sửa chữa sai lầm khi giải phương trình bất phương trình

Có khi là những sai lầm về mặt tính toán cơ học, nhng cũng có khi là những sai lầm về suy luận, sai lầm do hổng kiến thức, hay áp dụng những mệnh đề hay định lý Toán học vô căn cứ… Có nh

Mở đầu

Trong khi học Toán, học sinh có thể mắc nhiều kiểu sai lầm ở nhiều mức độ khác nhau Có khi là những sai lầm về mặt tính toán cơ học, nhng cũng có khi là những sai lầm về suy luận, sai lầm do hổng kiến thức, hay áp dụng những mệnh đề hay định lý Toán học vô căn cứ…

Có những sai lầm rất tinh vi, khó phát hiện, ví dụ nh đối với học sinh thì

ký hiệu x,y,z… thờng là biểu thị một cái cần tìm, cũng vì thế mà khi giải những phơng trình có tham số, ta đem đổi vai trò của ẩn và tham số cho nhau thì học sinh rất khó chấp nhận Những phơng trình và bất phơng trình có chứa giá trị tuyệt đối, nhiều khi ta phải phân khoảng để khử dấu giá trị tuyệt đối, rốt cục là tìm cho ra đợc x Nhng bây giờ trong bài toán tích phân chứa giá trị tuyệt đối, thì cũng là kí hiệu biến x nhng ta không phải đi tìm x, chính vì vậy

mà giải bài toán ấy theo kiểu xét x <3, x >5…cho riêng lẻ từng đáp số là sai

Có thể nói những sai lầm kiểu ấy là do các em học sinh không hiểu bản chất của đối tợng có mặt trong bài toán

Việc học Toán của học sinh không thể tránh khỏi những sai lầm, do đó nghiên cứu để tìm ra những phơng án giảm thiểu những sai lầm đó là rất cần thiết Có nhiều tác giả nổi tiếng có sự nhấn mạnh ý nghĩa của việc làm này, chẳng hạn A.A.Stolia phát biểu “Không đợc tiếc thời gian để phân tích trên giờ học các sai lầm của học sinh” Còn G.Pôlia thì phát biểu “Con ngời phải biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình” Viện sĩ Gơn-he-den-cô trong lúc nêu ra năm phẩm chất của t duy Toán học thì đã đề cập đến ba phẩm chất liên quan đến việc tránh các sai lầm khi giải Toán

- Năng lực nhìn thấy đợc tính không rõ ràng của suy luận, thấy sự thiếu các mắt xích cần thiết của chứng minh

- Có thói quen lý giải một cách đầy đủ

- Sự chính xác của lý luận.

Theo các ý kiến trên đây của các nhà khoa học thì thừa nhận rằng trong giải Toán, bất cứ ngời nào cũng từng có lần phạm phải những sai lầm, còn những vớng mắc và khó khăn thì dĩ nhiên là thờng xuyên Chức năng của ngời thầy giáo là phải kịp thời vạch rõ để học sinh thấu hiểu những sai lầm đó sao cho lần sau không còn tiếp diễn nữa Tuy nhiên một trong các năng lực cần có của ngời thầy là phải đánh giá đúng mức của học sinh đã mắc, không nên cào bằng các mức độ.Tất nhiên sữa sai là phải kịp thời, nếu không thì “sai lầm sẽ nối tiếp sai lầm”

Tuỳ đối tọng học sinh để đánh giá mức độ sai lầm của từng bài toán Ví

Đặc biệt ngời thầy giáo phải có một năng lực cảm thụ về mặt Toán học,

có khả năng phỏng đoán và hình dung những điều học sinh sẽ mắc, để có sự chủ động xử lý các tình huống ấy Ví dụ nh dạng toán về dấu của tam thức bậc

điều đó rất có lý bởi vì mọi giả thiết đều phản ánh bất đẳng thức ngặt.

