x = 3(480 – x) (*)

x + y = 489 (**)

* Giai đoạn 4: Giải phơng trình:

Tiếp theo cách lập phơng trình dẫn đến giải phơng trình bậc nhất (*) hay hệ phơng trình (**)

Giải (*) ta đợc x = 360kg

Giải (**) ta cũng đợc x = 360kg, y = 120kg bằng cách thay x = 3y vào

x + y = 480

* Giai đoạn 5: Đối chiếu nghiệm đã giải với điều kiện đã ra xem mức

độ thoả mãn hay không thoả mãn ở đây x = 360 > 0 nên thoả mãn

Từ đó => số cà chua: 480 – 360 = 120kg

Thử lại: Số khoai : 360kg

Số cà chua : 120kg => Khoai = 3 cà chua (đúng)

* Giai đoạn 6: Trả loài và đáp số

Vậy số lợng khoai đã thu là 360kg

Số lợng cà chua đã thu là 120kg

* Giai đoạn 7: Nên cho học sinh nhiều cách giải khác nhau do việc chọn ẩn số khác nhau đã đến xây dựng phơng trình khác nhau, từ đó tìm cách giải hay nhất, ngắn gọn nhất Nh đã trình bày ở trên, từ việc đặt ẩn số khác nhau đến xây dựng phơng trình khi là phơng trình bậc nhất một ẩn, khi là hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn Nhng có thể lu ý cho học sinh tốt nhất là đa về phơng trình đơn giản nhất, dễ giải nhất

- Có thể từ bài toán này xây dựng hoặc giải các bài toán tơng tự

Ví dụ:

+ Thay lời văn và tình tiết bài toán: giữ nguyên số liệu, ta có bài toán mới “Một phân số có tổng tử và mẫu số là 480 Biết rằng mẫu gấp 3 lần tử Tìm phân số đó”.

+ Thay số liệu giữ nguyên lời văn

+ Thay kết luận thành giả thiết và ngợc lại ta có bài toán “Tuổi cha gấp 3 lần tuổi con, biết rằng tuổi của con là 12 Tìm tổng số tuổi cua cha và con

Bằng cách đó có thể xây dựng cho học sinh có thói quen tập hợp các dạng bài toán tơng tự và cách giải tơng tự Đến khi gặp bài toán học sinh sẽ nhanh chóng tìm ra cách giải

Chơng III: Những loại toán và hớng dẫn học sinh giải

Phân loại dạng toán

I Dạng toán chuyển động:

Bài toán 1: (Sách ôn thi tốt nghiệm – NXB Giáo dụ 1990)

Nhà Nam và Lan cùng nằm trên đờng quốc lộ và ở cách nhau 7m Nếu Nam và Lan đi xe đạp cùng lúc và ngợc chiều nhau thì sau 1/4 giờ họ gặp nhau Tính vận tốc của mỗi ngời? Biết rằng vận tốc của Lan bằng 3/4 vận tốc của Nam

Hớng dẫn học sinh: Đây là bài toán chuyển động ngợc chiều khi 2 ngời gặp nhau tại M tức là 2 ngời đã đi hết quãng đờng AB = 7m Mà vận tốc của Lan bằng 3/4 vận tốc của Nam, nh vậy có mối quan hệ nh thế nào với cả 2 ngời trong khi thời gian đi của cả 2 ngời nh nhau => học sinh sẽ hiểu đề bài

và tự đặt đợc ẩn số và lập phơng trình về mối tơng quan giữa ẩn số và một đại lợng khác

A M B

* Lời giải:

Cách 1: Gọi vận tốc của Nam là x(x > 0,km/h) thì vận tốc của Lan là

3/4x Nh vậy Au 1/4h Nam đi đợc quãng đờng là 1/4x Sau 1/4h Lan đi đợc quãng đờng là 3/4x 1/4h cả 2 ngời đi đợc quãng đờng AB Vậy ta có phơng trình:

7 4

1 4

3 4

1x+ x= <=> 7x = 7 16 <=> x = 16

x thoả mãn điều kiện của bài toán và phơng trình (1)

Cách 2: Gọi quãng đờng của Nam đi sau 1/4h là x(km, 0< x < 7) Quãng đờng của Lan đi sau 1/4h là y(km, 0 < y < 7)

h

km /

12 4

1 :

Bài toán 2: (Đại số 9 – Ngô Hữu Dũng)

Một tàu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 80km cả đi lẫn về mất 8h20’ Tính vận tốc của tàu thuỷ khi nớc yên lặng Biết rằng vận tốc của dòng nớc là 4km/h

* Hớng dẫn học sinh: Trong bài này cần lu ý học sinh xác định vận tốc thực của tàu thuỷ khi ngợc dòng và xuôi dòng khác nhau.

- Khi tàu xuôi dòng vận tốc của tàu bằng vận tốc thực + vận tốc dòng nớc

- Khi tàu ngợc dòng vận tốc của tàu bằng vận tốc thực – vận tốc dòng nớc

* Lời giải:

Gọi vận tốc của tàu thuỷ khi nớc yên lặng và x(x > 4, km/h) Do vậy khi xuôi dòng vận tốc của tàu là x + 4, khi ngợc dòng vận tốc của tàu là x –4 Thời gian tàu đi từ A -> B xuôi dòng là 80/x+ 4

Thời gian tàu đi từ B -> A ngợc dòng là 80/x – 4

Thời gian tàu xuôi (đi) và ngợc (về) mất 8h20’ h h

3

25 3

1

80 4

+ Trong dạng toán chuyển động, học sinh cần nhớ và nắm chắc các đại cơng quãng đờng, vận tốc và thời gian liên quan với công thức S = vt Do đó khi giải nên chọn 1 trong 3 đại lợng trên là ẩn số và điều kiện luôn luôn dơng

Sau đó áp dụng công thức S = vt hoặc điều kiện của bài toán để xây dựng ơng trình (hệ phơng trình).

ph-+ Cần lu ý trong dạng toán chuyển động cũng có thể chai ra nhiều dạng nhỏ và cần lu ý

- Nếu chuyển động trên cùng một quãng đờng thì vận tốc và thời gian

- Nếu thời gian của chuyển động đến nhanh hơn dự định (bài 2 sách đã dẫn) thì cách lập phơng trình làm ngợc lại phần trên

+ Nếu chuyển động trên đoạn đờng không đổi từ A => B rồi từ B => A biết tổng thời gian thực tế của chuyển động (ví dụ chơng 3) thì cách lập ph-ơng trình nh bài toán đã trình bày Nghĩa là tổng thời gian của chuyển động về

+ Nếu hai chuyển động ngợc chiều nhau (Ví dụ 1 chơng 3) sau một thời gian hai chuyển động nhau thì có thể lập phơng trình S = S1 + S2 +

II Dạng toán có liên quan số học:

Bài 1: (Bài 1 – trang 80 – sách đại 8 – Nguyễn Duy Thuận – NXB Giáo dục 1995)

Mẫu số của một phân số lớn hơn tử số của nó là 3 Nếu tăng cả tử và mẫu thêm 2 đơn vị thì đợc phân số 1/2 Tìm phân số đã cho?

+ Hớng dẫn học sinh:

- Để tìm một phân số tức là ta phải tìm những thành phần nào? (tử, mẫu?)

- Biết tử số ta có thể tìm đợc mẫu số không? và ngợc lại.

- Sau khi tăng cả tử và mẫu 2 đơn vị ta có phân số mới nào?