Nh vậy, ta thấy rằng đôi khi chỉ là một ký hiệu hay một dấu, nhng nó lại phản ánh rất sát về trình độ suy luận của ngời học, và điều quan trọng là ở chổ ngời thầy phải biết trớc đợc cái sai đó của học sinh

Chơng 1 Những sai lầm thờng gặp của học sinh khi giải các bài

tập về phơng trình và bất phơng trình

Trong giáo dục, I.A.Komenski khẳng định: "Bất kì một sai lầm nào cũng có thể làm cho học sinh kém đi nếu nh giáo viên không chú ý ngay tới sai lầm đó, bằng cách hớng dẫn học sinh tự nhận ra và sửa chữa, khắc phục sai lầm" Các sai lầm của học sinh trong dạy học giải Toán đợc hiểu là: Điều trái với yêu cầu khách quan (mục đích của giải Toán, yêu cầu của bài toán) hoặc lẽ phải (các tình huống điển hình trong môn Toán: Khái niệm, định lí, quy tắc, các nội dung của lôgic toán, phơng pháp suy luận suy diễn ), do đó không đạt đợc mục đích của dạy học giải Toán

Các sai lầm trong giải Toán thờng do các nguyên nhân từ các góc độ khác nhau về tính cách, trình độ nắm kiến thức và về kĩ năng Do vậy biện pháp này chủ yếu dành cho học sinh bởi lẽ đây là đối tợng đang tập dợt nghiên cứu sáng tạo, đang làm quen với cách tiếp cận, phát hiện và giải quyết vấn đề Nhiệm vụ của giáo viên là phải dự đoán và giúp đỡ học sinh khắc phục những sai lầm khi giải Toán

Điều tra thực trạng cho thấy học sinh còn phạm nhiều sai lầm và mọi

đối tợng học sinh (cả một số ít giáo viên) đều có thể mắc sai lầm Do đó để nâng cao chất lợng dạy học giải Toán, cần phải dự đoán và có hớng khắc phục các sai lầm của học sinh trong giải Toán.Trong khi giải toán phơng trình và bất phơng trình, học sinh thờng gặp phải các sai lầm sau

1.1 Sai lầm liên quan đến tính toán và sử dụng sai đơn vị đo

Đây thuộc dạng sai lầm “thô thiển” nhất trong các sai lầm thờng gặp ở

vững bợc bản chất và ý nghĩa của các yếu tố có mặt trong biểu thức, hay nhớ sai công thức hay định lý.

Ví dụ1 Khi giải các phơng trình lợng giác, học sinh thờng nhầm lẫn giữa hai

∏

= +

2 4 30

2 4

3 30

k x

k x

o o

1.2 Sai lầm khi áp dụng định lý và mệnh đề toán học

Nhận dạng và thể hiện một định lý hay một khái niệm cũng là một hoạt

động toán học Ta xét sai lầm của học sinh khi vận dụng định lý cũng có nghĩa là ta đang xét các sai lầm trên tiêu chí hoạt động toán học

Cấu trúc thông thờng của một định lý có dạng: A⇒B Trong đó A là giả thiết, B là kết luận Nhiều sai lầm khi học định lý là do xem thờng ngôn ngữ và các điều kiện của giả thiết, bởi vậy nhiều lúc học sinh đa ra các kết luận sai lầm: Không có A vẫn suy ra B, hay không có A suy ra không có B

Ví dụ 1 Giải phơng trình 5 8x x 1x 500

−

=

Sai kiểu thứ nhất: Thử một số trờng hợp x=1, x=2, x=3… thấy rằng

53.82/3=125.3 64=500, suy ra x=3 là nghiệm của phơng trình

Khi x≠3 thì 53.82/3≠125.3 64

Kết luận: x=3 là nghiệm duy nhất

Nếu phân loại mức độ sai lầm qua việc giải bài toán này, ta có thể nhận

ra rằng, đối với học sinh dừng bớc lập luận ngay sau khi thấy x=3 là nghiệm -

là học sinh yếu hơn, đối với học sinh có làm thêm một bớc suy diễn: x≠3 thì

53.82/3≠125.3 64 là học sinh khá hơn học sinh thứ nhất trong khi giải bài toán này

Kiểu sai thứ hai: 5 8x x 1x 500

Mặt khác ta thấy f(3)=0 Do đó x=3 là nghiệm duy nhất của phơng trình

Sai lầm mà học sinh mắc phải trong trờng hợp trên là ở chổ: Hàm số f(x) đồng biến trên (-∞;0) và (0;+∞) thì phơng trình vẩn có thể có nhiều hơn một nghiệm trên khoảng đó

Phân tích: ở lớp 10 học sinh đã đợc học khái niệm về hàm số đồng biến trên một khoảng, tuy vậy vẩn có sách xét hàm số đồng biến trên một tập, dù không nói rõ nhng về nguyên tắc thì 1 tập số có thể là hợp của nhiều khoảng Trong chơng trình lớp 12, trong phần mối liên hệ giữa đạo hàm và chiều biến thiên của hàm số, thì có định lý: Nếu đạo hàm dơng trên một khoảng thì hàm

số đồng biến trên khoảng đó Nhng thực ra kiến thức của học sinh đại trà

định lý thật xác đáng Cụ thể hơn là khi học định lý này thì dờng nh học sinh chỉ dành sự quan tâm vào chổ: Nếu đạo hàm dơng thì hàm số đồng biến, và thực tình thì SGK cũng không có một chú ý nào về phạm vi áp dụng của định

lý Vì vậy khi gặp bài toán mà hoàn cảnh cụ thể không còn là một khoảng thì học sinh vẩn áp dụng định lý một cách bình thờng

Lời giải trên đây đã phạm sai lầm ở chổ: Đáng lý phải nói hàm số f(x)

đồng biến trên các khoảng (-∞;0) và (0;+∞) thì lại nói rằng hàm số đồng biến trên R\{ }0

Cần phải là rõ cho học sinh thấy hàm số đồng biến trên

(-∞;0) ∪(0;+∞) thì ngoài yêu cầu f(x1)〈f(x2) ∀x1〈 x2 〈0

f(x3)〈f(x4) ∀0 〈x3〈 x4

còn phải thêm yêu cầu nữa là f(α )〈f(β) ∀ α 〈0〈 β

Có một sai lầm liên đới ngoài sai lầm áp dụng định lý trên đây, đó là sai lầm áp dụng mệnh đề: Nếu hàm số đơn điệu trên (a;b), x1,x2 cùng thuộc (a;b) thì f(x1)=f(x2) ⇔ x1= x2 Nhng trong trờng hợp này thì f(x1)=f(3), rỏ ràng 3 thuộc (0;+ ∞), cho nên mới chỉ có kết luận đợc rằng trên (0;+ ∞) thì phơng trình chỉ có 1 nghiệm, và nh thế ta cần phải xét trờng hợp x〈0.

Đối với bài toán trên, ta có lời giải đúng nh sau:

x Ln

Ln x

Cần nói thêm rằng, đối với các phơng trình siêu việt, đặc biệt là khi thực hiện trên các logarit, học sinh thờng có tâm lý nặng nề khi nhìn những hằng số lại không phải là hằng số

Khái quát sai lầm ở ví dụ này đi đến nhận xét rằng: Giả thiết của một

định lý có thể gồm nhiều ý, và phạm vi áp dụng của nó là chỉ khi nào hội đủ tất cả các ý trên Thế nhng nhiều khi các em học sinh lĩnh hội nội dung còn

qua quýt, giành sự chú tâm vào một số ý nào đó dẫn tới sự mơ hồ các ý còn lại Bên cạng đó, về cách giảng dạy thì giáo viên ít khi làm sáng tỏ những chi tiết này thông qua các phản ví dụ.

Ví dụ 2 Giải phơng trình

3x3-6x2-9x=9(x2-2x-3) (*)

+Lời giải sai: (*)⇔3x(x2-2x-3) = 9 (x2-2x-3) ⇔3x=9 ⇔x=3.