+ Lời giải: ở đây nh đã trình bày ở phần trên, ta thấy rằng các thành phần của tử số và mẫu số của phân số đã cho đều cha biết Nghĩa là tơng đơng nhau về giá trị ẩn số Nh vậy ta có thể gọi bất kỳ tử số hay mẫu số là ẩn số cách chọn ẩn nào sẽ dẫn đến cách giải khác Ngoài ra nếu gọi cả 2 thành phần trên là ẩn số sẽ dẫn đến cách giải bài toán bằng cách lập hệ phơng trình Nhng

ta sẽ chọn cách giải đơn giản nhất Muốn vậy cần đặt ẩn đơn giản nhất ở đây

là phân số nên thờng tử số nhỏ hơn mẫu số (bài toán cũng đã cho) Vậy ta nên chọn tử là ẩn số

Thật vậy: Gọi tử số của phân số đã cho là x(x ≠ 0) thì mẫu số của phân

số là x + 3

Sau khi tăng tử số sẽ là: x + 2

Sau khi tăng mẫu số sẽ là: x + S + 2 = x + 5

Theo bài ra ta có phơng trình

2

1 5

2 = +

Thoả mãn điều kiện của bài và của phơng trình (1)

Vậy phân số đã cho là:

4

1 3 1

1 = +Bài 2: (Bài 2 – sách đại 9 – Ngô Hữu Dũng – NXB Giáo dục 1995)Hai số hơn kém nhau 12 đơn vị Nếu chia số lớn cho 5 và số nhỏ cho 7 thì đợc thơng thứ nhất hơn thơng thứ 2 là 4 đơn vị Tìm 2 số đó

+ Hớng dẫn học sinh:

Với loại toán này học sinh lúng túng cách biểu diễn thơng Nhiều em coi thơng thứ nhất là thơng của số nhỏ và 7, thơng thứ 2 là thơng của số lớn

và 5, dẫn đến kết quả sai

+ Lời giải: Theo 4 cách ở bảng sau:

Cách Quá trình Số lớn Số nhỏ Phơng trình xây dựng

1 Cha tính thơng

Tính thơng

x5

x

x – 127

7 5

x

y5

y

x – y = 12 (1)

4 5

5x− y = (2)

4 Cha tính thơng

Tính thơng

y5

y

x5

x

y – x = 12 (1)

4 7

5y−x = (2)

Từ 4 cách chọn ẩn khác nhau ta dẫn đến xây dựng 4 phơng trình (hay

hệ phơng trình) khác nhau và có 4 cách giải khác nhau nhng vẫn cùng một kết quả Giải phơng trình

* Lời giải: Theo bảng sau:

Cách Quá trình Số thứ Số thứ Phơng trình xây dựng

c b a abc

b a

ab

+ +

=

+

=

10 100

Ví dụ 1: (Ôn thi tốt nghiệp THCS NXB Giáo dục 1990)

Trong 2 tháng đầu 2 tổ sản xuất đợc 400 chi tiết máy, trong tháng sau

tổ 1 vợt mức 10%, tổ 2 vợt mức 15% nên cả 2 tổ sản xuất đợc 448 chi tiết máy Tính xem trong tháng đầu mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy

* Hớng dẫn học sinh:

- Đã biết năng suất chung của 2 tổ trong tháng đầu đợc 400 chi tiết máy Nếu biết 1 trong 2 tổ sẽ tính đợc đợc tổ kia (chọn ẩn)

- Giả sử đã biết năng suất của tháng đầu có thể tính đợc tổng chi tiết máy sản xuất trong tháng sau.

- Tính năng suất của từng tổ tháng sau để xây dựng phát triển

* Lời giải:

Cách 1: Gọi x là số chi tiết máy tổ 1 sản xuất trong tháng đầu (x ẻ Z+, x

< 400, x > 0) Nh vậy tổ 2 sản xuất đợc 400 – x chi tiết máy

Tháng sau tổ 1 đã làm đợc x

100

10 chi tiết máy

Tổ 2 đã làm đợc (400 – x)

100

15 chi tiết máy

Do đó cả 2 tổ đã vợt 48 chi tiết máy

Theo bài ra ta có phơng trình:

48 100

15 ).

400 ( 100