Có thể thấy ngay x=-1 cũng là nghiệm của phơng trình, sai lầm ở đây là học sinh đã chia cả hai vế cho biểu thức x2-2x-3 Cần lu ý với học sinh rằng a.b=c.b ⇔b(a-c)=0

≥

− +

−

0 1

0 2 3

3

x

x x

−

1

0 ) 2 ( ) 1

x

x x

Vậy không tồn tại giá trị x thoả mãn điều kiện tập xác định, vậy phơng trình đã cho vô nghiệm

Ta có thể nhận ra khi x=1 thì biểu thức có nghĩa và x=1 chính là nghiệm của phơng trình.Vậy sai lầm của các em học sinh nằm ở chổ nào? Đó

≥

− +

−

0 1

0 2 3

3

x

x x

−

1

0 ) 2 ( ) 1

x

x x

x x

x

⇔x=1

Thử x=1 vào phơng trình ta thấy thoã mãn, vậy phơng trình có nghiệm là x=1

Ví dụ 4 Giải phơng trình x.ex >

e

1

−

+Lời giải sai: Ta có f1(x1)=x và f2(x2)= ex là các hàm số đồng biến trên R, suy

ra f(x)=x.ex là tích của hai hàm đồng biến nên cũng đồng biển trên R

Ta có f(-1)=

e

1

− Do đó bất phơng trình tơng đơng f(x) > f(-1) ⇔x>-1.Sai lầm khi nghĩ rằng tích của hai hàm số đồng biến là hàm số đồng biến, nếu các hàm số đồng biến chỉ nhận các giá trị dơng thì mới kết luận đợc

+Lời giải đúng: Xét hàm f(x) = x.ex với x∈R Ta có f’(x)=ex(x+1) nên ta có:

+Lời giải sai: Biểu thức có nghĩa với mọi x ⇔f(x)=(m+1)x2-2(m-1)x+3m-3≥

−

−

>

0 ) 2 )(

1 ( 2

1

m m

a c

b a

Và lời giải trên thiếu trờng hợp a=0

+Lời giải đúng: Biểu thức có nghĩa ∀x.

m m

1.3 Sai lầm liên quan đến đặt điều kiện, biến đổi phơng trình

Ví dụ1: Giải phơng trình: 2cos(2cosx) = 3

Có học sinh đặt: t = 2cosx, đợc phơng trình:

2cost = 3 ⇔ cos t 3

2

= ⇔ t = ± 300 + k 3600

Sai lầm ở đây là học sinh không nắm đợc giải phơng trình cost = a với

t = 2cosx là tìm tất cả các số thực t làm cho đề cost = a là đúng, ẩn t không phải là góc, là cung lợng giác, do đó không có số đo và đơn vị đo bằng

Với k = 0 ta có: cosx = ± π

12

Nhiệm vụ quan trọng của ngời giáo viên là hớng dẫn học sinh dự đoán

đ-ợc những sai lầm phân tích để tìm ra nguyên nhân các sai lầm là biện pháp tích cực để rèn luyện năng lực giải Toán

Ví dụ 2: Giải phơng trình: (cos2x - cos4x)2 = 4 + cos23x

Đây là phơng trình không mẫu mực nên học sinh rất khó khăn khi chọn phơng pháp giải, vì thế rất dễ mắc sai lầm Nhiều em nhận thấy vế trái xuất hiện bình phơng nên khai triển ra, sau đó dẫn đến phơng trình phức tạp hoặc tìm cách biến đổi đa về các hàm lợng giải của cùng một góc

Cách giải đúng: (cos2x - cos4x)2 ≤ 4 ∀x ∈R

4 + cos23x ≥ 4 ∀x ∈R

Vậy (cos2x + cos4x)2 = 4cos23x ⇔

2 2

Ví dụ 4: Giải phơng trình:

sinx + 3cosx = 2+cos2x + 3sin2x (1)

Ta gặp nhiều học sinh lập luận nh sau:

Tập xác định của (1) là: 2 + cosx + 3sin2x ≥ 0

⇔2+2( sin2x) 0

2

3x2cos2

1

≥+

3x2cos( − π ≥0

6x(cos(

2

2

<=> 21+cos(2x− π3) =21+cos(2x − π3) đúng với ∀x∈R

Vậy nghiệm của phơng trình (1) là với mọi ∀x∈R

Đây là một lập luận sai, sai lầm cơ bản nhất là sử dụng các phép biến

+Lời giải đúng: Ta có (1)

zk,2k3

2x2k3

Rx

2k3

22k3R

x

0)6xcos(

2

x2sin3x2cos2

)xcos3x(sin

0xcos3xsin

2

∈π+

π

≤

≤π+

π

≤π+

=+

≥+

⇔

Ví dụ 5: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm:

sin

Nhiều học sinh lập luận nh sau:

sin

1(tan

x x

02)cot(tan

)cot(tan

3

01)cot(tan

)cot1(tan

3

2 2

2 2

=++

++

⇔

=

−+

++

+

⇔

x x

m x x

x x

m x x

Đặt tanx + cotx = t

⇒ tan2 x + cot2 x = t2 − 2Khi đó ta có: 3 (t2-2) + mt + 2 = 0 ⇔3t2 + mt - 4 = 0 (5’)

Phơng trình (5) có nghiệm ⇔ phơng trình (5’) có nghiệm, vì phơng trình (5’) có a.c=-12 < 0 nên phơng trình (5’) luôn có hai nghiệm phân biệt

Do đó phơng trình (5) luôn có nghiệm

Học sinh đã mắc phải sai lầm trong lập luận ở chỗ đã không quan tâm gì đến điều kiện của t và cho rằng phơng trình (5) có nghiệm khi và chỉ khi phơng trình (5’) có nghiệm

Lời giải đúng cần bổ sung

Điều kiện của t là: t ≥ 2

Phơng trình (5) có nghiệm ⇔phơng trình (5’) có nghiệm thoả mãn

t1 2 = nên phơng trình (5’) không thể đồng thời có hai nghiệm t1, t2 thoả mãn t1 ≥ 2 và t2 ≥ 2

Do đó (5) có nghiệm <=> (5’) có một nghiệm trong đoạn[−2;2]và một nghiệm ngoài khoảng (-2; 2)

Nhiều khi ta không đi giải bài toán đã cho mà lại đi giải một bài toán

t-ơng đt-ơng với bài toán ban đầu, Tất nhiên không phải bài toán nào cũng là một mệnh đề mà sẽ có nhiều bài toán nêu ra dới dạng tìm tòi Những sai lầm liên quan đến chuyễn đổi bài toán thờng có liên quan đến việc đặt ẩn phụ, thay biến, Thực hiện các phép biến đổi tơng đơng và chuyển đổi ngôn ngữ Việc chuyễn đổi đúng nhiều khi có tác dụng rất rõ rệt vì lúc đó việc giải bài toán đã cho gặp nhiều khó khăn, nhng khi chuyễn đổi hợp lý thì việc giải bài toán thuận lợi hơn nhiều Nhng nếu ta chuyển đổi sai thì hậu quả thờng gặp sẽ là:

Hệ của các điều kiện đặt ra cho bài toán mới cha đủ đáp ứng yêu cầu của bài toán cũ

Muốn rèn luyện cho học sinh chuyển đổi bài toán phòng tránh những thiếu sót và sai lầm thì trớc hết phải rèn luyện cho họ cách nhìn một vấn đề linh hoạt bằng nhiều góc độ khác nhau Cần phải rèn luyện nhận thức sự tơng ứng giữa các đối tợng, tức cần phải trau dồi t duy hàm Cần phải trang bị cho học sinh kiến thức về phép biến đổi tơng đơng, nhất là sự tơng đơng giữa các phơng trình, bất phơng trình

Ví dụ 1: Với giá trị nào của m thì phơng trình sau có nghiệm:

2

2

) 1

- Dù rằng các em đã có ý thức đặt điều kiện cho ẩn phụ nhng xác định không rõ về mức độ của điều kiện ấy, tức là nhiều khi mới rút ra đợc một điều kiện nào đó của ẩn phụ thì đã vội vàng khép lại việc làm này Cần cho học sinh thấy rằngvới những bài toán biện luận về sự có nghiệm của phơng trình chứa tham số thì hầu nh ta không có điều kiện để tìm ra nghiệm cụ thể, mà thay vào đó là tìm một điều kiện sát thực cho ẩn t, nghĩa là t phải nh thế nào thì ắt sẽ có x tơng ứng Bản chất của vấn đề đó là: Hàm f: X →R

x t=f(x)thì t phải thuộc miền giá trị của hàm f

- Đặt t=

1

2

2 +

x

x để dẫn tới điều kiện 0≤t<1

Thì có trờng hợp ta diễn đạt đầy đủ theo lối của phơng pháp tìm miền giá trị:

sinh có thể quên mất điều kiên cần phải có của t Sau khi tìm điều kiện một cách cẩn thận thì thấy rằng bất kỳ t nào trên R cũng có những x tơng ứng, dĩ nhiên đó là ngẩu nhiên Vì vậy học sinh không đặt vấn đề tìm điều kiện thì rốt cuộc đáp số vẩn ắt đúng nhng lời giải cha thể chấp nhận đợc Để tìm điều kiện cuả t, ta có các cách sau:

1 (

0 , 2

) 1 )(

3 (

0 , 3

2

2

x x t

t x

x x t

t x

Dể thấy rằng phơng trình x2-2x-3-t=0 trong trờng hợp t >0 luôn có ít nhất 1 nghiệm lớn hơn 3

Nhiều tình huống chuyển đổi bài toán thông qua một số phép biến đổi, vì vậy có thể mắc sai lầm trong chuyển đổi, đặc biệt là các phép biến đổi hệ quả và tơng đơng

Và đã đa phơng trình về không chứa dấu căn

Thông thờng, giáo viên căn dặn học sinh cẩn thận khi luỷ thừa lên bậc chẳn, và nói chung khi luỹ thừa bậc lẻ thì không gặp vấn đề gì, bởi vậy đã có

thể nhập tâm với sự căn dặn ấy cho nên trong tình huống này việc dùng các phép tơng đơng là không có khúc mắc gì Tuy nhiên cần làm cho học sinh thấy đối với phơng trình dạng

A+B=C ⇔A3+B3+3AB(A+B)=C3 ⇔ A3+B3+(-C)3=-3AB(A+B)Nếu ta khẳng định nó cũng tơng đơng với A3+B3+3AB(A+B)=C3 thì có nghĩa là ta cho rằng A3+B3+(-C)3=-3ABC là tơng đơng với A+B=C

Tuy nhiên, A3+B3+(-C)3=-3ABC ⇔ A3+B3+(-C)3-3AB(-C)=0

⇔[A+B+(-C)](A2+B2+(-C)2-AB-AC-BC)=0Nếu ta muốn khẳng định A+B=C thì ta phải khẳng định

A2+B2+(-C)2-AB-A(-C)-B(-C) ≠0Nói cách khác, ta phải chắc chắn đợc không xẩy ra đồng thời A=-C và B=-C, thì khi ấy mới chắc chắn có sự tơng đơng nh đã biến đổi

Cách giải thích này sẽ giải quyết tận gốc bản chất của vấn đề, còn nếu không sử dụng cách này thì ta có thể chỉ ra các phản ví dụ cụ thể theo tinh thần là lựa chon 3 hàm f(x), g(x), h(x mà hệ f(x)-g(x)=-h(x) có nghiệm

Ví dụ 4: Cho hàm số y=

m x

m x m mx

−

−

−

− + ( 2 ) 2 1

2

a, Tìm m để hàm số có cực trị

b, CMR với những giá trị m vừa tìm đợc, thì trên đồ thị luôn tìm đợc 2

điểm mà tiếp tuyến tại hai điểm đó vuông góc với nhau